2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题30 圆的有关性质(含解析)
(完整)2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质(包含答案),推荐文档
2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1.（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2.（2019年山东省德州市）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（ ）130∘140∘150∘160∘A. B. C. D.【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3.（2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．4.（2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．5. （2019年广西贵港市）如图，AD 是⊙O 的直径，=，若∠AOB =40°，则圆周角⏜AB ⏜CD ∠BPC 的度数是（ ）A. B.C. D. 40∘50∘60∘70∘【考点】圆周角定理【解答】解：∵=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC=∠BOC=50°，故选：B ．6. （2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝，则AE ＝（ ）13A ．3B ．3C ．4D ．2233【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接AC ，如图，∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA ，∴AC ＝AD ＝5，∵AE ⊥CB ，。
2019年初中中考数学试卷试题及答案分类汇编：圆
优选文档2019 中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题（天津3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的地址关系是(A) 订交(B) 相离(C) 内切(D) 外切【答案】D。
【考点】圆与圆地址关系的判断。
【解析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距O1O2=7，依照圆与圆地址关系的判断可知两圆外切。
（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的地址关系是A、订交B、外切C、外离D、内含【答案】B。
【考点】两圆的地址关系。
【解析】依照两圆的地址关系的判断：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），订交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的地址关系是外切。
应选B。
3,（内蒙古包头3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的均分线交AC于点D，则∠CDP等于A、30°B、60°C、45°D、50°【答案】【考点】角均分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【解析】连接OC，∵OC=OA，，PD均分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP=45°，即∠CDP=45°。
应选C。
（内蒙古呼和浩特3分）以下列图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为A.14B.15C. 32D. 23.优选文档【答案】B。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题30 圆的有关性质(含解析)
圆的有关性质一.选择题1. （2019•江苏无锡•3分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠P AO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【解答】解：连接OA，如图，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．2. （2019•浙江杭州•3分）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥P A，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝P A＝3．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝P A＝3，故选：B．【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．3.（2019•浙江湖州•4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1. （2019•铜仁•4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°2.（2019•江苏宿迁•3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）．3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝________【答案】155【解析】如图，因为弧AB为50°，则弧AB所对的圆周角为25°，∠E+∠C=180°-25°=155°.4. （2019•广西北部湾经济区•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为______寸．【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5. （2019•广西贺州•10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．6. （2019•广东省广州市•12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．7. （2019•贵州省安顺市•12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cosC＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π．9. （2019•广东省广州市•3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB ＝∠2，可得出结论；（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．【解答】解：（1）证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠OFB，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠2，∴∠1＝∠2．（2）如图②所示⊙M为所求．①①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即⊙M为所求．证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF＝MB，∴∠MBF＝∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C＝90°，∴FM⊥AC，∴⊙M与边AC相切．【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，2. （2019•贵阳•10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A 关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．【分析】（1）由题意可知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA ＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝∠AOC，又∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝PC，又∵PC＝OP＝AB，∴PD＝AB，∴AB＝4PD＝4．【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．3. （2019•天津•10分）已经PA ,PB 分别与圆O 相切于点A ，B ，∠APB =80°，C 为圆O 上一点. （I ）如图①，求∠ACB 得大小；（II ）如图②，AE 为圆O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB =AD ，求∠EAC 的大小.【解析】（I ）如图，连接OA ，OB∵PA ,PB 是圆O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB即：∠OAP =∠OBP =90°∵∠APB =80°∴在四边形OAPB 中，∠AOB =360°-∠OAP -∠OBP -∠APB =100°∵在圆O 中，∠ACB =21∠AOB ∴∠ACB =50°（II ）如图，连接CE∵AE 为圆O 的直径∴∠ACE =90°由（1）知，∠ACB =50°，∠BCE =∠ACE -∠ACB =40°∴∠BAE =∠BCE =40°∵在△ABD 中，AB =AD∴∠ADB =∠ABD =︒=∠︒70)-180(21BAE 又∠ADB 是△ADC 的一个外角，有∠EAC =∠ADB -∠ACB∴∠EAC =20°4.（2019•浙江杭州•12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA ．（1）若∠BAC ＝60°，①求证：OD ＝OA ．②当OA ＝1时，求△ABC 面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE ＝OD ，连接DE ，设∠ABC ＝m ∠OED ，∠ACB ＝n ∠OED （m ，n 是正数），若∠ABC ＜∠ACB ，求证：m ﹣n +2＝0．【分析】（1）①连接OB 、OC ，则∠BOD ＝BOC ＝∠BAC ＝60°，即可求解；②BC 长度为定值，△ABC 面积的最大值，要求BC 边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣mx ﹣nx ＝∠BOC ＝∠DOC ，而∠AOD ＝∠COD +∠AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．5.（2019•四川自贡•8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．6.（2019•浙江湖州•10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB，即可求解；（2）证明CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；（2）过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），则CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l1与⊙Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m＝3；故点P的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．7. （2019•广西贺州•10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．8. （2019•广东省广州市•12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵BC＝CD，∴＝，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x＝，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．9. （2019•贵州省安顺市•12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cosC＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．10. （2019•广西北部湾经济区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD=∠CBD；（2）若∠AEB=125°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB=125°，∴∠AEC=55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE=90°，∴∠CAE=35°，∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠BOD=2∠BAD=70°，∴的长==π．【解析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．11. （2019•甘肃省庆阳市•10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：圆(填空题)含答案解析
2019年全国中考数学真题精选分类汇编：圆（填空题）含答案解析一．填空题（共40小题）1．（2019•铁岭）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为．2．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．3．（2019•青海）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为．4．（2019•莱芜区）用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是cm．5．（2019•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB ＝30°，则的长为．6．（2019•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为．7．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．8．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．9．（2019•鄂尔多斯）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．10．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．11．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．12．（2019•雅安）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为．13．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为．14．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．15．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．16．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；17．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．18．（2019•包头）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为．19．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．20．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．21．（2019•贵阳）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．22．（2019•鸡西）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．23．（2019•齐齐哈尔）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为cm．24．（2019•绥化）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为．25．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．26．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．27．（2019•贺州）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度．28．（2019•贵港）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．29．（2019•烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．30．（2019•河池）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．31．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．32．（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．33．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．34．（2019•荆州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为．35．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．36．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）37．（2019•咸宁）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．38．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．39．（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．40．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为．2019年去全国中考数学真题精选分类汇编：圆（填空题）含答案解析参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．（2019•铁岭）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为8π．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OAC，根据题意和三角形内角和定理求出∠AOB，代入弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝70°，∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝10°，∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则的长＝＝8π，故答案为：8π．【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．2．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝4．【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，由等腰三角形的性质得到AB＝2OD＝2×2＝4，得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，求得∠ABD＝∠ADB＝45°，求得AD＝AB＝4，于是得到DC＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．3．（2019•青海）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为1．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积＝S△CEB，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE＝BE，∠AEB＝90°，且阴影部分面积＝S△CEB＝S△ABC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1故答案为1【点评】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．4．（2019•莱芜区）用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是10cm．【分析】求得圆锥的母线的长利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为l，则＝10π，解得：l＝15，∴圆锥的高为：＝10，故答案为：10【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长，难度不大．5．（2019•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB ＝30°，则的长为2π．【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，故答案为：2π．【点评】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．6．（2019•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为3．【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．【分析】根据已知条件得到∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．8．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．【分析】根据垂径定理得到AD＝4，由勾股定理得到OD＝＝3，求得OA﹣OD＝2，根据弧田面积＝（弦×矢+矢2）即可得到结论．【解答】解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．9．（2019•鄂尔多斯）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是3π﹣．【分析】根据S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．【解答】解：连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．【点评】本题考查扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．10．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．11．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．（2019•雅安）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．13．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．14．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．15．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos ∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．16．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．17．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2019•包头）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为2．【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BCD＝90°＝∠CAB，证明△ABC∽△CBD，得出＝，即可得出结果．【解答】解：连接CD，如图：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°＝∠CAB，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，∴BC＝＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．19．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC 是解题的关键．20．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE＝BE＝，再由勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，∵OE⊥BC，∴OE＝BE＝，即a＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．21．（2019•贵阳）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是4π．【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，OA⊥OB，OA＝OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．22．（2019•鸡西）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是150°．【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得：n＝150故答案为150°．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．23．（2019•齐齐哈尔）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为4cm．【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝3，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．24．（2019•绥化）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为12．【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可．【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得：＝2π×4，解得：l＝12，故答案为：12．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．25．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．26．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC ＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．27．（2019•贺州）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90度．【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π•1＝，解得n＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．故答案为：90．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．28．（2019•贵港）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．【分析】利用弧长＝圆锥的底面周长这一等量关系可求解．【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠BAO＝30°，AM＝，∴OA＝2，∵＝2πr，∴r＝故答案是：【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．29．（2019•烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为π﹣2．【分析】连接OB，作OH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，再根据三角形内切圆的性质得OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝BH＝，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O进行计算．【解答】解：连接OB，作OH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB ﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．故答案为π﹣2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质和扇形面积公式．30．（2019•河池）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．【分析】由切线的性质得出P A＝PB，P A⊥OA，得出∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．31．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．32．（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝π﹣3．【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．【解答】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝π，∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，∴过A作AC⊥OB，∴AC＝OA＝，∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，∴则S﹣S1＝π﹣3，故答案为：π﹣3．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．33．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．34．（2019•荆州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为4和2.56．【分析】根据切线的性质得出△ABD是直角三角形，DB2＝CD•AD，根据勾股定理求得AB，即可求得AE，然后分两种情况求得AP的长即可．【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，∴AB⊥BD，∴AB＝＝＝8，当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，∴EP经过圆心O，∴AP＝AO＝4；当∠APE＝90°时，则EP∥BD，∴＝，∵DB2＝CD•AD，∴CD＝＝＝3.6，∴AC＝10﹣3.6＝6.4，∴AE＝3.2，∴＝，∴AP＝2.56．综上AP的长为4和2.56．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，平行线的判定和性质，分类讨论是解题的关键．35．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为：144．【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．36．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，。
2019年中考数学试题汇编：圆的概念及性质填空题(解析版)
1.（2019年四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．2.（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝2．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3.（2019年宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．4.（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．5.（2019年黑龙江省绥化市）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC ＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．6.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．7.（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9.（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．10.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11.（2019年广西北海市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12.（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.（2019年江苏省苏州市）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为5．【分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【解答】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．14.（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．16.（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是16π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为4，∴⊙O的面积是16π，故答案为：16π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17.（2019年安徽省）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.（2019年江苏省盐城市）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19.（2019年江苏省连云港市）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．20.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝1＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．21.（2019年江苏省南京市）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．22.（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23.（2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．。
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题30 圆的有关性质(含解析)(002)
圆的有关性质一.选择题1.（2019湖北宜昌3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2. （2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB ＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3. （2019·贵州安顺·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：D．4. （2019•河北省•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．C．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．5. （2019•贵州省铜仁市•4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；100°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，6. （2019•海南省•3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．7．（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2【分析】连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，P A＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．【解答】解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D 作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝F A＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．9．(2019•湖北宜昌•3分)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( ) A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1.（2019•湖北省随州市•3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______．【答案】40°【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2.（2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．3. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4. （2019•黑龙江省绥化市•3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．答案：53或52考点：等边三角形，三角函数。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题30圆的有关性质(含解析)
圆的相关性质一.选择题1. （2019?江苏无锡 ?3 分）如图， PA 是⊙ O 的切线，切点为A，PO 的延伸线交⊙O 于点 B，若∠ P＝ 40°，则∠B 的度数为（）A ．20°B ．25°C． 40°D． 50°【剖析】连结 OA，如图，依据切线的性质得∠ PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，而后依据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠ B 的度数．【解答】解：连结OA，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴ OA⊥ AP，∴∠ PAO＝ 90°，∵∠ P＝ 40°，∴∠ AOP＝ 50°，∵OA＝ OB，∴∠ B＝∠ OAB，∵∠ AOP＝∠ B+∠ OAB，∴∠ B＝∠AOP＝×50°＝25°．应选： B．【评论】本题考察了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，结构定理图，得出垂直关系．2. （ 2019?浙江杭州 ?3 分）如图， P 为圆 O 外一点， PA，PB 分别切圆O 于 A， B 两点，若PA＝ 3，则 PB ＝（）A ．2B ．3 C． 4 D． 5OA⊥ PA ， OB⊥PB ，而后证得【剖析】连结 OA 、 OB 、 OP，依据切线的性质得出Rt△ AOP≌ Rt△ BOP，即可求得 PB＝ PA＝ 3．【解答】解：连结 OA、 OB、 OP，∵PA， PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，∴ OA⊥ PA， OB⊥PB，在 Rt△AOP 和 Rt △BOP 中，，∴Rt△AOP≌ Rt△ BOP（ HL ），∴PB＝ PA＝ 3，应选： B．【评论】本题考察了切线长定理，三角形全等的判断和性质，作出协助线依据全等三角形是解题的重点．3.（ 2019?浙江湖州 ?4 分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 30°．【剖析】直接依据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝ 30°．故答案为30°．【评论】本题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1. （ 2019?铜仁 ?4 分）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠ A＝100°，则∠DCE的度数为；【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，∴∠ DCE＝∠ A＝ 100°，故答案为： 100°2．2（. 2019?江苏宿迁 ?3分）直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为【剖析】先利用勾股定理计算出斜边的长，而后利用直角三角形的内切圆的半径为（此中 a、 b 为直角边， c 为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，因此它的内切圆半径＝＝ 2．故答案为2．【评论】本题考察了三角形的内切圆与心里：三角形的心里到三角形三边的距离相等；三角形的心里与三角形极点的连线均分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（此中 a、 b 为直角边， c 为斜边）．3.（ 2 019 江·苏盐城·3 分）如图，点 A、B、 C、 D、 E 在⊙ O 上，且弧 AB 为 50°，则∠ E＋∠C＝ ________【答案】 155【分析】如图，由于弧AB 为 50°，则弧 AB 所对的圆周角为25°，∠ E+∠C=180°-25 °=155°.4.（ 2019?广西北部湾经济区 ?3 分）《九章算术》作为古代中国以致东方的第一部自成系统的数学专著，与古希腊的《几何本来》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记录有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学依据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道AB=1 尺（ 1 尺 =10【答案】 26【分析】寸），则该圆材的直径为______寸．解：设⊙ O 的半径为r．在 Rt△ ADO 中， AD=5 ，OD=r-1， OA=r，则有 r2=52+（ r -1）2，解得 r=13 ，∴⊙ O 的直径为 26 寸，故答案为： 26．设⊙ O 的半径为2 2 2r．在 Rt△ ADO 中， AD=5 ，OD=r-1， OA=r，则有 r =5 +（ r -1），解方程即可．本题考察垂径定理、勾股定理等知识，解题的重点是学会利用参数建立方程解决问题，属于中考常考题型．5.（ 2019?广西贺州 ?10 分）如图， BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 订交于点 E，AF 与⊙ O 相切于点 A，交 DB 的延伸线于点 F，∠ F＝ 30°，∠ BAC＝ 120°， BC＝ 8．（1）求∠ ADB 的度数；（2）求 AC 的长度．【剖析】（ 1）由切线的性质得出AF ⊥ OA，由圆周角定理好已知条件得出∠ F＝∠ DBC，证出AF ∥ BC，得出OA⊥ BC，求出∠ BOA＝ 90°﹣ 30°＝ 60°，由圆周角定理即可得出结果；（ 2）由垂径定理得出BE＝ CE＝BC＝ 4，得出AB＝ AC，证明△ AOB 是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝ 4，求出OE＝，即可得出AC＝ AB＝ OB＝ 2OE＝．【解答】解：（ 1）∵ AF 与⊙O 相切于点A，∴ AF⊥ OA，∵ BD 是⊙O 的直径，∴∠ BAD＝ 90°，∵∠ BAC＝ 120°，∴∠ DAC＝ 30°，∴∠ DBC＝∠ DAC＝ 30°，∵∠ F＝ 30°，∴∠ F＝∠ DBC，∴AF∥ BC，∴OA⊥ BC，∴∠ BOA＝ 90°﹣ 30°＝ 60°，∴∠ ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵ OA⊥ BC，∴BE＝ CE＝ BC ＝4，∴AB＝ AC，∵∠ AOB＝ 60°， OA＝ OB，∴△ AOB 是等边三角形，∴AB＝ OB，∵∠ OBE＝ 30°，∴OE＝ OB， BE＝OE＝4，∴OE＝，∴ AC＝ AB＝ OB＝ 2OE＝．【评论】本题考察了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判断与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；娴熟掌握切线的性质和圆周角定理，证出 OA⊥ BC 重点．是解题的6.（ 2019?广东省广州市 ?12 分）如图，⊙ O 的直径 AB＝ 10，弦 AC＝8，连结 BC ．（1）尺规作图：作弦 CD，使 CD ＝ BC（点 D 不与 B 重合），连结 AD ；（保存作图印迹，不写作法）（ 2）在（ 1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长．【剖析】（ 1）以 C 为圆心， CB 为半径画弧，交⊙ O 于 D ，线段 CD 即为所求．（ 2）连结 BD ， OC 交于点 E ，设 OE ＝ x ，建立方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：（ 1）如图，线段 CD 即为所求．（ 2）连结 BD ， OC 交于点 E ，设 OE ＝ x ． ∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝ 90°，∴BC ＝＝ ＝6，∵ BC ＝ CD ，∴＝ ，∴ OC ⊥BD 于 E ．∴ BE ＝ DE ，∵ BE 2＝ BC 2﹣ EC 2＝ OB 2﹣OE 2，∴ 62﹣（ 5﹣ x ） 2＝ 52﹣x 2，解得 x ＝ ，∵ BE ＝ DE ， BO ＝OA ，∴ AD ＝ 2OE ＝，∴ 四边形 ABCD 的周长＝ 6+6+10+＝．【评论】本题考察作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的重点是学会利用参数，建立方程解决问题．7.（ 2019?贵州省安顺市 ?12 分）如图，在△ ABC 中，AB＝ AC，以 AB 为直径的⊙ O 与边 BC，AC 分别交于 D， E 两点，过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H．（1）判断 DH 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（2）求证： H 为 CE 的中点；（ 3）若 BC＝ 10， cosC＝，求AE的长．【解答】（ 1）解： DH 与⊙ O 相切．原因以下：连结 OD、 AD ，如图，∵ AB 为直径，∴∠ ADB＝ 90°，即 AD ⊥BC ，∵AB＝AC，∴ BD＝ CD，而 AO＝ BO，∴OD 为△ ABC 的中位线，∴OD ∥AC，∵DH ⊥AC，∴OD⊥DH，∴ DH 为⊙ O 的切线；（ 2）证明：连结DE，如图，∵四边形 ABDE 为⊙ O 的内接四边形，∴∠ DEC＝∠ B，∵AB＝ AC，∴∠ B＝∠C，∴∠ DEC＝∠ C，∵DH ⊥CE，∴ CH ＝ EH，即 H 为 CE 的中点；（3）解：在 Rt△ ADC 中， CD ＝ BC＝ 5，∵ cosC＝＝，∴AC＝ 5 ，在 Rt△ CDH 中，∵ cosC＝＝，∴CH＝，∴ CE＝ 2CH ＝2 ，∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝ 3 ．8.如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形， AB 为⊙O 直径， AB＝ 6，AD 均分∠ BAC，交 BC 于点E，交⊙O 于点 D，连结 BD．（ 1）求证：∠ BAD ＝∠ CBD；（ 2）若∠ AEB＝ 125°，求的长（结果保存π）．【剖析】（ 1）依据角均分线的定义和圆周角定理即可获得结论；（2）连结 OD，依据平角定义获得∠ AEC＝ 55°，依据圆周角定理获得∠ ACE＝ 90°，求得∠ CAE＝ 35°，获得∠ BOD ＝ 2∠ BAD ＝ 70°，依据弧长公式即可获得结论．【解答】（ 1）证明：∵ AD 均分∠ BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠ CAD＝∠ CBD，∴∠ BAD＝∠ CBD；（2）解：连结 OD，∵∠ AEB＝125°，∴∠ AEC＝ 55°，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ ACE＝ 90°，∴∠ CAE＝ 35°，∴∠ DAB＝∠ CAE＝35°，∴∠ BOD＝ 2∠BAD ＝ 70°，∴的长＝＝π．9.（ 2019?广东省广州市 ?3 分）平面内，⊙ O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙ O 的切线条数为（A．0条）B．1 条C．2 条D．无数条【剖析】先确立点与圆的地点关系，再依据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙ O的半径为1，点 P 到圆心 O 的距离为2，∴d＞ r，∴点 P 与⊙O 的地点关系是： P 在⊙O 外，∵过圆外一点能够作圆的 2 条切线，应选： C．【评论】本题主要考察了对点与圆的地点关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有 1 个公共点的直线，理解定义是重点．三.解答题1.（ 2019?江苏宿迁 ?10 分）在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°．（1）如图①，点 O 在斜边 AB 上，以点 O 为圆心， OB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交BC 于点 E，与边 AC 相切于点 F ．求证：∠ 1＝∠2；（ 2）在图②中作⊙ M，使它知足以下条件：①圆心在边AB 上；②经过点 B；③与边 AC 相切．（尺规作图，只保存作图印迹，不要求写出作法）【剖析】（ 1）连结 OF ，可证得 OF ∥ BC，联合平行线的性质和圆的特征可求得∠ 1＝∠ OFB ＝∠ 2，可得出结论；（2）由（ 1）可知切点是∠ ABC 的角均分线和 AC 的交点，圆心在 BF 的垂直均分线上，由此即可作出⊙M ．【解答】解：（ 1）证明：如图①，连结 OF，∵AC 是⊙O 的切线，∴ OE⊥ AC，∵∠ C＝ 90°，∴OE∥ BC，∴∠ 1＝∠OFB，∵ OF＝ OB，∴∠ OFB＝∠2，∴∠ 1＝∠2．（2）如图②所示⊙ M 为所求．①①作∠ABC 均分线交AC 于 F 点，②作 BF 的垂直均分线交AB 于 M，以 MB 为半径作圆，即⊙M 为所求．证明：∵ M 在 BF 的垂直均分线上，∴MF ＝MB，∴∠ MBF＝∠MFB，又∵BF 均分∠ABC，∴∠ MBF ＝∠CBF ，∴∠ CBF＝∠ MFB ，∴MF ∥BC，∵∠ C＝ 90°，∴FM ⊥AC，∴⊙ M 与边 AC 相切．【评论】本题主要考察圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连结圆心和切点的半径与切线垂直是解题的重点，2. （ 2019?贵阳 ?10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙ O 上一点，连结 OP，点 A 对于OP 的对称点 C 恰巧落在⊙O 上．（ 1）求证： OP∥ BC；（ 2）过点 C 作⊙ O 的切线 CD ，交 AP 的延伸线于点D．假如∠ D＝ 90°，DP ＝1，求⊙O 的直径．【剖析】（ 1）由题意可知＝，依据同弧所对的圆心角相等获得∠AOP＝∠POC ＝∠AOC，再依据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ ABC＝∠ AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO 与 BC 平行；（ 2）由 CD 为圆 O 的切线，利用切线的性质获得OC 垂直于 CD ，又 AD 垂直于 CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行获得OC 与 AD 平行，依据两直线平行内错角相等获得∠ APO ＝∠ COP，由∠ AOP＝∠ COP，等量代换可得出∠APO＝∠ AOP，再由 OA ＝ OP，利用等边平等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP 三内角相等，确立出三角形AOP 为等边三角形，依据等边三角形的内角为60°获得∠ AOP 为 60°，由OP 平行于 BC ，利用两直线平行同位角相等可得出∠ OBC＝∠ AOP＝60°，再由 OB＝ OC，获得三角形 OBC 为等边三角形，可得出∠COB 为 60°，利用平角的定义获得∠ POC 也为60°，再加上 OP＝OC，可得出三角形 POC 为等边三角形，获得内角∠ OCP 为 60°，可求出∠PCD 为 30°，在直角三角形PCD 中，利用 30°所对的直角边等于斜边的一半可得出 PD 为 PC 的一半，而 PC 等于圆的半径 OP 等于直径 AB 的一半，可得出 PD 为 AB 的四分之一，即AB＝ 4PD＝ 4．【解答】（ 1）证明：∵ A 对于 OP 的对称点 C 恰巧落在⊙ O 上．∴ ＝∴∠ AOP＝∠ COP，∴∠ AOP＝∠AOC，又∵∠ ABC＝∠AOC，∴∠ AOP＝∠ ABC，∴PO∥ BC；（ 2）解：连结PC，∵ CD 为圆 O 的切线，∴OC⊥ CD，又 AD⊥ CD，∴OC∥ AD，∴∠ APO＝∠ COP，∵∠ AOP＝∠ COP，∴∠ APO＝∠ AOP，∴OA＝AP，∵ OA＝ OP，∴△ APO 为等边三角形，∴∠ AOP＝ 60°，又∵ OP∥BC，∴∠ OBC＝∠ AOP＝ 60°，又 OC＝ OB，∴△ BCO 为等边三角形，∴∠ COB＝ 60°，∴∠ POC＝ 180°﹣（∠ AOP+∠COB）＝ 60°，又 OP＝ OC，∴△ POC 也为等边三角形，∴∠ PCO＝ 60°， PC＝ OP＝ OC，又∵∠ OCD ＝ 90°，∴∠ PCD＝ 30°，在 Rt△ PCD 中， PD ＝ PC，又∵ PC＝ OP＝ AB，∴PD＝ AB，∴AB＝ 4PD ＝ 4．【评论】本题考察了切线的性质，等边三角形的判断与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判断与性质，娴熟掌握性质及判断是解本题的重点．3.（ 2019?天津?10分）已经 PA,PB分别与圆 O相切于点 A， B，∠ APB=80 °， C为圆 O上一点 . （I）如图①，求∠ ACB得大小；（I I ）如图②， AE为圆 O的直径， AE与 BC订交于点 D，若 AB=AD，求∠ EAC的大小 .【分析】（ I）如图，连结 OA， OB∵PA ,PB是圆 O的切线，∴OA⊥ PA， OB⊥ PB即：∠ OAP=∠ OBP=90°∵∠ APB=80°∴在四边形 OAPB 中，∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠APB =100°∵在圆 O中，∠ ACB= 1∠ AOB 2∴∠ ACB=50°（II ）如图，连结 CE∵AE 为圆 O的直径∴∠ ACE=90°由（ 1）知，∠ ACB=50°，∠ BCE =∠ ACE-∠ ACB=40°∴∠ BAE=∠ BCE=40°∵在△ ABD中， AB=AD∴∠ ADB =∠ ABD = 1(180 - BAE ) 70 2又∠ ADB 是△ ADC 的一个外角，有∠ EAC=∠ ADB -∠ ACB∴∠ EAC=20°4.（ 2019?浙江杭州 ?12 分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O， OD ⊥ BC 于点 D，连结OA．（1）若∠ BAC＝ 60°，①求证： OD ＝ OA．②当 OA＝1 时，求△ ABC 面积的最大值．（2）点 E 在线段 OA 上， OE＝OD ，连结 DE ，设∠ ABC ＝m∠OED ，∠ACB＝ n∠OED （m， n 是正数），若∠ ABC＜∠ACB，求证： m﹣ n+2＝ 0．【剖析】（ 1）①连结OB、OC，则∠ BOD ＝BOC＝∠ BAC＝ 60°，即可求解；② BC 长度为定值，△ ABC 面积的最大值，要求BC 边上的高最大，即可求解；（ 2）∠BAC＝ 180°﹣∠ ABC﹣∠ ACB＝ 180°﹣ mx﹣ nx＝∠BOC＝∠ DOC，而∠AOD＝∠COD+∠ AOC＝ 180°﹣ mx﹣ nx+2mx＝ 180°+mx﹣ nx，即可求解．【解答】解：（ 1）①连结 OB、 OC，则∠ BOD＝BOC＝∠BAC＝ 60°，∴∠ OBC＝ 30°，∴ OD ＝OB＝OA；②∵ BC 长度为定值，∴△ ABC 面积的最大值，要求BC 边上的高最大，当 AD 过点 O 时， AD 最大，即： AD＝AO+OD ＝△ ABC 面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin 60 （ 2）如图 2，连结 OC，，°× ＝；设：∠OED ＝ x，则∠ ABC＝ mx，∠ ACB＝ nx，则∠ BAC＝ 180°﹣∠ ABC﹣∠ ACB ＝180°﹣ mx﹣nx＝∠ BOC＝∠DOC，∵∠ AOC＝ 2∠ABC＝ 2mx，∴∠ AOD＝∠COD +∠AOC＝ 180°﹣ mx﹣ nx+2mx＝ 180°+mx﹣ nx，∵OE＝ OD，∴∠ AOD＝ 180°﹣ 2x，即： 180°+mx﹣ nx＝ 180°﹣ 2x，化简得： m﹣n+2＝ 0．【评论】本题为圆的综合运用题，波及到解直角三角形、三角形内角和公式，此中（ 2），∠ AOD＝∠ COD+∠ AOC 是本题简单忽略的地方，本题难度适中．5（. 2019?四川自贡 ?8 分）如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 订交于点 E， AB＝ CD ，连结 AD 、 BC．求证：（ 1）＝；（2）AE＝CE．【剖析】（ 1）由 AB ＝CD 知＝（2）由＝知AD＝BC ，即+＝，联合∠ADE+，据此可得答案；＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE 可证△ADE≌△CBE ，进而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD ，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝ BC，又∵∠ ADE ＝∠CBE，∠ DAE＝∠ BCE，∴△ ADE≌△ CBE（ASA），∴AE＝ CE．【评论】本题主要考察圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，① 圆心角相等，② 所对的弧相等，③ 所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其他二项皆相等．6.（2019?浙江湖州 ?10 分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 1分别交 x 轴和 y 轴于点 A（﹣ 3， 0）， B（ 0， 3）．（1）如图 1，已知⊙ P 经过点 O，且与直线 l1相切于点 B，求⊙ P 的直径长；（2）如图 2，已知直线 l2： y＝ 3x﹣ 3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D，点 Q 是直线 l2上的一个动点，以①当点Q与点CQ 为圆心， 2为半径画圆．重合时，求证：直线l 1与⊙Q 相切；②设⊙Q 与直线l1订交于M， N 两点，连结QM ， QN．问：能否存在这样的点Q，使得△ QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．【剖析】（ 1）证明△ ABC 为等腰直角三角形，则⊙ P的直径长＝BC＝AB，即可求解；（ 2）证明 CM ＝ACsin 45°＝ 4×＝2＝圆的半径，即可求解；（ 3）分点 M、 N 在两条直线交点的下方、点M、N 在两条直线交点的上方两种状况，分别求解即可．【解答】解：（ 1）如图 1，连结 BC，∵∠ BOC＝ 90°，∴点 P 在 BC 上，∵⊙ P 与直线 l1相切于点B，∴∠ ABC＝ 90°，而 OA＝OB ，∴△ ABC 为等腰直角三角形，则⊙ P 的直径长＝ BC＝ AB＝ 3 ；（ 2）过点作 CM⊥ AB，由直线 l 2：y＝ 3x﹣ 3 得：点 C（ 1， 0），则 CM ＝ ACsin 45°＝ 4×＝ 2 ＝圆的半径，故点 M 是圆与直线l 1的切点，即：直线l1与⊙ Q 相切；（ 3）如图 3，①当点 M、 N 在两条直线交点的下方时，由题意得： MQ＝ NQ，∠ MQN ＝90°，设点 Q 的坐标为（ m， 3m﹣ 3），则点N（ m， m+3），则 NQ＝m+3﹣3m+3＝ 2 ，解得： m＝ 3﹣；②当点 M、 N 在两条直线交点的上方时，同理可得： m＝ 3 ；故点 P 的坐标为（ 3﹣， 6﹣3 ）或（ 3+ ， 6+3 ）．【评论】本题为圆的综合运用题，波及到一次函数、圆的切线性质等知识点，此中（ 2），重点要确立圆的地点，分类求解，防止遗漏．7.（ 2019?广西贺州 ?10 分）如图， BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 订交于点 E，AF 与⊙ O 相切于点 A，交 DB 的延伸线于点 F，∠ F＝ 30°，∠ BAC＝ 120°， BC＝ 8．（1）求∠ ADB 的度数；（2）求 AC 的长度．【剖析】（ 1）由切线的性质得出AF ⊥ OA，由圆周角定理好已知条件得出∠ F＝∠ DBC，证出AF ∥ BC，得出OA⊥ BC，求出∠ BOA＝ 90°﹣ 30°＝ 60°，由圆周角定理即可得出结果；（ 2）由垂径定理得出BE＝ CE＝BC＝ 4，得出 AB＝ AC，证明△ AOB 是等边三角形，得出 AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝ 4，求出 OE＝，即可得出AC＝ AB＝ OB＝ 2OE＝．【解答】解：（ 1）∵ AF 与⊙ O 相切于点A，∴ AF⊥ OA，∵ BD 是⊙O 的直径，∴∠ BAD＝ 90°，∵∠ BAC＝ 120°，∴∠ DAC＝ 30°，∴∠ DBC＝∠ DAC＝ 30°，∵∠ F＝ 30°，∴∠ F＝∠ DBC，∴ AF∥ BC，∴ OA⊥ BC，∴∠ BOA＝ 90°﹣ 30°＝ 60°，∴∠ ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵ OA⊥ BC，∴BE＝ CE＝ BC ＝4，∴AB＝ AC，∵∠ AOB＝ 60°， OA＝ OB，∴△ AOB 是等边三角形，∴AB＝ OB，∵∠ OBE＝ 30°，∴OE＝ OB， BE＝OE＝4，∴OE＝，∴ AC＝ AB＝ OB＝ 2OE＝．【评论】本题考察了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判断与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；娴熟掌握切线的性质和圆周角定理，证出 OA⊥ BC 重点．是解题的8.（ 2019?广东省广州市 ?12 分）如图，⊙ O 的直径 AB＝ 10，弦 AC＝8，连结 BC ．（1）尺规作图：作弦 CD，使 CD ＝ BC（点 D 不与 B 重合），连结 AD ；（保存作图印迹，不写作法）（ 2）在（ 1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长．【剖析】（ 1）以 C 为圆心， CB 为半径画弧，交⊙ O于D，线段CD即为所求．（2）连结 BD ， OC 交于点 E，设 OE＝ x，建立方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：（ 1）如图，线段 CD 即为所求．（ 2）连结 BD ， OC 交于点 E ，设 OE ＝x ． ∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝ 90°，∴BC ＝＝ ＝6，∵ BC ＝ CD ，∴＝ ，∴ OC ⊥BD 于 E ．∴ BE ＝ DE ，∵ BE 2＝ BC 2﹣ EC 2＝ OB 2﹣OE 2，∴ 62﹣（ 5﹣ x ） 2＝ 52﹣x 2，解得 x ＝ ，∵ BE ＝ DE ， BO ＝OA ，∴ AD ＝ 2OE ＝ ，∴ 四边形 ABCD 的周长＝ 6+6+10+＝ ．【评论】本题考察作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的重点是学会利用参数，建立方程解决问题．9. （ 2019?贵州省安顺市 ?12 分）如图，在 △ ABC 中，AB ＝ AC ，以 AB 为直径的 ⊙ O 与边 BC ， AC 分别交于 D ， E 两点，过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H ．（ 1）判断 DH 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（ 2）求证： H 为 CE 的中点；（ 3）若 BC ＝ 10， cosC ＝ ，求 AE 的长．【解答】（ 1）解： DH 与⊙ O 相切．原因以下：连结 OD、 AD ，如图，∵ AB 为直径，∴∠ ADB＝ 90°，即 AD ⊥BC ，∵AB＝AC，∴ BD＝ CD，而 AO＝ BO，∴ OD 为△ ABC 的中位线，∴ OD ∥AC，∵DH ⊥AC，∴OD ⊥DH ，∴DH 为⊙ O 的切线；（ 2）证明：连结DE，如图，∵四边形 ABDE 为⊙ O 的内接四边形，∴∠ DEC＝∠ B，∵AB＝ AC，∴∠ B＝∠C，∴∠ DEC＝∠ C，∵DH ⊥CE，∴ CH ＝ EH，即 H 为 CE 的中点；（3）解：在 Rt△ ADC 中， CD ＝ BC＝ 5，∵ cosC＝＝，∴AC＝ 5，在 Rt△ CDH 中，∵ cosC＝＝，∴CH＝，∴ CE＝ 2CH ＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝3 ．10.（ 2019?广西北部湾经济区）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D，连结 BD．（1）求证：∠BAD =∠ CBD；（ 2）若∠ AEB=125°，求的长（结果保存π）．【答案】（1）证明：∵ AD 均分∠ BAC，∴∠ CAD =∠BAD ，∵∠ CAD =∠CBD ，∴∠ BAD =∠ CBD ；（2）解：连结 OD ，∵∠ AEB=125°，∴∠ AEC=55°，∵AB 为⊙ O 直径，∴∠ ACE=90°，∴∠ CAE=35°，∴∠ DAB =∠ CAE=35°，∴∠ BOD=2∠ BAD =70°，∴的长 == π．【分析】（1）依据角均分线的定义和圆周角定理即可获得结论；（ 2 ）连结 OD ，依据平角定义获得∠ AEC=55°，依据圆周角定理获得∠ACE=90°，求得∠CAE =35°，获得∠ BOD =2∠ BAD =70°，依据弧长公式即可获得结论．本题考察了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的辨别图形是解题的重点．11.（ 2019?甘肃省庆阳市 ?10 分）如图，在△ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 120 °，点 D 在 BC边上，⊙ D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边订交于点E．（1）求证： AC 是⊙D 的切线；（2）若 CE＝ 2 ，求⊙ D 的半径．【剖析】（1）连结 AD ，依据等腰三角形的性质获得∠ B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠ B＝30°，求得∠ ADC ＝ 60°，依据三角形的内角和获得∠ DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是获得AC 是⊙D 的切线；（ 2）连结 AE ，推出△ADE 是等边三角形，获得AE ＝DE ，∠ AED ＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠ C＝ 30°，获得 AE＝CE ＝2 ，于是获得结论．【解答】（ 1）证明：连结 AD，∵ AB＝ AC，∠BAC＝ 120°，∴∠ B＝∠ C＝ 30°，∵ AD＝ BD，∴∠ BAD＝∠ B＝ 30°，∴∠ ADC＝ 60°，∴∠ DAC＝ 180°﹣ 60°﹣ 30°＝90°，∴ AC 是⊙D 的切线；（ 2）解：连结 AE，∵ AD＝ DE，∠ ADE ＝ 60°，∴△ ADE 是等边三角形，∴ AE＝ DE ，∠AED ＝ 60°，∴∠ EAC＝∠ AED ﹣∠ C＝30°，∴∠ EAC＝∠ C，∴AE＝ CE＝ 2 ，∴⊙D 的半径 AD＝2．【评论】本题考察了切线的判断和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判断和性质，正确的作出协助线是解题的重点．。
全国专卷2019年中考数学真题分类解析汇编 31圆的有关性质
圆的有关性质一、选择题1. （2014•珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．2. （2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．3．（2014•温州，第8题4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．解答：解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．故选A．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.（2014•毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（）A．方差越大，说明数据就越稳定B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变C．不在同一直线上的三点确定一个圆D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点：方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件分析：利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；C、正确；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误．故选C．点评：本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单．5.（2014•毕节地区，第6题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．3考点：垂径定理；勾股定理分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．6.（2014•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．解答：解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B===，∴AC=．故选D．点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.（2014•武汉，第10题3分）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．解答：解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=．在Rt△BFP和Rt△OAF中，，∴Rt△BFP∽RT△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，解得BF =r ，∴tan ∠APB ===，故选：B ．点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．8．（2014·台湾，第10题3分）如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则的度数为何？( )A ．23B ．28C ．30D ．37分析：由有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，可求得与的度数，继而求得答案．解：∵有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点，∴＝2×∠C ＝2×46°═92°，＝2×∠B ＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋， ∴＝12(148﹣92)＝28°．故选B ．点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．（2014·台湾，第21题3分）如图，G 为△ABC 的重心．若圆G 分别与AC 、BC 相切，且与AB 相交于两点，则关于△ABC 三边长的大小关系，下列何者正确？( )A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．解：∵G为△ABC的重心，∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，又∵GH a＝GH b＞GH c，∴BC＝AC＜A B．故选D．点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键．10．（2014•浙江湖州，第4题3分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11.（2014•孝感，第10题3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④考点：垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．解答：解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正确；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B．点评：本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．12.（2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3B．3C．D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面积为2π∴⊙O的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC 的面积=•BC •OD =××=，∴△ABC 的面积=3S △BOC =3×=．故选C ．点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．二.填空题1．（2014•舟山，第16题4分）如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB =8，∠CBA =30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE =CF ；②线段EF 的最小值为2；③当AD =2时，EF 与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD =2；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是16．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．考点： 圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：推理填空题． 分析： （1）由点E 与点D 关于AC 对称可得CE =CD ，再根据DF ⊥DE 即可证到CE =CF ． （2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD ⊥AB 时CD 最小，由于EF =2CD ，求出CD 的最小值就可求出EF 的最小值．（3）连接OC ，易证△AOC 是等边三角形，AD =OD ，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD ，进而可求出∠ECO =90°，从而得到EF 与半圆相切．（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF 是等边三角形，只需求出BF 就可求出DB ，进而求出AD 长．（5）首先根据对称性确定线段EF 扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC 的关系，就可求出线段EF 扫过的面积． 解答： 解：①连接CD ，如图1所示． ∵点E 与点D 关于AC 对称，∴CE =C D ． ∴∠E =∠CDE ． ∵DF ⊥DE ， ∴∠EDF =90°．∴∠E +∠F =90°，∠CDE +∠CDF =90°． ∴∠F =∠CDF ． ∴CD =CF ． ∴CE =CD =CF ．∴结论“CE =CF ”正确． ②当CD ⊥AB 时，如图2所示． ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°． ∵AB =8，∠CBA =30°， ∴∠CAB =60°，AC =4，BC =4．∵CD ⊥AB ，∠CBA =30°， ∴CD =BC =2．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点D 在线段AB 上运动时，CD 的最小值为2．∵CE =CD =CF ， ∴EF =2C D ．∴线段EF 的最小值为4．∴结论“线段EF 的最小值为2”错误．（3）当AD=2时，连接OC，如图3所示．∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA=CO，∠ACO=60°．∵AO=4，AD=2，∴DO=2．∴AD=DO．∴∠ACD=∠OCD=30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DC A．∴∠ECA=30°．∴∠ECO=90°．∴OC⊥EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．∴结论“EF与半圆相切”正确．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥A C．∴∠AGD=90°．∴∠AGD=∠AC B．∴ED∥B C．∴△FHC∽△FDE．∴=．∵FC=EF，∴FH=F D．∴FH=DH．∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°．∴BF=B D．∴∠FBH=∠DBH=30°．∴∠FBD=60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°．∴∠FAB=30°．∴FB=AB=4．∴DB=4．∴AD=AB﹣DB=4．∴结论“AD=2”错误．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=4×4=16．∴EF扫过的面积为16．∴结论“EF扫过的面积为16”正确．故答案为：①、③、⑤．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．2. （2014•福建泉州，第17题4分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为 1 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米．考点：圆锥的计算；圆周角定理专题：计算题．分析：（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，即BC=，∴AB=BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=．故答案为1，．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．3. （2014•广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为 3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．（2014•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm．考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．5. （2014•株洲，第11题，3分）如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．（第1题图）考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．解答：解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°∴3∠ACB=84°∴∠ACB=28°．故答案为：28°．点评：此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．6. （2014年江苏南京，第13题，2分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为cm．（第2题图）考点：垂径定理、圆周角定理．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．解答：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为2．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．7. （2014•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE 为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为y=（x＞0）．（第3题图）考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．分析：连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△EC D．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．解答：解：连接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴为240°，∴∠AED=120°，∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴=，即=，∴y=（x＞0）．点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力．8．（2014•菏泽，第10题3分）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为50° ．考点：圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质．分析：连接CD，求出∠B=65°，再根据CB=CD，求出∠BCD的度数即可．解答：解：连接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°．故答案为：50°．点评：此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．9．（2014年山东泰安，第23题4分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则s inα的值为．分析：连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解．解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，在Rt△BCE中，BE==2，∴sinα===．故答案为．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．三.解答题1. （2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题：压轴题；探究型．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣，∴OM′=OH+HM′=+，∴M（﹣，0）、M′（+，0）．Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．2．（2014•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O 的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF 中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．3．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=B D．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=O D．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．4．（2014•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．5．（2014年云南省，第23题9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．2考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；存在型；分类讨论．分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PF D．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△CO A．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=C A．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．2 ∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PF D．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DP C．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DP C．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．6.（2014年广东汕尾，第20题11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD•BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．分析：（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；（3）利用正方形的性质证明．证明：（1）如图，连接O D．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=D B．∴EB=EC，即点E为边BC的中点；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC为等腰直角三角形．点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．7.（2014•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．考点：切线的判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．8.（2014•武汉2014•武汉，第22题8分）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得P A．解答：解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴PA===．（2）如图（2）所示：连接B C．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，。
2019年中考数学试题汇编：圆的概念及性质选择题(解析版)
1. （2019年辽宁省沈阳市）如图， AB 是O O 的直径，点 C 和点D 是O O 上位于直径 AB 两 侧的点，连接 AC , AD ，BD ，CD ，若O O 的半径是13，BD = 24,则sin / ACD 的值是 （ ）理求得AD 边的长，然后求得 / B 的正弦即可求得答案. 【解答】解：•/ AB 是直径， •••/ ADB = 90°TO O 的半径是13, • AB = 2X 13= 26,由勾股定理得：AD = 10 ,AD 105 --sin / B =AB 2613•// ACD = / B ,• sin / ACD = sin / B =—,13故选：D .【点评】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三 角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大.2. （2019年陕西省）如图， AB 是O O 的直径，EF , EB 是O O 的弦，且EF = EB , EF 与AB 交于点C ,连接OF ，若/ AOF = 40°，则/ F 的度数是（ ）A . 20°B . 35°C . 40°D . 55【分析】连接 FB ，得到/ FOB = 140 °，求出/ EFB ，/ OFB 即可. 【解答】解：连接 FB .12 B . 5 13 【分析】首先利用直径所对的圆周角为 5C . 12 90°得到△ ABD 是直角三角形，然后利用勾股定5D .13A .•••/ AOF = 40 ° ,•••/ FOB = 180 ° - 40 °= 140 •••/ FEB = / FOB = 70°2•/ EF = EB•••/ EFB = Z EBF = 55°,•/ FO = BO ,•••/ OFB = Z OBF = 20°, •••/ EFO = Z EBO ,/ EFO = Z EFB -Z OFB = 35°,故选：B .【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型.3. （ 2019年广西柳州市）如图，A , B , C , D 是O O 上的点，则图中与Z A 相等的角是（C .Z DEB【分析】直接利用圆周角定理进行判断. 【解答】解：•••/ A 与Z D 都是：所对的圆周角,• Z D =Z A .故选：D .【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半.4. （2019年湖北省襄阳市）如图， AD 是O O 的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边A . Z B【分析】利用圆周角定理得到/ ACD = 90°,再根据平行四边形的性质得到CD // OB ,CD = OB ,则可求出/ A = 30°，在Rt △ AOP 中利用含30度的直角三角形三边的关系可 对A 选项进行判断；利用OP // CD , CD 丄AC 可对C 选项进行判断；利用垂径可判断 OPACD 的中位线，贝U CD = 2OP ,原式可对 B 选项进行判断；同时得到OB = 2OP ，贝U可对D 选项进行判断.【解答】解：••• AD 为直径，•••/ ACD = 90°,•••四边形OBCD 为平行四边形， • CD // OB , CD = OB , 在 Rt △ ACD 中，sinA =丄—=,AD 2:丄 A = 30°,在Rt △ AOP 中，AP = V 3OP ，所以A 选项的结论错误； •/ OP // CD , CD 丄 AC ,• OP 丄AC ,所以C 选项的结论正确； • AP = CP ,• OP ACD 的中位线，• CD = 2OP ,所以B 选项的结论正确； • OB = 2OP ,• AC 平分OB ，所以D 选项的结论正确. 故选：A .【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.5. （2019年内蒙古赤峰市）如图， AB 是O O 的弦，OC 丄AB 交O O 于点C ,点D 是O O 上 一点，/ ADC = 30°，则/ BOC 的度数为（ ）LfA . 30°B . 40°C . 50°D . 60°【分析】由圆周角定理得到/ AOC = 2/ ADC = 60°,然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系F 列结论错误的是（B . CD = 2OPC . OB 丄 ACD . AC 平分OBP , A . AP =2OP求得/ BOC的度数.【解答】解：如图，•••/ ADC = 30°,•/ AOC= 2/ADC = 60°.•/ AB是O O的弦，OC丄AB交O O于点C, •亠:'.•/ AOC=Z BOC= 60°.故选：D.【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能 综合运用定理进行推理是解此题的关键.6. （2019年北京市）已知锐角/ AOB ，如图，在射线OA 上取一点C ,以点O 为圆心，OC 长为半径作J-i ,交射线OB 于点D ,分别以点C , D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M , N ; （3）根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A . Z COM = Z COD C . MN // CD【分析】由作图知 CM = CD = DN ，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.【解答】解：由作图知 CM = CD = DN ,•••Z COM =Z COD ，故A 选项正确；OM = ON = MN , • △ OMN 是等边三角形,(1) 连接 CD ;B .若 OM = MN .则/ AOB = 20°D . MN = 3CDcB0 CM = CD = DN ,•••/ MOA = Z AOB = Z BON =/ MON = 20°，故 B 选项正确；3•••/ MOA = Z AOB = Z BON = 20°, •••/ OCD = Z OCM = 80 ° , •••/ MCD = 160° ,又/ CMN =丄/AON = 20 ° ,2•••/ MCD+/ CMN = 180 ° , • MN // CD ，故C 选项正确；•/ MC+CD + DN > MN ，且 CM = CD = DN , • 3CD > MN ，故D 选项错误； 故选：D .【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等 知识点. 7. （2019年广西梧州市）如图，在半径为 恳亡的O O 中，弦AB 与CD 交于点E ，/ DEB = 75°, AB = 6, AE = 1,则 CD 的长是（）A . 2 、B . 2小C . 2 . .D . 4 ■:【分析】过点 O 作OF 丄CD 于点F , OG 丄AB 于G ,连接OB 、OD ,由垂径定理得出 DF =CF ,AG = BG = AB = 3,得出 EG = AG - AE = 2,由勾股定理得出 OG = _- - i2=2,_ _证出△ EOG 是等腰直角三角形，得出/ OEG = 45°, OE = 匚OG = 2匚，求出/ OEF = 30°，由直角三角形的性质得出 OF =y OE =讥，由勾股定理得出 DF "了，即可得 出答案. 【解答】解：过点 O 作OF 丄CD 于点F , OG 丄AB 于G ,连接OB 、OD ，如图所示： 则 DF = CF , AG = BG = — AB = 3,2• EG = AG - AE = 2, 在 Rt △ BOG 中，OG = .|七二 i? = 2,• EG = OG ,• △ EOG 是等腰直角三角形 _ •••/ OEG = 45°, OE = OG = 2 .：,•••/ DEB = 75° ,••• OF = 1 OE=匚,2在Rt△ ODF 中，D F= ' ||「'= •「_】H .,• CD = 2DF = 2 —;故选：C.【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.8. （2019年河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断.【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心.故选：C.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形的外心.9. （2019年吉林省）如图，在O O中，"■所对的圆周角/ ACB= 50°，若P为八上一点，/ AOP= 55°，则/ POB的度数为（）A . 30°B . 45°C . 55°D . 60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出Z AOB 的度数，进而由角的和差求得结果.【解答】解：TZ ACB = 50°, • Z AOB = 2 Z ACB = 100 ° ,•••Z AOP = 55 ° ,• Z POB = 45° , 故选：B .【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心 角等于它所对的圆周角的 2信倍.10. （2019年江苏省镇江市）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径, :,=I- •若 / C = 110°,则/ ABC 的度数等于（【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互 补是解题的关键.11. （2019年四川省广元市）如图， AB ，AC 分别是O O 的直径和弦，OD 丄AC 于点D ,连 接 BD , BC ,且 AB = 10 , AC = 8，贝U BD 的长为（）A . 55°【分析】连接AC , / CAB ，计算即可.【解答】解：连接 B . 60° C . 65° D . 70°根据圆内接四边形的性质求出Z DAB ,根据圆周角定理求出ZAC ,•••四边形ABCD 是半圆的内接四边形,•••/ = ° -Z = °,.•./ CAB^—Z DAB = 35°,2•/ AB 是直径，• Z ACB = 90 ° ,• Z ABC = 90°-Z CAB = 55°,ACB 、OC = 6,贝y CD 的长为（ )A . 2~B . 4C . 2 .二D . 4.8【分析】先根据圆周角定理得/ ACB = 90°,则利用勾股定理计算出 BC = 3,再根据垂径定理得到CD = AD = ' AC = 4,然后利用勾股定理计算 BD 的长.2【解答】解：••• AB 为直径， •••/ ACB = 90 ° , ••• BC = ； ： 3,•/ OD 丄 AC , CD = AD = AC = 4,2在 Rt △ CBD 中，BD =』！；；；，= 2.—i . 故选：C .【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半•推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.•••/ COD = Z AOB = 40°, •••/ AOB+ / BOC+ / COD = 180 ° , • / BOC = 100°,• / BPC =丄/ BOC = 50°,2故选：B .【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.13. （2019年四川省眉山市）如图，O O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E, / CAO = 22.512. （2019年广西贵港市） 如图， AD 是O O 的直径，”=",若/ AOB = 40，则圆周角A . 40° 【分析】B . 50° 根据圆周角定理即可求出答案.C . 60°D . 70°【解答】 解:AOB = 40°,)A . 6B . 3心C . 6D . 12【分析】先根据垂径定理得到 CE = DE ,再根据圆周角定理得到/ BOC = 2/ A = 45 °, 则厶OCE 为等腰直角三角形，所以 CE==i 0C = 3匚，从而得到CD 的长.2【解答】解：••• CD 丄AB , ••• CE = DE ,•••/ BOC = 2/A = 2 X 22.5°= 45°,• △ OCE 为等腰直角三角形， • CE =—OC = —X 6 = 3 匚，2 2• CD = 2CE = 6 匚. 故选：A .【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半•也考查了垂径定理. 14. （2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD^接于O O , AE 丄CB 交CB 的延长线于点 E ,若 BA 平分/ DBE , AD = 5 , CE =.：：,贝 U AE =（）*0 EBB . 3 rC . 4「；D . 2■:AC ,如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到/ 1 =/CDA ，/2 = / 3，从而得到/3 = / CDA ，所以AC = AD = 5，然后利用勾股定理计算AE 的长. 【解答】解：连接AC ,如图， •/ BA 平分/ DBE ,• / 1 =/ 2,•••/ 1 =/ CDA ，/ 2 = / 3 ,•••/ 3 = / CDA , • AC = AD = 5 ,•/ AE 丄 CB ,AEC = 90 ° ,• AE = 「「：：「= ―= 2 二故选：D.A . 3 【分析】连接OC = 6,贝y CD的长为（)【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补•圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）•也考查了勾股定理.15. （2019年湖北省荆门市）如图，△ ABC内心为I，连接AI并延长交厶ABC的外接圆于D , 则线段DI与DB的关系是（）A • DI = DB B • DI > DB C. DI V DB D .不确定【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得/ 1 = Z 2，/ 5 =Z 6，再根据圆周角定理得到/ 3=7 1,然后利用三角形外角性质和角度的代换证明/ 4 =Z DBI，从而可判断DI = DB .【解答】解：连接BI，如图，•/△ ABC内心为I,.•. / 1 = 7 2, 7 5=7 6,•••/ 3=7 1,•••7 3=7 2,•••7 4=7 2+ 7 6=7 3+ 7 5,即7 4=7 DBI ,• DI = DB .【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角•也考查了三角形的外接圆和圆周角定理.16. （2019年湖北省宜昌市）如图，点A, B, C均在O O上，当7 OBC= 40°时，7 A的度数是（）ABA . 50°B . 55°C . 60°【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出/ 角定理可得到/ A 的度数. 【解答】解：••• OB = OC ,•••/ OCB =Z OBC = 40°,•••/ BOC = 180°— 40°— 40°= 100°,D . 65°BOC 的度数，然后根据圆周•••/ A = 1 / BOC = 50°.2故选：A .【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半.如图，四边形ABCD 内接于O O ,若/ A = 40°,则/ C =()B . 120°C . 135° 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算/C 的度数.【解答】解：•••四边形 ABCD 内接于O O , •••/ C+Z A = 180 ° , •••/ C = 180° — 40°= 140° . 故选：D . 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的 任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角) 18. (2019年山东省威海市)如图， O P 与x 轴交于点 A (— 5, 0), B (1, 0),与y 轴的正 半轴交于点C .若Z ACB = 60°，则点C 的纵坐标为( D . 140°) / APB = 120°=BD = 3,解直角三角形得到，根据等腰三角形的性质得到/PAB =Z PBA = 30°，由垂径定理得到 ADPD = 乙PA = PB = PC = 2 「；，根据勾股定理得到 CE =■ — Th = 2「，于是得到结论.【解答】解：连接 PA , PB , PC ,过P 作PD 丄AB 于D , PE 丄BC 于E , •••/ ACB = 60 ° ,•••/ APB = 120 °,•/ PA = PB ,•••/ PAB =Z PBA = 30°,•••A (- 5, 0), B (1, 0), •AB =6, AD = BD = 3 ,• PD = 7 , PA = PB = PC = 2 7 ,•/ PD 丄 AB , PE 丄 BC , / AOC = 90° , •四边形PEOD 是矩形， OE = PD = 二,PE = OD = 2 , • CE = . 「2 = 2_：,• OC = CE+OE = 2 二 + _ •••点C 的纵坐标为2 _+ T ,【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出 辅助线是解题的关键.19. （2019年台湾省）如图表示 A 、B 、C 、D 四点在O 上的位置，其中-'=180°,且小=H ,:,=丨|.若阿超在：1上取一点P ,在「上取一点Q ,使得/ APQ = 130° ,则下列 叙述何者正确？（ ）【分析】连接 AD , OB , OC ,根据题意得到/ BOC =Z DOC = 45°,在圆周上取一点EA . Q 点在：上,且 J >n -■!< -1 'C . Q 点在I 上,且-■> -11、• | < -11连接AE,CE,由圆周角定理得到/ E = l AOC = 67.5°，求得/ ABC = 122.5°V 1302厶取甘的中点F ，连接OF ，得到/ ABF = 123.25°V 130°,于是得到结论. 【解答】解：连接 AD , OB , OC , •••树=180°,且儿一］H,•••/ BOC =Z DOC = 45°,在圆周上取一点 E 连接AE , CE , •••/ E = AOC = 67.5° ,2•••/ ABC = 122.5 °v 130 ° ,取•「的中点F ，连接OF , 贝AOF = 67.5 ° ,•••/ ABF = 123.25 °v 130 ° ,• Q 点在［上，且 故选：B .【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确 的理解题意是解题的关键.20. （2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ,B ,C 在O O 上，CD 垂直平分AB 于点D .现测得AB = 8dm , DC = 2dm ，则圆形标志牌的半径为（A . 6dmB . 5dmC . 4dmD . 3dm【分析】连接 OA , OD ，利用垂径定理解答即可.【解答】解：连接OA, OD ,•••点A, B, C 在O O 上，CD 垂直平分AB 于点 D . AB= 8dm, DC = 2dm, /• AD = 4dm,设圆形标志牌的半径为r，可得：/= 4?+ （r - 2）?,解得：r = 5,故选：B.【点评】此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答.21. （2019年甘肃省）如图, AB是O O的直径，点C、D是圆上两点，且/ AOC = 126°,A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°【分析】由/ AOC= 126。
2019年中考真题 圆的基本性质分类汇编(PDF版含解析)
所以 DAC ACO 60 ， 所以 ACD 90 DAC 30 ，
所以 AC 2AD 2 3 ，
所以△AOC 是等边三角形，
所以 OA AC 2 3 ， AOC 60 ，
所以 AC 的长为 60 2 3 2 3 ．
2
2019 中考试题分类汇编
∴∠ PAB＝∠ PBA＝30°.
∵PF⊥AB ，
∴AF＝ BF＝ 3.
∴PE＝ OF＝ 2.
∵tan30 °＝ PF ,cos30°＝ AF ，
AF
AP
∴PF＝ 3 ,AP＝ 2 3 .
∴OE＝ 3 ,PC＝ 2 3 .
在 RT△PEC 中，CE＝
PC 2 PE2 ＝ 2 2 ，
所以△ADC∽△CED,
所以 BC CE 3 3 AC AD 3
在 Rt△ACB 中， sin BAC BC 3 ， AC
所以 BAC 60 ， 又因为 OA OC ，
所以△AOC 是等边三角形，
所以 ACO 60 ， 因为直线 DE 与 O 相切于点 C， 所以 OC DE ， 因为 A来自 DE ， OC DE ，
D.42°
【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝ 40°,故选 C.
.（2019·潍坊）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD=CD．过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．连
3
接 AC 交 DE 于点 F．若 sin∠CAB= ，DF=5，则 BC 的长为（）
．（2019·陇南）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB 的度数是（ ）
2019中考数学分类汇编汇总知识点33圆的基本性质(第一期)解析版
、选择题1. （20佃山东滨州，6, 3分）如图，AB为O O的直径，C, D为O O上两点，若/ BCD = 40°，则/ ABDA. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【答案】B【解析】如图，连接AD , T AB为O O的直径，•••/ADB=90 . v/ A和/BCD都是弧BD所对的圆周角, •••/ A= / BCD=40 , •/ ABD=90 ° - 40° =50°.故选B.【知识点】圆周角定理及其推论2. （2019山东聊城，8,3分）如图,BC是半圆O的直径，D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果/ A = 70° ,那么/ DOE的度数为A.35 °B.38 °C.40°D.42 °第8题图【答案】C【解析】V/ A = 70°，•/ B+ / C= 110°，•/ BOE+ / COD = 220°，•/ DOE =/ BOE+ / COD —180° = 40° ,故选C.【知识点】三角形内角和定理，圆周角定理3. （20佃山东省潍坊市，11, 3分）如图，四边形ABCD内接于O O, AB为直径，AD=CD .过点D作3DE丄AB于点E.连接AC交DE于点F.若sin/ CAB=—, DF=5，则BC的长为（）4• AB=16+4=20 . 在 Rt A ABC 中,A . 8B . 10C . 【答案】C 12D . 16【思路分析】 连接BD , 3先证明/ DAC = / ACD = / ABD= / ADE ,从而可得 AF=DF=5 ,根据 sin / CAB=< , 5求得EF 和AE 的长度,3 再利用射影定理求出 BE 的长度从而得到直径 AB ,根据sin / CAB=-求得BC 的长 5•/ AD=CD ,•••/ DAC = Z ACD .••• AB 为直径，•••/ ADB = Z ACB=90 °•••/ DAB + Z ABD =90° •/DE 丄 AB ,• Z DAB + Z ADE =90°• Z ADE = Z ABD . vZABD = Z ACD ,• Z DAC = Z ADE .• AF =DF=5.在 Rt A AEF 中，EF 3 sin Z CAB= AF 5 • EF=3, AE=4 .• DE =3+5=8 .由 DE 2=AE ?EB ，得 BE = DE 2AE度.BC 3sin / CAB=—AB 5••• BC=12.【知识点】圆周角，锐角三角比4. （2019四川省凉山市，7, 4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦•其中，真命题的个数（▲）A. 1B. 2C. 3 D . 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选 A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论5.（2019四川省眉山市，10,3分）如图，O O的直径AB垂直于弦CD .垂足是点E,/CAO=22.5OC=6，贝U CD的长为A. 6.2 B . 3 2 C . 6 D . 12【答案】A【思路分析】【解题过程】解：V/ A=22.5 °，•/ COE=45 °, TO O 的直径AB 垂直于弦CD ,OC=6 , CEO=90 •••/ COE=45 ° ,• CE=OE= -y OC = 3 2 , • CD=2CE= 6 2，故选：D.【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数6. （2019浙江省衢州市，8, 3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A , B , C在O O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm, DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【答案】B【解析】连接OD ,OB，则O,C,D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB ,AB=8dm，所以BD=4dm,OD = （r-2）dm,由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB 的度数．
【解答】解：设圆心为 O，连接 OA.OB，如图，
∵弦 AB 的长度等于圆半径的 倍， 即 AB＝ OA， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝ ∠AOB＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半．
第 7 页 共 65 页
D．70°
故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12. （2019•甘肃武威•3 分）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍， 则∠ASB 的度数是（ ）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】设圆心为 0，连接 OA.OB，如图，先证明△OAB 为等腰直角三角形得到∠AOB＝
A. 6dm
B. 5dm
【答案】 B
【考点】垂径定理的应用
【解析】解：连结 OD，OA，如图，设半径为 r，
C. 4dm
D. 3dm
∵AB=8，CD⊥AB， ∴AD=4，点 O、D.C 三点共线， ∵CD=2， ∴OD=r-2， 在 Rt△ADO 中， ∵AO2=AD2+OD2 ， ， 即 r2=42+（r-2）2 ， 解得：r=5， 故答案为：B. 【分析】连结 OD，OA，设半径为 r，根据垂径定理得 AD=4，OD=r-2，在 Rt△ADO 中，由 勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
第 2 页 共 65 页
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠D=80°， ∴∠ACB= ∠DCB= （180°-∠D）=50°， ∵四边形 AECD 是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=80°， ∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°， 故选：C． 根据菱形的性质得到∠ACB= ∠DCB= （180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的 性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形 的性质是解题的关键．
【解答】解：连接 AC，如图，
∵BA 平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝
＝
＝2 ．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的 任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
5. （2019•山东省聊城市•3 分）如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是 上两点，连接 BD， CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为（ ）
A．35°
B．38°
C．40°
D．42°
【考点】圆周角定理、直角三角形的性质
【分析】连接 CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由
∴∠ASB＝ ∠AOB＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半． 4 (2019 甘肃省天水市)如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A.C.D，与 BC 相交于点 E，连接 AC.AE．若∠D=80°，则∠EAC 的度数 为（ ）
∵∠CDB＝ ∠BOC＝27°．
故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14. （2019•广西贵港•3 分）如图，AD 是⊙O 的直径， ＝ ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠ BPC 的度数是（ ）
A．40°
B．50°
第 6 页 共 65 页
A．54°
B．64°
C．27°
D．37°
【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB 的度
数．
【解答】解：∵∠AOC＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝ ∠BOC＝27°．
故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15. （2019•湖北十堰•3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于 点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝ ，则 AE＝（ ）
A．3
B．3
C．4
D．2
【分析】连接 AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2
＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以 AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算 AE 的长．
圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
第 3 页 共 65 页
【解答】解：连接 CD，如图所示： ∵BC 是半圆 O 的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°， ∴∠DOE＝2∠ACD＝40°， 故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的 性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
7.（2019•浙江衢州•3 分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A，B，C 在⊙O 上，CD 垂直
第 4 页 共 65 页
平分 AB 于点 D，现测得 AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接 OD，易证得△COD≌△COB（SAS），
然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线 CD 是⊙O 的切线，
根据全等三角形的性质得到 CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即 CO⊥DB，
C．60°
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，∠AOB＝40°， ∴∠COD＝∠AOB＝40°， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴∠BOC＝100°， ∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°，
第 9 页 共 65 页
D．70°
故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】设圆心为 0，连接 OA.OB，如图，先证明△OAB 为等腰直角三角形得到∠AOB＝
90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB 的度数．
【解答】解：设圆心为 O，连接 OA.OB，如图，
∵弦 AB 的长度等于圆半径的 倍， 即 AB＝ OA， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
8. （2019•湖南湘西州•4 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形 A 是假命题；由平行四边形的判定定理得出 B 是真命
题；由对顶角的定义得出 C 是假命题；由圆内接四边形的性质得出 D 是假命题；即可得
16 （2019•湖北天门•3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E，连接 BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA
第 10 页 共 65 页
∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据
相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到
，于是得到 ED•BC＝BO•BE，故④正确．
【解答】解：连结 DO． ∵AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线， ∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB．
即可得出结论．
【解答】解：连接 AD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BCD＝40°， ∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的 关键． 2.( 2019 甘肃省兰州市) （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝ （）
A. 1100.
B. 1200.
C. 1350.
D. 1400.
【答案】D． 【考点】圆内接四边形的性质.
第 1 页 共 65 页
【考察能力】运算求解能力和观察识图能力 【难度】容易 【解析】∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选 D.
3．(2019 甘肃省陇南市)（3 分）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB 的度数是（ ）
键． 6．（2019•浙江嘉兴•3 分）如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC＝1，∠ABC＝30°，切
线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【分析】连接 OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解 直角三角形求出 AP 即可． 【解答】解：连接 OA， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵过点 A 作⊙O 的切线交 OC 的延长线于点 P， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OC＝1， ∴AP＝OAtan60°＝1× ＝ ， 故选：B．