恒定电场

定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与
静电场有相似之处。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
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第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
1 2
由
J1n J2n
得
1
1
n
2
2
n
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
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第二章
恒定电场
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及
导体分界面上的面电荷分布。
解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
21
1
2
21 2
0
( 1 区域）
2 2
1
2
2 2 2
0
( 2 区域）
2 0 0
第二章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
电源电动势是电源本身的特征量，
与外电路无关。
局外场强
Ee
=
fe q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
fe －局外力 （电源中将正负电荷分开的力）
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第二章
恒定电场
电源电动势
b
l Ee dl = a Ee dl L
大的导体称为理想导体，在理想导体中，电场
一定为0，因为如果电场不为0，电流密度会为 无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象
玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般
情况下可以忽略。近似认为为0。电导率为0的 媒质称为理想介质。理想介质中电流为0。
第二章
恒定电场
在线性媒质中
J E欧姆定律 微分形式。
l1
l2
U1 U2 U 0
应用到电 路的回路
恒定电场
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
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第二章
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒 定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0）
恒定电场（无源区）
lE dl 0
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所 产生的恒定场，与静电场的分布相同。
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第二章
2.3.3 边值问题（Boundary Value Problem)
恒定电场
由基本方程出发
E 0 E
常数
J 0 ( E) E 0
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
E1t E2t
2.2.1 电源 (Source)
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
电源能将电源内部导体原子或分子中的 正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而 使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使 导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。
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电源内总场强 E Ec Ee
J (Ec Ee )
因此，对闭合环路积分
b
a
图2.2.2 电源电动势与局外场强
E dl
l
l(Ec Ee ) dl
l Ec dl l Ee dl
b
a Ee dl
局外场 Ee 是非保守场。 0
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第二章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
E1t E2t
lE dl 0
sD dS 0
D1n D2n J1n J2n
s J dS 0
说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。
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第二章
在不同媒质分界面上
恒定电场
J1n J2n
1 E1n 2 E2n
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
注意 有关静电场的定律适用于恒定电场，
应量2.4关.1系比便拟可方得法到(另Co一nt个ras场t M的et解ho。d)
静电场 ( 0)
E 0 D 0
D E
2 0
q SD dS
恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0
J 0
J E
2 0
I SJ dS
E
E
DJ
ε
q
I
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第二章
恒定电场
比较内容 边界条件
静电场( 0)
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
积分形式 微分形式
SJ dS 0
J 0
l E dl 0
E 0
构成方程 J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。 返 回 上 页 下 页
第二章
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
应用到电 路的结点
I 0
l E dl E dl E dl
1 π U 0 2
图2.3.4 不同媒质弧形导电片
π时 4
，1
2
，
1
1
2
2
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第二章
恒定电场
通解 1 A B , 2 C D
电位
1
4 2U0 π(1 2 )
(1 2 )U0 1 2
2
4 1U 0 π(1 2 )
电场强度
E1
4 2U0 π(1 2 )
e
E1t E2t D1n D2n
1 2
1
1
n
2
2
n
恒定电场（电源外）
E1t E2t
J1n J2n
1 2
1
1
n
2
2
n
对应物理量 E D q E J I
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
序 导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
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第二章
2.0 序
Introduction
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着磁场和恒
电流
I l (K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与 曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
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第二章
工程应用
恒定电场
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；
高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
1 2
1
1
n
2
2
n
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第二章
讨论 ① 良导体与不良导体的交界面。
1 2
tan1 1
1
tan2 2
tan2
tanα1 2 1
0
α1
2 00
E1t E2t 0
恒定电场
2
α2
表
1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。
明
2）良导体可以近似认为是等位体。
3）可以用电流场模拟静电场。
E2
4 1U 0 π(1 2 )
e
电荷面密度
D2n
D1n
0E1 0E2
4 0U 0 π(1 2 )
(1 - 2 )
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第二章
恒定电场
2两.4种导场电各媒物理质量中满恒足定相电同场的与定解静问电题场，的则比解拟也相
同。Co那nt么ra，st 通of 过St对ead一y个El场ec的tri求c F解ie或ld实an验d 研El究ect，ro利sta用ti对cs
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第二章
恒定电场
讨论 ② 导体与理想介质的分界面
在理想介质中
2 0， J2 0 故 J2n J1n 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
。
空气中
E2n
J2n ＝ 0
2 0
0
导体中 J2n J1n 0 E1n 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
D2n D1n 2E2n
间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场； En
Et
+
+
U
U
-
-
静电场
恒定电场
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第二章
恒定电场
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
导线端面电荷 引起的电场
导线侧面电荷 引起的电场
所有电荷引起 的电场叠加
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
导电媒质周围介质中的恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法
电导与接地电阻
特殊解(静电比拟)
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第二章
2.1 导电媒质中的电流
Current in Conductive Media
2.1.1 电流 (Current)
恒定电场
三种电流：
导体或电解液
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。
运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。
因静电场是恒定电场的特例
1E1n
2
1 2
E1n
1 1
2 2
1E1n
表明 一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在
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第二章
恒定电场
折射定律
tan1 J1t J1n J1t tan2 J2t J2n J2t
E1 1t 1
2E2t
2
电流线的折射
分界面上电位 的衔接条件
由 E1t E2t J1n J2n
恒定电场
导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场
因此，导电媒质中，电流密度矢量和电场强度之间
必然存在一种函数联系 导电媒质中
J E欧姆定律 微分形式。
R l 电导率，其倒数为电阻率 单位 m
S
第二章
补充
恒定电场
象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好
的导电性能，因此称为良导体。电导率为无限
在恒定电场中 q 0 t
J dS 0 散度定理 JdV 0
S
V
故 J 0
恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。
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第二章
2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则
恒定电场
E dl 0 斯托克斯定理 ( E)dS 0
l
S
得 E 0 恒定电场是无旋场。 D E 仍成立
其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子
会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子
晶ຫໍສະໝຸດ Baidu发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成
能量损耗。因此要在导体中维持恒定电流，必须
持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成
热能
焦耳定律
第二章
恒定电场
4. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
3. 线电流的概念 以线密度 以速度v运动形成的电流
dI v
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第二章
恒定电场
元电流段是元电荷 dq 以速度 v 运动形成的电流
νdV (体电流元) JdV
dq ν dS (面电流元） KdS
ν dl (线电流元） Idl
第二章
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： U RI
左边 E dl E dl J dS dl
ds
右边 J dS dl
ds
J E
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2.1.4 焦尔定律的微分形式
恒定电场
自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与
P UI W
设小块导体
dP (J dS)(E dl) J EdV
功率密度
p J E γE 2 J 2 γ
J 与 E 之关系
W/m3
Joule’s Law微分形式
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第二章
恒定电场
2.2 电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
电流密度 J v A m2
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流
电流
I S J dS
（垂直）
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电返流回的计上算 页 下 页
第二章
恒定电场
2. 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。
电流线密度 K v A m
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流
表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。
E1t E2t J1t / 1 0
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体
表面非等位面
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第二章
恒定电场
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1 J1 E1 1 有限值
E1 0
1 2 0
E1t E2t 0
Basic Equations • Boundary Conditions • Boundary Value Problem
2.3.1 基本方程 (Basic Equations)
1. J 的散度
电荷守恒原理 J dS q
亦称电流连续性方S程
t
(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）
E2 E2n
E2 E2n
表
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流
明
分布在导体表面，导体不损耗能量
2）理想介质中的E垂直于导体表面。
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第二章
恒定电场
恒定电场与静电场不同之处
① 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于 介质中而且存在于导体中；
② 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空
位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。
I dq A dt
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第二章
恒定电场
2.1.2
电流密度（Current
（描述导体中每一点的电荷运动情况）
Density)
1. 电流面密度 J
电流密度的方向为正电荷的运动方向
体电荷 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流