第3章 证券的收益与风险

不同的时期投资的收益率不同，需要将每年的投资收益率 进行平均或者加总，以便衡量整个投资期间的投资表现 算术平均法： 将各期收益率的简单算术平均值作为整个投资期的投资收 益率，具体计算公式：
HPR HPRi / n
i 1
n

几何平均法 算术平均法得到的平均收益率只是投资者真实收益率的一 个近视值，几何平均法更为准确：
投资组合的期望收益=60%*17.5%+40%*5.5%=12.7% 组合的协方差[Cov(RA,RB) ] =[(-20%-17.5%) (5%5.5%)+ (10%-17.5%) (20%-5.5%)+ (30%-17.5%) (12%-5.5%)+ (50%-17.5%) (9%-5.5%)]/4=-0.4875% 组合的方差(Var)=
u ' ( w)


三、风险规避的比较

利用风险溢价指标，考察同一投资者对同一风险水平的规避程度：

我们可以通过比较e1f1和e2f2的长度，来比较投资者在面临这两 个风险时的风险规避程度。

利用风险溢价指标，考察不同投资者面临相同风险时的风险溢价 程度：

我们可以通过比较e1d1和e2d2的长度，来比较投资者在面临这两 个风险时的风险规避程度。

DOL = 税息前收益变化百分比/销售收入百分比

流动性风险（Liquidity Risk）：金融资产的重要特征 违约风险（Default Risk）：信用风向（Credit Risk）
二、不同资产风险的比较

我们说资产y的风险比z大，如果存在一个随机变量ε满足
y E( y) dwk.baidu.com E( z) , 且E( z) E( ) 0
E ( HPR) Pj * HPR j , 且 Pj 1
j 1 j 1
n
n
第二节 风险的度量
一、风险的定义

从某种程度上讲，我们可以将风险视为结果的不确定性。 在投资过程中，投资者可能遭遇的风险来自： 企业的经营风险（Business Risk）：经营杠杆（Degree of Operation Leverage）
u '' ( w) 1 u w In w，其中w 0, A w ' u ( w) w

此时，当财富数量增加时，风险规避系数是降低的。 以指数函数为例，假设效用是财富水平的指数函数，则相应的 风险规避系数为： u '' (w) Aw u w e ，其中A 0, A w ' A u ( w) 这个时候财富水平的变化不会影响投资者风险规避程度。绝对 风险规避系数是一个成熟。我们称这种效用函数为常数绝对风 险规避（Constant Absolute Risk Aversion，CARA）函数。


三、风险的度量


传统的风险度量方法：
范围法（Range）：随机变量的最大、最小值的距离 标准差法（Standard Deviation）：随机变量的方差或者标 准差来度量风险

2 Pj *( HPR j HPR)
j 1
n
2

变异系数（Coefficient of Variance）：考虑了投资者在风 险和收益之间的替代关系，但是这种替代干系是线性的
E u(w g ) u(w)

显然，当 g 的取值非常微小的时候（对应着小风险水平的赌 博），二者是近似相等的。
例：A，B两种股票投资组合，总投资额为 10000元，A种股票的权重为60%，B种股票的 权重为40% 。 A公司股票分别在萧条、衰退、 正常、繁荣情况下的收益率分别为-20%、 10%、30%、50%； B公司股票分别在萧条、 衰退、正常、繁荣情况下的收益率分别为5%、 20%、-12%、9%。求两种股票投资组合的期 望收益、协方差、方差和标准差。
HPR (1 HPRi ) i 1
n
1/ n
1
三、投资组合的收益率

多个资产组成的投资组合的投资收益率
Rp W1R1 W2 R2 ... Wn Rn , 其中Wi 1
i 1
n
四、期望收益率

持有收益率：从事后角度，或者当投资者收益存在不确定性 的时候计算出的投资收益率 期望收益率：从事前角度，对未来不确定的投资收益进行衡 量，进而为投资决策提供依据


以二次函数为例，假设效用是财富水平的二次函数，则容易计 算得到风险规避系数为： u '' (w) 2c 2 u w a bw cw ，其中b 0, c 0, A w ' u (w) b 2cw 此时，当财富数量增加时，风险规避系数也是增加的。 以对数函数为例，假设效用是财富水平的对数函数，则相应的 风险规避系数为：
A w
u ' ( w)


我们将该数值的倒数称为风险容忍（Risk Tolerance）系数： 1 u ' ( w) T w '' A w u (w) 从风险规避系数的表达式可以可出，投资者风险规避程度是其 财务数量的函数。随着投资者财富的增加，风险规避程度的变 化取决于投资者效用函数的具体形式。
2 i 1 j
N
N
p2
11 12 21 22 ' wVw ( w1 , w2 ,..., wN ) ... ... N1 N 2
... 1N w1 ... 2 N w2 ... ... ... ... NN wN
1 wu '' ( w) E u ( w gw) u ( w R w), 进而有 R ' Var g 2 u ( w)
R w w * A w

参与者的相对风险规避系数（Relative Risk Aversion)为 wu '' ( w) 容易得到： R w R w w* A w
经济状况 萧条 衰退 正常 繁荣
A 公司的收益率 -20% 10% 30% 50%
B公司收益率 5% 20% -12% 9%
A期望收益=(-20%+10%+30%+50%)/4=17.5% B期望收益=(5%+20%-12%+9%)/4=5.5% A的方差(Var)=[(-20%-17.5%)2+ (10%-17.5%)2+ (30%-17.5%)2 +(50%-17.5%)2]/4=6.6875% B的方差(Var)= [(5%-5.5%)2+ (20%-5.5%)2+ (-12%-5.5%) 2+(9%-5.5%)2]/4=1.3225%


风险溢价
一个投资者参与一个公平赌博 g所要求的风险溢价水平 ，可 以定义为：
E u(w g) u(w )


等式表明，风险溢价 就是投资者为了避免参与某一公平赌博 所愿意放弃的财富值，其中， 被称为风险赌博的确定性等价 （Certainty Equivalence） 需要补充一点的是，上面把风险溢价定义为投资者为避免参与 某一公平赌博所愿意放弃的财富值。我们也可以从另外一个角 度将风险溢价定义成为了让投资者参与某一公平赌博而给他的 最小的财富补偿，即：

定理：给定投资者的效用函数u1(w)和u2(w)为两个 递增、且二阶可微，下列命题之间是等价的：
1、
2、

A 1 w A 2 w , w;
X 2 X X X
2 2 2 A A A B AB A B B
2
B
=60%*60%*6.6875%+2*60%*40%* (-0.4875%)+40%*40%*1.3225%=2.3851%
组合的标准差=
2.3851%
=15.44%

对风险溢价第一个定义式在w点进行Taylor展开 1 E u ( w g ) u (w) u ' (w) E g u '' (w) E g 2 0 g 2 2 u w u ' (w) 0 u w
第三节 风险态度极其度量
一、投资者的风险态度与效用函数

“公平赌博（Fair Game）”的概念：记 则根据参与者效用函数的不同分为三类：
g
为一个公平赌博
风险规避，若E u w g E u w , E g 0 风险中性，若E u w g =E u w , E g 0 u w g ＞E u w , E g 0 风险喜好，若E
第3章 证券的收益与风险
第一节 收益的度量
一、持有期收益率

证券投资收益来源于两部分 证券价格变化带来的收益 持有证券而获得的现金支付

持有期收益率（Holding Period Return, HPR）
HPR

(P t P 0 ) Dt P 0
一般来讲，HPR是指年收益率
二、多期收益率的衡量
CV

HPR
四、资产组合的风险

假设某一资产组合P中包含Ｎ个资产： 整个资产组合的收益率为
rP w1r1 w2 r2 ... wN rN wi ri , E (rp ) wi E (ri )
i 1 i 1
N
N

资产组合的方差为：

2 p
E rp E (rp ) wi w j ij


相对风险规避系数（Relative Risk Aversion） 绝对风险规避系数：没有考虑财富水平的变化相对于投资者总 财富水平的大小 相对风险规避系数衡量了投资者对总财富某一比例变化的规避 程度。 假定参与者在赌博中的盈亏数量是其总财富的某一比例，参与 者的风险溢价水平也是定义在总财富的基础上，数值等于，此 时我们有：
更进一步，如果ε是一个非零的随机变量，那么我们就称y 的风险严格比z大。 区别几个概念: “同分布”或者“分布相等”（Equality in Distribution） 与“相等”（Equality） “均值独立”、“无关性”（Uncorrelatedness）和“独 立性”（Independence)
'' 1 u ( w) 比例系数，也即 2 u ' ( w)

1 u '' ( w) ' 注意到，该比例系数 2 u ( w) 取决于投资者的效用函数形式，

或者说取决于投资者对待风险的态度。 u ' (w) 0, u '' (w) 0 因此该比例系数是正的。说明，风险水 由于， 平越高，风险溢价程度就越大，而比例系数反映出投资者的风 险规避程度。我们将该比例系数成为绝对风险规避（Absolute Risk Aversion）系数： u '' ( w)
当取值范围非常小时，高阶无穷小也是非常微小的量。进而， 我们可以得到：
'' 1 u '' ( w) 1 u ( w) 2 2 E g Var g ' ' 2 u ( w) 2 u ( w)



从上式可以看出，小风险的风险溢价程度与两个因素有关： 风险水平，也即 Var g 2

投资者的风险态度与效用函数的形状是有关系的：定理3.1当 且仅当u()是严格凹函数时，参与者是严格风险规避的。
二、风险规避的度量

对于绝大多是投资者，或者在绝大多数情况下，风险带给投资者 的效用都是负的。因此，一般情况下，我们都假定投资者是风险 规避的。

我们可以用两个效用的差值U2-U1，也即风险给投资者带来的效 用损失，来衡量投资者者对这一风险的规避程度。 我们也可以用不同风险水平下，得到同样效用水平的期望收益之 差a3-a2来衡量为了获取确定性的收益而愿意放弃的风险收益水 平，这一指标又称为风险溢价（Risk Premium）