高校自主招生考试数学真题分类解析之7解析几何

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高中数学自主招生考试分类专题七解析几何

专题七解析几何1、已知椭圆22221x y a b+=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==, 于是331||||2|sin 2|EOFE F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)22M ±±时,上述等号成立. 2、点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k 处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p=-. 3、椭圆长轴长为4，左顶点在圆()22(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（）(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解：设左顶点为[)42cos ,0,212sin x tt y t π=+⎧∈⎨=+⎩，则对称中心为()62cos ,12sin t t ++，令62cos ,12sin u x tv y t=--⎧⎨=--⎩则在uv 坐标系中，其左准线为62cos u t =--，因此2411162c o s ,3c o s 42a c t e c c a t ⎡⎤-=-=--⇒==∈⎢⎥+⎣⎦.选B. 4、已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22PA PB PH ⋅=① 求动点P 的轨迹C 的方程② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

解析几何题型及解题方法总结

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何

专题之7、解析几何一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。

解析几何数学真题及答案

解析几何数学真题及答案在数学领域中，解析几何是一门重要的学科。

它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换规律。

解析几何的基础是坐标系和代数知识，运用代数方法研究几何问题。

下面我们将深入解析几何数学考试中的一些真题及答案，以便更好地理解和应用解析几何的知识。

问题1：已知平面上三个点A（-4，2），B（2，6），C（6，-2），求直线AB的方程。

解析：首先，我们可以利用两点间距离公式求得AB的长度，即√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]，代入坐标值计算得到AB的长度为√68。

然后，我们可以利用斜率公式求得直线AB的斜率，即(y2 - y1) / (x2 - x1)，代入坐标值计算得到斜率为2/3。

最后，我们可以利用点斜式求得直线AB的方程，即y - y1 = m(x - x1)，代入坐标值和斜率计算得到直线AB的方程为y = (2/3)x + 14/3。

问题2：已知椭圆的焦点为F1（3，0），F2（-3，0），离心率为2/3，求椭圆的方程。

解析：我们知道，椭圆的离心率等于焦距与长轴之比。

而焦距为2倍的焦点到顶点的距离。

所以，我们可以利用离心率和焦点的坐标信息来求得椭圆的长轴以及焦距。

根据已知的离心率和焦点位置，我们可以得到长轴为6。

接下来，我们可以利用椭圆的标准方程求得椭圆的方程，即(x-h)^2 / a^2 + (y-k)^2 / b^2 = 1，其中（h，k）为椭圆中心坐标，a为长轴一半的长度，b为短轴一半的长度。

代入已知的数据计算得到椭圆的方程为(x-0)^2 / 9 + (y-0)^2 / 3 = 1。

问题3：已知抛物线经过点（1，4），并且顶点为（2，3），求抛物线的方程。

解析：首先，我们可以利用顶点信息求得抛物线的对称轴。

对称轴的方程为x = h，其中（h，k）为顶点坐标。

代入顶点的坐标计算得到对称轴的方程为x = 2。

接下来，我们可以利用抛物线的标准方程求得抛物线的方程，即y = a(x-h)^2 + k，其中（h，k）为顶点坐标，a 为抛物线的开口方向和大小。

数学解析几何的常见题型解析

数学解析几何的常见题型解析解析几何是数学中的分支学科，通过运用代数和几何的知识，以方程和不等式为工具，研究几何对象的性质和关系。

解析几何的题型主要包括直线方程、曲线方程、平面方程和空间曲面方程等。

本文将对解析几何的常见题型进行解析。

一、直线方程的解析1. 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

2. 斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

3. 点斜式方程直线的点斜式方程为(y - y₁) = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上的一点，k是直线的斜率。

二、曲线方程的解析1. 圆的方程圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

3. 双曲线的方程双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

三、平面方程的解析1. 一般式方程平面的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数，且A、B和C不同时为0。

2. 法向量和点的关系式平面的法向量为（A，B，C），平面上一点为（x₁，y₁，z₁），则平面方程为A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0。

四、空间曲面方程的解析1. 球的方程球的标准方程为(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²，其中（a，b，c）是球心的坐标，r是球的半径。

2. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程根据不同类型的圆锥曲线而不同，比如椭圆锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²) = 0，双曲锥的方程为(x²/a²) + (y²/b²) - (z²/c²)= 1等。

解析几何大题及答案

解析几何大题及答案解析几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间图形的性质和变换。

在高中数学中，解析几何是一个关键的考点，也是学生容易遇到的难点之一。

本文将解析几何中的几个大题进行解析，并给出详细的答案。

一、平面直角坐标系与向量1. 设平面上一直线的方程为3x-y+4=0，求该直线的斜率及与坐标轴的交点坐标。

答案：首先将直线的方程转化为斜截式的形式，即y=3x+4。

由此可得该直线的斜率为3。

与x轴的交点坐标可通过令y=0，解得x=-4/3；与y轴的交点坐标可通过令x=0，解得y=4。

因此，该直线与x轴的交点坐标为(-4/3,0)，与y轴的交点坐标为(0,4)。

2. 已知平面内的向量a=(4,3)，求向量2a的模和方向角。

答案：向量2a=(2*4,2*3)=(8,6)。

模可以通过向量的标准模公式计算：|2a|=√((8)^2+(6)^2)=√100=10。

方向角可以通过向量的方向角公式计算：tanθ=y/x=6/8=3/4，所以θ=arctan(3/4)。

因此，向量2a的模为10，方向角为arctan(3/4)。

二、直线的方程与位置关系1. 设直线L1过点A(1,3)且与直线L2:2x+3y-7=0相交于点B，求线段AB的中点坐标。

答案：首先求直线L1的方程，由过点A(1,3)，设斜率为k，则直线L1的方程为y-3=k(x-1)。

将直线L2的方程与直线L1的方程联立，可求出点B的坐标。

解方程组得到B的坐标为(-1,3)。

线段AB的中点坐标可以通过两点坐标的平均值计算：((1+(-1))/2,(3+3)/2)=(0,3)。

因此，线段AB的中点坐标为(0,3)。

2. 设直线L1:x+2y-3=0与直线L2:2x-y-1=0相交于点A，直线L1与直线L3:2x+3y-4=0平行，求直线L3的方程。

答案：由直线L1与直线L2的方程可解得直线L1与直线L2的交点A的坐标为(1,1)。

由直线L1与直线L3平行可得其斜率相等，即2=3k，解得k=2/3。

自主招生几何试题及答案

自主招生几何试题及答案试题1：已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求∠C的度数。

答案1：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于180°。

因此，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。

试题2：若一个圆的半径为5cm，求该圆的周长。

答案2：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为圆的半径。

将半径r=5cm 代入公式得：C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm。

试题3：在直角三角形中，如果一条直角边长为3cm，另一条直角边长为4cm，求斜边的长度。

答案3：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

设斜边为c，则c = √(3² + 4²) = √(9 + 16)= √25 = 5cm。

试题4：已知一个等腰三角形的底边长为6cm，两腰长分别为5cm，求该三角形的面积。

答案4：首先，根据等腰三角形的性质，底边的中点到顶点的线段即为高。

设高为h，底边的一半为3cm。

根据勾股定理，h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4cm。

然后，根据三角形面积公式S = (底× 高) / 2，代入底边6cm和高4cm，得S = (6 × 4) / 2 = 12cm²。

试题5：如果一个正方形的对角线长为10cm，求正方形的边长。

答案5：设正方形的边长为a，根据勾股定理，对角线长度的平方等于边长的平方的两倍，即10² = 2 × a²。

解得a² = 50，所以a = √50 ≈ 7.07cm。

试题6：已知一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，求圆锥的体积。

答案6：圆锥体积的公式为V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h 为高。

2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义7 几何定理含答案

第七讲几何定理知识要点在几何证明中有很多定理十分的有趣，在介绍这些定理之前，先介绍一下正弦定理与余弦定理.正弦定理与余弦定理是揭示三角形中边角之间的数量关系的两个重要定理，而三角形是最基本、最重要的几何图形，所以它们是联系三角与几何的纽带.因此，正弦定理和余弦定理有着极广泛的应用，它们在代数方面主要用于解斜三角形、判定三角形形状等等；在几何方面主要用于计算、证明以及求解几何定值与几何最值等等.正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.这个表述等价于：在三角形中，各边之比等于它所对的角的正弦之比. 有sin sin sin a b c A B C ==，此式变形得::sin :sin :sin a b c A B C =. 余弦定理：在三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.这个表述等价于：任何一角的余弦等于它的两条夹边的平方和减去对边的平方的差除以夹边乘积的两倍所得的商.有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 变形得222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=. 以上的证明过程可以使用勾股定理来证明.例题精讲1. （梅氏定理）如图7-1，E 、M 分别为AB 、AC 上的任意一点，D 为EM 与BC 延长线的交点，求证：1AE BD CM EB DC MA⋅⋅=.2. （塞瓦定理）如图7-3，在ABC △中，AA '、BB '与CC '相交于点O .试证明：1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅='''.3. 32、x ，试求x 的取值范围.4. 证明：三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍.5. 证明：（斯德瓦尔特定理）如图7-5，ABC △中，D 是BC 上任意一点，则有222AB CD AC BD AD BC BD CD BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅.6. 证明斯坦纳（Steiner ）定理：若P 为ABC △内任意一点，作PD BC ⊥，交BC 于点D ，作PE CA ⊥于点E ，作PF AB ⊥于点F .则222222AF BD CE AE CD BF ++=++.7. 证明笛沙格定理：如图7-7，平面上有两个三角形ABC △、A B C '''△，设它们的对应顶点（A 和A '、B 和B '、C 和C '）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.8. 证明阿波罗尼斯圆：如图7-8，到两定点A 、B 的距离之比为定比:m n （值不为1）的点E ，位于将线段AB 分成:m n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上.9. 证明西姆松定理：（1）如图7-11，从ABC △外接圆上任一点P 向三边AB 、BC 、CA 所在直线引垂线，设垂足分别为点D 、E 、F ，则点D 、E 、F 共线.（2）由ABC △外一点P 向其三边AB 、BC 、CA 所在直线引垂线，垂足为点D 、E 、F .若点D 、E 、F 共线，则点P 必在ABC △的外接圆上.习题巩固10. 证明海伦公式：()()()S p p a p b p c =---，1()2p a b c =++，a 、b 、c 为三边长.11. 如图，AM 是ABC △的BC 边上的中线，求证：22222()AB AC AM BM +=+.12. 证明：若G 为ABC △的重心，P 为ABC △所在平面上任意一点.则222222222221333()PA PB PC GA GB GC PG a b c PG ++=+++=+++. 13. 证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.14. 求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.15. 如图，四边形ABCD 的对边AB 与CD 、AD 与BC 分别相交于点L 、K ，对角线AC与BD 交于点M ，直线KL 与BD 、AC 分别交于点F 、G .求证：KF KG LF LG=.16. 在ABC △中，已知::1:2:4A B C ∠∠∠=，求证：111AB AC BC +=. 17. 若a 、b 、x 、y 是实数，且221a b +=，221x y +=.求证：1ax by +≤.（请用几何方法）18. 如图，已知AD 、BE 、CF 是ABC △的三条高，点D 在直线AB 、BE 、CF 、CA 上的射影分别是点M 、N 、P 、Q .求证：M 、N 、P 、Q 四点共线.19. 已知四边形ABCD 是圆内接四边形，且D ∠是直角，若从B 作直线AC 、AD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，则直线EF 平分线段BD .自招链接20. （托勒密定理）已知，四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.21. 某人在学习了三角形面积的海伦公式（若一个三角形的三边长分别是a 、b 、c ，则它的面积()()()S p p a p b p c =---，其中2a b c p ++=）以后，（1）他试图用例子说明，存在着两个不全等，并且边长是正整数的等腰三角形，它们的周长相等，而且面积相等.为了方便，他设定两个等腰三角形的底边边长之比为2.请你按上述思路给出一组满足要求的例子.（2）两个等边三角形面积相等，它们一定全等；两个等腰直角三角形也是如此.除此之外，请你考虑，能否以两个三角形周长相等，面积相等为前提，再附加一个有关三角形形状特征的条件，从而推导出此时这两个三角形必定全等？参考答案1. 以下提供的是面积法证明梅氏定理（爱因斯坦称为优雅的证明，利用平行线的是丑陋的证明）.如图7-2，连结AD 、BM .ADE AME AMD BDE BME BMD S S S AE AE EB S S EB S ==⇒=△△△△△△，BMD CMD S BD DC S =△△，CMD AMDS CM MA S =△△. 故1CMD AMD BMD BMD CMD AMDS S S AE BD CM EB DC MA S S S ⋅⋅=⋅⋅=△△△△△△.2. 由OAB △和OCA △有公共底边OA ，而这两个三角形OA 上的高之比为:BA A C ''. 所以OAB OCA S BA A C S '='△△.同理，OBC OAB S CB B A S '='△△，OCA OBCS AC C B S '='△△. 三式相乘，化简得：1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅='''. 3. 若x 为最大边，设钝角为α，2223cos 0223x α+-=<⨯，又0x >，解得7x >. 又2323x -<<+，所以723x <<+.若2为最大边，2232cos 023x xα+-=<，又0x >，解得01x <<. 又因为2323x -<<+，得231x -<<.综上，723x <<+或231x -<<.4. 事实上，如图7-4，AD 、BE 、CF 分别为ABC △的三条高，D 、E 、F 分别为垂足，H 是垂心.O 是ABC △的外心，M 、N 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则OM 、ON 、OL 即为外心O 到三边的距离.取BH 的中点P ，连结PL 、PM ，则12PL AH =，12PL AH =，12PM HC ，12PM HC =. 而CM AD ，OL CF ，则PL MO ，PM LO ，即四边形PMOL 为平行四边形.（或连结PO ，有PLO OMP △≌△）有12OM LP AH ==， 12OL MP CH ==. 同理，12ON BH =.5. 如图7-6所示，过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ，则有222AB AE BE =+，222AC AE CE =+，222AD AE DE =+.故222AB CD AC BD AD BC ⋅+⋅-⋅222222()()()AE BE CD AE CE BD AE DE BC =+⋅++⋅-+⋅2222()AE CD BD BC BE CD CE BD DE BC =⋅+-+⋅+⋅-⋅222BE CD CE BD DE BC =⋅+⋅-⋅222()()BD DE CD CD DE BD DE BC =+⋅+-⋅-⋅22222(2)(2)BD DE BD DE CD CD DE CD DE BD DE BC =++⋅⋅++-⋅⋅-⋅ 2222BD CD CD BD DE BC DE BC =⋅+⋅+⋅-⋅22BD CD CD BD =⋅+⋅BD CD BC =⋅⋅.即222AB CD AC BD AD BC BD CD BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅.点评：由斯德瓦尔特定理可以得出很多有用的结论，比如上例，令本例中BD CD =，则很快得出上例的结论以及中线长的公式，一般地，只要ABC △的三条边已知，BC 上一点D 的位置已知，则AD 的长度便可直接求出来.另外，此结论用余弦定理证明也是很快的：在ABD △中，由余弦定理可知，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠. 在ACD △中，由余弦定理可知，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠. 故 222AB CD AC BD AD BC ⋅+⋅-⋅22222AD CD BD CD AD BD CD BD AD BC =⋅+⋅+⋅+⋅-⋅22AD BC BD CD BC AD BC =⋅+⋅⋅-⋅BD CD BC =⋅⋅.6. 222222222AF BD CE PA PF PB PD PC PE ++=-+-+-222222PA PE PC PD PB PF =-+-+-222AE CD BF =++. 7. 运用梅涅劳斯定理是证明三个没有直接联系的点共线的常用方法；假设：FA m FA ='，FB n FB ='，FC k FC ='. 因为直线AC 割三角形FA C ''，所以1CC FA A G CF AA GC ''⋅⋅=''，即111111A G k GCm ⎛⎫⎪'⎛⎫-⋅⋅= ⎪ ⎪'⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 所以 (1)(1)A G m k GC k m'-='-. 同理1CC FB B E CF BB EC''⋅⋅=''，可得到：(1)(1)B E n k EC k n '-='-. 同理可得到：(1)(1)B D n m DA m n'-='-. 所以 (1)(1)(1)1(1)(1)(1)A G C E B D m k k n n m GC EB DA k m n k m n'''---⋅⋅=⋅⋅='''---. 所以G 、E 、D 共线.证明逆定理可以使用同一法.8. 首先证明阿波罗尼斯定理的逆定理：将线段AB 分成:m n （值不为1）的内分点C和外分点D 为直径两端点的定圆周上任意一点到两定点A 、B 的距离之比为定比:m n .如图7-9，连结OE .不妨设m n >，设AB l =，则ml AC m n =+，nl BC m n =+，ml AD m n =-，nl BD m n=-. 所以圆的直径为222ml ml mnl AD AC m n m n m n -=-=-+-.圆的半径22mnl R m n =-， 2222AC AD m l AO m n +==-， 2222BD BC n l BO m n-==-，可得到()2222222m n l AO BO R m n ⋅==-.所以，对于上任意一点E 有BO AO m EO EO n==，EOA BOE ∠=∠，所以EOAC BOE △∽△，所以EB m AE n =. 阿波罗尼斯定理的逆定理证明成立后，反过来再证明原来的定理可以使用反证法. 设E 不在圆上并且:::AE BE m n AC BC ==.如图7-10，连结EC ，则EC 为三角形AEB 的角平分线，如果EC 或其延长线与圆有另一个交点E '，则根据已证明的逆定理:::AE BE m n AC BC ''==，所以E C '是三角形AE B '的角平分线，于是很容易证明AEE BEE ''△≌△，该结论与:m n 值不为1矛盾.如果EC 或其延长线与圆只有一个交点，则EC 与圆相切，于是容易证明AEC BEC △≌△，同样能得出矛盾.所以假设不成立.即满足:::AE BE m n AC BC ==的点只能在CD 为直径的圆上.另解：运用余弦定理可以直接得到原命题.已知：A 、B 、C 、D 共线，::::AE BE AC BC AD BD m n ===，O 为CD 中点，求证：12OE CD =. 2222222cos 2cos AO EO AO EO EO BO EO BO m n θθ+-⋅⋅∠+-⋅⋅∠=，其中EOA θ∠=∠.又因为2222AC AD m l AO m n +==-，2222BD BC n l BO m n -==-，所以22AO BO m n=. 所以 222cos 2cos AO EO EO BO m nθθ⋅⋅∠⋅⋅∠=.所以 222222AO EO EO BO m n ++=. 所以 2222212mnl EO CD m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 9. （1）如图7-12，连结DE 、EF 、PB 、PC .由PD AB ⊥，PE BC ⊥可知，D 、B 、P 、E 四点共圆，故BED BPD ∠=∠.由PF AC ⊥，PE BC ⊥可知，P 、E 、C 、F 四点共圆，故CEF CPF ∠=∠. 又PCF ABP ∠=∠，PD AB ⊥，PF AC ⊥可知，CPF BPD ∠=∠，故BED CEF ∠=∠，从而可知，点D 、E 、F 三点共线.（2）由PD AB ⊥，PE BC ⊥可知，D 、B 、P 、E 四点共圆，故BED BPD ∠=∠. 由PF AC ⊥，PE BC ⊥可知，P 、E 、C 、F 四点共圆，故CEF CPF ∠=∠.又BED CEF ∠=∠，故BPD CPF ∠=∠.又PD AB ⊥，PF AC ⊥，故PCF ABP ∠=∠，从而可知，A 、B 、P 、C 四点共圆，即点P 在ABC △的外接圆上.习题巩固10. 211sin 1cos 22S ab C ab C ==-在ABC △中，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，代入上式可得 ()()2222222222222241112424a b c a b a b c S ab ab a b a b +--+-=-=()()()2222222222224221616a b a b c ab a b c ab a b c -+-++---+==2222()()()()()()1616a b c c a b a b c a b c c a b c a b ⎡⎤⎡⎤+---+++-+--+⎣⎦⎣⎦==. 又1()2p a b c =++，故2222a b c p c p c +--==-，2222c a b p b p b +--==-，2222c a b p a p a -+-==-，故()()()S p p a p b p c =---11. 过点A 作BC 的垂线，垂足为点D .在Rt ABD △中，由勾股定理可知，222AB AD BD =+.同理，222AC AD CD =+，222AM AD DM =+.又BD BM DM =+，CD CM DM =-，BM CM =，故 222222AB AC AD BD CD +=++22222()()()AM DM BM DM CM DM =-+++-2222222()AM DM BM DM CM DM =-++++2222222()AM BM CM AM BM =++=+.备注：本题就是三角形的中线长公式，设a 、b 、c 为三角形的三边长，a m 、b m 、c m 分别为对应边上的中线，则有2221222a m b c a =+-2221222b mc a b =+-2221222c m a b c =+-. 本题只给出了一种情况，当ABC △中B ∠或者C ∠为直角或钝角时，同理可证. 另外，可用余弦定理证明该结论：在ABM △中，由余弦定理可知，2222cos AB AM BM AM BM AMB =+-⋅∠；在ACM △中，由余弦定理可知，222cos AC AM CM AM CM AMC =+-⋅∠. 两式相加即可得到结论.12. 设BC 的中点为M ，连结AM 、PM .设AM 的三等分点分别为点N 、G .则点G 为ABC△的重心.由中线公式有 22222()PB PC PM BM +=+， ①22222()PA PG PN NG +=+， ②22222()PM PN PG NG +=+. ③①+②并代入③得：22222223224PA PB PC PG BM NG NG ++=+++.又()()22222222GB GC GM BM NG BM +=+=+，224NG GA =，所以 22222223PA PB PC PG GA GB GC ++=+++. 又()()22222222441122229949GA AM b c a b c a ==⨯+-=+-，同理()22221229GB c a b =+-，()22221229GC a b c =+-. 将以上三式代入即得()2222222133PA PB PC a b c PG ++=+++.点评：该结论前一个等式称为卡诺定理，后一等式称为莱布尼兹公式.13. 要证明的结论是：222222AC BD AB BC CD DA +=+++.如图，过点A 、D 分别作BC 的垂线，垂足分别为点E 、F ，易证ABE DCF △≌△，故BE CF =，AE DF =.由勾股定理可知，222AC AE CE =+，222BD BF DF =+.故222222AC BD AE CE BF DF +=+++2222()()AE BC BE BC CF DF =+-+++222222AE BC BE CF DF =++++2222AB BC CD =++2222AB BC CD DA =+++.另解：在ABD △中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠. 在ACD △中，由余弦定理可知，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠.两式相加可得，2222222222AC BD AB AD AD CD AB BC CD DA +=+++=+++. 点评：如果设两对角线的交点为点O ，我们发现：在ABD △中，()22222AB AD OA OB +=+；在ACD △中，()22222AD CD OC OD +=+.故()()222222222222AB AD AD CD OC OD OA OB AC BD +++=+++=+，即()()222222222222AB BC CD DA OC OD OA OB AC BD +++=+++=+.也就是说，用中线长公式（或者斯德瓦尔特定理）也可很快证明.14. 根据题意作图，ABCD 为任意四边形，点E 、F 分别为BD 、AC 的中点.该图与我们前面讲过的中线长公式的图形是一致的，于是可得，22222()AB BC BF AF +=+，同理22222()AD CD DF CF +=+.两式相加可得， 2222AB BC AD CD +++22222()2()DF BF CF AF =+++2222()DF BF AC =++.在BDF △中，BE DE =，于是有2222221122222DF BF EF BD EF BD ⎛⎫+=+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故()222224DF BF EF BD +=+.从而可知，22222224AB BC AD CD AC BD EF +++=++，得证.点评：本结论也称为欧拉定理.15. 对DKL △与点B ，由塞瓦定理，得1DA KF LC AK FL CD⋅⋅=. 对DKL △与截线AGC ，由梅涅劳斯定理，得1DA KG LC AK GL CD⋅⋅=.由两式可得KF KG FL GL =. 16. 将结论变形为AC BC AB BC AB AC ⋅+⋅=⋅，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形.如图，作ABC △的外接圆，作弦BD BC =，连结AD 、CD .在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理，有AC BD BC AD AB CD ⋅+⋅=⋅. 易证AB AD =，CD AC =，所以AC BC BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅.两端同除以AB BC AC ⋅⋅，得111AB AC BC+=.17. 如图，作直径1AB =的圆，在AB 两边任作Rt ACB △和Rt ADB △，使AC a =，BC b =，BD x =，AD y =.由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的.据托勒密定理，有AC BD BC AD AB CD ⋅+⋅=⋅.因为1CD AB =≤，所以1ax by +≤.18. 运用西姆松定理解题最重要的是找对哪个点对于哪个三角形的西姆松线.点D 对于ABE △的西姆松线是MNQ ，点D 对于BFH △的西姆松线是MNP ，而M 、N 即可确定一条直线，故M 、N 、P 、Q 四点共线.19. 作BG DC ⊥交DC 的延长线于点G ，由西姆松定理有：F 、E 、G 共线，又因为90BFD FDG DGB ∠=∠=∠=︒，所以四边形BFDG 为矩形，所以对角线FG 平分另一条对角线BD .自招链接20. 由于待证结论实质上是一种比例线段的组合形式，一般是通过（或构造）相似三角形.为此，不妨把原式左端也化成线段两两乘积之和.证法1：几何方法.如图1，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠.因为34∠=∠，所以ACD BCP △∽△，从而有AC AD BC BP=，即 AC BP AD BC ⋅=⋅. ①又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，所以ACB DCP △∽△，从面有AB ACDP CD =，即AC DP AB CD ⋅=⋅.② ①+②，有 AC BP AC PD AD BC AB CD ⋅+⋅=⋅+⋅.即()AC BP PD AD BC AB CD ⋅+=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.证法2：代数证法.如图2，设AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，AC e =，BD f =.即证ac bd ef +=.在ABD △中，由余弦定理，有222cos 2a d f DAB ad +-∠=；在BCD △中，同理，有222cos 2b c f BCD bc +-∠=.因为180DAB BCD ∠+∠=︒，所以cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，即222222022a d f b c f ad bc +-+-+=.整理，得2()ab cdf ac bd ad bc +=⋅++；同理可得2()ad bce ac bd ab cd +=++.于是，22()()fe ac bd =+，故ef ac bd =+.即AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.21. （1）一组三角形边长为8、8、12；11、11、6.令两个三角形边长分别为(),,a b b 、()2a c c ,,，则有222a b a c +=+. 由海伦公式及两个三角形面积相等，有()()()(2)()()p p a p b p b p p a p c p c ---=--- 整理得()()2p b p a p c p a --=--不妨令()()42,2,p a p a p c p b -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩联立222a b a c +=+，解得11,64.3b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令6a =，则11,8.b c =⎧⎨=⎩ （2）附加条件：两三角形为直角三角形.不妨设两三角形边长分别为()111,,a b c 、()222a b c ,,，其中1c 、2c 为直角边，设内切圆半径为1r 、2r . 由周长相等、面积相等可得11221122rC r C =，可以推出12r r =，两三角形内切圆半径相等.由内切圆半径相等可得()()1112221122a b c a b c +-=+-，又由111222a b c a b c ++=++，可得112212,.a b a b c c +=+⎧⎨=⎩ 又由面积相等，可得11221122a b a b =，联立11221122,,a b a b a b a b +=+⎧⎨=⎩可得()()221122a b a b -=-.可以解得1212,,a a b b =⎧⎨=⎩或1212,.a b b a =⎧⎨=⎩综上，两三角形全等.。

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版含答案及解斩(共九大专题)

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。

1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。

解析几何考试真题及答案

解析几何考试真题及答案解析几何作为高中数学必修课程的一部分，是一门综合性较强的学科，也是学生评价高考成绩的重要因素。

为帮助学生提高解析几何的应试能力，以下将解析几何考试真题进行详细解析。

第一题：已知直线L与椭圆C相交于两个不同点A和B，直线L的斜率为k，且过椭圆C的中心。

求证：∠OAB=90°。

解析：这是一道典型的几何证明题。

首先，由于直线L过椭圆C的中心，所以O点是直线L的一个交点，也即O在直线L上。

而直线L 的斜率为k，说明其与x轴和y轴分别成k和1/k的倾斜角。

椭圆C的中心与x轴和y轴的交点分别记为A'和B'，则OA'与OB'互相垂直。

因此，要证明∠OAB=90°，只需证明斜率为k的直线与圆心O的连线与斜率为1/k的直线互相垂直即可。

而根据直线的斜率定义，斜率为k 的直线与圆心O的连线的斜率也为k，故这两条线互相垂直。

证毕。

第二题：已知平面上的正方形ABCD的边长为a，点E为BC的中点，F为CD上的一点，且垂直于CD。

证明：EF与AD垂直。

解析：这道题也是一道几何证明题，需要运用正方形的性质进行推理。

首先，连接EF和AD并延长至交点M处。

由正方形的定义可知，DE与BC互相平行且等长。

由于E为BC的中点，所以AE与ED互相垂直，并且AE的长度为BD的一半，即AE=a/2。

由于DF垂直于CD，所以角ADF为直角。

同理可得，角CFE也为直角。

因此，三角形ADF与三角形CFE都为直角三角形。

我们可以通过计算三角形ADF和三角形CFE的斜率来判断EF与AD是否垂直。

由于ADF为直角三角形，所以斜率AD=(-b/a)。

而CFE也为直角三角形，因此斜率EF=(a/(a/2))=-2。

由于AD与EF的斜率互为负倒数，即AD和EF互相垂直。

证毕。

第三题：已知曲线C的方程为y=x^2-2x+1。

求证：曲线C的对称轴为x=1。

解析：这是一道求解对称轴的几何题目。

解析几何试题及答案

解析几何试题及答案1、试题分析本文将为大家解析几个典型的解析几何试题，并给出详细的答案解析。

这些试题涵盖了解析几何的基本概念和常见解题方法，有助于提高解析几何的应用能力。

2、试题一已知平面直角坐标系中，直线L的方程为2x+3y=6，直线L与x轴、y轴分别交于点A、B。

求证：点A、B和原点O构成等边三角形。

解答：首先，求直线L与x轴的交点，令y=0，得到x=3。

所以，点A的坐标为(3,0)。

然后，求直线L与y轴的交点，令x=0，得到y=2。

所以，点B的坐标为(0,2)。

接着，计算OA的长度，用两点间距离公式可得：OA = √[(3-0)²+(0-0)²] = 3同理，计算OB的长度得到OB = √[(0-0)²+(2-0)²] = 2最后，计算AB的长度得到AB = √[(3-0)²+(2-0)²] = √13由于OA = OB = AB，所以点A、B和原点O构成等边三角形。

证毕。

3、试题二在平面直角坐标系中，一条直线L与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。

已知A点坐标为(3,0)，且直线L与另一条直线M：2x+y=6平行。

求直线L的方程。

解答：由题可知，直线L与x轴的交点为A(3,0)，与y轴的交点为B。

设直线L的斜率为k。

由于直线L与直线M平行，所以L的斜率与M的斜率相等。

而M的斜率为2，所以L的斜率也为2。

斜率为k的直线通过点A(3,0)，即可得到直线L的方程为y=k(x-3)。

至此，直线L的方程为y=2(x-3)，即L的方程为y=2x-6。

4、试题三已知直线L1过点A(1,2)，斜率为k。

直线L2过点B(-2,3)，斜率为-2。

若直线L1与L2相互垂直，求直线L1的方程。

解答：设直线L1的方程为y=kx+b，代入点A(1,2)的坐标可得2=k+b。

由于L1与L2相互垂直，所以L1的斜率与L2的斜率之积为-1。

即k*(-2)=-1，解得k=1/2。

2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何

解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。

历年自主招生试题分类汇编——解析几何

历年自主招生试题分类汇编——解析几何题5（•北约）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

解： AB 所在的直线方程为20x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1r =C 到直线ABC 上的点到直线AB 1-，∴min1132ABCS ∆⎫=⋅=-⎪⎭评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到简化，以考查学生思维的灵活性。

2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求.6. （•北约）1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由. 【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.(2)若12r r ≠①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点;⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述.3．（2010年北约）AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；①BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 5. （•华约）已知椭圆22221x y a b +=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==, 于是331||||2|sin 2|EOFE F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 3. （•华约）点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x p -=,即1y x p p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. （6）（•华约）椭圆长轴长为4，左顶点在圆()22(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（）(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解：设左顶点为[)42cos ,0,212sin x tt y t π=+⎧∈⎨=+⎩，则对称中心为()62cos ,12sin t t ++，令62cos ,12sin u x tv y t=--⎧⎨=--⎩则在uv 坐标系中，其左准线为62cos u t =--，因此2411162c o s ,3c o s 42a c t e c c a t ⎡⎤-=-=--⇒==∈⎢⎥+⎣⎦.选B. （12）（•华约）已知两点()()2,0,2,0A B-，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22P A P B P H ⋅=① 求动点P 的轨迹C 的方程② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析(打包9套真题试卷解析)-5751

《高校自主招生》高考数学真题专题试卷分类解析打包9套下载，含答案！目录2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理专题之1、不等式一、选择题。

1．(2009年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定2．(2010年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-3．(2010年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.5．(2011年复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( ) A.a<12 B.a<7 C.a<5 D.a<26．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2二、填空题。

2022年高考数学真题：解析几何(解析版)

第7讲解析几何一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ，则C 的离心率为（）AB ．32C ．132D ．172【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF ，21F F N ，即可求出sin ，sin ，cos ，在21F F N 中由12sin sin F F N 求出12sin F F N ，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a ，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ，因为123cos 05F NF，所以N 在双曲线的右支，所以OG a ，1OF c ，1GF b ，设12F NF ，21F F N ，由123cos 5F NF，即3cos 5 ，则4sin 5=，sin a c ，cos b c ，在21F F N 中，12sin sin sin F F N 4334sin cos cos sin 555b a a bc c c，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N ，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c，2555sin 222c c a a NF c 又12345422222a b a b aNF NF a，所以23b a ，即32b a ，所以双曲线的离心率132c e a故选：C2．（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）AB ．22C ．12D ．13【答案】A 【解析】【分析】设 11,P x y ，则 11,Q x y ，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a ，再根据2211221x y a b，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解： ,0A a ，设 11,P x y ，则 11,Q x y ，则1111,AP AQ y y k k x a x a，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ，又2211221x y a b ，则2221212b a x y a，所以2221222114b a x a x a ，即2214b a ，所以椭圆C的离心率c e a 故选：A.3．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x 的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF ，则AB （）A ．2B．C ．3D．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得， 1,0F ，则2AF BF ，即点A 到准线1x 的距离为2，所以点A 的横坐标为121 ，不妨设点A 在x 轴上方，代入得， 1,2A ，所以AB .故选：B4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA，则C 的方程为（）A ．2211816x y B ．22198x y +=C ．22132x y D ．2212x y 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率及12=1BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率13c e a ，解得2289b a ，2289 b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则 12,0,,0A a A a ，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,) BA a b BA a b ，因为121BA BA所以221 a b ，将2289b a 代入，解得229,8a b ，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.二、多选题5．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM ，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF C ．||4||AB OF D ．180OAM OBM【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM 及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB即可判断C 选项；由0OA OB ，0MA MB 求得AOB ，AMB 为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM 可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp ，代入抛物线可得2233242p y p p ，则36(,)42p p A ，则直线AB的斜率为2342p p A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y，联立抛物线方程得220y py p ，设11(,)B x y1p y p，则1y，代入抛物线得2123p x，解得13p x，则6(,)33p B ，则32p OB OF ，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF，C 正确；对于D，2333(,)(,)0423343234p p p p p OA OB，则AOB 为钝角，又2225((,)043436p p p p p MA MB，则AMB 为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ，则180OAM OBM ，D 正确.故选：ACD.6．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p 上，过点(0,1)B 的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1yB ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA D ．2||||||BP BQ BA 【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p ，所以抛物线方程为2x y ，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)210AB k，所以直线AB 的方程为21y x ，联立221y x x y，可得2210x x ，解得1x ，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx ，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y，得210x kx ，所以21212Δ401k x x k x x，所以2k 或2k ，21212()1y y x x ，又||OP，||OQ所以2||||||2||OP OQ k OA ，故C 正确；因为1|||BP x，2||||BQ x ，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ，而2||5BA ，故D 正确.故选：BCD 三、填空题7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE ，则ADE的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c ，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c，整理化简得到：221390y c ，利用弦长公式求得138c，得1324a c ，根据对称性将ADE 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a .【详解】∵椭圆的离心率为12c e a，∴2a c ，∴22223b a c c ，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ，，，∴23AF O，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c ，整理化简得到：221390y c ，判别式22224139616c c ，∴12226461313cCD y，∴138c，得1324a c ，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ，，∴ADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a .故答案为：13.8．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a ，若直线AB 关于y a 对称的直线与圆22(3)(2)1x y 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32【解析】【分析】首先求出点A 关于y a 对称点A 的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解： 2,3A 关于y a 对称的点的坐标为 2,23A a ， 0,B a 在直线y a 上，所以A B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a，即 3220a x y a ；圆 22:321C x y ，圆心 3,2C ，半径1r ，依题意圆心到直线l 的距离1d，即 2225532a a ，解得1332a ，即13,32a；故答案为：13,329．（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y 在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MNl 的方程为___________．【答案】0x 【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设 11,A x y ， 22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB ，所以ME NE ，设 11,A x y ， 22,B x y ，则2211163x y ，2222631x y ，所以2222121206633x x y y ，即 12121212063x x x x y y y y 所以1212121212y y y y x x x x ，即12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，令0x 得y m ，令0y 得m x k，即,0m M k ， 0,N m ，所以,22m m E k，即1222mk m k，解得k 22k （舍去），又MNMN 2m 或2m （舍去），所以直线2:22AB y x，即0x；故答案为：0x 10．（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y 和22(3)(4)16x y 都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x 或7252424y x 或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y 的圆心为 0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y 的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k ，所以34l k ，设方程为3(0)4y x t t O 到l的距离1d，解得54t，所以l 的方程为3544y x ，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ，其中0p ，0k ，由题意14，解得7242524k p，7252424y x 当切线为n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544y x 或7252424y x 或1x.11．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m的渐近线与圆22430x y y 相切，则m _________．【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线 22210x y m m的渐近线为y x m ，即0x my ，不妨取0x my ，圆22430x y y ，即 2221x y ，所以圆心为 0,2，半径1r ，依题意圆心 0,2到渐近线0x my 的距离1d ，解得3m或33m （舍去）．12．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x 与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e 【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线by x a 中02b a即可求得满足要求的e 值.【详解】解：2222:1(0,0)x y C a b a b ，所以C 的渐近线方程为b y x a,结合渐近线的特点，只需02b a ，即224b a，可满足条件“直线2y x 与C 无公共点”所以 c e a又因为1e ，所以1e故答案为：2（满足1e 13．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y 上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【答案】22(1)(1)5x y 【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y 上，∴设点M 为(,12) a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415 a a a a a ，解得1a ，∴(1,1)M，R M 的方程为22(1)(1)5x y .故答案为：22(1)(1)5x y 14．（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ，若过 0,0， 4,0， 1,1 ，则01640110F D F D E F ，解得046F D E，所以圆的方程为22460x y x y ，即 222313x y ；若过 0,0， 4,0， 4,2，则01640164420F D F D E F ，解得042F D E，所以圆的方程为22420x y x y ，即 22215x y ；若过 0,0， 4,2， 1,1 ，则0110164420F D E F D E F ，解得083143F D E，所以圆的方程为22814033x y x y ，即224765339x y；若过 1,1 ， 4,0， 4,2，则1101640164420D E F D F D E F ，解得1651652F D E，所以圆的方程为2216162055x y x y ，即 2281691525x y；故答案为： 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；四、解答题15．（2022·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y ．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点 1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y ．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x (2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k ；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y，由②//PQ AB 等价转化为003ky x ，由①M 在直线AB 上等价于 2002ky k x ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c ,∵渐近线方程为y，∴bab ，∴222244c a b a ，∴1a，∴b ．∴C 的方程为：2213y x ；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x ，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为 2y k x ,则条件①M 在AB 上，等价于 2000022y k x ky k x ；两渐近线的方程合并为2230x y ,联立消去y 并化简整理得： 22223440k x k x k 设 3334,,,A x y B x y ,线段中点为 ,N N N x y ,则 2342226,2233N N N x x k kx y k x k k ,设 00,M x y ,则条件③AM BM 等价于 222203030404x x y y x x y y ,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220x x x x x y y y y y ，3403403434220y y x x x y y y x x ,即 000N N x x k y y ,即200283k x ky k ；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由10102020,y y x x y y x x ,∴ 121202y y x x x ,所以直线PQ的斜率 1201212122x x x y y m x x x x,直线 00:PM y x x y ,即00y y ,代入双曲线的方程22330x y ,即3yy 中，得：00003y y ,解得P的横坐标：100x y x,同理：200x y x，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x∴03x m y,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于 2002ky k x ；条件②//PQ AB 等价于003ky x ；条件③AM BM 等价于200283k x ky k ；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k ,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴003ky x ，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴02623x k ，∴ 2002ky k x ，∴①成立.16．（2022·全国·高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ，求PAQ △的面积．【答案】(1)1 ；(2)1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k ，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ 即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，所以224111a a ，解得22a ，即双曲线22:12x C y 易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ， 1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx mx y 可得， 222124220k x mkx m ，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ，22222216422210120m k m k m k ．所以由0AP BP k k 可得，212111022y y x x ，即 122121210x kx m x kx m ，即 1212212410kx x m k x x m ，所以 2222242124102121m mk k m k m k k，化简得， 2844410k k m k ，即 1210k k m ，所以1k 或12m k ，当12m k 时，直线 :21l y kx m k x 过点 2,1A ，与题意不符，舍去，故1k ．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为 , ，因为0AP BP k k ，所以π ，因为tan PAQtantan 2 ，2tan 0，解得tan ，于是，直线 :21PA y x，直线 :21PB y x ，联立 222112y x x y可得，23211002x x ，因为方程有一个根为2，所以103P x ，P y53，同理可得，10423Q x，Q y 4253．所以5:03PQ x y ，163PQ，点A 到直线PQ的距离223d，故PAQ △的面积为1162317．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点 ,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF ．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为, ．当取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)24y x ；(2):4AB x .【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMF p，即可得解；（2）设点的坐标及直线:1MN x my ，由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k ，再由差角的正切公式及基本不等式可得22AB k，设直线:AB x n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为2px ，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p，所以2p ，所以抛物线C 的方程为24y x ；(2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y，直线:1MN x my ，由214x my y x可得2440y my ，120,4y y ，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y，34223434444AB y y k y y y y ，直线112:2x MD x y y，代入抛物线方程可得 1214280x y y y ，130,8y y ，所以322y y ，同理可得412y y ，所以 34124422MNAB k k y y y y又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为, ，所以tan tan 22MN AB k k，若要使最大，则0,2，设220MN AB k k k ，则2tan tan 12tan 11tan tan 1242k k k k，当且仅当12k k即2k 时，等号成立，所以当最大时，22AB k，设直线:AB x n ，代入抛物线方程可得240y n ，34120,4416y y n y y ，所以4n ，所以直线:4AB x .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.18．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 30,2,,12A B两点．(1)求E 的方程；(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x (2)(0,2) 【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny ，过 30,2,,12A B，则41914n m n ，解得13m ，14n ，所以椭圆E 的方程为：22143y x .(2)3(0,2),(,1)2A B ，所以2:23AB y x ，①若过点(1,2)P 的直线斜率不存在，直线1x .代入22134x y，可得(1,3M，(1,N ，代入AB 方程223y x，可得3,)3T ，由MT TH得到H .求得HN方程：(22y x ，过点(0,2) .②若过点(1,2)P 的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y .联立22(2)0,134kx y k x y得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k ，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k ，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k，且1221224(*)34kx y x y k联立1,223y y y x可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x，将(0,2) ，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y ，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2). 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

解析几何考试真题答案高中

解析几何考试真题答案高中高中数学作为学生们必修的科目之一，在考试过程中解析几何题目是难点之一。

解析几何以坐标系的建立、向量的运算和等式的应用为基础，通过使用几何的方法解决代数问题。

在解析几何考试中，理解题目、运用公式和推理能力是取得高分的重要因素。

本文将会对几个高中解析几何真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解该知识点。

首先，我们来看一道典型的解析几何题目：【题目】已知直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，点A(-4,5)到直线l的距离为d，点B在直线l上，且AB的长度为2。

请问点B的坐标是多少？【解析】首先，我们需要理解题目中的基本知识。

题目告诉我们直线l的方程是x + 2y - 3 = 0，这是一个一次函数的方程形式。

我们可以通过这个方程找到直线l的斜率和截距。

斜率可以通过直线的一般形式方程x + 2y - 3 = 0来确定，这里x的系数为1，y的系数为2，所以斜率k = -1/2。

截距可以通过求这个函数在y轴上的截距得到，将x = 0代入方程l，得到y = 3/2，所以截距b = 3/2。

然后，我们需要利用已知条件来确定点B的坐标。

题目给出了点A(-4,5)到直线l的距离为d，我们可以利用向量的性质来解决这道题。

点A到直线l的距离可以看作是从点A到直线l的垂直距离。

通过直线l的一般方程我们可以得到直线的法向量n = (1,2)。

点P在直线l上，所以点P的坐标为(x, y)，我们可以得到向量AP =(x + 4,y - 5)。

由向量的垂直性质，AP与直线l的法向量n垂直，所以两个向量的点积为0。

(x + 4, y - 5) · (1, 2) = 0化简得到：x + 4 + 2(y - 5) = 0化简得到：x + 2y - 14 = 0这个方程和已知的直线方程l类似，我们可以得到点P的坐标为(-14, 7)。

接下来，我们需要利用已知条件来确定AB的长度为2。

根据两点之间的距离公式，我们可以计算点A和点B之间的距离。