概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编

概率统计

1、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为

到站时刻

810∶

910∶ 830∶

930∶ 850∶

950∶

概率

1

6

1

2

13

一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）． 【答案】27

【解析】旅客候车的分布列为

候车时间（分）

10 30 50 70 90 概率

1

2

13

1166

⨯ 1126

⨯ 1136

⨯ 候车时间的数学期望为11111

10305070902723361218

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】

12

17

3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】

61

243

【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为

1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k

P ⎧

⎫-⎨⎬⎩⎭

是首项为34，公

比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761

243

P =

4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以

2

1

的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】

3

4

2221219B C D -⨯-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（）

22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况，

,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为

222+2-1=7.

483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为

5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】

2

55

【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3

12C =220种.

下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.

由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82

22055

=

.

6、（2016一试4）袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】

35

9

7、（2017一试6）在平面直角坐标系xoy 中，点集{(,y)|x,y 1,0,1}K x ==-，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为. 【答案】

4

7

【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3

984C =种.

将中的点按图标记为128,,,A ,A A O ，其中有8对点之间的距离为5，由对称性，考虑取14,A A 两点的

情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个

(1,2,3,,8)i A i =，K 中恰有15,A i I A ++两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有

35{,,}(i 1,2,3,

,8)i i i A A A ++=这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而

所求概率为

484

847

=.