恒定电场
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4__恒定电场
J d S＝0
S
恒定电流场是无散 场（无源场）。
第二个基本方程为 E dl＝0
L
E＝0
上式表明：恒定电场是一种保守场。
可引入电位函数 ： 19:57:51
E
7
4.3
恒定电场
8
实验证明：在导电媒质中，电流密度与电场强度成正 比，即
欧姆定律的微分形式 称为导电媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。 1)电导率在1×107S/m以上的材料称为良导体（例如金 属类的导电媒质）。若材料的电导率γ →∞，则称它为 理想导体。 2)电导率大多远小于1（海水除外）的材料称为有漏电 的电介质材料。若材料的电导率γ →0，则称它为理想 的电介质材料。可用介电常数表示。 3)实际上，任何材料都有一定的电导率和介电常数。
I lim A / m2 大小： S 0 S 体电流密度 J 方向：正电荷运动的方向 （电流的方向） 式中 S 的法线方向与电流的方向一致。
S
I
流过任意曲面的电流 19:57:51
I J (r ) dS
S
3
4.1
2、面电流密度
电流与电流密度
I (t ) const
空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅 19:57:51 2 用电流强度无法描述电流的分布情况。
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第4章 恒定电场
作业： P113: 1/4/6 P114: 8/10/11
第4章 恒定电场
静态场电场边值型问题的解法
19
dP J dS E dl p J E dV dS dl
单位体积内的损耗功率
dS
J
dl
电磁场与电磁波
第4章 恒定电场
J
p J E 焦耳定律的微分形式
dS
dP JdS Edl I U 焦耳定律
例： 率
dl
同轴线内外导体半径分别为a和b，其间填充介质的电导 ，内外导体的电压为U，求此同轴线单位长度的损耗功率。
导电媒 质中有 恒定电 流流过 恒定电场
J 0
E E 0 E
论 如 前 页
电磁场与电磁波
恒定电场的旋度方程（无旋场）
电荷的分布处于一种动态的平衡，因此 由不变电荷量所产生的电场同静止电荷 所产生的电场一样，都是无旋场。
第4章 恒定电场
电流I和电流密度J的关系就好像通量和通量密度的关系： 一个是标量，一个是矢量；一个反映的是面上整体的情况，一 个反映的是各点的情况。
J dS I
S
Z
er
I r
600
无限大导体薄板有电流I注入，求： 1. 距离注入点r的板上任意一点处 的电流密度。 2. 如图所示的扇形区域内的电流。
第4章 恒定电场
静态场电场边值型问题的解法
19
dP J dS E dl p J E dV dS dl
单位体积内的损耗功率
dS
J
dl
电磁场与电磁波
第4章 恒定电场
J
p J E 焦耳定律的微分形式
dS
dP JdS Edl I U 焦耳定律
例： 率
dl
同轴线内外导体半径分别为a和b，其间填充介质的电导 ，内外导体的电压为U，求此同轴线单位长度的损耗功率。
导电媒 质中有 恒定电 流流过 恒定电场
J 0
E E 0 E
论 如 前 页
电磁场与电磁波
恒定电场的旋度方程（无旋场）
电荷的分布处于一种动态的平衡，因此 由不变电荷量所产生的电场同静止电荷 所产生的电场一样，都是无旋场。
第4章 恒定电场
电流I和电流密度J的关系就好像通量和通量密度的关系： 一个是标量，一个是矢量；一个反映的是面上整体的情况，一 个反映的是各点的情况。
J dS I
S
Z
er
I r
600
无限大导体薄板有电流I注入，求： 1. 距离注入点r的板上任意一点处 的电流密度。 2. 如图所示的扇形区域内的电流。
[理学]第二章恒定电场
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A
三种电流：传导电流，运流电流，位移电流 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运流电流——带电粒子在真空中的定向运动。可以 存在于非导体区域。例如：阴极电子发射 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
第 二 章
恒定电场
2.1.2 电流密度和元电流 电流形式及电流密度：
①线电流（沿截面可忽略的导线流动）
2、良导体（ 1）和不良导体（ 2 ）的 1 2 分界面： ①不良导体中体电流密度垂直于导体表面：
1 900 , 1 2 2 tg 2 tg1 0 1 2 0 J 2 导体表面
②不良导体中的电场强度也垂直于导体 表面，电场强度与电流密度同方向：
图2.3.1 电流线的折射
E2
2
Fra Baidu bibliotek
J2
第 二 章
恒定电场
3、 导体（第一种媒质）与理想介质（第二种媒质）分界 面： 理想介质的 E 垂直于导体表面。 恒定电场的导体中的
E1 E1t ；
理想介质不存在恒定电流，J 2 0，J1n J 2 n 0, J E E 0 1 1n 1n 1n
2 0
分界面衔接条件
由
E1t E2t
J1n J 2n
1 2
得
1 2 1 2 n n
恒定电场的形成
恒定电场的形成
恒定电场是指在空间中电场强度大小和方向都保持不变的电场。恒定电场的形成是由于电荷的存在和电荷之间的相互作用。电荷是电场的源，具有正电荷和负电荷两种属性。正电荷和负电荷之间会相互吸引，同种电荷之间会相互排斥。
在空间中，当存在一个或多个电荷时，其周围会形成一个电场。电场是一个由电荷引起的物理量，它描述了电荷在周围空间中的影响力。在恒定电场中，电荷不随时间变化，因此电场强度也保持不变。在一个恒定电场中，电荷会受到电场力的作用。电场力的大小与电场强度和电荷量有关。电场力的方向与电荷性质和电场方向有关。正电荷在电场中受到的电场力方向与电场方向相同，负电荷受到的电场力方向与电场方向相反。
恒定电场的形成有以下几种情况：
1. 单个电荷产生的电场：当只存在一个电荷时，其周围会形成一个呈球对称的电场。电荷的正负性决定了电场线的起始和结束位置，电场线从正电荷流向负电荷。电场强度随着距离电荷的远近而减小。
2. 电荷对之间的电场：当存在多个电荷时，每个电荷都会产生电场，并且相互之间会相互影响。在这种情况下，可以将每个电荷产生的电场叠加起来，得到总电场。根据电场叠加原理，每个电荷受到的
总电场力等于其他电荷产生的电场力的矢量和。
3. 平行板电容器：平行板电容器是一种常见的恒定电场形成的例子。它由两个平行的金属板组成，之间填充了绝缘介质。当平行板电容器接通电源时，正电荷会聚集在一个金属板上，负电荷会聚集在另一个金属板上。这样，在两个金属板之间就形成了一个恒定电场。
4. 点电荷环：点电荷环是由一些电荷按特定形状排列而成的结构。在点电荷环的中心区域，电场强度是恒定的。这是因为电荷环对称，对于任何一点来说，来自电荷环的电场力大小和方向都是相同的。
第三章 恒定电场
即
D D ( ) t
)0
J ( E ) ( D ) t
若媒质均匀： (
则
D t
25
2018/10/12
第三章
积分得：
2018/10/12 11
第三章
媒 质 银 紫铜 金
电导率(S/m)
媒 质 海水 淡水 干土
电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
10 3
10 5
铝
黄铜
变压器油
玻璃
10 11
10 12
1.57 10 7
铁
10 7
橡胶
10 15
2018/10/12 23
J ( E ) E 0
第三章
三、导电媒质内的体电荷：
1、恒定电场中不均匀的导电媒质内有体电荷 ： 据高斯通量定理：
D ( E ) (
,
J
若媒质不均匀，则
即
J
第三章
例：在无界非均匀媒质中（电导率和介电常 数均是坐标的函数），若有恒定电流存在， 证明:媒质中的自由电荷密度为：
E ( )
证明： 对恒定电流有 J 0 即 J (E) E E 0 E E 1
恒定电场_new
1 1 R2 绝缘电阻 R ln G 2 l R1
得同轴电缆电导 G
C 2 l 由静电场解得 C ， , 则根据 R2 G ln R1 2 l
R2 ln R1 ,
R2 ln 绝缘电阻 R 2 l R1
1
例2-3：求图示导电片的电导G。已给定
R1
电介质中，电场强度
E2 E2 t E2 n
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，
导体表面非等位面。
很多实际问题中， E ，计算时，往往把 E2 t 2n
导体表面近似地看成是等位面，导体近似看成等 位体。
实际中，电介质的电导率 2
0
D2 n D1n 2 E 2 n 1 E1n
I
I dI J lim en en S 0 S dS
1.
en
分布的体电荷以速度 v 作匀速运动时，有
v
J v
Am
2
——亦称电流面密度
通过任意面积元 dS 的电流为
dI J dS
流过任意面积 S 的电流为
2. 分布的面电荷在曲面上以速度 v 运动形成面 电流的线密度矢量。 Am K v e k
1 1 2 1 当 0 或 时，分界面上无自由 2 2 2 1
3-恒定电场
v 静 ∇× E = 0 v 电 ∇⋅D = 0 v 场 v D = εE
恒 定 电 场
∇ ϕ =0
2
v E = −∇ ϕ
v v q = ∫ D ⋅ dS
s
v v E D ε ϕ q
C
v ∇× E = 0 v ∇⋅J = 0 v v J = γE
v E = −∇ ϕ
∇ ϕ =0
2
v r I = J ⋅ ds
第3章 恒定电场 章
导体内电场如何求解？ 导体内电场如何求解？ 1. 2. 3. 4.
恒定电场的特点
导体电位差？ 导体电位差？
电荷处于动态平衡状态。 电荷处于动态平衡状态。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动——转化为热能。 转化为热能。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动 转化为热能 对导电媒质以外而言场相对稳定----与静电场相似 相似， 对导电媒质以外而言场相对稳定 与静电场相似，可用静电场 方法求解。 方法求解。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。
α 1 = 90 o 外，即 0 o ≤ α 1 < 90 o 除
γ2 tan α 2 = tan α1 → 0 γ1
γ 1 >> γ 2
恒定电场
§ 9.10
恒定电场
静电场： 相对于观察者静止的电荷周围的电场
静电感应: 电荷瞬间宏观定向运动 介质极化: 电荷瞬间微观定向运动 性质： 有源
只讨论实现 平衡后电场
D dS
s
( S内)
q
0
E dl 0
L
有势（保守）
恒定电场： 存在电荷宏观定向运动.（电流） 通过截面 S 的电流强度 I 不变 通过截面内各点电流密度 j 不变 恒定电流
L
E 分布不变
其存在一定伴随能量 转换
二. 电源电动势 ——— 恒定电场的能量来源
+ Fe
-
R
Fe
Fe
K
Fk Fe
Fe
R
不能形成持续电流
电源作用：
如何形成持续电流？
提供非静电力 Fk，将 q 由负极移向正极，保
持极板间电势差， 以形成持续的电流.
能量转换
Fe
外电路： Fe dl 0
内电路： Fe dl 0
Fe
K
Fk Fe
Fe
静电力为保守力
L
Fe dl 0
R
Fk Ek q
恒定电场
静电场： 相对于观察者静止的电荷周围的电场
静电感应: 电荷瞬间宏观定向运动 介质极化: 电荷瞬间微观定向运动 性质： 有源
只讨论实现 平衡后电场
D dS
s
( S内)
q
0
E dl 0
L
有势（保守）
恒定电场： 存在电荷宏观定向运动.（电流） 通过截面 S 的电流强度 I 不变 通过截面内各点电流密度 j 不变 恒定电流
L
E 分布不变
其存在一定伴随能量 转换
二. 电源电动势 ——— 恒定电场的能量来源
+ Fe
-
R
Fe
Fe
K
Fk Fe
Fe
R
不能形成持续电流
电源作用：
如何形成持续电流？
提供非静电力 Fk，将 q 由负极移向正极，保
持极板间电势差， 以形成持续的电流.
能量转换
Fe
外电路： Fe dl 0
内电路： Fe dl 0
Fe
K
Fk Fe
Fe
静电力为保守力
L
Fe dl 0
R
Fk Ek q
电路第三章 恒定电场
E0 dl V
电源电动势与局 外场强
电源电动势与有无外电路无关，它是 表示电源本身的特征量。
局外场只存在于电源之中
B Ee dl Ee dl
l A
因此局外场 E0 是非保守场。
4
1 电流密度矢量
§3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔－楞次 定律的微分形式
D2n D1n
20
(2)边界条件的推导
1 E1n 2 E2 n 1n 2 n 2 E2 n 1 E1n D2 n D1n
E1t E2t
2 1 1n 2 1
1.静电场与恒定电场的相似关系
实例：一面积为S的平板电容器，如果两板间电压为 U，就 能够求得其中的电场强度 E ，电位函数 ，电位移矢量D 以及 极板电荷q的表达式。
U
d
0
E dl Ed
E U d
D E U d d U d x E dl
1n 2n 0
E1t E2t
(3-24)
图3-6
架空输电线的电场
(3-25)
(3-26)
22
D2n E2n
例3-2 同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两层非理想电介 质，介质分界面的半径为R2，它们的电容率分别为ε1及ε2，电 导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。设内外导体间加电 压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷面密度。
第3章恒定电场
基本概念：
• 电介质中的静电场
• 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场 与电流场
• 通有直流电流的导电媒质周围电介质中 的静态电场
恒定电 源
恒定电 荷
恒定电 场
恒定电 流
• 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； • 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场 的基本方程微分形式E=0和J=0； • 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程2=0； • 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导 和接地电阻。
3.5.1 电导的计算
1. 直接用电流场计算
设
I
J
EJ
U E dl
G I U
设 U( 或 )
E
J E
I J dS
G I U
2. 静电比拟法
当恒定电场与静电场边界条件相同时， 可用静电比拟方法，由电容计算电导。
C Q U sD ds LE dl sE ds G I U sJ ds LE dl sE ds
1
2
n
2
2
n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，
求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。
恒定电场中是否存在泊松方程？
例3-3 同轴电缆因绝缘不良有泄漏
电流求非理想介质中的电位函数、
泄漏电流密度J和单位长度的泄漏电
U
流I。
解： 1 (r ) 0 不定积分求解得 C1 ln r C2
• 电介质中的静电场
• 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场 与电流场
• 通有直流电流的导电媒质周围电介质中 的静态电场
恒定电 源
恒定电 荷
恒定电 场
恒定电 流
• 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； • 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场 的基本方程微分形式E=0和J=0； • 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程2=0； • 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导 和接地电阻。
3.5.1 电导的计算
1. 直接用电流场计算
设
I
J
EJ
U E dl
G I U
设 U( 或 )
E
J E
I J dS
G I U
2. 静电比拟法
当恒定电场与静电场边界条件相同时， 可用静电比拟方法，由电容计算电导。
C Q U sD ds LE dl sE ds G I U sJ ds LE dl sE ds
1
2
n
2
2
n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，
求出拉普拉斯方程的解答（边值问题）。
恒定电场中是否存在泊松方程？
例3-3 同轴电缆因绝缘不良有泄漏
电流求非理想介质中的电位函数、
泄漏电流密度J和单位长度的泄漏电
U
流I。
解： 1 (r ) 0 不定积分求解得 C1 ln r C2
第四章 恒定电场
导体球的接地电阻为
J
U 1 R I 4a
18
解(2)：由静电场和恒定电场的对应关系可知导体球的电容和电 导是相对应的。电导和电容分别为
I SE dS G U E dl
l
Q SE dS C U E dl
l
由高斯定律可求出介质中的电场1142一欧姆定律对于横截面为s长度为l的均匀导电媒质若电流密度及电场电场在长度方向上产生的电压降el欧姆定律12二导电媒质中的能量损耗在一段时间内电场力把电荷在导电媒质中移动一段距离则单位体积内电场的功率损耗为dqdtdqdtdw考虑一段横截面为s长度为l的均匀导电媒质其中的功率损耗为lesjpsl是为焦耳定律13三基尔霍夫电压定律恒定电流体系最为重要的特点是内部会不断产生焦耳热即电磁能将不断损耗
C
Idl C S CE dl
dU
C
是为基尔霍夫电压定律
15
§4.3 恒定电场与静电场的比拟
E 0 J 0 J E
边界条件及基本量
恒定电场 静电场
基本场方程 恒定电场
E 0 D D E
在外部电场为零的导电介质中，场方程可以得到简化：
5
选择 J 代替 D ，则方程变成
J 0 and E 0
J
U 1 R I 4a
18
解(2)：由静电场和恒定电场的对应关系可知导体球的电容和电 导是相对应的。电导和电容分别为
I SE dS G U E dl
l
Q SE dS C U E dl
l
由高斯定律可求出介质中的电场1142一欧姆定律对于横截面为s长度为l的均匀导电媒质若电流密度及电场电场在长度方向上产生的电压降el欧姆定律12二导电媒质中的能量损耗在一段时间内电场力把电荷在导电媒质中移动一段距离则单位体积内电场的功率损耗为dqdtdqdtdw考虑一段横截面为s长度为l的均匀导电媒质其中的功率损耗为lesjpsl是为焦耳定律13三基尔霍夫电压定律恒定电流体系最为重要的特点是内部会不断产生焦耳热即电磁能将不断损耗
C
Idl C S CE dl
dU
C
是为基尔霍夫电压定律
15
§4.3 恒定电场与静电场的比拟
E 0 J 0 J E
边界条件及基本量
恒定电场 静电场
基本场方程 恒定电场
E 0 D D E
在外部电场为零的导电介质中，场方程可以得到简化：
5
选择 J 代替 D ，则方程变成
J 0 and E 0
第二章恒定电场
说明 ① J 与 E 成正比，且方向一致。
② 上式也适用于非线性情况
2.1.3. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
P UI
设小块导体
W
dP ( J dS ) ( E dl ) J EdV
功率密度
J 与 E 之关系
J2 2 p J E γE γ
1
E1 0
E1t E 2 t 0
J1 1E1 有限值
1
2 0
E 2 E2 n
E 2 E2 n
无切向分量
表 明
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降 2）理想介质中的E垂直于导体表面。
上 页
下 页
§ 2.4
恒定电 场与静电场的比拟
γE
体 2), 总有很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电
导率为 10
-10
数量级，由
10
tan 2 2 10 17 7 10 tan 1 1 10
2 0
0
讨论 ② 导体与理想介质的分界面 在理想介质中
J 1n J 2 n 0
导体中
导体与理想介质分界面
2 0， J 2 0
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
重点： 1. 电流密度的概念 2. 恒定电场的基本方程、边界条件
② 上式也适用于非线性情况
2.1.3. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
P UI
设小块导体
W
dP ( J dS ) ( E dl ) J EdV
功率密度
J 与 E 之关系
J2 2 p J E γE γ
1
E1 0
E1t E 2 t 0
J1 1E1 有限值
1
2 0
E 2 E2 n
E 2 E2 n
无切向分量
表 明
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降 2）理想介质中的E垂直于导体表面。
上 页
下 页
§ 2.4
恒定电 场与静电场的比拟
γE
体 2), 总有很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电
导率为 10
-10
数量级，由
10
tan 2 2 10 17 7 10 tan 1 1 10
2 0
0
讨论 ② 导体与理想介质的分界面 在理想介质中
J 1n J 2 n 0
导体中
导体与理想介质分界面
2 0， J 2 0
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
重点： 1. 电流密度的概念 2. 恒定电场的基本方程、边界条件
第三章 恒定电场
恒定电场 无源 无旋 调和场 调和函数
§3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质 中静电场的比拟
1.静电场与恒定电场的相似关系
U
d 0
E dl Ed
E U d
D E U d
d x
U d x E dl d
平板电容器电介 质中的电场
US q dS D dS DS s S d
无自由电荷分布区域中静电场与 无局外场区域恒定电场的方程式 间存在对应关系
静电场与恒定电场的主要对应关系
积分 形式
l E dl 0 B A E dl A B q D dS
s
微分 形式
E grad divD 0 D E 2 0
D2n D1n
导电性 介质特性
1E1n 2 E2n
1E1n 2 E2n
2 1 1n 1 2
2 1 2 1 时
交界面处才不存在自由面电荷
3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件
1 , 2 0
1.电流连续性方程
基于基尔霍夫电流定律 对任意闭合曲面S
q S dS I t
在恒定电流场中有 q t 0
§3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质 中静电场的比拟
1.静电场与恒定电场的相似关系
U
d 0
E dl Ed
E U d
D E U d
d x
U d x E dl d
平板电容器电介 质中的电场
US q dS D dS DS s S d
无自由电荷分布区域中静电场与 无局外场区域恒定电场的方程式 间存在对应关系
静电场与恒定电场的主要对应关系
积分 形式
l E dl 0 B A E dl A B q D dS
s
微分 形式
E grad divD 0 D E 2 0
D2n D1n
导电性 介质特性
1E1n 2 E2n
1E1n 2 E2n
2 1 1n 1 2
2 1 2 1 时
交界面处才不存在自由面电荷
3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件
1 , 2 0
1.电流连续性方程
基于基尔霍夫电流定律 对任意闭合曲面S
q S dS I t
在恒定电流场中有 q t 0
第三章 恒定电场
E2
I0 2 R 2
（R2＜R＜R3)
式中I0尚未确定。
19
内外导体间电压为
U
0
R2 R1
R2 R1
E1d R
R3 R2
E 2dR I0 2 2 R R3 R2 dR
I0 2 1 R
dR
R3 R2
I0 2
2 ln
R2 R1
1 ln
1 2
解 实验证明，高斯定理对恒定电场仍然成立。设内 导体单位长度上的自由电荷为τ，则其所激发的电场 强度为
E 2 R U0
R2 R1
EdR
R2 R1
2 R
dR
2
ln
R2 R1
E
U0 R ln R 2 R 1
E
0 U 0R R ln R 2 R 1
A
A是负极板，B是正极板，积分路径选在电源内部。 3
§3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律的微分形式
电流密度及欧姆定律的微分形式
1.电流密度矢量 规定场中任一点电流密度矢量 的大小为：通过垂直于该点正自由电荷定向移动方向 的微小面元的电流强度，与该微小面元面积之比，当 面元面积趋于零时的极限。即
第四章 恒定电场
积分形式
D E
D E 0
微分形式
恒定磁场 散度方程 B dS 0 s 旋度方程 CH dl I 特征方程
J E
E 0
H J
B 0
J 0
B H
电流连续性方程： J dS 0
S
J 0
电场保守性方程： E dl 0
C
E 0
欧姆定律
导电媒质的本征方程：
J E
电导率(Conductivity), 单位 A/(v.m) 或 S/m
J E
电导率(Conductivity), 单位 A/(v.m) 或 S/m
•理想导体，电导率趋于无穷，即电场趋于0， 恒定电场中理想导体内部场强为0，一般导体 内部场强不为0。 •理想介质，电导率趋于0，即完全不导电。
电导率为常数的导体一般称为导电煤质。
p 导电煤质单位体积的功率损耗： J E
（焦耳定律的微分形式，说明式4.22）
☆ 恒定电场中的导体
• 恒定电场中的导体 E J /
恒定电场的旋度：
E dl 0
C
E 0
恒定电场是一种保守场
恒定电场的散度： J 0
J E
恒定电场
(γ 2 = 0)
表明（1）导体表面是一条电流线。
Q E 2n = J 2n
γ2
≠0
E1n =
J1n
∴ D 2 n − D1n = ε 2 E 2 n = σ
γ1
图2.3.2
导体与理想介质分界面
表明（2）导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的） 面电荷分布。
E 1t = E 2 t
表明（3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等 位面。 若 γ 1 → ∞（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导 体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
γ = 常数
得
∇2ϕ = 0
ϕ1 = ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ2 =γ2 γ1
∂n ∂n
拉普拉斯方程
分界面衔接条件
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出 拉普拉斯方程的解答（边值问题）。 恒定电场中是否存在泊松方程？
2-4 静电场与恒定电场的比拟
1、静电比拟
静电场
r ∇×E = 0 r ∇⋅D = 0 r r D = εE
r r J = γE
欧姆定律的微分形式。
图2.1.4 与 J
r
r E之关系
式中 γ为电导率，单位s/m（ 西门子/米）
• 恒定电流场与恒定电场相互依存。电流 。
r 与电场 J
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定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与
静电场有相似之处。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
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第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
1 2
由
J1n J2n
得
1
1
n
2
2
n
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
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第二章
恒定电场
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及
导体分界面上的面电荷分布。
解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
21
1
2
21 2
0
( 1 区域）
2 2
1
2
2 2 2
0
( 2 区域）
2 0 0
第二章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
电源电动势是电源本身的特征量，
与外电路无关。
局外场强
Ee
=
fe q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
fe －局外力 （电源中将正负电荷分开的力）
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第二章
恒定电场
电源电动势
b
l Ee dl = a Ee dl L
大的导体称为理想导体，在理想导体中，电场
一定为0，因为如果电场不为0，电流密度会为 无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象
玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般
情况下可以忽略。近似认为为0。电导率为0的 媒质称为理想介质。理想介质中电流为0。
第二章
恒定电场
在线性媒质中
J E欧姆定律 微分形式。
l1
l2
U1 U2 U 0
应用到电 路的回路
恒定电场
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
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第二章
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒 定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0）
恒定电场（无源区）
lE dl 0
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所 产生的恒定场，与静电场的分布相同。
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第二章
2.3.3 边值问题（Boundary Value Problem)
恒定电场
由基本方程出发
E 0 E
常数
J 0 ( E) E 0
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
E1t E2t
2.2.1 电源 (Source)
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
电源能将电源内部导体原子或分子中的 正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而 使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使 导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。
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电源内总场强 E Ec Ee
J (Ec Ee )
因此，对闭合环路积分
b
a
图2.2.2 电源电动势与局外场强
E dl
l
l(Ec Ee ) dl
l Ec dl l Ee dl
b
a Ee dl
局外场 Ee 是非保守场。 0
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第二章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
E1t E2t
lE dl 0
sD dS 0
D1n D2n J1n J2n
s J dS 0
说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。
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第二章
在不同媒质分界面上
恒定电场
J1n J2n
1 E1n 2 E2n
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
注意 有关静电场的定律适用于恒定电场，
应量2.4关.1系比便拟可方得法到(另Co一nt个ras场t M的et解ho。d)
静电场 ( 0)
E 0 D 0
D E
2 0
q SD dS
恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0
J 0
J E
2 0
I SJ dS
E
E
DJ
ε
q
I
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第二章
恒定电场
比较内容 边界条件
静电场( 0)
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
积分形式 微分形式
SJ dS 0
J 0
l E dl 0
E 0
构成方程 J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。 返 回 上 页 下 页
第二章
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
应用到电 路的结点
I 0
l E dl E dl E dl
1 π U 0 2
图2.3.4 不同媒质弧形导电片
π时 4
，1
2
，
1
1
2
2
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第二章
恒定电场
通解 1 A B , 2 C D
电位
1
4 2U0 π(1 2 )
(1 2 )U0 1 2
2
4 1U 0 π(1 2 )
电场强度
E1
4 2U0 π(1 2 )
e
E1t E2t D1n D2n
1 2
1
1
n
2
2
n
恒定电场（电源外）
E1t E2t
J1n J2n
1 2
1
1
n
2
2
n
对应物理量 E D q E J I
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
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第二章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒
电流
I l (K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与 曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
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第二章
工程应用
恒定电场
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；
高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
1 2
1
1
n
2
2
n
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第二章
讨论 ① 良导体与不良导体的交界面。
1 2
tan1 1
1
tan2 2
tan2
tanα1 2 1
0
α1
2 00
E1t E2t 0
恒定电场
2
α2
表
1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。
明
2）良导体可以近似认为是等位体。
3）可以用电流场模拟静电场。
E2
4 1U 0 π(1 2 )
e
电荷面密度
D2n
D1n
0E1 0E2
4 0U 0 π(1 2 )
(1 - 2 )
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第二章
恒定电场
2两.4种导场电各媒物理质量中满恒足定相电同场的与定解静问电题场，的则比解拟也相
同。Co那nt么ra，st 通of 过St对ead一y个El场ec的tri求c F解ie或ld实an验d 研El究ect，ro利sta用ti对cs
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第二章
恒定电场
讨论 ② 导体与理想介质的分界面
在理想介质中
2 0， J2 0 故 J2n J1n 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
。
空气中
E2n
J2n ＝ 0
2 0
0
导体中 J2n J1n 0 E1n 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
D2n D1n 2E2n
间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场； En
Et
+
+
U
U
-
-
静电场
恒定电场
上页 下页
第二章
恒定电场
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
导线端面电荷 引起的电场
导线侧面电荷 引起的电场
所有电荷引起 的电场叠加
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
导电媒质周围介质中的恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法
电导与接地电阻
特殊解(静电比拟)
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第二章
2.1 导电媒质中的电流
Current in Conductive Media
2.1.1 电流 (Current)
恒定电场
三种电流：
导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。
运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。
因静电场是恒定电场的特例
1E1n
2
1 2
E1n
1 1
2 2
1E1n
表明 一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在
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第二章
恒定电场
折射定律
tan1 J1t J1n J1t tan2 J2t J2n J2t
E1 1t 1
2E2t
2
电流线的折射
分界面上电位 的衔接条件
由 E1t E2t J1n J2n
恒定电场
导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场
因此，导电媒质中，电流密度矢量和电场强度之间
必然存在一种函数联系 导电媒质中
J E欧姆定律 微分形式。
R l 电导率，其倒数为电阻率 单位 m
S
第二章
补充
恒定电场
象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好
的导电性能，因此称为良导体。电导率为无限
在恒定电场中 q 0 t
J dS 0 散度定理 JdV 0
S
V
故 J 0
恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。
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第二章
2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则
恒定电场
E dl 0 斯托克斯定理 ( E)dS 0
l
S
得 E 0 恒定电场是无旋场。 D E 仍成立
其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子
会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子
晶ຫໍສະໝຸດ Baidu发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成
能量损耗。因此要在导体中维持恒定电流，必须
持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成
热能
焦耳定律
第二章
恒定电场
4. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
3. 线电流的概念 以线密度 以速度v运动形成的电流
dI v
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第二章
恒定电场
元电流段是元电荷 dq 以速度 v 运动形成的电流
νdV (体电流元) JdV
dq ν dS (面电流元） KdS
ν dl (线电流元） Idl
第二章
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： U RI
左边 E dl E dl J dS dl
ds
右边 J dS dl
ds
J E
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第二章
2.1.4 焦尔定律的微分形式
恒定电场
自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与
P UI W
设小块导体
dP (J dS)(E dl) J EdV
功率密度
p J E γE 2 J 2 γ
J 与 E 之关系
W/m3
Joule’s Law微分形式
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第二章
恒定电场
2.2 电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
电流密度 J v A m2
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流
电流
I S J dS
（垂直）
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电返流回的计上算 页 下 页
第二章
恒定电场
2. 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。
电流线密度 K v A m
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流
表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。
E1t E2t J1t / 1 0
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体
表面非等位面
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第二章
恒定电场
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1 J1 E1 1 有限值
E1 0
1 2 0
E1t E2t 0
Basic Equations • Boundary Conditions • Boundary Value Problem
2.3.1 基本方程 (Basic Equations)
1. J 的散度
电荷守恒原理 J dS q
亦称电流连续性方S程
t
(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）
E2 E2n
E2 E2n
表
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流
明
分布在导体表面，导体不损耗能量
2）理想介质中的E垂直于导体表面。
上页 下页
第二章
恒定电场
恒定电场与静电场不同之处
① 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于 介质中而且存在于导体中；
② 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空
位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。
I dq A dt
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
2.1.2
电流密度（Current
（描述导体中每一点的电荷运动情况）
Density)
1. 电流面密度 J
电流密度的方向为正电荷的运动方向
体电荷 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流