九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高习题讲评课件 北师大版
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
《利用三角函数测高》练习题
在 Rt△AFB 中， ∵ AB＝2.7， ∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918， ∴AE＝ AF＋ BC≈0.918 ＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点 A 到地面 CD 的距离约是 1.1 m
8．如图，王强同学在甲楼楼顶 A 处测得对面乙楼楼顶 D 处的仰角为 30 °，在甲楼楼底 B 处测得乙楼楼顶 D 处的仰角为 45°，已知甲楼高 26 米， 则乙楼的高度为 ( 3≈1.7)( A．61.0 米
(x＋0.2)＝30，∴ x≈11.0，即 AE＝11.0，∴ MN≈11.0＋1.7＝12.7≈13，即旗 杆 MN 的高度约为 13 米．
12．(导学号： 37554016 )如图，在两建筑物之间有一旗杆 ，高 15 米 ，从 A 点经过 旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点 ，且俯角 α 为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30°，若旗杆底部点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为(
B
ห้องสมุดไป่ตู้
)
5．如图，两建筑物的水平距离为a，在A点测得C点的俯角为β，测 得 D 点 的 俯 角 为 α ， 则 较 低 建 筑 物 的 高 度 为 a(tan β－tan α) _____________________ ．
6 ．下面是活动报告的一部分 ，请完成表格并根据表中数据计 算旗杆AB的高．
如图，过点 A 作 AE⊥ MN，垂足为点 E， 过点 C 作 CF⊥ MN ，垂足为点 F. 设 ME＝ x，Rt △ AME 中 ，∠ MAE ＝45°，∴ AE＝ ME＝ x，Rt △ MCF 中 ， MF＝ x＋(1.7－1.5)，CF ＝ MF ＝ 3(x＋0.2)．∵BD＝ AE＋CF，∴ x＋ 3 tan 30°
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高(第一课时)》习题课件
答：这架无人机的长度AB为5 m.
9. 【中考•内江】如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的 高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再 沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度(结果 保留根号)．
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE. ∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x， DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x， ∴BC＝ BE2－EC2＝（2x）2－x2 3x.
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
第1课时 视角在测量中的应用
1 利用锐角三角函数解决测距问题 2 利用锐角三角函数解决不能到达底部的物高问题 3 利用锐角三角函数解决同一位置的视角问题 4 利用锐角三角函数测量有视线障碍的物高
8．【中考•株洲】如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测
结果精确到0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形MEDC是矩形， ∴ME＝DC＝3，CM＝ED. 在Rt△AEF中，∠AFE＝60°， 设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ 3 x. 在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°， ∴DF＝3 3. 在Rt△AMC中，∠ACM＝45°， ∴MA＝MC.∵ED＝MC，∴AM＝ED.
得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tan α＝2 3 ，无 人机的飞行高度AH为500 3 m，桥的长度为1 255 m.
(1)求点H到桥左端点P的距离； (2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为
九年级下册数学(北师大)课件：1.6 利用三角函数测高
AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝
MH DM
，即
x－30 63
＝
33，解得：x＝30＋21 3，即建筑物GH的高为(30＋21 3)米
(1)若修建的斜坡BE的坡比为 3 ∶1，求休闲平台DE的长是多少 米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测 得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同 一平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？
解：∵FM∥CG，∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长为60 2
米，则山高CD等于( A )
A．30(1＋ 3)米 B．30( 3－1)米 C．30米 D．(30 3＋1)米 6．如图，太阳光与地面成60°角，一棵倾斜的树AB与地面成 30°角，这时测得大树在地面的影长约为10 m，则大树AB的长大约
为___1_7_.3__m．(精确到0.1 m)
7．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰 望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°.
求AD的长．
解：过A作AH⊥CB于H，设AH＝x，CH＝ 3 x，DH＝x，∵ CH－DH＝CD，∴ 3x－x＝10，∴x＝5( 3＋1)，∴AD＝ 2x＝5 6 ＋5 2
9．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如 图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC ＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据： 2 ≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高
1．(5分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.
2为．_(_5_分_解_)_如__图：__，__过小_ 明m点．在楼A顶作上的A点EA处⊥测C得D楼前交一棵C树DC的D的延顶端长C的线俯角于为6点0°，E又，知水则平距A离EB＝D＝B10Cm，＝楼高78AB＝m24，m，则树高CD 8C．D∴之(15间分C的)E(距聊＝离城A中AC考为E)3如·5 图tma，，n后小站莹∠在在CM数点A学处E综测合＝得实7居践8民活t楼动anC中D，的5利8顶用°端所D≈的学7仰的8角数×为学14知5.°识6，对0＝居某民小1楼区2A居4B民.的8楼(顶mA端B)B的，的高仰度D角进E为行＝5测5°量A，，E已先·知测t居a得民n居楼民C楼DA的B高与
51解1．)：，(5过此分点时)在A旗“解作杆测A：在E量⊥水∵旗C平杆D在地交的面C高DR上度的t的”△ 延影的长子C数线的E学于长D课点度题E中为，学2则，习4Am中∠E，，＝则C某B旗CE学＝杆习D7的8小＝m高组，度5测∴8约得°C为太E(＝，阳A光tEa线·)tna与n ∠水∠C平AC面EE＝的D7夹8t角＝an为5CD82°7DE°≈7(t8，a×n 21∴7. °D≈0E. ＝tanC5D8°
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，设 CH＝x m，在 Rt△ACH 中，∵∠CAH＝
30°，∴BD＝AH＝tanC3H0° ＝ 3 x (m)，∴在 Rt△ECD 中，tan ∠CED＝ECDD
＝
x＋10 3x－6
＝
3
，解得 x＝5＋3
3 ，∴CD＝(15＋3
3 )(m)，∴CF＝CD－DF
解答题(共60分) 7．(14分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的 一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台 底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为 60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高．(结果保留根号)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高初中九年级下册数学
下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应
测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示； 如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、
γ等表示.测倾器高度不计）
(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG（用 字母I表示）
2.已知测倾器的高CE=DF=1m，通过(tōngguò)计算求得， 该大厦的高为_8_3____m (精确到1m).
解：在Rt△AEG中，
EG= A G =1.732AG
ta n 3 0 °
在Rt△AFG中，FG= A G
EG-FG=C D
ta n 4 5 °
1.732AG-AG=60
AG=60÷0.732≈81.96
1.在测点A处安置(ānzhì)测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体(wùtǐ)之间的B处安置测倾(A,B与N在一
条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间 的距离AB=b.
根据测量数据, 你能求出物体 M MN的高度吗?说 说你的理由.
水平线
哈哈:同角 的余角相等
1
2
4
3
12/11/2021
第七页，共二十五页。
活动(huódòng测) 量底部可以到达的物体的高度 二所: 谓“底部可以到达”,就是(jiùshì)在地面上可以无障
碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
如图,要测量物体MN的高度(gāodù),需测量哪些数据？
可按下列步骤进行:
第十九页，共二十五页。
方案 一 (fāng àn)
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系说课教学课件
M
1、在测点A处安置测倾器，测
得此时M的仰角∠MCE=α；
2、在测点A与物体之间B处安置
测倾器，测得此时M的仰角
∠MDE=β；
C
α
D
A
B
ME
ME
b, MN ME a
tan tan
β
E
N
3、量出测倾器的高度
AC=BD=a，以及测点A,B之间
CH
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在 Rt△ACH 中，tan∠CAH＝
，∴CH＝AH·
tan∠CAH＝
AH
6tan30°＝6×
3
＝2 3(米)，∵DH＝1.5，∴CD＝2 3＋1.5，在 Rt△CDE 中，∵∠CED＝60°，
3
2 3＋1.5
CD
CD
sin∠CED＝
，∴CE＝
＝
＝(4＋ 3)≈5.7(米)，答：拉线 CE 的长约为 5.7
本课小结
(1)侧倾器的使用
(2)误差的解决办法---用平均值
（3）到目前为止，你有那些测量物体高度的方法？
测量底部可以到达的
物体的高度，如左图
测量底部不可以直接到达
的物体的高度，如右图
随堂检测
1．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点 A 处测得塔顶 B 处的仰角 α＝60°，在塔
底 C 处测得 A 点俯角 β＝45°，已知塔高 60 米，则山高 CD 等于( A )
CN
3
x＋6
的高 EF 为 10.3 m
课堂探究
一、如何测量倾斜角
•测量倾斜角可以用测倾器。
----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。
06-第一章6利用三角函数测高
6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助 空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分 析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题 的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成 论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几 何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达 的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高 度:(1)在测点A处安置 测倾器,测得此时M的 仰角∠MCE=α.(2)在测 点A与物体之间的B处 安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得 此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测 点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求 出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角 形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根 据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习
第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF⊥BC，⊥AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）3．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．(5√33+32)m B．(5√3+32)m C．5√33m D．4m4．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°评卷人得分二、填空题5．如图，一辆小车沿着坡度为1:3i=的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.6．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，3取1.73）7．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________m．8．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高_____m（结果保留根号）．9．如图，一艘潜艇在海面下500m深的点A处，测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号，潜艇在同一深度保持直线航行500m，在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上，海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m．（精确到1，m．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31°≈0.51，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若⊥B=56°，⊥C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）11．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______________米．13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8CD=，20BC=米，CD与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．评卷人得分三、解答题15．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.16．如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为30°，继续前行250m后到达B处，此时望塔顶的仰角为45°．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为170cm，假若游客所走路线直达电视塔底．请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. ≈1.7，≈1.4；E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．）17．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得15AB BE ED CD====cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时⊥ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)图1图2图318．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：3≈1.73，2≈1.41．19．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且⊥DAB=66°．(1)求点D与点C的高度差DH的长度；(2)求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）22．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方D处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点A与居民楼的水平距离AB是15米，且在点A测得第一次施救时云梯与水平线的夹角⊥CAB＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角⊥BAD＝55°，求C、D两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：sin55°＝0.82；cos 55°＝0.57，tan55°＝1.43】23．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．24．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.25．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角⊥BAF=30°，⊥CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2 1.414，CF结果精确到米）参考答案：1．A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF⊥BC知⊥ADE=90°，由⊥AEF=143°知⊥AED=37°，根据sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．⊥AB⊥BC，EF⊥BC，⊥BD⊥DF，即⊥ADE=90°．⊥⊥AEF=143°，⊥⊥AED=37°．在Rt⊥ADE中，⊥sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米，⊥AD=AE•sin⊥AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．2．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．3．A【解析】【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt⊥ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×33=533，由CE=CD+DE=533+1.5（m）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出⊥BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出⊥BAO=50°，以及求出⊥BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．5．25【解析】【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了3x米．根据勾股定理可得：x2＋（3x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．6．10【解析】【分析】在⊥ACE中，CE⊥AE，tan⊥ACE=AECE，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在⊥ACE中，CE⊥AE，且⊥ACE=60°，BD=5，而tan⊥ACE=AE CE，⊥AE＝CE×tan60°＝53≈8.6．又⊥EB=1.5，⊥AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．7．203m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt⊥ACE中，可求出CE；在Rt⊥ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．⊥30103DE AE tan=⨯︒=．同理可得303CE．=⊥203CD CE DE=-=（米）故答案为203【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．8．1603【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD=30°，AD=120m，⊥BD=ADtan30°=120×33=403m，在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD=60°，AD=120m，⊥CD=ADtan60°=120×3=1203m，BC=BD+CD=1603m．即这栋楼高为1603m．故答案为1603．考点：仰角与俯角的计算．9．2000.【解析】【详解】试题解析：作CD⊥AB于D，设CD=xm ，则AD=5tan 3CD DAC =∠xm ， BD=4tan 3CD DBC =∠xm ， 由题意得，AD-BD=500m ，即53x-43x=500， 解得，x=1500m ，1500+500=2000m.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10．60【解析】【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】⊥⊥B=56°，⊥C=45°，⊥ADB=⊥ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ⊥BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ⊥tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．11．58【解析】【详解】试题分析：直接利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出AE 的长，进而得出答案．如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点E ，BE=DC ， ⊥⊥ECB=18°48′， ⊥⊥EBC=78°12′， 则tan78°12′=10EC EC BE ==4.8， 解得：EC=48（m ）， ⊥⊥AEC=45°，则AE=EC ，且BE=DC=10m ，⊥此塑像的高AB 约为：AE+EB=58（米）．考点：解直角三角形的应用12．2400.【解析】【详解】试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是1200sin 30︒=2400（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．（14+23）米【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．⊥CD =8，CD 与地面成30°角，⊥DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43．⊥1m 杆的影长为2m ，⊥DE EF =12， ⊥EF =2DE =2×4=8，⊥BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．⊥AB BF =12，⊥AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．14．240【解析】【详解】试题分析：如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可．解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．⊥tan⊥BCA==⊥DC=300cm，⊥AC=DC﹣AD=300﹣60=240（cm）．答：AC的长度是240cm，故答案为240．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【详解】解：在Rt△ACE中，⊥ACE=α=35°，CE=BD=20，⊥tan⊥ACE=AE CE，⊥AE=CE•tan⊥ACE=20•tan35°14.004，⊥AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．电视塔大约高339米．【解析】【详解】试题分析：根据CG和⊥CFG、CG和⊥CEG可以求得FG、EG的长度，根据EF=EG﹣FG 可以求出CG的长度，即可解题．试题解析：延长EF交CD于G，在Rt⊥CGF中，FG==CG，Rt⊥CGE中，EG==CG，⊥EF=EG﹣FG，⊥CG==125（+1）≈337.5米170cm=1.7，337.5+1.7≈339米．答：电视塔大约高339米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．17．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°(2)台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°【解析】【分析】（1）由题意得：17.52DF CD==cm，EF CD⊥，根据1cos2DFDDE∠==，可求D∠；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得31531522EF=⨯=，根据cos0.134BHABHAB∠=≈，可得ABH∠的值，进而可求ABE∠的值．(1)解：由题意得，17.52DF CD==cm，EF CD⊥，⊥1cos2DFDDE∠==⊥60D∠=︒⊥平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．(2)解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，⊥30HF=⊥31531522EF=⨯=⊥15330152BH BE EF=--=-⊥cos0.134BHABHAB∠=≈⊥82.30ABH∠≈︒⊥18097.70ABE ABH∠=︒-∠=︒⊥台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．18．约是5.3米．【解析】【分析】由条件易得BE =DE =20，在Rt △BCE 中，利用三角函数求得BC 的长，进而可求AB ．【详解】解：⊥⊥BEC =⊥BDE +⊥DBE ，⊥⊥DBE =⊥BEC -⊥BDC =60°-30°=30°，⊥⊥BDE =⊥DBE ，⊥BE =DE =20，在Rt △BCE 中，⊥BCE =90°，sin⊥BEC =BC BE ， ⊥3sin 2010310 1.7317.32BC BE BEC =⋅∠=⨯=≈⨯=（米）， ⊥AB =BC -AC =17.3-12=5.3（米），答：旗杆AB 的高度约为5.3米．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE ＝DE ，掌握三角形函数定义． 19．旗杆AB 的高度是（83+8）米．【解析】【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB ）×33=BD×1，解得BD ，从而可以求得AB 的高度． 【详解】，解：由题意可得，CD=16米，⊥AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，⊥CB•tan30°=BD•tan45°，⊥（CD+DB ）×33=BD×1， 解得BD=83+8，⊥AB=BD•tan45°=（83+8）米，即旗杆AB 的高度是（83+8）米．20．10.5米．【解析】【分析】设CD=x 米，由已知可得DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，利用⊥A 的正切求出x 的值即可.【详解】设CD=x 米，⊥⊥DBC=45°，⊥DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，tan⊥A=CD AD， ⊥tan35°=5.4+x x ， 解得：x=10.5，所以大树的高为10.5米．【点睛】 本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.21．(1)1.2米；(2)约为4.9米．【解析】【分析】（1）根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度；（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M ，由题意得：MH ＝BC ＝AD = 1，66A ∠=，即可求得AM 的长，在Rt △AMB 中，根据⊥A 的余弦函数即可求得AB 的长，从而可以求得结果．(1)解：由题意得，DH ＝0.43⨯＝1.2（米）；答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；(2)解：过点B作BM⊥AH，垂足为M，由题意得：⊥BCH＝⊥CHM＝⊥BMH＝90°，⊥ 四边形BCHM是矩形，MH＝BC＝AD= 1，⊥ AM＝AD+DH－MH＝1+1.2－1＝1.2，在Rt⊥AMB中，⊥A＝66°，⊥cosAMAAB =，⊥AB＝1.22.92cos660.41AM≈=︒（米），⊥ l ＝AD＋AB＋BC1 2.921 4.9≈++≈（米），答：所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．【点睛】解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．22．C、D两点间的距离约为6.5米．【解析】【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知⊥ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt⊥ABD和⊥BAD 的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：⊥⊥ABC=90°，⊥CAB=45°，⊥在Rt⊥ABC中，⊥CAB=⊥BCA=45°，⊥AB =15(米)，⊥在Rt⊥ABC 中，AB=BC =15(米).⊥⊥ABD =90°，⊥BAD =55°，tan55 1.43︒≈，⊥在Rt⊥ABD 中，tan tan5515 1.4321.45BD AB BAD AB =⋅∠=⋅︒≈⨯=(米)，⊥BC =15(米)，BD ≈21.45(米)，⊥CD =BD -BC ≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C 与点D 之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB )将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.23．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt ⊥ABE 中，根据⊥α的正切值即可求得楼高；（2）当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H .可求得AF =AB =17.3米，又因CF =CH =17.3-17.2=0.1米，CM =0.2，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt ⊥ABE 中，⊥tan 6010BA BA AE ︒==, ⊥BA =10tan 60°=10310 1.7317.3≈⨯=米.即楼房的高度约为17.3米；（2）当45α︒=时，老人仍可晒到太阳；理由如下：假设没有台阶，当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H ，⊥⊥BF A =45°，⊥tan 451BA AF︒==，此时的影长AF =BA =17.3米， 所以CF =AF -AC =17.3-17.2=0.1，⊥CH =CF =0.1米，⊥大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上．⊥老人仍可晒到太阳．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．24．（1）大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）小敏家的高度AE 为20米．【解析】【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt⊥ABC 与Rt⊥ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC 是矩形，即可求得小敏家的高度AE ．试题解析：（1）如图，⊥AC⊥BD ，⊥BD⊥DE ，AE⊥DE ，⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AC=DE=203米，⊥在Rt⊥ABC 中，⊥BAC=45°，⊥BC=AC=203米，在Rt⊥ACD 中，tan30°=CD AC ， ⊥CD=AC•tan30°=203×33=20（米）， ⊥BD=BC+CD=203+20（米）；⊥大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AE=CD=20米．⊥小敏家的高度AE为20米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用⊥CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，⊥sin⊥BAH=BHAB，⊥BH=800•sin30°=400，⊥EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，⊥sin⊥CBE=CEBC，⊥CE=200•sin45°=1002，⊥CF=CE+EF=（1002+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.。
专题1-6 利用三角函数测高-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
BE 5.8m,
BE
1 CF
1
,
,
AE 1.6 DF 2.5
B
A
i=1:1.6
α
9.8
C
β
i=1:2.5 5.8
D
F
E
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
当堂练习
1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装
水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光
线刚好不能直接射人室内，则m的值是（
）
A．m= +0.8
C．m= -0.2
B．m= +0.2
D．m= -0.8
【答案】C
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
在现实生活中，我们不可以直接从被测点到达被测点
的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），
再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是
在地面上不能直接测得测点与被测
物体的底部之间的距离，
如图中的AN或BN的长度.
Cα D β
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝ ，
九年级数学下册教材目录(北师大版)
九年级数学下册教材目录（北师大版）第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。
利用三角函数测高
3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测 得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测 得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出 电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B， 解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F， 则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF， 则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．