2016江苏中考数学复习--第20课时等腰三角形(word解析版)
江苏中考数学复习--第20课时等腰三角形(word解析版) (2)
第四章三角形第20课时等腰三角形江苏中考真题精选命题点1 等腰三角形的判定及性质（近3年39套卷，2015年考查7次，2014年考查6次，2013年考查5次）1.（2014盐城7题3分）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°2.（2015苏州7题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°第2题图第4题图3.（2015盐城7题3分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A.12B.9C.12或9D.9或74.（2014扬州7题3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB 上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A.3B.4C.5D.65.（2014徐州16题3分）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=________.第5题图6.（2015南京25题10分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）第6题图7. （2015宿迁21题6分）如图，已知AB =AC =AD ,且AD ∥BC .求证：∠C =2∠D .第7题图命题点2 等边三角形的判定及性质（近3年39套卷，2015年考查1次，2014年考查2次）（2015常州23题8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD =120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形. （1）求证：AE =AF ； （2）求∠EAF 的度数.【答案】命题点1 等腰三角形的判定及性质1. D 【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒-︒=70°. 2.C 【解析】因为AB =AC ，D 为BC 中点，所以∠BAC =2∠BAD =70°，所以∠C 的度数为120702︒-︒=55°. 3.A 【解析】若腰为2，则底为5，但根据三角形三边关系2+2＜5，不能够组成三角形；当腰为5，则底为2，5+5＞2,5-5＜2，能够组成三角形，于是周长为5+5+2＝12. 4.C 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在Rt △OPD 中，∵∠AOB =60°，∴∠OPD =30°，∴OD =12OP ＝12×12=6，∵PM =PN ，PD ⊥MN ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1，∴OM =OD -MD =6-1=5.第4题解图5. 15°【解析】∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ACB =∠ABC =12（180°-50°）=65°，∵将△ABC 折 叠，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，∠A =50°，∴∠ABE =∠A =50°，∴∠CBE =∠ABC -∠AB E=65°-50°=15°．6.【思路分析】此题为作图题，考查了等腰三角形的所有可能出现的情况，3可能是等腰三角形的腰长，也可能是等腰三角形的底边长，等腰三角形的顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角.要把所有的问题考虑全. 解：如解图所示.第6题解图………………………………………………………………………………………………（10分）7.【思路分析】由等腰三角形和平行线可以推出角平分线，再根据等腰三角形的性质可以证出本题.证明：∵AB =AD =AC ，∴∠ABC =∠C ，∠ABD =∠D ，……………………………………………………………（3分）∵AD ∥BC ，∴∠D =∠DBC =∠ABD ，∴∠C =∠ABC =2∠ABD =2∠D .……………………………………………………………（6分）命题点2等边三角形的判定及性质（1）【思路分析】由□ABCD ，得∠ABC =∠ADC ,AB =CD ,AD =BC ,再由等边三角形的性质，得出∠EBC =∠CDF ,BC =BE =AD ,DC =DF =AB ,进而证明△ABE ≌△FDA ； 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC =∠ADC ,AB =CD ,AD =BC , ∵△BCE 和△CDF 都是正三角形.∴∠EBC =∠CDF =60°,BC =BE =AD ,DC =DF =AB ,∴∠ABE =∠FDA ，…………………………………………………………………………（2分）在△ABE 和△FDA 中，AB FD ABE FDA BE DA =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△FDA (SAS)，∴AE =AF ；……………………………………………………………………………………（4分）（2）【思路分析】由平行四边形的邻角互补，得∠ABC ，再由三角形的内角和定理，得∠BAE +∠BEA ，再由全等转化得∠BAE +∠DAF ，问题便可迎刃而解. 解：在□ABCD 中，∠BCD =120°， ∴∠BAD =∠BCD =120°,∠ABC =60°, ∴∠ABE ＝∠ABF +∠EBF =60°+60°=120°,∴∠BAE +∠BEA =60°………………………………………………………………………（6分）∵△ABE≌△FDA，∴∠BEA=∠DAF，∴∠BAE+∠DAF=60°,∴∠EAF=∠BAD-(∠BAE+∠FAD)=120°-60°=60°,∴∠EAF=60°.………………………………………………………………………………（8分）。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
中考数学专题复习课件(第20讲_等腰三角形)
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
2．(2011 中考预测题)在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD ＝BC＝AD ，则∠A 等于( ) A．30° B．40° C．45° D．36°
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【解析】AD＝ BD， ∴∠ABD＝ ∠A.∵BD＝ BC， ∴∠BCD＝ ∠BDC＝ ∠A＋ ∠ABD＝ 2∠A.∵AB＝ AC， ∴∠ABC＝ ∠C＝ 2∠A， ∵∠A＋ ∠ABC＋ ∠C＝ 180°， ∴∠A＋ 2∠A＋ 2 ∠ A ＝ 180° ， ∴∠ A ＝ 36° . 考
点 训 练
【答案】D
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3． (2009 中考变式题 )若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 则这个等腰三角形的底 考 点 角为( ) 知 A．75° 或 15° B．36° 或 60° 识 C．75° D ．30° 精 讲 【解析】注意分情况讨论：①若等腰三角形为锐角三角形，底角为 75° ；②若等腰三角
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5．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为 60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形； (3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为 60°的等腰三角形．其中一定 是等边三角形的有( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
精品2016江苏中考数学复习课件：第20课时 等腰三角形
考点特训营—考点精讲
第一部分
考点研究
第四章 三角形
第20课时 等腰三角形
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江苏2013~2015中考真题精选 考点特训营—重难点突破
考点特训营—考点精讲
考点精讲
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形（等边三角形是特殊的等腰 三角形）
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则∠ABD＝（ B ）
A. 36° B. 54° C. 18° D. 64° 【思路点拨】根据等腰三角形的性质结合已知可求得 ∠A的度数，再根据垂直的性质和三角形内角和定理不 难求得∠ABD的度数.
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在等腰三角形中解决求角度问题时，要分所
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考点特训营—考点精讲
两边 相等的三角形叫做等腰三角形， 概念：有①______
相等的边叫做腰，另外一边叫做底 相等 （1）两底角②______ 等 腰 三 角 形 性质 （2）顶角的平分线，底边上的中线，底边 上的高互相重合 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形
质和等腰三角形的性质可以求出答案.
在等腰三角形中解决求角度问题时，要分所给角 是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角还是直角，同 时在确定角后注意：三角形的内角和等于180°.
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看顶角是锐角、钝角还是直
角，同时在确定角后注意：三角形的内角和等于 180°.
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江苏2013~2015中考真题精选 考点特训营—重难点突破
中考特殊三角形之--等腰三角形
3．已知等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数 是( )
cm.
4．已知等腰三角形 ABC 的腰 AB ＝AC＝10 cm ，底边 BC＝ 12 cm ，则△ ABC 的角平分线 AD 的长是
5.如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为 A （4， 0 ）B （ 0 ， 1） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在边 BC 上运动，当 △ODP 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
【考点2】 等腰三角形的性质--拓展练习
拓展练习.（2011宁波市）如图，在 ABC 中，AB＝AC，D、E 是 ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若 BE＝6cm，DE＝2cm，则BC长为？
查漏补缺
板演过程 • 中考指南P101-P102 第13、14、16题 • 导学式P28，第6题只做第（3）问
【点拨】由题意等边△ABC 的高为 4，点 P 到 AB 的距离是 1， 点 P 到 AC 的距离是 2， ①若点 P 在等 边△ABC 的内部， 则可得到点 P 到 BC 边的距离 PD 为 1；②若点 P′在等边△ABC 的外部，则由对称性可以 得到点 P′到 B′C′边的距离 P′E 为 1；这时点 P′ 到 BC 的距离 P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1 和 7. 【答案】 1 和 7
【考点4 】等边三角形的判定与性质
例4 ： 如图20－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC 上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
例 5 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边 求证：(1)CE ＝CF ； (2)EF ∥AB .
江苏省昆山市中考数学专题复习18《等腰三角形》
2017年中考数学专题练习18《等腰三角形》【知识归纳】一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都的三角形是等边三角形；(2)三个角都的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.【基础检测】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、1602．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°3．(2015湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．5． （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点O 分斜边AB 为BO ：OA=1：，将△BOC 绕C 点顺时针方向旋转到△AQC 的位置，则∠AQC=105°．6．（2016•莆田）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是（）AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【达标检测】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．104. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2016·湖北荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或116. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A ．5B ．10C ．12D ．137. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 189. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ．10C ．3πD ．5π 二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A 处，该海轮沿南偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P 的正东方向的B 处．EDC BA（第11题图）12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【知识归纳答案】一、等腰三角形1．有两条边相等2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角相等；(2)三线合一；(3)等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．4.等边三角形的性质60°； 3 ．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.【基础检测答案】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、160【答案】B.【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°-2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.2．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°【答案】：D．【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.3．(2013湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 【答案】50°或80°．【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【思路分析】(1)证△ABE ≌△ACE 即可．(2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC ＝45°可知ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边AF ，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠CAE ． 在△ABE 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ， △ABE ≌△ACE ． ∴BE ＝CE ．(2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ． 由(1)知AD ⊥BC ，∴∠EAF ＝∠CBF ．AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.5．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O 分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解答：解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠A=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=，∴∠AQO=60°，∴∠AGC=105°．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．6．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠BO P，∵OP=OP，∴根据‘HL’需添加PC⊥OA，PD⊥OB，根据‘SAS’需添加OC=OD，根据‘AAS’需添加∠OPC=∠OPD，故选D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．【达标检测答案】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°【答案】B．【解析】∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选B．3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】勾股定理；等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．4. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D．5．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选：D ．6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D.【解析】在Rt △CAE 中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：13AE ==又DE 是AB 的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.7. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D ．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D ．8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )E DCB A （第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．9.. 如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A． 8 B．10 C．3π D．5π【答案】A．【解析】连结DE，作FH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=12BD=2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE=30°，3BE=23，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°，∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，∵∠PED=∠DHF，∠EDP=∠DFH，DP=FD，∴△DPE≌△FDH，∴FH=DE=23P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，∴F1F2=DQ=8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．故选A．二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．【解答】解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键．12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③⑤【解析】①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∴AD-DP=BE-QE，∴AP=BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= 2 ．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【解析】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE 和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）40°．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵ BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）∵∠A=100°，∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=40°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=40°．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【分析】等腰三角形的性质．（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE 均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BC E中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案为4，4．如图2中，连接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接EF．∵AF、BE是中线，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．。
中考数学一轮复习课件：第20课时 直角三角形与勾股定理
课堂考点探究
针对训练
课堂考点探究 探究四 利用勾股定理解决生活中的实际问题
【命题角度】 (1)求有关长度问题; (2)求最短路径问题.
图20-13
课堂考点探究
[方法模型] 转化思想——在求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图 形,然后再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
探究二 利用勾股定理进行计算
【命题角度】 (1)利用勾股定理求线段的长度; (2)勾股定理的验证; (3)利用勾股定理解决折叠问题.
课堂考点探究
课堂考点探究
针对训练
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课堂考点探究
课堂考点探究
探究三 勾股定理的逆定理的应用
【命题角度】 (1)已知三角形三边长,判断是否为直角三角形; (2)根据三角形三边,证明垂直.
UNIT FOUR 第四单元 三角形
第 20 课时 直角三角形与勾股定理
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
直角
互余
斜边的一半
斜边的一半
课前双基巩固
互余
课前双基巩固 考点二 勾股定理及逆定理
课前双基巩固 考点三 命题、定义、定理、基本事实
真命题 假命题 题设 基本事实
结论
证明
定理
课前双基巩固 考点四 互逆命题、互逆定理及其关系
逆命题
逆定理
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
课前双基巩固
课前双基巩固
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】 直角三角形斜边上的中线的性质,忽视“直角三角形”这一必 要条件;在利用勾股定理时,所给的边没确定是直角边还是斜边, 忽视分类讨论造成漏解.
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解22 等腰三角形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[【考点题型】考点题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A ．9B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=．故选：D ．变式1-1．（2020·广西玉林市·中考真题）如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】A【提示】先根据方位角的定义分别可求出35,80,55CAD BAD CBE ∠=︒∠=︒∠=︒，再根据角的和差、平行线的性质可得45BAC ∠=︒，100ABE ∠=︒，从而可得45ABC ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理可得90C ∠=︒，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】由方位角的定义得：35,80,55CAD BAD CBE ∠=︒∠=︒∠=︒803545BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒由题意得：//AD BE180********ABE BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1005545ABC ABE CBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒45BAC ABC ∴∠=∠=︒由三角形的内角和定理得：18090C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒ABC ∴是等腰直角三角形即A ，B ，C 三岛组成一个等腰直角三角形故选：A ．变式1-2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒（2）当70︒的内角为这个等腰三角形的底角则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．变式1-3．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4【答案】A 【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x 2－6x+8=0（x －4）（x －2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2，故选：A ．考点题型二根据等边对等角求角度典例2．（2020·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC 及∠OAB 即可解决问题．【详解】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ，∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ．∵∠O ＝130°，∴∠OAB ＝1802O -∠＝25°， ∴∠BAC ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ．变式2-1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【提示】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出∠CAD ，再根据三角形内角和定理求出∠2．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ＝65°，∵AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠CAD ＝65°，∴∠2＝180°−65°−65°＝50°．故选：A ．变式2-2．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【提示】先根据等腰三角形的性质得到∠B 的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.【详解】解：∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD ∥AB ，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.变式2-3．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则∠E 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D 【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C 的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠E=∠C=70°．故选：D．考点题型三根据三线合一求解典例3．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B变式3-1．（2020·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【提示】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x ，可得：2222x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 解得：x ＝4，x ＝﹣4（舍去），故选：C ．变式3-2．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．+2D ．【答案】B【提示】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB ＝，由已知条件得到点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4，∴斜边AB ＝∵点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，∴点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CM ＝12AB ＝， ∵PC ＝2，∴PM ＝CM ﹣CP ＝﹣2，故选：B ．考点题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【提示】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．变式4-1．（2020·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【详解】解：∵A、B是4×5网格中的格点，∴同理可得，∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：故选B．变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC 为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题提示：如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.考点题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90° D．∠A+12∠B=90°【答案】D【提示】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．【详解】解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，所以∠A≠∠B≠∠C，所以△ABC不是等腰三角形；B、∵∠A=50°，∠B=100°，∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，所以∠A≠∠B≠∠C，所以△ABC不是等腰三角形；C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；D、∠A+12∠B=90°，则2∠A+∠B=180°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠C，所以△ABC是等腰三角形．故选D．变式5-1．（2020·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B、∵∠A=2∠B=70°，∴∠B=35°，∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D、∵AB=3，BC=6，周长为14，∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；故选C．变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【提示】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.【详解】∵在△ABC 中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴△ADE是等腰三角形，∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴△OBC是等腰三角形，∵DE∥BC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，∴△DBO，△ECO是等腰三角形，∴图中由5个等腰三角形，故选D.考点题型六根据等角对等边求边长典例6．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A B ．C ．D ．【答案】C 【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案．【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠=矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒,CFO AEO ∴∠=∠,AFO AEO ∴∠=∠5,AE AF CF ∴===3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．变式6-1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里【答案】C【提示】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.变式6-2．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3 B．5 C．2 D．6.5 【答案】A【提示】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【详解】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC-DE=8-5=3；故选A．考点题型七等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2020·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【答案】（1）∠DAC 的度数不会改变，值为45°；（2）12n °． 【提示】 （1）根据等腰三角形的性质得到∠AED ＝2∠C ，①求得∠DAE ＝90°-∠BAD ＝90°-（45°+∠C ）＝45°﹣∠C ，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC ＝m °，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠DAC 的度数不会改变；∵EA ＝EC ，∴∠AED ＝2∠C ，①∵∠BAE ＝90°，∴∠BAD ＝12[180°﹣（90°﹣2∠C ）]＝45°+∠C ， ∴∠DAE ＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C ）＝45°﹣∠C ，②由①，②得，∠DAC ＝∠DAE +∠CAE ＝45°；（2）设∠ABC ＝m °，则∠BAD ＝12（180°﹣m °）＝90°﹣12m °，∠AEB ＝180°﹣n °﹣m °， ∴∠DAE ＝n °﹣∠BAD ＝n °﹣90°+12m °， ∵EA ＝EC ，∴∠CAE ＝12∠AEB ＝90°﹣12n °﹣12m °， ∴∠DAC ＝∠DAE +∠CAE ＝n °﹣90°+12m °+90°﹣12n °﹣12m °＝12n °． 变式7-1．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米．【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD === 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．变式7-2．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC的长．（结果精确到1cm1.414≈ 1.732≈2.449≈）【答案】49cm【提示】过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，分别解△ACD 和△BCD ，即可得到结果．【详解】解：过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∵AC=40cm ，∴在Rt △ACD 中，AD=12AC=20cm ，∴=cm ，∴在Rt △BCD 中，49=≈cm ，∴支架BC 的长为49cm ．考点题型八等边三角形的性质典例8．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且△ABC 是等边三角形,∴△ADF ≌△DBE ≌△FEC ≌△DFE,∴△DEF 的面积是14． 故选D ． 变式8-1．（2020·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π【答案】B 【提示】先证明COD △是等边三角形，求解,OC OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．【详解】解：如图，连接CD ，,60,OC OD COD =∠=︒COD ∴是等边三角形，4,CD =4,OC OD ∴==12,AC BD ==16,OA OB ∴== 所以则图中摆盘的面积222601660440.360360AOB CODS S cm πππ⨯⨯-=-=扇形扇形 故选B ．变式8-2．（2019·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()A ．()1,1B ．C ．D ．【答案】B 【提示】过点B 作BH AO ⊥于H 点，由勾股定理求出BH 的长，即可求出点B 的坐标.【详解】过点B 作BH AO ⊥于H 点，∵OAB 是等边三角形，∴1OH =，BH ．∴点B 的坐标为．故选B ．考点题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A 地到C 地途经B 地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P ，他由A 地向正北方向骑行了到达B 地，发现电视塔P 在他北偏东75︒方向，然后他由B 地向北偏东15︒方向骑行了6km 到达C 地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．【答案】（1）AP=3+（2）6【提示】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，如图，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，∴AE=BE，∵AB=∴AE=BE=3，在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，∴PE=tan6033BE⋅=∴AP=AE+PE=3+（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，∴BP=6cos60BE =， 又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，∴△BCP 是等边三角形，∴CP=BP=6．变式9-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '．连接BB '；②在①中所画图形中，'∠AB B ＝°．（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC 中，BC ＝1，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使CD ＝1，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．【答案】（1）①见解析，②45；（2）135°；（3【提示】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG此即可解决问题．【详解】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD ＝∠CAG ，∴∠BAC ＝∠DAG ，∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADG ＝∠AGD ，∴△ABC ∽△ADG ，∵AD ＝kAB ，∴DG ＝kBC ＝2k ，∵∠BAE+∠ABC ＝90°，∠BAE ＝∠ADC ，∴∠ADG+∠ADC ＝90°，∴∠GDC ＝90°，∴CG∴BD ＝CG ＝．考点题型十含30°角的直角三角形典例10．（2020·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：∵ 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴=2=2AB AC cm ，又∠CAB =90°-∠ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ，∴'∆BAB 为等边三角形，∴'==2BB AB ．故选：B ．变式10-1．（2020·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（）A ．2B ．4CD ．【答案】D 【提示】连接OC ，根据圆周角定理求得60AOC ∠=︒，在Rt COE △中可得1122OE OC OA ==，可得OC 的长度，故CE 长度可求得，即可求解． 【详解】解：连接OC ，∵30ADC ∠=︒，∴60AOC ∠=︒，在Rt COE △中，1cos602OE OC =︒=， ∴1122OE OC OA ==， ∴1122AE OC OA == ∵1AE =，∴2OA OC ==， ∴CE =∵OA BC ⊥，垂足为E ，∴BC =故选：D ．变式10-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(1,2-+B ．()C ．(2+D ．(- 【答案】B 【提示】如图，作B H y '⊥轴于H ．解直角三角形求出B H '，OH 即可．【详解】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒， ∴30A B H ''∠=︒，∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '， 故选B ．。
中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第20课时 平面几何与图形基础-人教版初中九年级全册数
第5章图形的性质【精学】考点一、直线、射线和线段1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
（2）直线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。
它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。
也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
精选-中考数学总复习第四单元三角形第20课时等腰三角形课件
A.17
B.15
C.13
D.13 或 17
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9
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6. [2018·山西] 如图 20-5,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,
[答案] D
∠ A=60°,AC=6,将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 [解析] 连接 B'B.
△A'B'C,此时点 A'恰好在 AB 边上,则点 B'与点 B 之间 ∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
等于 ( C )
A.40°
B.55°
C.70°
D.110°
图 20-1
图 20-2
2. 如图 20-2 所示,△ABC 是等边三角形,且 BD=CE,∠1=15°,则∠2 的度数为 ( D )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
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பைடு நூலகம்
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6
课前双基巩固
3. 如图 20-3,A,B 两点在正方形网格的格点上,每个小方格都是边长为 1 的正方形,点 C 也在格点上,且△ABC 是 等腰三角形,则符合条件的点 C 共有( B ) A.8 个 B.9 个 C.10 个 D.11 个
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等 常
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 见
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 结
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 论
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
最新
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
苏科版中考数学复习课件(第20课时等腰三角形)
考点聚焦
归类探究
图 20－4
回归教材
第20课时┃ 等腰三角形
解：(1)在△ABC中，∠C＋∠B＋∠BAC＝180°， ∠C＝36°，∠B＝72°， ∴36°＋72°＋∠BAC＝180°. ∴∠BAC＝72°， 即∠BAD＋∠1＝72°. ∵∠BAD＝36°， ∴∠1＝36°. ∵∠2是△ACD的外角， ∴∠2＝∠1＋∠C＝36°＋36°＝72°. (2)△ACD是等腰三角形． 因为∠1＝∠C＝36°，所以AD＝CD. 理由是等角对等边．
第20课时 等腰三角形
第20课时┃ 等腰三角形
考点聚焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
定义 性质
有_两__边___相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫
腰，第三边为底
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，有__1__条对称 轴
定理 1
等腰三角形的两个底角相等(简称为： _等__边__对__等__角___)
同样道理可知：△ABD，△ABC是等腰三角形．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃ 等腰三角形
中考预测
1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形
的周长为( B )
A．5
B．7
C．5或7
D．6
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( B )
A．80° B．80°或20°C．80°或50° D．20°
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(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形
拓 展
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等 腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是
江苏省徐州市2019年中考数学总复习第四单元三角形第20课时等腰三角形课件20181220318
课前双基巩固
对点演练
题组一 必会题
1. [2018· 北京房山区一模] 如图 20-1,直线 m∥n,点 A 在直线 m 上,点 B,C 在直线 n 上,AB=CB,∠1=70° ,则∠BAC 等于 A.40° ( C ) B.55° C.70° D.110°
图 20-11
于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC+∠ C=x+2x+2x=180° ,解得 x=36° .
∴在△ABC 中,∠A=36° ,∠ABC=∠C=72° .
高频考向探究
探究二 等腰三角形的判定
【命题角度】 (1)根据定义证明三角形是等腰三角形; (2)应用“等角对等边”判定三角形是等腰三角形; (3)等腰三角形的判定与性质综合运用,证明线段相等或 角相等. 例2 已知:如图 20-12,AD 是△ABC
证明:∵AD∥BC ,∴∠EAD=∠B, ∠DAC=∠C.
∵∠EAD=∠DAC,∴∠B= ∠C, ∴AB=AC(等角对等边).
的外角∠CAE 的平分线,AD∥BC. 求证:AB=AC.
图 20-12
高频考向探究
[方法模型] 在角平分线与平行线相交的情况下,角平分线与平行线就会构成等腰三角形.只要满足“角平分 线”“平行线”和“等腰三角形”三个中的两个,一般就可以推出第三个.
[答案] 37 [解析] ∵AB=AC,∠A=32° ,
∴∠ACB=(180° -32° )÷ 2=74° ,
由尺规作图知,CB=CD,
江苏省中考数学复习三角形第19课时等腰三角形练习含解析
第四章三角形第19课时等腰三角形1. (2016赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A. 30°，60°B. 45°，45°C. 45°，90°D. 20°，70°2. (2016枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5第2题图第3题图3. (2015陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. (2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A. m2＋2mn＋n2＝0B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0D. m2－2mn－n2＝05. (2016安顺)已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对6. (2016邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( )A. AC＞BCB. AC＝BCC. ∠A＞∠ABCD. ∠A＝∠ABC第6题图7. (2017原创)如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝( )A. 30°B. 20°C. 25°D. 15°第7题图第8题图8. (2016漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数．．．，则点D的个数共有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个9. (2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 810. (2016河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第10题图第12题图 11. (2016内江)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A. 32 B. 332 C. 32D. 不能确定 12. (2016遵义)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．13. (2016福州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD . (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第13题图答案1. B 【解析】∵三角形的内角和为180°，∴90°的角为等腰三角形的顶角，∴两底角的和为180°－90°＝90°，∴两个底角分别为45°，45°.2. A 【解析】∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12×(180°－30°)＝75°，∴∠ACE ＝180°－75°＝105°，∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠DBC ＝12×75°＝37.5°，∠DCE ＝12×105°＝52.5°，∴∠D ＝∠DCE －∠DBC ＝52.5°－37.5°＝15°.3. D 【解析】∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形．在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形．∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形，∴∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．4. C 【解析】根据题意，画图如解图：则AC ＝m ，BC ＝n ，AC ＝CD ＝m ，AD ＝BD ＝n －m ，根据勾股定理，得AC 2＋CD 2＝AD 2，即m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝n 2＋m 2－2mn ，整理得：m 2＋2mn －n 2＝0.第4题解图5. B 【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.又∵以4，8为等腰三角形的边长，∴分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.6. A 【解析】在△DBC 中，BD ＋DC ＞BC ，∵AD ＝BD ，∴AD ＋DC ＞BC ，即AC ＞BC ，故A 正确，B 错误；∵AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ，∵∠ABC ＞∠ABD ，∴∠ABC ＞∠A ，故C ，D 错误．7. D 【解析】∵AD 是等边三角形ABC 的中线，∴∠CAD ＝30°，AD ⊥BC ，∵AE ＝AD ，∴△ADE 是等腰三角形，∴∠ADE ＝∠AED ＝12(180°－∠EAD )＝75°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－75°＝15°.8. C 【解析】如解图，当AD ⊥BC 时，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∴AD ＝AB 2－BD 2＝3；又∵AB ＝AC ＝5，∴在BD 和CD 之间一定存在AD ＝4的两种情况，∴点D 的个数共有3个．第8题解图9. A 【解析】分三种情况讨论，①当AC ＝AB 时，满足条件的C 点只有(0，0)点一个；②当BC ＝BA 时，满足条件的C 点有两个，分别为：(4＋22，0)和(4－22，0)；③当CA ＝CB 时，满足条件的C 点有两个，分别为：(2，0)和(0，－2)．综上，满足条件的C 点共有5个，故选A .10. D 【解析】如解图，当OM 1＝2，点N 1与点O 重合时，△PM 1N 1是等边三角形；当ON 2＝2，点M 2与点O 重合时，△PM 2N 2是等边三角形；当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PM 3N 3是等边三角形；当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PM 4N 4是等边三角形，∴此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D .第10题解图11. B 【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC .∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332.第11题解图12. 35 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110°，∴∠A ＝∠C ＝35°，∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠ABD ＝∠A ＝35°.13. 解：(1)AD 2＝AC ·CD .∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC ＝1，∴CD ＝AC －AD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD .(2)∵AD 2＝AC ·CD ，∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC， 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC ， 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD .∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°.解得x ＝36°，∴∠ABD ＝36°.。
等腰三角形[上学期] 江苏教育版 (PPT)2-2
![等腰三角形[上学期] 江苏教育版 (PPT)2-2](https://img.taocdn.com/s3/m/5e36253a69eae009581becbd.png)
∵AB=AC， BD=CD, ∴_∠__B__A_D__=_∠___C_A_D,_A_D__⊥__B_C_____
∵AB=AC，A__D_⊥__B_C__, ∴_∠___B_A_D__=_∠___C_A__D, _B_鹅视频 大鹅视频
结论：等腰三角形的两个底角相等
简称：等边对等角
A
符号语言：
B
C
在Δ ABC中
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠ C
结论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合
简称：等腰三角形三线合一 A
符号语言： 在Δ ABC中
B
D
C
∵ AB=AC ， ∠ BAD= ∠ CAD， ∴ AD⊥BC,BD=CD
从小，我就有一个英雄梦，心中也装着个小小江湖。 想身着白衣背负长剑，想一人行走江湖实现抱负。桃花树下与谁弹一曲歌，酌一杯陈酿看那人间繁华。 肖洋，你是……谁的盖世英雄呢？ 你只是万千俗世人中的一个渺小追梦者。
初三:肖洋 曾几次向往桃花铺满路的三月扬州，几次憧憬侠客无所谓世间对错的侠骨柔肠。 总相信着“天生我材必有用千金散尽还复来”，也相信着自己是个盖世英雄。 你不是春山点墨的诗人，也不是提剑披甲的将军，你的意中人也不知道在哪里。
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第四章 三角形
第20课时 等腰三角形
江苏2013～2015中考真题精选
命题点1 等腰三角形的判定及性质（近3年39套卷，2015年考查7次，2014年考
查6次，2013年考查5次）
1. （2014盐城7题3分）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
2. （2015苏州7题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（
）
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
第2题图第4题图
3. （2015盐城7题3分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的
周长为（）
A.12
B.9
C.12或9
D.9或7
4. （2014扬州7题3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA
上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= （）
A.3
B.4
C.5
D.6
5. （2014徐州16题3分）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，
∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则
∠CBE=________.
第5题图
6. （2015南京25题10分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出
以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长
为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在
所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
第6题图
7. （2015宿迁21题6分）如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证：
∠C=2∠D.
第7题图
命题点2 等边三角形的判定及性质（近3年39套卷，2015年考查1次，2014年考
查2次）
（2015常州23题8分）如图，在□ABCD中，∠BCD=120°，分别延
长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形.
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数.
【答案】
命题点1 等腰三角形的判定及性质
1. D【解析】因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为
=70°.
2. C【解析】因为AB=AC，D为BC中点，所以∠BAC=2∠BAD=70°，所以∠C的度数为=55°.
3. A【解析】若腰为2，则底为5，但根据三角形三边关系2+2＜5，不能
够组成三角形；当腰为5，则底为2，5+5＞2,5-5＜2，能够组成三角形，
于是周长为5+5+2＝12.
4. C【解析】如解图，过点P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，
∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP＝×12=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD-MD=6-
1=5.
第4题解图
5. 15°【解析】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=（180°-50°）
=65°，∵将△ABC折
叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE
=65°-50°=15°．
6. 【思路分析】此题为作图题，考查了等腰三角形的所有可能出现的情
况，3可能是等腰三角形的腰长，也可能是等腰三角形的底边长，等腰
三角形的顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角.要把所有的问
题考虑全.
解：如解图所示.
第6题解图………………………………………………………………………………………………（10分）
7. 【思路分析】由等腰三角形和平行线可以推出角平分线，再根据等腰三角形的性质可以证出本题.
证明：∵AB=AD=AC，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，……………………………………………………………（3分）
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC=∠ABD，
∴∠C=∠ABC=2∠ABD=2∠D.……………………………………………………………（6分）
命题点2 等边三角形的判定及性质
（1）【思路分析】由□ABCD，得∠ABC=∠ADC,AB=CD,AD=BC,再由
等边三角形的性质，得出∠EBC=∠CDF,BC=BE=AD,DC=DF=AB,进而
证明△ABE≌△FDA；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC,AB=CD,AD=BC,
∵△BCE和△CDF都是正三角形.
∴∠EBC=∠CDF=60°,BC=BE=AD,DC=DF=AB,
∴∠ABE=∠FDA，…………………………………………………………………………（2
分）
在△ABE和△FDA中，
，
∴△ABE≌△FDA(SAS)，
∴AE=AF；……………………………………………………………………………………（4分）
（2）【思路分析】由平行四边形的邻角互补，得∠ABC，再由三角形
的内角和定理，得∠BAE+∠BEA，再由全等转化得∠BAE+∠DAF，问
题便可迎刃而解.
解：在□ABCD中，∠BCD=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=60°,
∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF=60°+60°=120°,
∴∠BAE+∠BEA=60°………………………………………………………………………（6分）∵△ABE≌△FDA，
∴∠BEA=∠DAF，
∴∠BAE+∠DAF=60°,
∴∠EAF=∠BAD-(∠BAE+∠FAD)=120°-60°=60°,
∴∠EAF=60°.………………………………………………………………………………（8分）。