1 数值分析(计算方法)介绍
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析简介
理论是基础
上机实践：算法实现项 ：
实践课时远远不够，希望大家充分利用自由 上机时间加强实践，完成实验和习题
在加强实践的同时，请同学们务必重视理论 课程的学习，二者不要偏废。 希望同学们在学习理论的同时，及时复习数 学分析和高等代数知识。只有不断地学习，才 能加深对以前所学知识的理解。
二、计算科学简介
简单地说，使用计算手段研究自然现象和 社会现象的学科均称为计算科学。例如：计 算物理、计算化学、计算生物学、计算经济 学等，学科领域非常宽广，数值分析是基础。 现在，人们把计算称为科学研究的三大方 法之一。 There are three great branches of science: theory, experiment and computation.
――L.N. Trefethen
计算科学发展趋势
计算科学发展趋势与计算机的发展密切相 关。 计算机的发展趋势：多核化，多CPU化， 集群化，高性能化。 计算科学发展趋势：算法并行化。 如何因应？
我们学院已经成立了高性能计算实验室，购买了 浪潮并行计算机，这学期开设一个并行计算讨论班。 希望我们班有同学参加。
[1] 白峰杉，《数值计算引论》，北京：高等教育出版社， 2004.7 [2] 封建湖，聂玉峰，王振海，《数值分析（第四版）导 教· 导学· 导考》，西安：西北工业大学出版社，2003.6 [3] Michael T.Heath ，张威等译，《科学计算导论（第二 版）》，北京：清华大学出版社，2005.10 [4] 薛毅，《数值分析与实验》，北京：北京工业大学出版 社，2005.3 [5] Curtis F.Gerald, Applied Numerical Analysis (Seventh Edition),北京：高等教育出版社，2006.1 [6] 张韵华，符号计算系统 Mathematica 教程，北京：科学 出版社，2001.11 [7] 徐安农， Mathematica 与数学实验，北京：电子工业出 版社，2004.7
计算数学(数值分析)的基本概念
计算数学(数值分析)的基本概念计算数学是数学的一个分支. 在工程实际工作和科学研究中，寻求问题的解非常重要，这些问题经常转化为数学问题，建立数学模型，然后求解。
尽管许多问题的数学模型具有非常明确、简单明了的解，比如半径为r 的圆的面积s ，长方形的面积等等，但是更多的问题，求得解析解并非易事，而且实践中也不必要。
为此，一般利用计算机、采用一定的计算方法（算法）、求得满足一定精度的数值解（近似解），就足够了。
计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包).1. 数值代数:求解线性和非线性方程的解法，分直接方法和间接方法.2.插值和数值逼近。
3.数值微分和数值积分。
4.常微分方程和偏微分方程数值解法。
算法中常用的技术有：迭代技术、离散化技术、连续化技术等。
评价算法的最明显的标准是：速度和精度。
1. 计算速度——涉及计算量，表现出来是计算时间。
例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行20107.9⨯次运算，如用每秒3千亿次乘法运算的计算机要100年.而目前IBM 生产的“蓝色基因”是世界上运算最快的计算机，每秒运算速度达136.8万亿次。
2.精度——涉及计算结果的准确性，表现为误差。
3.存储量.大型问题必须考虑的.4.数值稳定性.在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关. 例: 一元二次方程x 2-(109+1)x+109=0其精确解为X 1=109，X 2=1.如用求根公式:aacb b x ，24221-±-=和字长为8位的计算器求解，有 91891821010104104=≈⨯-=-ac b ，又9910110≈+，从而999110210)10(=+--≈x ，0210)10(992=---≈x .我们看到2x 与其精确解有着巨大差异.为了防止这种情况的发生，我们采用恒等变形求解可得：()110101024224999222=+--⨯≈-+-=---=acb bc a ac b b x 计算2x 的两个式子从数学上是完全一样的，但拿到计算机上去计算时，由于计算机采用的浮点运算及位数的限制，导致第二根结果差异较大，这充分说明，算法的选择是非常重要的。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析(01) 数值计算与误差分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析
sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析(计算方法)介绍
School of Math. & Phys.
3
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2013-7-13
J. G. Liu
研究对象和主要内容
实际问题 数学模型 算法设计
应用数学
程序设计
计 算 数 学
上机求解
School of Math. & Phys.
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North China Elec. P.U.
School of Math. & Phys.
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2013-7-13
J. G. Liu
给定 a 0 ，求开方值 a 的问题就是要求解方程 （1） x2 a 0
利用校正技术，设计求解 a （ a 0 ）的算法。 设给定某个预报值 x0 ，希望借助于某种简单方法确定校正量 x ，使校正值 能够比较准确地满足方程（1），即使 x0 x a 成立， 2 设校正量 x是个小量，舍去上式中的高阶小量 x ， 近似 2 令 x0 2 x0 x a ，从中定出 x ，继而可得校正值： 问题3:编程实现!要 1 a x1 x0 求：画出流程图， 2 x0 初始值由键盘输入。 反复实施这种预报校正手续，即可导出开方公式 ：
9
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2013-7-13
J. G. Liu
算法设计技术
引例 古希腊哲学家Zeno在两千多年前提出过一个骇人听闻的命题： 一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前面的一只乌龟。这就 是著名的Zeno悖论。 Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设人与龟 同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时间便能追上它； 但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程，从而人又得重新追 赶，如下图所示，这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶 问题，因而这种追赶过程“永远”不会终结。
数值分析简明教程讲义
第1章 绪论数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
1.1 误差的基本概念除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。
数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
一、误差的来源 1、模型误差用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。
观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
3、截断误差（方法误差）在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。
二、绝对误差和相对误差1、绝对误差秘绝对误差限设数x (精确值)有一个近似值为*x ，记 称e(x)为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值*x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值*x 偏小，叫作弱近似值。
数值分析与计算方法
数值分析与计算方法数值分析与计算方法是一门应用数学科学，应对处理数值计算问题的方法与技巧进行研究与应用。
它主要关注如何使用数值方法来近似求解数学问题，特别是那些无法以解析方法解决的问题。
本文将介绍数值分析与计算方法的基本概念、常用算法以及应用领域。
一、数值分析与计算方法的概念数值分析与计算方法是研究如何通过数值计算来解决数学问题的一门学科，它主要包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方程的数值解、线性方程组的数值解等内容。
数值分析与计算方法的研究对象包括数值算法和数值方法，并通过计算机软件和硬件来实现数值计算。
二、常用数值分析与计算方法算法1. 数值逼近：数值逼近是通过有限个已知的点来近似一个函数的值，常用的数值逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
2. 插值与外推：插值与外推是通过已知点列的函数值来确定一个函数，以便在给定区间上任意点处计算函数值。
常用的插值与外推方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
3. 数值微积分：数值微积分是通过数值方法进行微积分运算，包括数值积分和数值微分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
4. 常微分方程的数值解：常微分方程的数值解是通过数值方法求解微分方程的近似解。
常用的数值解法包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法等。
5. 线性方程组的数值解：线性方程组的数值解是通过数值方法求解线性方程组的近似解。
常用的数值解法有高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
三、数值分析与计算方法的应用领域数值分析与计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：数值计算在物理学、化学、生物学等自然科学领域中具有重要的应用，例如在偏微分方程的数值解、数值模拟等方面。
2. 工程计算：数值计算在工程设计、结构分析、电力系统仿真等工程领域中发挥重要作用，例如在有限元分析、流体力学计算等方面。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
第1章 - 数值计算的基本概念
（ 1 ）x ( 0. a1 an ) 10m
(m是整数)，
, 0, , an1, … , 9 中的一个数字。 其中 a1 0, a2为
a x 则从最后一位 a到第一位非零数字 为 的有效数字（共 n位） n 1
x 的绝对误差满足
1 （ 2 ） x x 10m n 2
算法理论主要是连续系统的离散化数
递推性：复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次
重复（适合计算机计算）。
限次计算替代。 计算。
近似替代：在误差允许的范围内，无限次的计算用有 模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程
4
§2 误差与有效数字
误差种类与来源(以计算地球表面积可以用公式 A 4 r 2
1
§1 数值计算（分析）的对象与特点
数值分析：根据实际问题，抽象出数学模型，提出并研究求解 的数值计算方法（算法），计算并进行误差分析。 为了更具体地 说明数值分析 的研究对象， 我们考察用计 算机解决实际 问题时经历的 几个过程：
认识实际问题
数学模型 要求(特点)：
实际可行、 理论可靠、 计算复杂性好
是 1
解： e( x ) x x 103， e( x ) x x 103 , 1 1 1 2 2 2 但是 x 的一个好的近似， x1
不是 2
x
的一个好的近似。 x2
103 103 er ( x1 ) 0.81%， er ( x2 ) 50%. 1.234 0.002
25
由上面的递推公式，可得到下面的计算结果： n
0 0.6321
n
5 0.1455
1
2
0.3679
4. 数值分析简介
——计算方法
计算方法（数值分析）基础
非线性代数方程的求根 插值 数值微分 数值积分 线性方程组 非线性方程组求解 常微分方程数值解 偏微分方程数值解 Monte Carlo方法
数值分析基本方法
无限 →有限 微分 → 代数 近 非线性 → 线性 似 复杂 → 简单
f ti yi,
y
函数f
i 1,2,K ,m
y = p(t) •
(ti, yi)
y = f(t)
0
t
插值应用
许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数 数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论 分析和进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需 要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函 数(或近似函数)。
a
b 2
梯形公式： T f b a f a f b
2
Simpson公式：
S
f
ba
6
f
a 4f
a
2
b
f
b
多项式插值
误差估计
积分公式
复合积分 自适应积分 Gaussian积分 龙贝格(Romberg)积分
A x 1
maxx 0 x minx 0 x
奇异矩阵： condA
线性系统性质：条件数
衡量线性系统的病态程度
relative change in solution cond
relative change in input data
误差
曲线拟合与最小二乘法
数值积分与数值微分
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
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1:
算!
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迭代法的校正技术
有些问题的"大事化小"过程似乎无法了结.Zeno悖论强调人"永远"赶 不上龟正是为了突出这层含义.这是一类无限逼近的过程,适于用所谓预 预 报校正技术来处理. 报校正技术 设人龟起初相距 S ,两者的速度分别为 V 和 v , 则有方程
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直接法的缩减技术
数列求和问题:
S = a0 + a1 + + an
(1)
是最简单的计算模型.若记表示前n项的部分和,则有
b0 = a0 (2) bk = bk 1 + ak , k = 1, 2,, n
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算法设计技术
引例 古希腊哲学家Zeno在两千多年前提出过一个骇人听闻的命题: 一个人不管跑得多快,也追不上爬在他前面的一只乌龟.这就 是著名的Zeno悖论. Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理:设人与龟 同时同向起跑,如果龟不动,那么人经过某段时间便能追上它; 但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程,从而人又得重新追 赶,如下图所示,这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶 问题,因而这种追赶过程"永远"不会终结.
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实际问题
数学模型
算法设计
计
应用数学
算
程序设计
数 学
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利用校正技术,设计求解 a ( a > 0 )的算法. 设给定某个预报值 x 0 ,希望借助于某种简单方法确定校正量 x ,使校正值 能够比较准确地满足方程(1),即使 ( x0 + x )
a11 a1i 1 b1 Di xi = , D = det( A), Di = det D a a bn ni 1 n1
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a1i +1 a1n ani+1 ann
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Numerical Analysis 首先看一个简单的例子:
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x1 x2 = 1 2 x1 x2 = 0
x1 = 1 x2 = 2
(若是更高阶的方程组呢?)
若行列式用按行(列)展开的方法计算 , 用克莱姆法则求解(1)需做乘除法的次数: ( n + 1)( n 1) n ! 当方程组阶数较高时,计算量很大,因此克莱姆法则通常仅有理论上的 价值,计算线性方程组的解还要考虑数值解法 = 算法 + 计算机 计算机. 数值解法 人类的计算能力 计算工具 计算方法 计算能力是计算工具 计算方法效率的乘积,提高计算方法的效 计算能力 计算工具和计算方法 率与提高计算机硬件的效率同样重要.科学计算 科学计算已用到科学技术和社会 科学计算 生活的各个领域中,成为继实验 理论研究 实验和理论研究 实验 理论研究之后的第三种研究方法.
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数值分析(数值计算方法)既有数学类课程中理论上的抽 象性和严谨性,又有实用性和实验性等技术特征,它是一 门理论性 实践性都很强的课程.在70年代,大多数学校 理论性和实践性 理论性 实践性 仅在数学系的计算数学专业 计算机系 计算数学专业和计算机系 计算数学专业 计算机系开设计算方法这门 课程.随着计算机技术的迅速发展和普及,现在计算方法 课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程 理工科大学生的一门必修课程. 理工科大学生的一门必修课程
则计算结果即为所求的和值:
S = bn
(3)
可见,上述累加求和算法的设计思想是将多项求和(1)化归为两项求和 (2)的重复,最终加工成一项和式(3)((1)的退化情形),从而得出 和值. 这样,如果定义和式的项数为数列求和问题的规模 规模,则所求和值为(1) 规模 的退化情形.因之,只要令和式的规模逐次减1,最终当规模为1时即可 直接得出所求的和值,而这样设计出来的算法就是累加求和算法(2). School of Math. & Phys. 13 North China Elec. P.U.
S + vt0 V
V
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程,当k→∞时,tk →t* 当 →∞ →∞时 * (问题2: 证明该结论!).大家知道,任何形式的重复都可看成是 问题2: 问题 "时间"的量度.Zeno在刻画人龟追赶问题中设置了两个"时钟":一 个是日常的钟,另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟,不妨称之为 Zeno钟.Zeno公式(2)表明,当Zeno钟趋于∞时人才能追上龟,Zeno 钟 正是据此断言人永远追不上龟.
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特点
面向计算机 收敛性 有可靠的理论分析 特点 稳定性
时间复杂度 有较好的计算复杂性 空间复杂度 有数值实验
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tk =
S k 1
V
赶的过程: 赶的过程:再令人不动,计算龟在这段时间内爬行的路程 S k = vtk
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若以人和龟之间的距离 S k 定义问题的规模 规模大小,则上述过程将问题规模 规模 压缩了 V 倍:
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数值分析(数值计算方法),是一种研究如何求解数学 问题数值近似解 数值近似解的方法,是在计算机 计算机上使用的解数学问 数值近似解 计算机 题的方法,简称计算方法.包括直接方法 迭代方法 直接方法和迭代方法 直接方法 迭代方法!
引例
数值分析(计算方法 简介 数值分析 计算方法)简介 计算方法
a 11 x 1 + + a 1 n x n = b 1 a x + + a x = b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者:
Ax = b
其中 det(A) ≠ 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解,而且解为:
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数值分析的基本概念
内容: 内容:
算法设计技术 误差 数值计算中需要注意的一些问题 算法的稳定性 病态问题
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直接解法 若计算过程没有舍入误差,经过有限次算术运算就能 求出问题精确解的数值方法. 迭代解法 若计算过程没有舍入误差,也不能经过有限次算术运 算求得问题的精确解,而只能是逐步逼近 逼近的数值方法. 逼近
数值分析(数值计算方法)的计算对象是线性代数,微积 分,常微分方程中的数学问题.内容包括:求解线性方程 求解线性方程 组的数值解法,计算矩阵特征值和特征向量, 组的数值解法,计算矩阵特征值和特征向量,非线性方程 和非线性方程组的迭代解法,插值与拟合, 和非线性方程组的迭代解法,插值与拟合,数值微积分和 常微分方程数值解等问题. 常微分方程数值解等问题.
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tk-1 tk
Sk-1
V
v
Sk
图示: 人龟追赶过程
耐人寻味的是,尽管Zeno悖论的论断极其荒谬,但从算法设计思想的角 度来看它却是极为精辟的.Zeno悖论将人龟追赶问题表达为一连串追赶 步的逐步逼近过程.设人与龟的速度分别为V与v,记Sk表示逼近过程的第 k步人与龟的间距,另以tk 表示相应的时间,相邻两步的时间差为tk . Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过程: 追的过程:先令龟不动,计算人追上龟所费的时间 追的过程: