雅礼中学2013高三函数与导数复习教案

§2．1映射与函数一、要点回顾（一）主要知识： 1． 映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射．（2）象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么集合A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象． 2．函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量．②近代定义：设A 、B 都是非空的数的集合，f ：x→y 是从A 到B 的一个对应法则，那么从A 到B 的映射f ：A→B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域，象集合C 叫做函数的值域．B C ⊆（2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域． 3．函数的表示方法：①解析法 ②列表法 ③图象法． 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式． （二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象唯一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系． 二．典例讲练 （一）基础题1．设集合A =R ，集合B =正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是A ．f ：x →y =|x |B ．f ：x →y =xC ．f ：x →y =3－xD ．f ：x →y =log 2（1+|x |）2．{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）()()2.ln ,2ln A f x x g x x == ()()()log .0,1,x aB f x aa a g x x =>≠=()()[].1(1,1C f x g x x x ==-∈- ()().l o g (0,1),xa aD f x a a g x=>≠4．(2006黄冈中学)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则与相同的是（ ） A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([f gD ．)]4([f g5．{}{}421,2,3,,4,7,,3,,,:31M m N n n n m n N f x y x *==+∈→=+已知集合映射 是从M 到N 的一个函数，则m ，n 的值分别为（ ）（A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6 （D ）6，31、C ．指数函数的定义域是R ，值域是（0，+∞），所以f 是x →y =3－x ． 2、B 3、 D 4、A 5、B （二）能力题6．下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？()11,,:1A RB R f x y x ==→=+ ()1112,,,:2A a a N B b b n N f a b n a *⎧⎫⎧⎫=∈==∈→=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(){}{}3,,:A B f αα==平面内的矩形平面内的圆作矩形的外接圆．解（1）不是映射（2）是映射，也是函数 （3）是映射，不是函数7．()()()()2(10),50.5(10)n n n N f n f f f f n n *-≥⎧⎪∈=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩已知求和的值解：()()()()()()()51010281311959f f f f f f f f f ==-====∴=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()0510813119010f f f f f f f f f f ======∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦8．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a ax <,显然不成立． 当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩1a ≤< ∴a的取值范围是．（三）备用题9．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数）（注：次品率生产量次品数=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=；当1x c ≤≤时，196P x=-， 所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫-⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, x x A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩ （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．令96x t -=，则09695c t <-≤≤． 故 ()3961144969722t T t A t A t t -⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114797022A A ⎛≤-=> ⎝． 当且仅当144t t=，即()1288t x ==即时，等号成立．所以（i ）当88c ≥时，max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）． （ii ） 当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．所以，()()96g t g c ≥-．所以，1144972T t A t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()211441441892979602961922c c c A A c c ⎛⎫+-⎛⎫≤---=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即2max 14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得） 综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复习时认真对待． 10．（2004年广东）设函数f （x ）=|1－x1|（x ＞0），证明：当0＜a ＜b ，且f （a ）= f （b ）时，ab ＞1． 剖析一：f （a ）=f （b ）⇔|1－a 1|=|1－1b |⇔（1－a1）2=（1－b 1）2⇔2ab =a +b ≥2ab ⇔ab＞1．证明：略．剖析二：f （x ）=11(0,1],11(1,).x xx x⎧-∈⎪⎪⎨⎪-∈+∞⎪⎩证明：f （x ）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a ＜b 且f （a ）= f （b ），得0＜a ＜1＜b 且a 1－1=1－b 1，即a 1+b1=2⇔a +b =2ab ≥2ab ⇔ab ＞1．11．设f （x ）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f （x ）+f （x +2）=0，当－1＜x ≤1时，f （x ）=2x －1，求当1＜x ≤3时，函数f （x ）的解析式．解：设1＜x ≤3，则－1＜x －2≤1，又对任意的x ，有f （x ）+f （x +2）=0，∴f （x +2）=－f （x ）．∴f （x －2）=－f ［（x －2）+2］=－f （x ）．又－1＜x －2≤1时，f （x －2）=2（x －2）－1=2x －5，∴f （x ）=－f （x －2）=－2x +5（1＜x ≤3）．评述：将1＜x ≤3转化成－1＜x －2≤1，再利用已知条件是解本题的关键． 12．已知向量a =(1，1)，b =(1，0)，c 满足a ·c =0且|a |=|c |，b ·c >0．(1)求向量c ；(2)若映射f ：(x ，y )→(x ′，y ′)=xa +yc ， ①求映射f 下(1，2)的原象；②若将(x ，y )看作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线上的任意一点在映射f 的作用下的点仍在直线上?若存在，求出直线l 的方程，否则说明理由．解:(1)设c =(m ,n ),由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅+⋅=+=+,001,2,022n m n m n m 解得⎩⎨⎧-==,1,1n m ∴c =(1,－1)．5分(2)①由题意x (1,1)+y (1,－1)=(1,2),得⎩⎨⎧=-=+,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,23y x∴(1,2)的原象是(23,－21)．②假设存在直线l 适合题设,平行于坐标轴的直线显然不适合．设所求的直线方程为y =kx +b (k ≠0),在该直线上任作一点P (x ,y ),经过映射f 的作用得到点Q (x ′,y ′)=(x +y ,x －y )仍在该直线上,∴x －y =k (x +y )+b ,即(1+k )y =(1－k )x －b ．当b ≠0时,⎩⎨⎧-=--=+,1,11k k k 无解,故这样的直线不存在．当b =0时,(1+k )∶1=(1－k )∶k ,即k 2+2k －1=0,解得k =－1±2． 故这样的直线l 存在,其方程为y =(－1+2)x 或y =(－1－2)x ．一、选择题（第题6分，共30分）1． 下列各对函数中，相同的是（ ）()().A f x g x x = ()()2.lg ,2lg B f x x g x x ==()()()()1.lg,lg 1lg 11x C f x g x x x x -==--++ ()().D f u g v ==2．（2004年全国Ⅰ，理2）已知函数f （x ）=lg x x+-11，若f （a ）=b ，则f （－a ）等于( )A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b 13． 设集合{}{}M x N M f N M ∈→=-=使对任意的映射,:,5,4,3,2,1,0,1都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f 共有（ ）个．A ．32B 、15C 、50D 、274． （2004年全国Ⅲ，理11）设函数f （x ）=2(1)1,41,x x x ⎧+<⎪⎨-≥⎪⎩则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为( )A ．（－∞，－2］∪［0，10］B ．（－∞，－2］∪［0，1］C ．（－∞，－2］∪［1，10］D ．［－2，0］∪［1，10］5．（2004．湖南理）设函数⎩⎨⎧>≤++=0,20,)(2x x c bx x x f ，(4)(0),(2)2,f f f -=-=-若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ）1、D 2．B f （－a ）=lga -1=－lg a+1=－f （a ）=－b ． 3．C 4、A f （x ）是分段函数，故f （x ）≥1应分段求解．当x ＜1时，f （x ）≥1⇔（x +1）2≥1⇔x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x ＜1． 当x ≥1时，f （x ）≥1⇔4－1-x ≥1⇔1-x ≤3⇔x ≤10，∴1≤x ≤10．综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10． 5．C二、填空题（每题5分，共20分）6． 设“f ：A→B”是从A 到B 的一个映射，其中(){}R y x y x B A ∈==,,，()():,,f x y x y xy →+，则A 中元素（1，-2）的象是 ，B 中的元素（1，-2）的原象是 ．7．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8． 设集合A 中含有4个元素，B 中含有3个元素，现建立从A 到B 的映射f :A →B ，且使B 中每个元素在A 中都有原象，则这样的映射有___________________个9． ()()()sin (0)1lg 0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩已知 ，则()192f f π⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值是 ． 6、(-1,-2)． (2,-1)或（-1，2） 7、 8．8、36 因为集合A 中有4个元素，集合B 中有3个元素，根据题意，A 中必须有2个元素有同一个象，因此，共有C 24A 33=36个映射． 9、1三、解答题（20+20+10，共50分） 10． {}{},,,1,0,1M a b c N ==-设（1） 求从M 到N 的映射的个数； （2） 从M 到N 的映射满足fA ．-fB ．=fC ．，试确定这样的映射f 的个数． 10．(1)27 (2) 711．若f ：y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B ． 11．解：∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,1024k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.13,10342k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解．解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5． ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}．12．如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y =f （x ）． （1）求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值． 12．解：（1）这个函数的定义域为（0，12）． 当0＜x ≤4时，S =f （x ）=21·4·x =2x ； 当4＜x ≤8时，S =f （x ）=8； 当8＜x ＜12时，S =f （x ）=21·4·（12－x ）=2（12－x ）=24－2x ． ∴这个函数的解析式为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈).12,8(224],8,4(8]4,0(2x x x x x（2）其图形为由图知，［f （x ）］max =8．§2．2函数的解析式及定义域一、要点回顾（一）主要知识：1． 求函数解析式的方法：(1)定义法 （2）变量代换法 （3）待定系数法 （4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题 2．求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集． 3． 复合函数定义域：已知f(x)的定义域为[]b a x ,∈，其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出． （二）主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另一个等式，形成解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出． 二．典例讲练 （一）基础题1．（2005江西卷）函数221()log (43)f x x x =-+-的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．()(),13,-∞⋃+∞C ．（1，3）D ．[1，3]2．函数y = ( )A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|x 11x x ≤-≥或C ．{}|01x x ≤≤D ．{}-1,13．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝ ( )A ．21B ．413C ．－95D ．25414．函数)(x f 的定义域是[0，1]，若)]3([log )(2x f x F -=，则函数)(x F 的定义域是____________________．5． 设函数221)(x x x f +=，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1、A 2、D 3、B ． 4．]2,1[．由1)3(log 02≤-≤x 得出．5、72 应()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭还可以如下问题：变式问题1：（2003年北京丰台）设函数()x f x =()1a >，则1210111111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝ ．答：5 要点：()()12121.1x x f x f x +=⇒+=变式问题2：（2003年潍坊）设函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则()()()()()()()()32101234f f f f f f f f -+-+-+++++＝ ．答：－4 （二）能力题6．（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-） （2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>- （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+- 5217ax b a x =++=+，∴2a =，7b =，∴()27f x x =+（4）12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法7．(1)已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围． (2) 已知f （x 2－4）=lg 822-x x ，求f （x ）的定义域．解：(1)由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0 (2)设x 2－4=t ，则t ≥－4，x 2=4+t ．∴f （t ）=lg 44-+t t ．∴f （x ）=lg 44x x +-（x ≥－4）．由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>-+,4,044x x x 得x ＞4．所以()f x 的定义域为（4，+∞） 8．已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域．解：设扇形的弧长为l ，则l =10－2r ，∴S =21lr =（5－r ）r =－r 2+5r由⎪⎩⎪⎨⎧<>>,π2,0,0r l l r 得1+π5＜r ＜5，∴S =－r 2+5r 的定义域为（1+π5，5）又S =－r 2+5r =－（r －25）2+425且r =25∈（1+π5，π），∴当r =25时，S 最大=425．又S ＞－52+5×5=0，∴S =－r 2+5r ，r ∈（1+π5，5）的值域为（0，425］（三）备用题9．（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0．2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0．1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）．全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0．2元．若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1．问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0．2+0．1x =25+1．9x ， y 2=10+2（0．2×4x +0．4×3x +0．6x +0．8x ）=10+6．8x ． 令y 1≥y 2，即25+1．9x ≥10+6．8x ，解得x ≤9.415≈3．06． ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3．06=55．1．故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通． 10．图①是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．① ② ③（1）试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义．（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：（1）点A 表示无人乘车时收入差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价． 深化拓展(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？ (4) 此问题中直线斜率的实际意义是什么？ 答：（3）图①②中的票价是2元． (4) 斜率表示票价．11．在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域．解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ． 根据余弦定理得：12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2， ① 12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2． ②由①＋②整理得y ． 其中0,23,(3)2,x x x x x >⎧⎪+>-⎨⎪-+>⎩解得21＜x ＜25．∴函数的定义域为（21，25）． 三、反思小结：§2．2函数的解析式及定义域一、选择题（每题6分，共30分） 1．（2005湖北卷）函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）2． 若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于A ．2－sin2xB ．2+sin2xC ．2－cos2xD ．2+cos2x3． （2004．湖北理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为 （ ）A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+-4． 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =，值域为{1,4}的“同族函数”共有A ．5个B ．8个C ．9个D ．4个 5． 已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ） A ．A B B = B ．A B ≠⊂C ．A B =D ．A B B =1、D2、D 解析：∵f （sin x ）=2－（1－2sin 2x ）=1+2sin 2x ，∴f （cos x ）=f （sin2π－x ）=1+2sin 2（2π－x ）=1+2cos 2x =2+cos2x ． 3、C4．C 因对应于1的元素可以有取法：1，-1，±1，对于于4的元素有三种2，-2，±2 5．D {}|1A x x =≠，121[()]()(1)11x y f f x f f x x x+===-+=---， 令2111x-+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠ ． 二、填空题（每题5分，共20分） 6． 函数y =的定义域为 ． 7． 函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 ． 8．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=____ _______________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_____ ______________．9． （2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f （x ）=sgn x =10,00,10,x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩则不等式x +2＞（x －2）sgn x 的解集是______________． 6、13,0,144⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7、)4,3()3,2[⋃8、解析：f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5． 当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3． 总之x ∈（－5，5）．答案：－2 {x |－5＜x ＜5}9、（－5，+∞）三、解答题（20+20+10，共50分）10． 已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域． 10、解：设扇形的弧长为l ，则l =10－2r ，∴S =21lr =（5－r ）r =－r 2+5r ． 由0,0,2π,r l l r >⎧⎪>⎨⎪<⎩又210l r +=，得1+π5＜r ＜5．∴S =－r 2+5r 的定义域为（1+π5，5）．又S =－r 2+5r =－（r －25）2+425且 r =25∈（1+π5，π），∴当r =25时，S 最大=425．又S ＞－52+5×5=0， ∴S =－r 2+5r ，r ∈（1+π5，5）的值域为（0，425］．11． 设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．11、解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ①当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<，∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值．12． 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式． 12、解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩．§2．3函数的值域一、要点回顾（一）主要知识：1． 函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定． （二）主要方法：1．求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． 2． 求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围； ②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域； ③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域； ⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域． 二．典例讲练 （一）基础题 1．命题：①函数x y 1=+1的值域是1y ≠； ② 函数xy 1=+x 的值域是2y ≥ ；③函数) y {y| 0≤y ≤2}； ④ 函数21log ()y x x=+的值域是()(),11,-∞-⋃+∞． 正确的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．①④D ．①②③ 2．下列说法正确的是 ( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 3．值域是（0，+∞）的函数是（ ）A ．151+=-xyB ．x y -=1)31(C ．ln y x =D ．x y 21-=4．已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，)()(x g x F -=，那么()F x （ ）A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值1-，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值 5．函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = ． 1、A 2、D 3、B 4、B 5、2（二）能力题6．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+，[1,3]x ∈； （2）312x y x +=-； （3）y x =+(4) y x =+（5）|1||4|y x x =-++； （6）22221x x y x x -+=++；（7）2211()212x x y x x -+=>-； （8）1sin 2cos x y x -=-．解：（1）（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调递增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-， ∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =+2y ax b =+2y ax b =+（4）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]44πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[1-．（5）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（6）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（7）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（8）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ=，∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤，∴2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 7．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<， 故实数a 的取值范围为：21a -≤<．8．已知函数()f xR ， (1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求()f m 的值域．解：当0m =时，268mx mx m -++0≥恒成立．()2001064(8)0m m m m m m >⎧>⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨≤--+≤⎩⎪⎩ ，综合得01m ≤≤ (2)当0m =时，y =当01m <≤时，()f xmax y =因此：()1)f m m =≤≤，所以()f m的值域为0,⎡⎣（三）备用题9．设函数2()45f x x x =--．（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A ．试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方． [解]（1）如图 ……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A ． (8)分 由于26,22,B A<-∴⊂． ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f ．)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x224203624k k k x --+⎛⎫=--⎪⎝⎭， ∴>,2k 124<-k． 又51≤≤-x ，① 当4112k--≤<，即62≤<k 时，取24k x -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k ． 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ， 则0)(min >x g ．② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， m i n )(x g ＝02>k ．由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x ．因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方． ……16分[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f ．由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点． ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到． 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方． ……16分10．已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件：)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)( 有等根，⑴ 求)(x f 的解析式；⑵ 是否存在实数)(,n m n m <，使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]3,3[n m ．10．(1)21()2f x x x =-+ (2)4,0m n =-= 三、反思小结：§2．3函数的值域一、选择题（每题6分，共30分）1．对于函数()2(0)f x ax bx c a =++≠作代换()g t ，则不改变函数值域的变换是（ ）A ．()2tg t = B ．()|t|g t = C ．()sin g t t = D ．()2log g t t =2．已知32()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是 （ ）A ．5-B ．11-C ．29-D ．37-3．已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A ．[ 1，+∞） B ．[0，2] C ．（-∞，2] D ．[1，2]4．已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是 （ ） A ．2<a B ．2>a C ．2=a D ．以上三种均有可能 5．（2004年浙江文9）若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于A ． 31 B ．2 C ．22 D ．2a ．当a ＞1时，0=log a 1≤log a （x +1）≤log a 2=1，∴a =2；当0＜a ＜1时，log a 2≤log a （x +1）≤log a 1=0，与值域是［0，1］矛盾． 综上，a =2二、填空题（每题5分，共20分） 6．函数122+=xx y 的值域是_____ _____．7．已知函数)12lg(2++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________． 8．函数y=|x –3|–|x+1|的最大值是 ．9．若122=+y x ，则21y x --的最小值是__________43yx +的最大值是______________． 6．()0,1 7．[0,1] 8． 4 9． 34；512．三、解答题（20+20+10，共50分） 10 求下列函数的值域：（1）11+-=eexx y （2） xx y 2225.0-=（3）33x x y -= （4）4522++=x x y11．已知f(x)的值域为[34,89]，试求y=f(x)+)(21x f -的值域．12．已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值．10．(1)(-1,1) (2)(]0,4 (3)R (4)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．77(,]9812．2,2b c =-=§2．4函数的奇偶性一、要点回顾（一）主要知识：1．定义：设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数．设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数．如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性 2．性质：① 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称， ② y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称， y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称，③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④ 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤ 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--⑥ 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称．⑦ 对于F(x)=f[g(x )]：若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ；②看f(x)与f(－x)的关系 ． （二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．4．注意两个的运用：()()()()2f a x f a x f a x f x -=+⇔-=． 二．典例讲练 （一）基础题1．下面四个结论中，正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．41、①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕．答案：A2．已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇且偶函数D ．非奇非偶函数2．A 由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数．3．若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A ．f （cos α）＞f （cos β）B ．f （sin α）＞f （cos β）C ．f （sin α）＞f （sin β）D ．f （cos α）＞f （sin β）3、B ∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数．由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β．1＞sin α＞cos β＞0．∴f （sin α）＞f （cos β）． 4． 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________．4、定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31． 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0． 答案：31 0 5．给定函数：①y =x1（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）． 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________．5、①⑤ ② ③④ （二）能力题6．判断下列函数的奇偶性、①x x x x f -+-=11)1()( ②22)1lg()(22---=x x x f③⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f ⑤2)(2+--=a x x x f答：①非奇非偶函数 ②偶函数 ③奇函数 ④既是奇函数又是偶函数。