2. 1.2 第一课时 直线方程的点斜式课件(北师大版必修二)

1．已知直线经过的一点和其斜率，就可以写 出直线方程的点斜式．当斜率为零时，直线垂直于y 轴，直线方程为y＝y0；当直线的斜率不存在时，直 线的倾斜角为90°，直线垂直于x轴，直线方程为x＝
x0.
2．已知直线经过两已知点时，可以用两点 式写出直线方程，但当x1＝x2或y1＝y2时，可直接写 成x＝x1或y＝y1，不要再用两点式表示． 3．直线方程的点斜式、斜截式、两点式和 截距式都可写成一般式，但一般式只能在一定条件下 才能写成其它形式．
b的不同情况，直线所过的象限可见下表：
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二、三象限
k>0
b＝0
b<0 b>0
仅过第一、三象限及原点
仅过第一、三、四象限 仅过第一、二、四象限 仅过第二、四象限及原点 仅过第二、三、四象限
k<0
b＝0 b<0
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二象限 不过任何象限，为x轴 仅过第三、四象限
3．根据下列条件写出直线方程的点斜式． (1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；
3 (2)斜率为 ，与x轴交点的横坐标为－7. 2 解：(1)设直线的倾斜角为α，
∵α＝60° ，k＝tan α＝tan 60° 3， ＝ ∴所求直线的点斜式方程为y－1＝ 3(x－3)．
(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点 3 (－7,0)，又斜率为 2 ，由直线方程的点斜式得y－0 3 3 ＝ 2 [x－(－7)]．既y＝ 2 (x＋7).
[例2]
(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直
线方程的斜截式． (2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的 斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标． [思路点拨] 利用斜截式写直线的方程须先确定
斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．
[精解详析]
(1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，
2．过点(4，－2)，倾斜角为30° 的直线方程为 3 A．y－2＝－ 3 (x＋4) 3 B．y－(－2)＝－ 3 (x－4) 3 C．y－(－2)＝ 3 (x－4) 3 D．y－2＝ 3 (x＋4) 3 解析：∵k＝tan 30° 3 ， ＝
(
)
3 ∴由点斜式得y－(－2)＝ 3 (x－4)． 答案：C
∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.
(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x ＋1， ∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．
[一点通直线方程． (2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜 率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式 方程表示，在y轴上也没有截距．
y2－y1 提示：∵k＝ ， x2－x1 y2－y1 ∴由点斜式得y－y1＝ (x－x1)． x2－x1
问题2：若直线过两点(2,3)，(2,5)，方程怎样？ 提示：x＝2. 问题3：若直线过两点(2,3)，(4,3)，方程怎样？ 提示：y＝3. 问题4：若直线过两点(2,0)，(0,3)，方程怎样？
∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 4－0 则直线的斜率k＝ ＝4， 3－2 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8. ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为 y＝－x＋3.
y－y0 提示：设P(x，y)是直线上任意一点，那么 ＝k， x－x0 ∴y－y0＝k(x－x0)．这就是直线的方程．
问题2：过点(2,1)且垂直于x轴和y轴的直线方程怎样？
提示：x＝2，y＝1.
问题3：经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线
方程是什么？
提示：设直线上任一点坐标为(x，y)，则 y－b x ＝k，即y＝kx＋b.
[精解详析](1)直线斜率为tan 45° ＝1， ∴直线方程为y－4＝(x＋1)． (2)直线斜率不存在，直线平行于y轴， ∴所求直线方程为x＝4. (3)直线斜率为tan 60° ＝ 3，
∴所求直线的方程为y＝ 3x. (4)直线斜率为0， ∴直线方程为y＝1.
[一点通]
点斜式方程使用的条件是直线的斜
k＝0
b＝0 b<0
4．求倾斜角是45°，在y轴上的截距是2的直线方程．
解：∵k＝tan 45°＝1，且在y轴上的截距是2，
∴所求的直线方程为：
y＝x＋2.
5．根据条件写出下列直线方程的斜截式． (1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2； (2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线
y＝
2x＋3的相同． 解：(1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，
让你想不到的是这小精灵的翅膀竟有二尺来长．远远望去
一行白鹭展翅起飞，向着高高的蓝天翩翩而去，它们雪白 的身影映着碧蓝的晴空，画出一条美丽的直线．在平面直 角坐标系中，如果已知一条直线上两点的坐标，怎样求得 这条直线的方程呢？
问题1：若直线经过两点(x1，y1)，(x2，
y2)(x2≠x1)，那么直线的方程怎样表示？
3 若(2k＋3)(k＋2)＝8， 则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解． 3 若(2k＋3)(k＋2)＝－8， 则整理得4k2＋20k＋9＝0， 1 9 解之，得k＝－2或k＝－2. 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
[一点通] 用斜率之前一定要说明斜率存在，否 则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这
1．直线方程的点斜式和斜截式
方程名称 已知条件 直线l上一 直线方程 示意图 应用范围
点斜式
点P1(x0，
y0)及斜率k
y－y0＝k(x －x0)
直线不与x 轴垂直
方程名称
已知条件 直线l的斜
直线方程
示意图
应用范围
直线不与x
斜截式 率k及在y轴 y＝kx＋b 轴垂直 上的截距b
2．垂直于坐标轴的直线 直线过点 直线的方向 方程形式
上一节学的倾斜角和斜率是在直角坐标系内确定 直线的几何要素．已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜 率)可以确定一条直线．这样，在直角坐标系中，给定一
个点P0(x0，y0)和斜率k，或给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，
y2)，就能唯一确定一条直线．而且像点用坐标表示一样，
直线也可用方程表示．
问题1：若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k， 则直线上任意一点的坐标满足什么关系？
(x0，y0)
垂直于x轴
垂直于y轴
x＝x0
y＝y0
3．截距的概念 (1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b) 纵坐标 的 ． 横坐标
(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的
.
“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”， 这样的意境太美了，以至流传千年．小小的 白鹭细细的长颈、洁白的羽毛，楚楚动人．
7．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的 取值范围是________． 解析：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k， 则kOA＝2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2 时满足条件． 答案：[2，＋∞)
1．对于利用点斜式方程求直线方程，首先应 先求出斜率，再代入公式求解；对于利用斜截式方程 求直线方程，不仅首先求斜率，还要求截距． 2．对于直线的斜截式方程y＝kx＋b，根据k，
[例1] 根据条件写出下列直线方程的点斜式．
(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为60°； (4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.
[思路点拨]
(1)、(3)由倾斜角求出斜率，代入
直线方程的点斜式即可；(2)、(4)可直接写出来．因为 (2)斜率不存在，(4)直线斜率为0.
3 提示：y＝－ (x－2)． 2
直线方程的两点式和截距式
方程 名称 两 点 式 已知条件 直线方程 示意图 应用范围
直线 l 上两点 y－y1 ＝ y2－y1 P1(x1，y1)、 x－x1 P2(x2，y2) x2－x1
直线 l 不与 坐标轴垂直
已知条件 直线l在x轴
直线方程
示意图
应用范围 直线l不与 坐标轴垂 直，且不 过原点
率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存 在，若存在求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在 直接写出方程x＝x0.
1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是 ( ) A．y＝3x－2 C．y＝3(x－2) B．y＝3x＋2 D．y＝
3(x＋2)
解析：由点斜式，得y－0＝3(x＋2)，
即y＝3(x＋2)．
[例3]
已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴
围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨]
先判断直线的斜率一定存在，设出
直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解．
[精解详析]
显然，直线l与两坐标轴不垂直，
否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l 的方程为y－3＝k(x＋2)， 令x＝0，得y＝2k＋3， 3 令y＝0，得x＝－k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 2|(2k＋3)(－k－2)|＝4， 3 即(2k＋3)(k＋2)＝± 8.
问题2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以 用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以． 问题3：x＝a，y＝b可以认为是关于x、y的二元 一次方程吗？
提示：可以，x＝a时，y的系数为0；
y＝b时，x的系数为0.
Ax 关于x、y的二元一次方程＋By＋C＝0