概率论与数理统计复习提纲
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
《概率论与数理统计》复习提纲
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
概率论与数理统计要点复习
概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1ni i A=）．(4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,n A A A 同时发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容．(6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则 （1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立； (ii) 事件A 与B 相互独立； (iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？ ３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3． 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望 方差0—1分布 两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ 几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp12p q均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ121λ 正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ； ()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计复习提纲
概率论与数理统计复习提纲一、 随机事件基本概念 1. 样本空间 2. 随机事件3. 样本空间S 是必然事件；Φ是不可能事件。
4. 随机事件的运算性质 二、 概率的定义及其运算 1. 概率的定义 2. 概率的性质3. 古典概率：1()({})lki l k A P A P e n S ====∑所包含的基本事件数中基本事件的总数4. 条件概率：()(),()0()P AB P A P A P A =>其中。
5. 事件的独立性：(1) 称A,B 两个事件相互独立，如果满足：()()()P AB P A P B = (2)称A,B,C 三个事件相互独立，如果满足()()()P A BP A P B = ()()()P AC P A P C = ()()()P BC P B P C = ()()()()P ABC P A P B P C =若满足前三个条件,则称A 、B 、C 两两独立。
6. 三个重要公式： (1) 乘法公式：(a) 设()0P A >，则有 ()(|)()P AB P B A P A =(b) 设()0P AB >，则有()(|)(|)()P ABC P C AB P B A P A = (c) 设121()0n P A A A ->，则有12121()(|)(nn nnP A AAP AA ---=(2)全概率公式 ：设12,,,n B B B 为S 的一个划分，1122()(|)()(|)()(|)()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++，其中()0(1,2,,)i P B i n >= 。
(3)设随机试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，12,,,n B B B 为S 的一个划分，()0P A >，()0(1,2,,)i P B i n >=，则有1(|)()(|)(|)()i i i nkkk P A B P B P B A P A B P B ==∑第二章 随机变量及其分布 一、基本概念1.随机变量 ():,()X X e e S X e R =∀∈∃∈实数 。
概率论与数理统计期末复习提纲
推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章 一维随机变量及其分布
一维随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数 连续性随机变量 随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可 能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ， 解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,
0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2
概率论与数理统计复习提纲
概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计总复习第⼀讲随机事件及其概率⼀随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 2.事件关系,运算和运算律⑴事件的关系和运算⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: B A B A ?=?,B A B A ?=?；⼆概率的定义和性质 1.公理化定义(P7)2.概率的性质(P8.五个) ⑴)(1)(A P A P -=；⑵)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；3.古典概型和⼏何概型4.条件概率 )()()|(A P AB P A B P =三常⽤的计算概率的公式1.乘法公式 )()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==2.全概率公式和贝叶斯公式(P17-20.) 四事件的独⽴性1.定义:A 和B 相互独⽴ )()(B P A B P =或)()()(B P A P AB P ?=，2.贝努利试验在n 重贝努利试验中，事件=k A {A 恰好发⽣k 次})0(n k ≤≤的概率为：k n nk n k p p C A P --=)1()(第⼆讲随机变量及其概率分布⼀随机变量及其分布函数1.随机变量及其分布函数 )()(x X P x F ≤=)(+∞<<-∞x2.分布函数的性质(P35.四个)⑴0)(lim =-∞→x F x ；1)(lim =+∞→x F x ；(常⽤来确定分布函数中的未知参数)⑵)()()(a F b F b X a P -=≤<(常⽤来求概率) ⼆离散型随机变量及其分布律1.分布律2.常⽤的离散型分布三连续型随机变量 1.密度函数 ?∞-=xdt t f x F )()(2.密度函数的性质(P39.七个) ⑴1)(=?+∞∞-dx x f ；（常⽤来确定密度函数中的参数）⑵?=≤adx x f b X a P )()(；（计算概率的重要公式）⑶对R x ∈?，有0)(==c X P (换⾔之,概率为0的事件不⼀定是不可能事件). 3.常⽤连续型分布重点:正态分布:)0,(21)(22)(>=--σσµσπσµ都是常数，x ex f标准正态分布)1,0(N :2221)(x ex -=π四随机变量函数的分布1.离散情形设X 的分布律为则)(X g Y =的分布律为2.连续情形设X 的密度函数为)(x f X ,若求)(X g Y =的密度函数,先求Y 的分布函数,再通过对其求导,得到Y 的密度函数。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习大纲
概率论与数理统计期末复习大纲第一章：掌握事件间的关系与运算、概率的公理化定义；掌握概率的性质及其计算；掌握条件概率的公式、乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性的概念、会用事件的独立性计算概率练习1-2：4，5练习1-3：6，14练习1-4：4，9，10练习1-5：8，9第二章：2.1节：掌握本节的定理例题结论；练习2-1：5，6，8，122.2节：掌握本节的定理例题结论；练习2-2：12.3节：掌握常用的离散型分布的密度函数，数学期望、方差及相关性质（重点：两点分布二项分布与泊松分布练习2-3：62.4节：掌握常用的连续型分布的密度函数，数学期望、方差及相关性质（尤其是正态分布）；练习2-4：1，练习2-5：2，3，4，5第三章：3.1节：掌握本节的定理例题结论；练习3-15，6，73.2节：条件概率密度的计算不考，但要掌握公式，此外本节的定理例题结论要掌握；练习3-2：1，5，6，13，153.3节：掌握离散型随机向量函数的分布，随机向量函数的数学期望，及数学期望的性质；练习3-3：8，3.4节：掌握协方差相关系数的概念及性质；练习3-4：1，4，5第四章：练习4-1：4，5，64.3节：掌握2χ分布F分布t分布的构成及性质；练习4-3：5，84.4节：掌握定理4.1和4.2的结论第五章：5.1节：掌握关于无偏性、有效性的定义和例题；练习5-1：15.2节：会求最大似然估计、矩估计；练习5-2：25.3节：掌握置信区间公式；练习5-3：2，3，μ的假设检验；练习5-5：65.5节：单正态分布的关于）),σ（=2≤，（=≥，。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
非常全面的概率论与数理统计复习材料
为 21 的倍数的概率 p2;
解：p1=错误!=错误!, p2= 错误!= 错误!
前提是如果在某一区域任取一 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率;
点,而所取的点落在中任意两 解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S={x,y|0xa,0ya,0a-x-ya};
A、A=
B、AB= C、A错误!=
D、B=错误!
运 A1,A2,…,An 构成的一个完备事件组或分斥指 A1,A2,…,An 两两互不相容,且错误!Ai=
算
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运
结合律 A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C 算
分配律 A∪B∩C=AC∪BC A∩B∪C=A∪C∩B∪C 法
题 例 3 某物品成箱出售,每箱 20 件,假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为和,一顾客在购买时,他可以开箱,从箱中任取
三件检查,当这三件都是合格品时,顾客才买下该箱物品,否则退货;试求：1 顾客买下该箱的概率 ；
2 顾客买下该箱物品,问该箱确无次品的概率 ;
解:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品,事件 B—买下该箱;由已知 PA0=, PA1=,
必然事件---每次试验中必定发生的事件; 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件;
事 包含 AB 件 相等 A=B 之 对立事件,也称 A 的逆事件 间 互斥事件 AB=也称不相容事件 的 A,B 相互独立 PAB=PAPB 关
例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于 D A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、A∪B＝Ω D、A,B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 PA=0,B 为任一事件,则 C A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
苏州大学《概率论与数理统计》期末复习提纲
概率论与数理统计复习提纲Ch1一、事件的关系及运算利用事件的交，并，补的关系来表示事件二、古典概型求概率三、加法法则与乘法法则)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃若A 与B 互不相容，则P (A +B )=P (A )+P (B )若A 与B 相互独立，则)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=⋃)()()(AB P A P B A P -=也是常用式子；)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==四、事件的独立性对事件A 与B,若)()()(B P A P AB P =或 ()()()()P A B P A P B A P B == 则称A 与B 相互独立。
若A 与B 相互独立，则,A B A B A B 与与，与也相互独立。
五、全概率公式和贝叶斯公式∑=ii i A B P A P B P )|()()(——全概率公式 及,...)2,1(,)|()()|()()|(==∑m A B P A P A B P A P B A P ii i m m m ——贝叶斯公式（逆概公式） 其中, 最常用的是：任给事件A ，B 有)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=Ch2（一维随机变量）一、离散型随机变量的分布律P (X = x k ) = p k (k =1,2,…)① 性质：1=∑kk p （注：由此可确定分布律中的未知常数）② 如何求分布律：先确定r.v.的可能取值，再求取相应值的概率值； ③ 根据分布律求分布函数及离散型r.v.落在某个区间的概率；二、连续型随机变量的概率密度函数)(x f①性质：1)(=⎰+∞∞-dx x f （注：由此可确定密度函数中的未知常数）②由)(x f 求分布函数：⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(（要注意对x 的分段讨论）③由)(x f 求连续型r.v.落在某个区间的概率：⎰=<<badx x f b X a P )()(；（注： 连续型r.v.取任一常值的概率等于0，即0)(==x X P ）三、分布函数)(x F①分布函数的性质：1)(0≤≤x F ，0)(=-∞F ，1)(=+∞F ，（右）连续，单调不减（注：由此可确定分布函数中的未知常数）②分布函数与分布律、概率密度的关系：相互求解（注：)()(x f x F ='）； ③由)(x F 求r.v.落在某个区间的概率：)()()(a F b F b X a P -=≤<。
概率论数理统计复习提纲(2021)
例 3：设 P ( A) = 0.5 ; P(AB) = 0.3 ; P( A B) = 0.2 , 则P(B) = _____________. 例 4：设 P ( A) = 0.5 ; P( A − B) = 0.2 , 则P( AB) = _________________. 例 5：设 P ( A) = 0.5 ; P(AB) = 0.2 , 则P( A | B) = ________________.
是
的无偏估计量，若
D
^
1
<D
^
2
,则称
^
1
^
比
2
更有效；
例 20： 设 X1,X 2 ,X 3 是来自总体 X 的一个样本，且 EX = ，其中 未知.，设有估计量
T1=3X1 − 3X 2 +X3
,
T2
=
X1+2X 2 3
+ 3X3
, T3
=
X1 − 2X2 4
+ 5X3
(1) 指出T1,T2 ,T3 中哪几个是 的无偏估计量；
X
Y
-1
求:
-1
0.1
0
1
(1) X 和Y 的边缘分布律；
0.2 0.1
1
0.1
0.15 0.05 (2)Y 2 − X 的分布律.
2
0.05 0.15 0.1 (3) E(X− 2Y ) .
12. 一维连续型随机变量： X ~ f ( x)
（1） F (+) = lim F ( x) = + f ( x)dx = 1 (用于求f ( x) 中未知的参数)；
《概率论与数理统计》(公共)复习提纲
概率论与数理统计（公共课）复习提纲 注：方框标示的内容为重点。
第1章 随机事件及其概率1. 样本点与样本空间、事件的关系与运算；2. 事件的运算规律；(1) 交换律 A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A ;(2) 结合律 (A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C ), (A ∩B )∩C =A ∩(B ∩C );(3) 分配律 (A ∪B )∩C =(A ∩C )∪(B ∩C ), (A ∩B )∪C =(A ∪C )∩(B ∪C)3. 事件概率的定义及其性质、古典概型的概率计算；条件概率 P (B |A ) = P (AB ) / P (A )；乘法公式 P (AB ) = P (A )P (B |A ) 或 P (AB ) = P (B )P (A |B )全概率公式 P (B ) = P (A 1)P (B |A 1) + … + P (A n )P (B |A n ) + …n = 2的情形(样本空间被对立事件划分) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += n = 3的情形 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=贝叶斯公式(已知事件B 发生后，求其由A i 所引起的概率),...2,1,)|()()|()()()()|(===∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P jj j i i i i事件的独立性 P (AB ) = P (A )P (B )；9．有限事件的两两独立与相互独立；伯努利概型及其概率计算；随机变量及其分布与数字特征1. 常用离散型概率分布两点分布(0-1分布) P { X = x 1 } = p , P { X = x 2 } = 1 – p (0 < p < 1) E (X ) = p , D (X ) = p (1 – p )二项分布 X ~ b (n , p ) n k p p C k X P k n k k n ,...,1,0,)1(}{=-==-E (X ) = np , D (X ) = np (1 – p )泊松分布 X ~ P (λ) ,...2,1,0,!}{===-k e k k X P k λλE (X ) = D (X ) = λ2. 二项分布的泊松近似100,10,!)1(><=≈---n np e k p p C kk n k kn λλλ 3. 随机变量的分布函数(1) 定义：F (x ) = P { X ≤ x };(2) 性质：a. 单调非减；b. F (-∞) = 0、F (+∞) = 1；c. 右连续；4. 常用连续型概率分布均匀分布 X ~ U (a , b )密度函数：b x a a b x f <<-=,1)(，分布函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=bx b x a ab a x a x x F ,1,,0)( 2)(a b X E -=， 12)()(2a b X D -= 指数分布 X ~ e(λ)密度函数：0,)(>=-x ex f x λλ，分布函数：⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(x e x F x λ λ1)(=X E ， 21)(λ=X D正态分布 X ~ N (μ, σ2) μ=)(X E ， 2)(σ=X D标准正态分布 X ~ N (0, 1)，E (X ) = 0, D (X ) = 1；5. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的分布离散型：列出分布律；连续型：（1）用概率的方法求出函数 Y 的分布函数后，再求其密度函数；（2）如果函数 Y = f (X ) 满足严格单调，则可使用公式直接求 Y 的密度函数： 的反函数为其中)()(,|,)(|))(()(x f y y h y y h y h f y f X Y =<<'=βα6. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的数学期望离散型：∑==ii i p x g X g E X E )()]([)(连续型：⎰+∞∞-==x x f x g X g E X E d )()()]([)( 7. 方差的计算D (X ) =E [ X – E (X ) ]2 = E (X 2) – [E (X )]28. 数学期望与方差的性质(E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y )均存在)E (aX ± bY ) = aE (X ) ± bE (Y ) D (aX ± bY ) = a 2D (X ) + b 2D (Y )9. 中心极限定理定理3 设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独立，服从同一分布，且 E (X i ) = μ, D (X i ) = σ2, ( i = 1, 2, …)，则)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→σμ或),(~2n n N X X n i i σμ ∑= 即n 个随机变量的和的极限分布是正态分布。
概率论与数理统计复习提纲
第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,⋯表示；④必然事件就等于样本空间；不可能事件( )是不包含任何样本点的空集；⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2.事件的四种关系①包含关系： A B，事件A发生必有事件B发生；②等价关系： A B，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；③互不相容（互斥）：AB ，事件A与事件B一定不会同时发生。
④对立关系（互逆）：A，事件A发生事件A必不发生，反之也成立；AA 互逆满足AA注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。
）3.事件的三大运算①事件的并： A B，事件A与事件B至少有一个发生。
若AB ，则A B A B；②事件的交： A B或AB，事件A与事件B都发生；③事件的差： A-B，事件A发生且事件B不发生。
4.事件的运算规律①交换律： A B B A,AB BA②结合律：(A B) C A (B C),(A B) C A (B C)③分配律： A (B C) (A B) (A C),A (B C) (A B) (A C)n n④德摩根（DeMorgan）定律：二、随机事件的概率定义和性质A B AB,AB A BA i A i,对于n个事件，有i1i1n nA i A ii1 i11．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件A(A), 都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：P(A)0; (2)规范性：P( )1;(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件A1,A2k k,Ak，有P( A i) P(A i).i 1i1则称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质①P( )1,P()0 ②P(A) 1P(A)③若A B，则P(A) P(B),且P(B A) P(B)P(A)1④P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B C) P(A) P(B)P(C) P(AB) P(BC) P(AC)P(ABC)注：性质的逆命题不一定成立的.如若P(A) P(B),则A B 。
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概率论与数理统计复习提纲一，事件的运算如果A ，B ，C 为三事件，则A +B +C 为至少一次发生, C B A ++为至少一次不发生, AB +BC +AC 和ABC C AB C B A BC A +++都是至少两次发生, C AB C B A BC A ++为恰有两次发生. C B A C B A C B A ++为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言.. 二, 加法法则与乘法法则如A 与B 互不相容, 则P (A +B )=P (A )+P (B ) P (AB )=P (A )P (B |A ) 而对于任给的A 与B 有 P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )(1)因此, P (A +B ),P (A ),P (B ),P (AB )这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来. 而P (AB )=P (A )P (B |A ), 因此P (A +B ),P (A ),P (B ),P (B |A )只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来.)()()(AB P A P B A P -=也是常用式子三, 全概率公式和贝叶斯公式 设A 1,A 2,…,构成完备事件组, 则任给事件B 有∑=ii i A B P A P B P )|()()( (全概率公式),及,...)2,1(,)|()()|()()|(==∑m A B P A P A B P A P B A P ii i m m m (贝叶斯公式)其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A 与它的逆A , 即任给事件A ,B 有 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A 或者A 之一发生, 而这将影响到第二步的结果的事件B 是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B 发生的概率, 并要求B 发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B 已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式. 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量一元: P (ξ=x k )=p k (k =1,2,…), 性质:1=∑kk p二元: P {ξ=x k , η=y j )=p ij (i ,j =1,2,…) 边缘分布与联合分布的关系:)2()1(){){jiij j i jij i pp y P p p x P ======∑∑ηξ2. 连续型随机变量)(~x ϕξ, ⎰=<<badx x b a P )()(ϕξ, 性质:1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ分布函数为⎰∞-=≤=xdt t x P x F )()()(ϕξ, 且有)()(x x F ϕ='如ξ~φ(x ), η=f (ξ), 则求η的概率密度函数的办法, 是先求η的分布函数F η(x ),))(()()(x f P x P x F ≤=≤=ξηη,然后对F η(x )求导即得η的概率密度函数. 五, 随机变量的数字特征 数学期望:离散型: ∑∞==1k k k p x E ξ连续型: ⎰+∞∞-=dx x x E )(ϕξ性质: E (ξ+η)=E ξ+Eη, E (ξ-η)=E ξ-E η 方差:离散型: 先计算∑∞==122k k kp x E ξ, 则22)(ξξξE E D -= 连续型: 先计算,)(22⎰+∞∞-=dx x x E ϕξ则22)(ξξξE E D -=性质: 如ξ,η相互独立, 则D (ξ+η)=D ξ+D η, D(ξ-η)=D ξ+D η 协方差和相关系数:计算两个随机变量ξ和η的协方差cov (ξ,η)和相关系数ρ的关键是计算E (ξη), 离散型: ∑∑=ijij j i p y x E )(ξη则cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)ηξηξρD D ),cov(=六, 几种常用的分布 二项分布ξ~B (n ,p )是指k n k k n p p C k P --==)1(}{ξ.它描述了贝努里独立试验概型中, 事件A 发生k 次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行. 超几何分布将N 个元素分为N 1个和N 2个两类, N 1+N 2=N , 从中任取n 个, 其中N 1个元素的个数是一随机变量ξ, 服从超几何分布, 且有nNk n N k N C C C k P -==21)(ξ普阿松分布ξ服从普阿松分布, 是指其概率函数为,2,1,0,!)(===-k e k k P kλλξ正态分布ξ服从正态分布, 即ξ~222)(21)(σμσπϕ--=x ex , 记作ξ~N (μ,σ2).ξ服从标准正态分布ξ~N (0,1)性质: 如果ξ~N (0,1), 则a ξ+b ~N (b , a 2) 指数分布ξ服从指数分布, 即⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001)(~x x ex x λλϕξ它的分布函数为⎩⎨⎧≥-<=-0100)(x e x x F xλ七, 统计量 假设ξ是总体, E ξ=μ, D ξ=σ2, 而(X 1,…,X n )是取自总体ξ的样本, 则 EX i =μ, DX i =σ2 (i =1,…,n )样本均值∑==n i i X n X 11, 样本方差∑=--=n i iX X n S 122)(11 样本标准差∑=--=n i iX X n S 12)(11 nX D X E 2,σμ==八、典型例题 习题一1．为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统和，每种系统单独使用时，其有效概率为，为，在失灵条件下，有效的概率为，求：⑴ 发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？ ⑵失灵条件下，有效的概率？[解答] ⑴ 由题意可得即得则⑵ 由题意可得2．三个箱子，第一个箱子中有 个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球 个白球，第三个箱子有 个黑球 个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问； ⑴ 这个球是白球的概率？⑵已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？[解答] 设﹛从第个箱子中取到白球﹜﹛取到白球﹜⑴由全概率公式可得⑵由贝叶斯公式可得3．假使有两箱同种零件：第一箱内装件，第二箱内装件，其中件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求：⑴先取的零件是一等品的概率⑵在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率[解答] 设﹛被挑出的是第箱﹜﹛第次取出的零件是一等品﹜则，,⑴⑵由全概率公式可得4．袋中有个球，其中有个是新的，第一次比赛时从中任取个用，比赛结束后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取个，求：⑴第二次取出的球都是新球的概率？⑵又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？[解答] 设﹛第次取到新球﹜﹛第二次取到新球﹜⑴⑵5．设甲乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有个白球，个红球，现在从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？[解答] 设﹛从甲袋中取到白球﹜﹛从甲袋中取到红球﹜﹛从乙袋中取到白球﹜则6．设有来自三个地区的各名，名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份，份和份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份中是女生表的概率⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率[解答] 设﹛报名表是区考生的﹜﹛第次取到的报名表是男生的﹜则；, ,⑴⑵由全概率公式可得于是7．架长机和架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为，在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落的概率为，求目标被炸毁的概率.[解答] ｛目标被炸｝｛长机到达目的地｝｛长机与一架僚机到达目的地｝｛长机与两架僚机到达目的地｝表示长机到达表示一架僚机到达表示另一架僚机到达习题二一．填空题1．设随机变量～，～，若，则＿[解答] ，可得则2．已知随机变量只能取四个数，其相应的概率依次为，则＿[解答] 由，可得，解得4．设在上服从均匀分布，则方程有实根的概率为＿[解答] {方程有实根}6．已知联合密度为，则＿，的边缘概率密度＿[解答] 由，可得，得7．设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在上服从均匀分布，则关于的边缘密度在处的值为＿[解答] 区域的面积为，由题意可得的概率密度为则关于的边缘密度在处的值为三．证明题2．设是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为的泊松分布，证明：服从参数为的泊松分布.证明：因为，于是=即服从参数为的泊松分布.3．设是分布函数，证明：对于任意，函数也是分布函数.证明：作积分变换，则⑴是分布函数，于是即⑵是分布函数，对于任意，有所以是递增函数.⑶是分布函数，所以对，当时，，于是由任意性可知，即右连续.⑷因为所以对，当时，，当时，，于是当时由任意性可知当时由任意性可知综上所述，也是分布函数.四．计算题2．某射手有发子弹，射击一次命中率为，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完发子弹，求所用子弹数的分布密度.[解答] 由题意可得的分布率为即的分布率为6．随机变量的分布密度为求：⑴常数. ⑵⑶分布函数.[解答] ⑴由的性质可得即⑵⑶当时，当时，当时，所以的分布函数为7．设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差具有分布密度函数求：⑴测量误差的绝对值不超过的概率.⑵接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过的概率. [解答] ⑴由题意可得～，则⑵～则8．设电子元件的寿命具有密度为问在小时内，⑴三只元件中没有一只损坏的概率是多少？⑵三只元件中全损坏的概率是多少？⑶只有一只元件损坏的概率是多少？[解答] 以表示第只电子元件的寿命，以表示事件“在使用小时内，第只电子元件损坏”，则⑴⑵⑶9．对圆片直径进行测量，其值在上均匀分布，求圆片面积的概率分布.[解答] 设圆片直径的测得值为，面积为，则，又的分布密度为由，有，在为单调函数，则，则故11．设服从参数为的分布，在下，关于的条件分布为表，表所示求的联合概率分布，以及在时，关于的条件分布.[解答] 由题意可知，，所以又所以的联合概率分布为在时，关于的条件分布为12．设随机变量相互独立，并在上服从均匀分布，求随机变量的分布密度.[解答] 由题意可得由于相互独立，故的联合分布密度函数为⑴当时，，所以⑵当时，，所以⑶当时，，所以所以13．设相互独立，分布密度分别为求随机变量的分布密度.[解答] 由于相互独立，故的联合分布密度函数为则的分布函数为当时，当时，所以的分布密度为，即14．设相互独立，且在上均匀分布，求使方程有实根的概率. [解答] 在上均匀分布，则的分布密度为又相互独立，所以～方程有实根条件是即所以15．设的密度为求：⑴; ⑵[解答] ⑴⑵16．假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量⑴求和联合概率分布；⑵求[解答] 随机变量服从参数为的指数分布，则由题意可得⑵习题 35．设～，(为正整数)，则＿[解答] 由题意有(奇函数)所以故6．设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量，则方差＿[解答] 由题意可得则，所以7．若随机变量相互独立，且服从相同的两点分布，则服从＿分布，＿，＿.[解答] 设为事件发生的概率，则由题意可得所以一．选择题1．设随机变量与独立同分布，记，则随机变量与必然不独立独立相关系数为零相关系数为零[解答]所以与互不相关，故选择，但与互不相关却不能推断出与相互独立. 2．设，则不存在[解答] 由于为非收敛数列，所以不存在,故应该选. 4．已知与的联合分布如下表所示，则有与不独立与独立与不相关与彼此独立且相关[解答] 与的边缘分布律分别为～～则可计算得，所以与相关，又所以与不独立，故应该选.9．随机变量与不相关的充分必要条件为[解答] 不相关的充要条件是，则即，于是，所以选.10．人的体重～，，，个人的平均体重为，则下列结论正确的是[解答] 由题意可知，则所以应该选.三．证明题1．设是随机变量，是常数，证明：，其中.证明：2．设和为相互独立的随机变量，其分布密度为，证明：他们的卷积，即随机变量的分布密度也服从正态分布.证明：由题意可知和服从分布，则令，得即也服从分布.3．设相互独立，证明：证明：因为相互独立，所以于是又从而4．设和为随机变量的任意两个可取值，分别为其数学期望与方差，则证明：四．计算题1．设的分布律为，求. [解答]2．设随机变量具有概率密度为，求.[解答]3．设随机变量和的联合分布为求[解答] 的概率分布为则4．一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：⑴的概率分布；⑵[解答] ⑴的取值应该为以表示事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”，则，且相互独立，则⑵5．设的分布密度求.[解答]6．设服从区域上的均匀分布，求相关系数. [解答] 因为的面积为，故和的联合密度函数为于是即则又则7．在长为的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.[解答] 设分别表示两点的坐标，服从区域上的均匀分布，其联合密度函数为令，则的分布密度为当时，当时，于是当时，区域包含整个正方形区域，则即则密度函数为所以8．设为服从正态分布的随机变量，且相互独立，求. [解答]9．设随机变量的分布函数为求.[解答]10．设的联合密度为求. [解答]所以同理可得又故11．假设一部机器在一年内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周个工作日里无故障，可获利润万元，发生一次故障仍可获利润万元；发生二次故障所获利润万元；发生三次或三次以上故障就要亏损万元，求一周内期望利润是多少？[解答] 以表示一周内机器发生故障天数，且～，则以表示所获利润，则(万元)12．设二维随机变量的密度函数为其中和都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和.他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是.⑴求随机变量和的密度函数和，及和的相关系数；⑵问与是否独立？为什么？[解答] ⑴二维正态密度函数两个边缘密度都是正态密度函数，因此和两个边缘密度为标准正态密度函数，即同理可得由于～，～，则，又所以相关系数⑵由题意可设由于,所以与不独立.。