恒定电场
第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
恒定电场和交变电场的作用和应用
恒定电场和交变电场的作用和应用1. 恒定电场1.1 定义恒定电场是指电场强度和方向不随时间变化的电场。
在理想情况下，恒定电场的电场线是直线，且电场强度在空间和时间上都是恒定的。
1.2 作用1.电荷分离：在恒定电场的作用下，正负电荷会分别移向电场的相反方向，从而实现电荷的分离。
2.电荷加速：带电粒子在恒定电场中会受到电场力的作用，从而产生加速度，实现电荷的加速。
3.电势差：恒定电场中，电场线与等势面垂直，因此可以通过电场线来确定电势差，进而计算电能。
1.3 应用1.静电场计算：在工程和物理问题中，经常需要计算在恒定电场中的电势、电场强度等物理量。
2.静电平衡：在静电场中，带电体的电荷分布会受到恒定电场的影响，从而达到静电平衡状态。
3.电容器设计：电容器是存储电能的装置，其工作原理就是基于恒定电场下的电荷存储。
2. 交变电场2.1 定义交变电场是指电场强度和方向随时间变化的电场。
交变电场的特点是电场强度和方向周期性变化，形成电场矢量在空间中的旋转。
2.2 作用1.电荷周期性运动：在交变电场中，带电粒子受到周期性变化的电场力，从而产生周期性运动。
2.电磁感应：交变电场可以通过电磁感应现象产生磁场，或者通过变化的磁场产生交变电场。
3.能量传输：交变电场是交流电信号传输的基础，可以有效地传输电能和信息。
2.3 应用1.交流电装置：交变电场是交流电灯、交流电动机、交流发电机等设备工作的基础。
2.信号传输：在无线电通信、有线通信等领域，交变电场是信号传输的重要手段。
3.电磁兼容性：交变电场的存在可能导致电磁干扰，因此在电子设备设计中需要考虑电磁兼容性。
3. 恒定电场和交变电场的比较恒定电场和交变电场在作用和应用上有很大的不同。
恒定电场主要涉及电荷的分离和加速，适用于静电场计算和电容器设计等领域。
而交变电场涉及电荷的周期性运动和能量传输，适用于交流电装置和信号传输等领域。
4. 结论恒定电场和交变电场是电磁学中的基础概念，它们在日常生活和工业应用中扮演着重要的角色。
恒定电场
S
R1 r
R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来 表示，需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。
解：根据
tan1 tan 2
1 2
5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时，可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知，载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。
6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见，只要 190，tan1∞，
12
则 tan 20，20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直，
第三章恒定电场
20
恒定电场
B H
4.3恒定电场的边界条件
法向
SJ • dS 0
1
J1
J1n J 2n
2
J2
切向
CE • dl 0
E1t E2t
a1n
E1
1
2
a2n
E2
☆ 小结：边界条件
法向： 静电场介质边界 D1n D2n fc
切向：
E1t E2t
恒定电场媒质边界 J1n J2n 1E1n 2 E2n
式中σ是土壤的电导率。
提高级别例题1： 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间填充一种介电常数为ε、电导率为σ的电介质材料, 试 计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻R1。
同轴电缆的横截面
解法1: 根据静电比拟法，同轴线单位长度电容的表示式, 求 得
G1
2
1n b
a
(S / m)
所以
例 试计算如图所示的深埋在地下的铜球的接地电阻, 设铜球 半径为a。（例题4.4）
计算接地电阻
解: 大地中任一点的电流密度为
J
I
4 r2
er
E
J
I
4 r2
er
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
U E dr
I
a
4
dr I
a r2 4a
所以接地电阻是 R U 1
()
I 4 a
恒定电场 散度方程 旋度方程 特征方程
恒定磁场 散度方程 旋度方程 特征方程
积分形式
微分形式
D • dS Q E • dl 0
• D E 0
D E
SJ• dS 0
•J 0
CE • dl
恒定电场
图2.5.1
同轴电缆横截面
绝缘电阻
1 1 ln R2 R G 2l R1
I dI J lim n n S 0 S dS
单位: 安培/米2 (A/m2)
电流密度
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一
般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。
此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通
量，即
I J dS JdScosθ
R2
1
U 0 e
电流 电导
I J dS
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
2.5.2
接地电阻
安全接地与工作接地的概念
接地器电阻
接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器
•
• •
两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;
相应电极的电压相同; 若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似
r1 1 r2 2
的几何形状，且满足条件
时，则这两种场
在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
2.4.3
静电比拟的应用
1. 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算 恒定电场
2 0
D1n D2n
I J dS
S
2 0
S
q D dS
E1t E2t
3-恒定电场
γ2
=
γ1 γ1
+
I’
γ2 γ2
镜像法
γ1 −γ 2 I′ = I γ1 +γ 2
2γ 2 I ′′ = I γ1 +γ 2
实验——用恒定电场实验模拟静电场 用恒定电场实验模拟静电场
模拟法就是应用一种具有中等导电率的媒质代替静电场所 在空间的介质或真空； 在空间的介质或真空；另外一种具有高导电率的导体制成电极 使其形状与形成静电场的导体电极相同。 使其形状与形成静电场的导体电极相同。在模拟电极上加上与 原静电场中电极上电位成比例的电位， 原静电场中电极上电位成比例的电位，于是在导电媒质中形成 恒定电流场。 恒定电流场。 v v 完全相同。 这个恒定电场的 E 与静电场中的 E 完全相同。电位分布也 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。
第3章 恒定电场 章
导体内电场如何求解？ 导体内电场如何求解？ 1. 2. 3. 4.
恒定电场的特点
导体电位差？ 导体电位差？
电荷处于动态平衡状态。 电荷处于动态平衡状态。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动——转化为热能。 转化为热能。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动 转化为热能 对导电媒质以外而言场相对稳定----与静电场相似 相似， 对导电媒质以外而言场相对稳定 与静电场相似，可用静电场 方法求解。 方法求解。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。
J 2n
(电磁场PPT)第二章 恒定电场
第二章
由电路理论
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U RI
R l
S
电导率与电阻率的关系： 1 ，
（r 电阻率）， （电导率）。 r
图2.1.5 J 与 E 之关系
在场论中 dI J dS
dU dI R J dS dl
dS
E dl
J E 欧姆定律 微分形式。
第二章
恒定电场
U RI 欧姆定律 积分形式。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法 电导与接地电阻 特殊解(静电比拟)
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
第二章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。
—焦耳定律积分形式
第二章
2.2 电源电动势与局外场强
2.2.1 电源 (Source)
恒定电场
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
工程电磁场第三章恒定电场
第三章 恒定电场3.0 概述1 本章的主要内容(1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场；(3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场一、导电媒质中的恒定电场恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。
两种情况：1．导电媒质中的恒定电场2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。
电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。
对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。
如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。
如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。
只要利用Eγδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。
二、 局外场强与电动势局外场强（局外力设想为一等效场强） q FE e e =电动势 l d qF C l d E C e e⋅=⋅=⎰⎰+-+-11ε局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。
e 与电荷数量即电流无关。
3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式1．电流密度失量（电流面密度矢量）I dtdq t q t ==∆∆→∆0lim电流强度 A 标量 对面而言 通量dS dIS I S =∆∆=→∆0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数δ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S⋅=⎰δ电流场——电流线描述电流线密度矢量n e dl dI K = A/m2．欧姆定律的微分形式导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 Eγδ=γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。
大学恒定电场知识点总结
大学恒定电场知识点总结电场是物体周围的区域内存在电荷时产生的场。
当一个电荷位于某一位置时，它会对周围空间产生电场，这个电场会对该位置上的其他电荷产生力的作用。
在大学物理学中，学习恒定电场是重要的一部分，因为它涉及到静电学和电磁学的基本知识。
下面就大学恒定电场的知识点作一个总结。
1. 电场的基本概念电场是指在某一位置上，单位正电荷所受的电力，它是一种向量场。
电场的单位是牛顿/库仑，它表示单位正电荷在电场中受到的力。
电场方向的计算是基于正电荷的运动方向。
而如果是负电荷，受到的力方向则与电场方向相反。
电场是相互作用力的介质，在电磁学中有着非常重要的地位。
2. 电场强度电场强度是电场的一种物理量，它表示单位正电荷在电场中所受到的力。
电场强度是电场的重要参数之一，它可以描述电场的强度和方向。
电场强度的计算公式为E=F/q，其中E 表示电场强度，F表示电力，q表示电荷量。
电场强度的大小与位置有关，通常来说，在靠近电荷的位置，电场强度较大。
3. 电势能在电场中，带电粒子在外力作用下会发生位移，当粒子在电场中发生位移时，它将会具有电势能。
电势能是指电荷在电场中因位置而具有的能量，它是描述带电粒子在电场中的一种物理量。
电势能的计算公式为U=q*V，其中U表示电势能，q表示电荷量，V表示电势差。
电势能也可以描述电场中电荷的分布状态和能量转换情况。
4. 电场的叠加原理在物理学中，电场具有叠加原理。
即当有多个电荷在同一位置产生电场时，它们产生的电场叠加在一起。
这就是说，如果在某一位置上同时存在多个电荷，那么这个位置上的电场强度就等于各个电荷所产生的电场强度的矢量和。
5. 高斯定律高斯定律是描述电场的重要原理之一。
它表明电场线出和面积法向量之间的关系，即电场强度线的通过面积的总和等于该面积法向量与面积之积的比值。
高斯定律可以用来计算电场强度的大小和方向，通常在计算电荷在某一位置上的电场时会使用到高斯定律。
6. 电势电势是一个关于电场的概念，它是描述电场能量的一种物理量。
武汉工程大学工程电磁场第三章恒定电场
(1)边界条件
设有媒质电导率分别为 1,的2交界面，可得
1n 2n (3-14 )
E1t E2t (3-15)
上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的
法线分量连续。
在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的E切线分量连
续。
n 1
1
1
不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：
tan 1 1 tan 2 2
单位长度上的绝缘电阻
R0
U0 I
ln R2
2
R1
（3-10）
8
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程
在任意恒定电场中，作任意闭合曲 面S，由电荷守恒定律得
dS
I
q
（3-11）
S
t
在恒定电流场中，
S dS 0
q t 0
（3-12）
图3-3 穿过闭合曲面 的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式
图3-5 电流由导体 流入土壤
16
1.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件
(1)非理想介质
几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们
在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。E
在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要 考虑其特有的介质性能。
在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在， 因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即
(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？ 12
3 恒定电场的拉普拉斯方程
E
2
0
当媒质均匀时 0 则得 2 0
通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯 方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。
工程电磁场-第二章恒定电场
ax
0, 0, U sin x , 0 x0
a 0 yb
y0 0 xa
yb
0
0 xa
xa 0 yb
2023/10/15
32/54
例3 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及面电荷的分布？
解：选用圆柱坐标，边值问题为： 0
0
21
1
(
1 )
1
2
21 2
21
z 2
0
( 1区域）
2 2
欧姆定律 导体内流过的电流与导体两端的电压成正比。
U RI I GU
设小块导体，在线性情况下
R 1 dl U E dl
ds I J dS
J 与 E 之关系
J E
Ohm’s Law 微分形式
说明 ① J 与 E 成正比，且方向一致。
① 上式也适用于非线性情况。
2023/10/15
11/54
tan 1 1 tan 2 2
γ1
γ2
J2
α2 α1
除α1＝90°外，无论α1为多大，
J1
α2都很小。
结论：电流由良导体进入不良导体时，电流密度线 与良导体表面近似垂直，可将分界面视为等位面。
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25/54
b.良导体和理想介质分界面衔接条件 理想介质 γ2 ＝0，J2=0
导体侧， J1n ＝J2n=0， E1n ＝0
三种电流： 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运流电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义 单位时间内通过某一横截面的电量。
I dq A dt
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6/54
恒定电场
什么是恒定电场？
处于静电场中的导体，其内部的电场强度为零。 如果将导体与电源的两极相连，则导体内部就会 有电流产生。而想要维持电流的存在，则导体内 部的电场强度就不为零。那么这个维持电流的电 场就是恒定电场。 电流的描述 电流强度 I 就是单位时间流过导线某一截面的电 荷量
dq I dt
的电位要满足拉普拉斯方程。
2 0
边界条件
E1t E2 t J 1n J 2 n
7
第四章 恒定电场
对于电位，则有
1 2 1 2 1 n 2 n
8
第四章 恒定电场
恒定电场与静电场的比拟 均匀导电媒质中的恒 均匀电介质中的静电 定电场（电源外部） 场（ 0 的区域）
J 0 微分形式 E 0 本构方程 J E
6
第四章 恒定电场
同静电场一样，由于 E 0 ，所以我们可以 引入一个标量函数电位 ，有 E 。 将其带入 J 0 ，我们同样可以得到恒定电场
第四章 恒定电场
电流密度 J 就是在垂直于电荷流动方向的截面上， 某点处单位面积内的电流总量，那么通过面元 dS 的电流为
dI J d S
I
流过任意截面 S 的电流强度为
S
J dS
2
第四章 恒定电场
图 4.1 电流与电流密度
(a) 体电流；(b) 面电流；(c) 线电流
基本方程
S J d S 0 l E dl 0 J 0 E 0
S D d S 0 l E dl 0 D 0 E 0
第4章 恒定电场与恒定磁场
导线间距为D。(D>>a)
y
分析：导线为细导线，故只需考虑导体间
的互感。
dx
解：由安培环路定律，可以求得在导体间
I
磁感应强度分布：
v B
v B1
v B2
0 I 2 x
evy
0 (I ) 2 (D x)
(evy )
x D x I D
x
则导体间单位长度的磁通量为
Da Bdx 0I [ln x ln(D x)] Da
15
关于回路自感的讨论
回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸和媒质磁导率有关， 与回路中载流无关。
若回路导线直径较粗，则 L Li Lo
式中：Li 为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感 Lo为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感
互感
两个彼此靠近的回路C1和C2，回路C1中
若回路为单回路系统，则
Wm
1 2
Lij I 2
若回路为双回路系统，则
Wm
1 2
L11I12
1 2
L12 I1I 2
1 2
L21I 2 I1
1 2
L22 I 2 2
1 2
L11I12
L12 I1I 2
1 2
L22 I 2 2
23
体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
式中：Av
vv
J dS 0
S
v
v
vv
E 0
v
Ñl E dl 0
将J E 代入 • J 0可得电位方程
2 0
2
二、恒定电场边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场
第二章恒定电场
τ 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流I = τv 。
图2.1.4
媒质的磁化电流
图2-3 电流元示意
r r 注意： 电流密度的符号通常用 的符号通常用： 注意：1) 电流密度的符号通常用：J , K , I 2) 电荷密度的符号通常用： , σ , τ 电荷密度的符号通常用 ρ 的符号通常用：
γ 1 >> γ 2
α1 ≠ 90 o
α 2 ≈ 0o
J2 n°
例如，钢的电导率 γ1 = 5×106 S/m，周围土壤的电 例如 导率γ2 = 10-2 S/m，α1 = 89°，可知，α2 ≈ 8″。 良导体表面可近似看作为等位面 (3) 导体与理想介质分界面上的边界条件
J 2n = 0
γ2 γ1
γ 1 E1n = γ 2 E 2 n
J2
ε2E2n −ε1E1n =σ
γ2, ε2
P
σ
ε 2γ 1 − ε 1γ 2 σ= J 2n γ 1γ 2
γ1, ε1
J1
1-3-1 有恒定电流通过两种不同的导体媒质 介电常数和 有恒定电流通过两种不同的导体媒质(介电常数和 的分界面. 电导率分别是 ε1, γ 1和ε 2 , γ 2)的分界面 问若要使两种电解 的分界面 质分界面处的电荷面密度为零, 则应该满足何条件. 质分界面处的电荷面密度为零 则应该满足何条件
包括良导体和不良导体). 中(包括良导体和不良导体 包括良导体和不良导体 2) 前者场强处处为零并且为等位体；后者 库仑 场强 前者场强处处为零并且为等位体；后者(库仑 库仑)场强 一般不为零并且为非等位体. 一般不为零并且为非等位体 3) 电场为恒定电场的条件为任何闭合面电流量对 时间导数为零。 时间导数为零。
第4章 恒定电场和恒定磁场汇总
第4章 恒定电场和恒定磁场
例1 一个填充有两层导电媒质的平行板电容器，媒质参数分别为 1、1 和 2、2 ，外加电压U。求介质分界面上的自由电荷密度。 解 ：极板是理想导体， o 为等位面，电流沿z 方向。 U 1 , 1 d1 由 J1n J 2n J1 J 2 Jz ˆ d2 2 ,2 z J1 J1 J2 J2 ˆ, E2 ˆ E1 z z 1 1 2 2 d1 d 2 d1 d 2 J U ( ) U U1 U 2 E1d1 E2 d 2 ( ) J
tan 1 1 tan 2 2
电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近似与良导 体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
例如:
同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而
填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏
恒定磁场
推论2: 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和
电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布ρs 。
如: 两种导电媒质的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
J1n J 2n 1E1n 2 E2n
s E1n E2 n 0
第4章 恒定电场和恒定磁场
三、恒定电场的边界条件
• 场矢量的边界条件
J dS 0
S
ˆ ( J1 J 2 ) 0 即 J1n J 2n n
ˆ ( E1 E2 ) 0 即 E1t E2t n
ˆ n
1
E1
C
E dl 0
场矢量的折射关系
媒质1 媒质2
恒定电场知识点总结
恒定电场知识点总结首先，我们需要了解什么是电场。
电场是一种物理场，描述了电荷之间相互作用的力。
在空间中的任意一点，如果放置一个试验电荷，它会受到电场力的作用。
电场可以由其他电荷所产生，也可以通过外部装置如电容器、电偶极子等来产生。
在典型的静电学问题中，我们经常研究恒定电场，也就是描述电场中的电荷分布是不随时间变化的。
在恒定电场中，我们能够推导出一些重要的规律和定律来描述电场中电荷的受力和运动。
下面，我们将在本文中详细探讨恒定电场的知识点，并且总结其重要的概念和定律。
1. 电场强度电场强度是描述某一点上电场强度大小和方向的物理量。
在恒定电场中，电场强度是一个常矢量，表示了电场在该点上对单位正电荷的力。
当我们插入一个试验电荷到电场中，该电荷所受到的电场力就是电场强度的矢量乘以电荷的大小。
电场强度的方向指向电场力的方向，大小则表示了单位正电荷所受到的电场力。
电场强度可以用数学公式来表示，在恒定电场中，它通常可以由电场势能的梯度来描述。
在直角坐标系中，电场强度的三个分量可以表示为：\[ \vec{E} = -\nabla V \]其中，E是电场强度的矢量，V是电场的电势。
这个公式用数学上的梯度运算符$\nabla$来表示，表明了电场强度和电势之间的关系。
通过计算电场势能在某点上的梯度，我们可以得到该点上的电场强度。
2. 超定定电场在超定定电场中，电场强度不仅与电场势能有关，而且还与场中存在的其他电荷分布有关。
在这种情况下，电场强度的计算要考虑到所有的电荷对于某一点上的贡献。
一般来说，我们会利用库仑定律来描述这种超定定电场下的电场强度。
库仑定律给出了两个电荷之间的电场强度与它们之间距离平方的关系：\[ \vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q}{r^2} \hat{r} \]其中，$\vec{E}$是电场强度，q是电荷大小，r是电荷之间的距离，$\epsilon_0$是真空中的介电常数(8.85×10^-12 F/m)。
chapter3-恒定电场(zhang)
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
恒定电场
第二章恒定电场导电媒质中的电流电源电动势与局外场强恒定电场基本方程•分界面上的边界条件导电媒质中的恒定电场和静电场的比拟电导和接地电阻在静电场中，导体中没有电场，没有电荷的运动，导体是等位体，导体表面是等位面。
我们研究的是介质中的电场.当导体中有电场存在时，导体中的自由电荷在电场力的作用下就会作定向运动，形成电流。
如果导体中电场保持不变，那么，运动着的自由电荷在导体中的分布将达到一种动态平衡，不随时间而改变，这种运动电荷形成的电流称为恒定电流.维持导体中具有恒定电流的电场称为恒定电场.处于恒定电场中的导体表面，将有恒定的电荷分布，它们将在导体周围的介质中引起恒定电场，其性质与静电场类似，遵从与静电场相同的规律。
所以，本章的重点在研究导电媒质中的恒定电场（也称恒定电流场）。
基本物理量J欧姆定律J的散度 E 的旋度基本方程边界条件边值问题电位电导与接地电阻一般解法特殊解（静电比拟）图 2.0.2 恒定电场的知识结构框图I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
1.电流面密度2.1.2 恒定电场的基本物理量——电流密度电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。
2.1.1 电流强度2.1 导电媒质中的电流图2.1.1 电流面密度矢量图2.1.2 电流面密度A dtdq I =单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
分布的体电荷以速度v 作匀速运动形成的电流。
ρ)(A/m 2 v ρJ =流过任意面积S 的电流⎰⋅=S S d J I 电流面密度的物理意义：描述某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流。
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；•交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
•媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示,如图示；图2.1.3 电流线密度及其通量工程意义：图2.1.4 媒质的磁化电流2. 电流线密度分布的面电荷在曲面上以速度v 运动形成的电流。
第四章 恒定电场
= q ∫ E ′ ⋅ dl = q ∫ E ′ ⋅ dl
C1 C
= qξ
在引入外部电动势的情况下， 欧姆定律可写为 在引入外部电动势的情况下，
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ [σ ( E + E ′)] = 0 ⇒ ∇ ⋅ (σE ) = −∇ ⋅ (σE ′)
11
J = σ ( E + E ′) ⇒
∇⋅B = 0 ∇ × H = J
J =σE
and
D = εE
4
可知： 由 ∇⋅ J = 0可知：
D ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∇ ⋅ (σ E ) = 0 ⇒ ∇ ⋅ σ = 0 ε
σ ⇒ ρ = 0 ⇒ ρ = 0 ε
∴选择 J 代替 D ，则方程变成
∇ ⋅ D = ρ and ∇ × E = 0
9
三、电流稳定分布的必要条件
恒定电流体系最为重要的特点是内部会不断产 焦耳热，即电磁能将不断损耗。因而， 生焦耳热，即电磁能将不断损耗。因而，体系 保证电流稳定流动 必要条件 必须有 电流稳定流动的 条件是 要保证电流稳定流动的必要条件是必须有外来 电动力， 外来电动 电动势 的电动力，即外来电动势。
I = ∫ J ⋅ dS 为一常数，此种情况称为恒定电流。 为一常数，
S
恒定电流可分为 导电媒质 中的自由电子运动所形成的 传导电流和真空中电子或离子运动所形成的运流电流。
2
电流密度可表示为： 电流密度可表示为：ห้องสมุดไป่ตู้
J = ρυ 或 J = ∑ J i = ∑ ρυ
由电荷守恒定律可知
由于 ∇ ⋅ J = 0 ，则体电荷密度 ρ
dQ ∂ρ ∫SJ ⋅ dS = − dt ⇒ ∫V∇ ⋅ JdV = −∫V ∂t dV ∂ρ ⇒ ∇⋅ J = − ∂t
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因静电场是恒定电场的特例
1E1n
2
1 2
E1n
1 1
2 2
1E1n
表明 一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在
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第二章
恒定电场
折射定律
tan1 J1t J1n J1t tan2 J2t J2n J2t
E1 1t 1
2E2t
2
电流线的折射
分界面上电位 的衔接条件
由 E1t E2t J1n J2n
电源内总场强 E Ec Ee
J (Ec Ee )
因此，对闭合环路积分
b
a
图2.2.2 电源电动势与局外场强
E dl
l
l(Ec Ee ) dl
l Ec dl l Ee dl
b
a Ee dl
局外场 Ee 是非保守场。 0
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第二章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
上页 下体与理想介质的分界面
在理想介质中
2 0， J2 0 故 J2n J1n 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
。
空气中
E2n
J2n ＝ 0
2 0
0
导体中 J2n J1n 0 E1n 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
D2n D1n 2E2n
l1
l2
U1 U2 U 0
应用到电 路的回路
恒定电场
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
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第二章
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒 定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0）
恒定电场（无源区）
lE dl 0
Basic Equations • Boundary Conditions • Boundary Value Problem
2.3.1 基本方程 (Basic Equations)
1. J 的散度
电荷守恒原理 J dS q
亦称电流连续性方S程
t
(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）
E1t E2t D1n D2n
1 2
1
1
n
2
2
n
恒定电场（电源外）
E1t E2t
J1n J2n
1 2
1
1
n
2
2
n
对应物理量 E D q E J I
电流密度 J v A m2
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流
电流
I S J dS
（垂直）
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电返流回的计上算 页 下 页
第二章
恒定电场
2. 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。
电流线密度 K v A m
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流
第二章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
电源电动势是电源本身的特征量，
与外电路无关。
局外场强
Ee
=
fe q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
fe －局外力 （电源中将正负电荷分开的力）
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第二章
恒定电场
电源电动势
b
l Ee dl = a Ee dl L
E2 E2n
E2 E2n
表
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流
明
分布在导体表面，导体不损耗能量
2）理想介质中的E垂直于导体表面。
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第二章
恒定电场
恒定电场与静电场不同之处
① 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于 介质中而且存在于导体中；
② 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空
间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场； En
Et
+
+
U
U
-
-
静电场
恒定电场
上页 下页
第二章
恒定电场
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
导线端面电荷 引起的电场
导线侧面电荷 引起的电场
所有电荷引起 的电场叠加
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
导电媒质周围介质中的恒定电场
1 2
由
J1n J2n
得
1
1
n
2
2
n
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及
导体分界面上的面电荷分布。
解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
21
1
2
21 2
0
( 1 区域）
2 2
1
2
2 2 2
0
( 2 区域）
2 0 0
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
积分形式 微分形式
SJ dS 0
J 0
l E dl 0
E 0
构成方程 J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。 返 回 上 页 下 页
第二章
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
应用到电 路的结点
I 0
l E dl E dl E dl
1 2
1
1
n
2
2
n
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第二章
讨论 ① 良导体与不良导体的交界面。
1 2
tan1 1
1
tan2 2
tan2
tanα1 2 1
0
α1
2 00
E1t E2t 0
恒定电场
2
α2
表
1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。
明
2）良导体可以近似认为是等位体。
3）可以用电流场模拟静电场。
电流
I l (K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与 曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
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第二章
工程应用
恒定电场
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；
高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
E2
4 1U 0 π(1 2 )
e
电荷面密度
D2n
D1n
0E1 0E2
4 0U 0 π(1 2 )
(1 - 2 )
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第二章
恒定电场
2两.4种导场电各媒物理质量中满恒足定相电同场的与定解静问电题场，的则比解拟也相
同。Co那nt么ra，st 通of 过St对ead一y个El场ec的tri求c F解ie或ld实an验d 研El究ect，ro利sta用ti对cs
表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。
E1t E2t J1t / 1 0
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体
表面非等位面
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第二章
恒定电场
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1 J1 E1 1 有限值
E1 0
1 2 0
E1t E2t 0
在恒定电场中 q 0 t
J dS 0 散度定理 JdV 0
S
V
故 J 0
恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。
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第二章
2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则
恒定电场
E dl 0 斯托克斯定理 ( E)dS 0
l
S
得 E 0 恒定电场是无旋场。 D E 仍成立
位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。
I dq A dt
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第二章
恒定电场
2.1.2
电流密度（Current
（描述导体中每一点的电荷运动情况）
Density)
1. 电流面密度 J
电流密度的方向为正电荷的运动方向
体电荷 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流
3. 线电流的概念 以线密度 以速度v运动形成的电流
dI v
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第二章
恒定电场
元电流段是元电荷 dq 以速度 v 运动形成的电流
νdV (体电流元) JdV
dq ν dS (面电流元） KdS
ν dl (线电流元） Idl
第二章
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所 产生的恒定场，与静电场的分布相同。
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第二章
2.3.3 边值问题（Boundary Value Problem)
恒定电场
由基本方程出发
E 0 E
常数
J 0 ( E) E 0
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
E1t E2t
应量2.4关.1系比便拟可方得法到(另Co一nt个ras场t M的et解ho。d)
静电场 ( 0)
E 0 D 0
D E
2 0