2011秋《经济数学基础上》1

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《经济数学基础》 teaching_01_02

1.2 极限的概念1.2.1 数列的极限1.数列无穷多个按一定规则排列的一串数,,,,,,321 n x x x x称作数列，简记作{}n x ．(1) 1，21，31，41，…，n 1，… (2) 21，32，43，…，1+n n，…(3) 21，221-，321，421-，…，n n 2)1(1+-，…(4) 1，1-，1，1-，…，1)1(+-n ，…(5) 1-，2+，3-，4，…，n n )1(-，…(6) 0，1，0，21，0，31，0，41，…，n n1)1(+-，…(7) 3，213，323，433，…，n 14-，…定义1.8 对于数列{}n x ，如果当n 无限变大时，n x 趋于一个常数A , 则称当n 趋于无穷大时，数列{}n x 以A 为极限，记作A n x n =∞→lim 或)(∞→→n A x n ，亦称数列{}n x 收敛于Ａ；如果数列{}n x 没有极限，就称{}n x 是发散的．1.2.2 函数的极限1.∞→x 时函数的极限定义1.9 如果当x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当∞→x 时函数)(x f 以A 为极限．记A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f ．定义1.9′ 如果当0>x 且无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当+∞→x 时函数)(x f 以A 为极限．记A x f x =+∞→)(lim 或)()(+∞→→x A x f ．定义1.9″ 如果当0<x 且x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称函数)(x f 当-∞→x 时以A 为极限．记作A x f x =-∞→)(lim 或)()(-∞→→x A x f ．例1 求)211(lim x x +∞→．解函数的图象如图所示．当+∞→x 时，21x无限变小，函数值趋于1；-∞→x 时，函数值同样趋于1，所以有1)211(lim =+∞→x x ．例2 求x x 3lim -∞→．解当-∞→x 时，03→x ，即03lim =-∞→x x ． 2. 0x x →时函数的极限例2)42(2)(--=x x x f )(x f 当2→x 时的变化情况定义1.10 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当x 趋于0x (但0x x ≠)时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极．记作A x f x x =→)(lim 0或)()(0x x A x f →→，亦称当0x x →时，)(x f 的极限存在．否则称当0x x →时，)(x f 的极限不存在．例3 根据极限定义说明：(1) 0lim 0x x x x =→，(2)c c x x =→lim 0．解 (1)当自变量x 趋于0x 时，作为函数的x 也趋于0x ，于是依照定义有0lim 0x x x x =→．(2) 无论自变量取任何值，函数都取相同的值c ，那么它当然趋于常数c ，所以c c x x =→lim 0．定义1.11 设函数)(x f y =在点0x 右侧的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当0x x >趋于0x 时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 的右极限是A ．记作A x f x x =+→)(lim 0或)()(0+→→x x A x f ．设函数)(x f y =在点0x 左侧的某个邻域(点0x 本身可以除外)内有定义，如果当0x x <趋于0x 时，函数)(x f 趋于一个常数A ，则称当x 趋于0x 时，)(x f 的左极限是A ．记作A x f x x =-→)(lim 0或)()(0-→→x x A x f ．定理1.1 当0x x →时，)(x f 以A 为极限的充分必要条件是)(x f 在点0x 处左、右极限存在且都等于A ．即A x f x x x f x x A x f x x =+→=-→⇔=→)(lim 0)(lim 0)(lim 0．例4 设⎩⎨⎧<≥+=.1,3,1,2)(x x x x x f 试判断)(lim 1x f x →是否存在．解先分别求)(x f 当1→x 时的左、右极限：33lim 1)(lim 1=-→=-→x x x f x ，3)2(lim 1)(lim 1=++→=+→x x x f x ，左、右极限各自存在且相等，所以)(lim 1x f x →存在，且3)(lim 1=→x f x ．例5 判断x x 1e lim 0→是否存在．解当+→0x 时，+∞→x 1，∞→x 1e ，即∞=+→x x 1e lim 0；当-→0x 时，-∞→x 1，故0e 1→x ，即01elim 0=-→x x ．左极限存在，而右极限不存在,由充分必要条件可知x x 1e lim 0→不存在．。

《经济数学基础》学习材料(第一、二篇)

《经济数学基础》学习材料第一篇预备知识 (不作为考试内容)量的概念量的分类：常量：始终取固定值，如π,3,32,10,3等；变量：可以取不同值，如t z y x ,,,等。

量的表示法：表示数的范围有多种方法，主要有区间、不等式、集合和绝对值等。

区间：.b x a ≤≤记为],[b a 称为闭区间b x a <<记为),(b a 称为开区间b x a ≤<记为],(b a 称为半开区间b x a <≤记为),[b a 称为半闭区间全体实数,+∞<<∞-x 记为),(+∞-∞，用R 表示a x ≥记为),[+∞a ；a x >记为),(+∞ab x ≤记为],(b -∞；b x <记为),(b -∞集合：区间)2,2(-用集合表示为},22|{R x x x A ∈<<-=区间 ]4,0[用集合表示为},40|{R x x x B ∈≤≤=则)2,0[]40[)2,2(=-=、 B A （交集）]4,2(]40[)2,2(-=-=、 B A （并集）绝对值：表示实数x 到原点的距离叫绝对值，记为||x , ⎩⎨⎧<≥-=00||x x x x x (分段函数) 如5|5|=-，5|5|=，0|0|=。

,||a x ≤记为a x a ≤≤-,||a x <记为a x a <<-,||a x ≥记为a x ≥或a x -≤,||a x >记为a x >或a x -<注意：（1）||||x x =- ；（2）||2x x =例解不等式3|2|<-x解由3|2|<-x 得323<-<-x ,不等式两边同时乘以（-1）得：323->->x ,移项得，15->>x ，第1章函数§1 函数概念量与量之间的关系：有依赖关系，如圆的半径与面积，二者之间有关系，其关系可通过式子2r S π=表示。

《经济数学基础》第一篇第一章--函数

《省管形考册》第一次作业省管形考册》一、1、2、3、4、9、12、13、14 、、、、、、、二、3、4、5、6、7、8、15、21 、、、、、、、
四. 判断两函数相同
函数的两个要素 :
定义域 D( f ) 和对应法则 f .
函数 f 的表达式为
y = f ( x ) , x ∈ D( f )
(2) 偶次方根下的表达式非负。即若： y = n 则要求
(x) （为数 n 偶）
(x) ≥ 0.
y = log a (x)
(3) 对数函数中的真数表达式大于零。即若：则要求

(x) > 0.
2.1】【例 2.1】
求函数 f ( x) = log 2 ( x 1) 的定义域.
【解】要使 f (x) 有意义，必须有
(因为ln 1 = 0)
x + 3 > 0 ln( x + 3) ≠ 0 3 x ≥ 0
x > 3 x + 3 ≠ 1 x≤3
x > 3 x ≠ 2 x≤3
x > 3 接下来将： x ≠ 2 写成区间的形式 x≤3
x －3 －2 得到定义域： D 3
= (3,2) ∪ (2,3]
t
圆的面积
S = πr 2 ,
一般用x,y,z,s,t等表示变量。
2.在某过程中始终同一数值的量称为常量, 2.在某过程中始终同一数值的量称为常量, 在某过程中始终同一数值的量称为常量【例如】圆周率 π 例如】中山到广州的直线距离S 中山到广州的直线距离S 一般用a,b,c,k等表示常量。 3.变量的取值范围称为该变量的变域 3.变量的取值范围称为该变量的变域。变量的取值范围称为该变量的变域。变域可用区间不等式表示区间、表示：注：变域可用区间、不等式表示：

《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）

习题解答第一章经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ；（2）()3,5；（3）1x；（4）2x e ；2x e ；（5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-；（2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．实训二（A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-；（3）2π-，4π；（4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-，所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-．由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】设批次为x ，由题意：库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=；订货费：2100C x =．【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+．【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价．由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+；供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =．【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =；无盈亏产量：()0L x =，解得400x =．【供给函数】答案：1052PQ =+⋅．【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈．平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大．【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二（A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++；（2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---；（4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭；（2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】（1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-；（2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三（A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =．实训四（A ）1．填空题（1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在；（4）()(),22,-∞--+∞ ；（5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四（B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积），所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ；（2）2313x -；（3）23x ；（4）5232x --；（5）2ln 2x ；（6）1ln10x ；（7）0；（8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-；（2）()222y x +=--，即22y x =-+；（3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-．实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--．其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二（A ）1．（1）223146y x x x '=+-；（2）11'ln n n y nx x x --=+；（3）21'41y x x =++；（4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+；（2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+；（3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =；（2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--；（4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--．【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-，将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向．实训二（B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++；（2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1）将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=．对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂；（2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂．实训三（A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞．（2）6a =-．（3）驻点．（4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =．【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三（B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立．（2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=；库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点，所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =．（2）1x dy edx ==．（3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（4）cos(21)x +，2cos(21)x +．（5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+；（2）221dy dx x =+；（3）222(22)x x dy xe x e dx --=-；（4）322(1)dy x x dx -=-+；（5）23(1)1dy dx x =-+；（6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭；（3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈；（4）0.0510.05 1.05e ≈+=．【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==；（2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈．实训二（A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==．（2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==．（2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩，即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点）所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点）所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三（A ）1．填空题（1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=；（2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张．（2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三（B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%．（5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +；（2）3x ，3x C +；（3）cos x -，cos x C -+；（4C ；（5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ；（2）C ；（3）D ；（4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++；（4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++．【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++．【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++．【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ；（2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++；（2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰；（4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二（A ）1．填空题（1）212x ；（2）x e --；（3）ln x ；（4）arctan x ；（5）23x x +；（6）arcsin x ． 2．（1）B ；（2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰；（2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰；（2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++．【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二（B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++．【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-，分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-，所以ln2()2080t T t e -⋅=+，当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三（A ）1．填空题（1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰；（2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三（B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑；（4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四（A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰；（2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰；（4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰；（6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质）（7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】（1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四（B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰，所以应该分两种情况：（1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =；（2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（）。

中央广播电视大学-经济数学基础形成性考核册答案

xe − x
)dx
0
∫ ∫ ∫ 答案：
4
(1 +
0
xe−x )dx =
x
4 1
−
4 xde−x =3 − xe−x
0
4 0
+
4 e−xdx = 5 + 5e−4
0
作业三（一）填空题
⎡1 0 4 − 5⎤
1.设矩阵 A = ⎢⎢3 − 2 3
2
⎥ ⎥
，则
A
的元素
a
23
=
__________________
∫ B． dx = 15 −1
∫ C． π (x 2 + x3 )dx = 0 −π
π
∫ D． sin xdx = 0 −π
答案：D
5. 下列无穷积分中收敛的是（
∫ A． +∞ 1 dx
1x
答案：B
∫ B． +∞ 1 dx
1 x2
(三)解答题
1.计算下列不定积分
）．
∫ C． +∞ e xdx 0
+∞
1
=
x→2 x 2 − 6x + 8 x→2 (x − 2)(x − 4) x→2 (x − 4) 2
1− x −1 ( 1− x −1)( 1− x +1)
（3） lim
= lim
x→0
x
x→0
x( 1− x +1)
−x
−1
1
= lim
= lim
=−
x→0 x( 1 − x +1) ( x→0 1 − x +1) 2
= lim
=4
x→2 sin(x − 2) x→2 sin( x − 2)

《经济数学基础》 teaching_01_01

1.1 函数1.1.1 函数的概念一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们把它称作常量；另一类量在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，我们把它称作变量．常量习惯用字母d c b a ,,,等表示；变量习惯用w v u z y x ,,,,,等表示． 2.函数的概念及表示法定义1.1 设x 和y 是两个变量，若当变量x 在非空数集D 内任取一数值时，变量y 依照某一规则f 总有一个确定的数值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作)(x f y =．这里，x 称为自变量，y 称为因变量或函数．f 是函数符号，它表示y 与x 的对应规则．有时函数符号也可以用其他字母来表示，如)(x g y =或)(x y ϕ=等．集合D 称为函数的定义城，相应的y 值的集合则称为函数的值域．当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系)(x f y =求出的对应值0y 叫做当0x x =时的函数值，记作0xx y|=或)0(x f ．例1 已知x x x f +-=11)(，求：)0(f ，)21(f ，)(x f -，)1(xf ，)1(+x f ，)2(x f ．解 10101)0(=+-=f ，31211211)21(=+-=f ， x x x x x f -+=-+--=-11)(1)(1)(，111111)1(+-=+-=x x xx x f ， xx x x x f +-=+++-=+2)1(1)1(1)1(，22211)(x x x f +-=．例2 求下列函数的定义域．(1) xx x f 253)(2+=；(2) 29)(x x f -=； (3) )34lg()(-=x x f ； (4) )12arcsin()(-=x x f ；(5) )12arcsin()34lg()(---=x x x f .解 (1)在分式x x 2532+中，分母不能为零，所以0252≠+x x ，解得52-≠x ，且0≠x ，即定义域为),0()0,52()52,(+∞---∞ ．(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有092≥-x ，解得33≤≤-x ，即定义城为]3,3[-．(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有034>-x ，解得43>x ，即定义域为),43(+∞．(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有1121≤-≤-x ，解10≤≤x ，即定义域为]1,0[．(5)该函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为(3)，(4)两例中定义域的交集，即]1,43(]1,0[),43(=+∞ ．函数表示法有解析法(又称公式法)、表格法和图形法． (1) 23x y -=这是一个用解析式子表示的函数．(2)某商店一年中各月份毛线的销售量(单位:102kg)的关系如表所示．这是用表格表示的函数．(3)下图是气象站用自动温度记录仪记录下来的某地一昼夜气温变化曲线．这是用图形表示的函数．例某市电话局规定市话收费标准为：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费25元，超过30次的，每次加收．则电话费y 和用户当月所打电话次数x 的关系可用下面的形式给出：象这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数．绝对值函数可以表示成例3 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,30,2,0,1)(2x x x x x x f yO C/︒2-1.144812162024x⎩⎨⎧>+≤=.30,23.025,30,25x x x y ⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,||x x x x x y例4 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<≤-=.3,15,31,1,14,sin )(x x x x x x f求)(π-f ，)1(f ，)5.3(f 及函数的定义域．解因为)1,4[-∈-π，所以0)sin()(=-=-ππf ；因为)3,1[1∈，所以1)1(=f ；因为),3[5.3+∞∈，所以5.161)5.3(5)5.3(=-⨯=f ；函数)(x f 的定义域为),4[+∞-.例5 用分段函数表示函数|2|3x y --=，并画出图形．解根据绝对值定义可知，当2≤x 时，x x -=-2|2|；当2>x 时，2|2|-=-x x ．于是有即⎩⎨⎧>-≤+=.2,5,2,1x x x x y⎩⎨⎧>--≤--=,2),2(3,2),2(3x x x x y1.1.2 函数的几种特性1.函数的有界性定义1.2 设函数)(x f y =在集合D 上有定义，如果存在一个正数M ，对于所有的D x ∈，恒有M x f ≤|)(|，则称函数)(x f 在D 上是有界的．如果不存在这样的正数M ，则称)(x f 在D 上是无界的．函数)(x f y =在区间),(b a 内有界的几何意义是：曲线)(x f y =在区间),(b a 内被限制在M y =和M y -=两条直线之间．2.函数的奇偶性定义1.3 设函数)(x f y =在集合D 上有定义，如果对任意的D x ∈，恒有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；如果对任意的D x ∈，恒有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数．由定义可知，对任意的D x ∈,必有D x ∈-，否则，)(x f -没有意义.因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．偶函数的图象是对称于y 轴的．oyx)(x f y =奇函数的图象是对称于原点的.例6 判断下列函数的奇偶性： (1) 753)(24+-=x x x f ； (2) x x x f sin 2)(2+=； (3) ()1,0)(21)(≠>-=-a a a a x f x x．解 (1)因为7)(5)(3)(24+---=-x x x f)(75324x f x x =+-=所以753)(24+-=x x x f 是偶函数．解(2)因为)(sin 2)sin()(2)(22x f x x x x x f ≠-=-+-=-，同样可以得到)()(x f x f -≠-，所以x x x f sin 2)(2+=既非奇函数，也非偶函数．解(3)因为)(x f -)(21)(x x a a ----=)(21x x a a --= )(21x x a a --=-)(x f -=所以)(21)(x xa a x f -=-是奇函数． 3.函数的单调性定义设函数)(x f y =在区间),(b a 内有定义，如果对于),(b a 内的任意两点1x 和2x ,当21x x <时，有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在),(b a 内是单调增加的；如果对于),(b a 内的任意两点1x 和2x ，当21x x <时，有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在),(b a 内是单调减少的.单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数．单调增加的函数的图象是沿x 轴正向逐渐上升的；单调减少的函数的图象是沿x 轴正向逐渐下降的．例7 验证函数23-=x y 在区间),(+∞-∞内是单调增加的．证在区间),(+∞-∞内任取两点21x x <于是0)(3)23()23()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，即)()(21x f x f <，所以23-=x y 在区间),(+∞-∞内是单调增加的． 4.函数的周期性定义1.5 对于函数)(x f y =，如果存在正数a ，使)()(a x f x f +=恒成立，则称此函数为周期函数．满足这个等式的最小正数a 称为函数的周期．1.1.3 反函数定义设)(x f y =是x 的函数，其值域为R ，如果对于R 中的每一个y 值，都有一个确定的且满足)(x f y =的x 值与之对应，则得到一个定义在R 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数，我们称它为)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=．并称)(x f y =为直接函数．通常把)(1y f x -=改写为)(1x f y -=．求反函数的过程可以分为两步：第一步从)(x f y =解出)(1y f x -=；第二步交换字母x 和y ．例8 求14-=x y 的反函数．解由14-=x y 得到41+=y x ，然后交换x 和y ，得41+=x y ．即41+=x y 是14-=x y 的反函数．函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称．例8中的一对反函数的图象如图所示．1.1.4 基本初等函数c y =它的定义域是),(+∞-∞，它的图象是过点),0(c 平行于是x 轴的一条直线．它是偶函数．αx y =(α为实数)我们只讨论0≥x 的情形.当0>α时，函数的图象通过原点)0,0(和点)1,1(在),0(+∞内单调增加且无界.当0<α，图象不过原点，但仍通过点)1,1(，在),0(+∞内单调减少、无界，曲线以x 轴和y 轴为渐进线．ycy =cOxay x)1a=a,0(≠>它的定义域是)-∞，它的图象全部在x轴上方，且通过点)1,0(．(+∞,当1a时，函数单调增加且无界，曲线以x轴负半轴为渐近线；>当1<a时，函数单调减少且无界，x以轴正半轴为渐近线，0<ax=ay,0>()1log≠a它的定义域是)-∞．无论a取何(+∞,0(+∞，图象全部在y轴右方，值域是),值，曲线都通过点)0,1(．当1a时，函数单调增加且无界，曲线以y轴负半轴为渐近线；>当1<a时，函数单调减少且无界，曲线以y轴正半轴为渐近线．0<对数函数x y a log =和指数函数x a y =互为反函数，它们的图象关于x y =对称．以无理数8281718.2e =…为底的对数函数x y e log =叫做自然对函数，简记作x y ln =三角函数的自变量x 采用弧度制，π弧度︒=180函数x y sin =的定义域为),(+∞-∞，值域]1,1[-，奇函数，以π2为周期，有界.函数x y cos =的定义域为),(+∞-∞，值域为，]1,1[-偶函数，以π2为周期，有界.函数x y tan =的定义域为)2,1,0(2⋅⋅⋅±±=+≠k k x ππ，值域为),(+∞-∞，奇函数，以π为周期，在每一个连续区间内单调增加，以直线),2,1,0(2⋅⋅⋅±±=+=k k x ππ为渐近线．函数x y cot =的定义域为,1,0(±=≠k k x π)2⋅⋅⋅±，值域为),(+∞-∞，奇函数，以π为周期，在每一个连续区间内单调减少，以直线x ),2,1,0(⋅⋅⋅±±==k k π为渐近线． 6.反三角函数x y arcsin =，定义域是]1,1[-,值域]2,2[ππ-,是单调增加的奇函数，有界.6.反三角函数x y arccos =，定义域是[]1,1-,值域[]π,0, 是单调减少函数，有界.6.反三角函数x y arctan =，定义域是),(+∞-∞,值域)2,2(ππ-,是单调增加的奇函数，有界.6.反三角函数x y cot arc =，定义域是()+∞∞-,,值域),0(π,是单调减少的函数，有界.1.1.5 复合函数与初等函数1.复合函数定义1.7 设y 是u 的函数)(u f y =，u 是x 的函数)(x u ϕ=．如果)(x u ϕ=的值域或其部分包含在)(u f y =的定义域中，则y 通过中间变量u 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作)]([x f y ϕ=，其中，x 是自变量，u 称作中间变量．不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，例如u y ln =和12+-=xx u 就不能构成复合函数，因为12+-=xx u 的值域是0<u ，而u y ln =的定义域是0>u ，前者函数的值域完全没有被包含在后者函数的定义域中．复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量．例9 已知u y =，523+=x u 将y 表示成x 的函数．解将523+=x u 代入u y =，可得523+=x y ．例10 已知u y ln =，24v u -=，x v cos =，将y 表示成x 的函数．解)cos 4ln()4ln(22x v y -=-=．例11 指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的． (1) )4sin(3+=x y ； (2) xy 1cot 5=．解 (1)设43+=x u 则)4sin(3+=x y 由u y sin =，43+=x u 复合而成．(2)设x u 1cot =，则u y 5=；设xv 1=，则v u cot =，所以，x y 1cot 5=可以看成是由u y 5=，v u cot =，xv 1=三个函数复合而成的．由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数，一般来说，初等函数都可以用一个解析式子表示．例如x x y sin 1sin 1arctan -+=，53cos ln x y =，3arccot e xy =，xx x x y x sec )13(log 53232--++=都是初等函数．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=++++=,0,1,0,0,0,1,132x x x y x x x y都不是初等函数．。

2011经济数学基础形考答案

经济数学基础第1题: 若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛（对）第2题: 数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错）第3题: 若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致收敛。

（对）第4题: 若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（对）第5题: 如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数（错）第6题: 函数可导必连续，连续必可导（错）第7题: 极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中（对）第8题: 线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x 的值是30，那么我们可以预测y的估计值为( 98 )。

第9题: 下列关系是确定关系的是(正方形。

)第10题: 样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于( …..减1 )第11题: 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算的是(直接法)第12题: ( 盒形图)在投资实践中被演变成著名的K线图第13题: 设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是( pc>=pa+pb-1 )第14题: 统计学以( )为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。

(概率论)第15题: 已知甲任意一次射击中靶的概率为0,5，甲连续射击3次，中靶两次的概率为( 0.375 )第16题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量(一段道路上碰到坑的次数)第17题: 线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的( 垂直距离的平方和)为最小第18题: 当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间( 近乎完全负相关)第19题: 关于概率，下列说法正确的是(度量某一事件…;值介于0-1之间；概率分布是…. )第20题: 下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性( 不良贷款率预测；证券走势；外汇走势)第21题: 什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法( 具有等可能性；范围是已知的)第22题: 关于协方差，下列说法正确的有( cov…协方差…如果p=1…)第23题: 关于中位数，下列理解错误的有( 观察值为奇数。

电大2011年1月《经济数学基础》真题及答案(试卷代号：2006)

试卷代号：2006中央广播电视大学2010～2011学年度第一学期“开放专科”期末考试经济数学基础试题2011年1月一、单项选择题(每题3分，本题共15分) 1．下列函数中为奇函数的是 ( ）．A ．2y x x =-B ．xxy e e -=+ C ．1ln1x y x -=+ D ．sin y x x =2．设需求量q 对价格p的函数为()3q p =-p E =（）。

ABC． D3．下列无穷积分收敛的是 ( )． A ．x e dx +∞⎰B ．211dx x+∞⎰C．1+∞⎰D ．1ln xdx +∞⎰4．设A 为32⨯矩阵，B 为23⨯矩阵，则下列运算中（）可以进行。

A . AB B . A B + C . TAB D . TBA5．线性方程组12121x x x x +=⎧⎨+=⎩解的情况是（）．A ．有唯一解B ．只有0解C ．有无穷多解D ．无解二、填空题(每题3分，共15分)6．函数()f x =的定义域是．7．函数1()1xf x e=-的间断点是． 8．若()()f x dx F x C =+⎰，则()xx ef e dx --=⎰．9．设10203231A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当a = 时，A 是对称矩阵。

10．若线性方程组12120x x x x λ-=⎧⎨+=⎩有非零解，则λ= 。

三、微积分计算题(每小题10分，共20分) 11．设53cos xy x =+，求dy ．12．计算定积分1ln ex xdx ⎰.四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）13．设矩阵100101,011212A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求1()T B A -。

14．求齐次线性方程组124123412342 23202530x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-=⎩的一般解。

五、应用题（本题20分）15．某厂生产某种产品的总成本为()3()C x x =+万元，其中x 为产量，单位：百吨。

《经济数学基础》 teaching_11_01

11.1 随机变量11.1.1 随机变量的概念例1 在10件同类型产品中，有3件次品,现任取2件,用一个变量表示“2件中的次品数”，“0=X ”与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.“1=X ”等价于“恰好有1件次品”,“2=X ”等价于“恰好有2件次品”．于是157)0(2102703===C C C X P ，157)1(2101713===C C C X P ，151)2(210723===C C C X P ，此结果可统一成 )210()(210273，，===-i C C C i X P ii ．例2 某选手射击的命中率为4.0=p ，现i Y =射击5次，命中次数用Y 表示,显然“i Y =” 等价于“5次射击中，恰有i 次命中,1,0(=i ”)5, ．i ii p p C i Y P --==55)1()(5,,1,0,6.04.055 ==-i C i i i．例3 考虑“投掷骰子，直到出现6点为止”的试验，用Ｚ表示投掷的次数，则由于各次试验是相互独立的，于是1)65()61()(-==i i Z P ，1=i ，2，3，…．例4 考虑“测试电子元件寿命”这一试验，用W 表示它的寿命(单位：h )，则W 的取值随着试验结果的不同而在连续区间),0(+∞上取不同的值，当试验结果确定后，的取值也就确定了．上面例子中的X ，Y ，Z ，W 具有下列特征： (1)取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值； (2)所取的每一个值，都相应于某一随机现象； (3)所取的每个值的概率大小是确定的．这种变量称为随机变量．随机变量可用英文大写母X ，Y ，Z ，…(或希腊字母ξ，η，ζ，…)等表示．随机变量与一般变量区别:随机变量的取值是随机的(试验前只知道它可能取值的范围，但不能确定它取什么值)，且取这些值具有一定的概率，比如X 取值是0，相应地有概率)0(=X P ；一般变量X 取值是确定的，比如X 取值是0，就是0=X ．例5 某人打靶，一发子弹打中的概率为p ，打不中的概率为p -1，用随机变量描述这个随机现象时，通常规定随机变量⎩⎨⎧=.,0,,1子弹脱靶子弹中靶X 这样取X 有几个优点：(1) X 反映了一发子弹的命中次数(0次或1次)．(2)计算上很方便，有利于今后进一步讨论．当然X 也可以如下规定：⎩⎨⎧=.,3,,2子弹脱靶子弹中靶X 一般不采用这样的规定．随机变量分类：离散型随机变量和非离散型随机变量．若随机变量的所有可能取值是可以一一列举出来的(即取值是可列个)，则称为离散型随机变量．若随机变量X 的所有取值不能一一列举出来，则称X 为非离散型随机变量．非离散型随机变量的范围很广，其中最重要的是所谓连续型随机变量，它是依照一定的概率规律在数轴上的某个区间上取值的．注意它是依照概率规律取值的，所以在有的区间上概率可能较大，而在有的区间可能较小，甚至为零．随机变量X 取值的规律称为X 的分布．11.1.2 离散型随机变量定义设离散型随机变量X 的所有取值为1x ，2x ，…，k x ，…并且X 取各个可能值的概率分别为)(k k x X P p ==，1=k ，2 ，…． (11.1.1)称(11.1.1)式为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列或分布．及其分布列也可以用表格的形式表示由概率的定义可知，k p 满足如下性质：性质1 )21(0 ，，=≥k kp ．性质2 ∑=kkp 1．例1中“任取2件，2件中的次品件数X ”的分布列是例2中计算Y 取0，1，…，5的概率078.06.04.0)0(5005===C Y P ， 259.06.04.0)1(4115===C Y P ，346.06.04.0)2(3225===C Y P ，230.06.04.0)3(2335===C Y P ， 128.06.04.0)4(1445===C Y P ， 010.06.04.0)5(0555===C Y P ，于是得到“5次射击中恰有i 次命中”的分布列是例3中投掷的次数的概率颁上是可列的，即为11.1.3 连续型随机变量定义设随机变量X ，如果存在非负可积函数)(x f ，)(+∞<<-∞x ，使得对任意实数b a ≤，有⎰=≤≤b ax x f b X a P d )()(，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度或分布密度．概率密度有下列性质：性质1 0)(≥x f (因为概率不能小于0)．性质2⎰∞+∞-=1d )(x x f ．连续型随机变量在任意一点处的概率都是0，所以连续型随机变量落在某一区间上的概率时)()()(b X a P b X a P b X a P <≤=≤<=<< )(b X a P ≤≤=⎰=b a x x f d )(例7 设随机变量X 的概率密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧<-=.,0,1 ,21)(其他x x Ax f 试求(1) 系数A ；(2) X 落在区间)21,21(-、)2,23(-内的概率．解 (1)根据概率密度函数的性质，可得⎰∞+∞---⎰=-==11112arcsin d 1d )(1xA x x A x x fπ=A ，所以π=1A ．(2) ⎰--π=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-21212d 112121x x X P 2121arcsin 1-π=x31=， ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--223d 112232x x X P π⎰-=-123d 112x x π65arcsin 1231=π=-x ．例8 设随机变量X 的概率密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧≤>λ=λ-),0(0),0(e )(x x x f x其中0>λ，则称X 服从参数为λ的指数分布．若某电子元件的寿命X 服从参数00021=λ的指数分布，求)2001(≤X P ．解 020010002200100002ed e 00021)2001(x xx X P ---==≤⎰451.0e 16.0≈-=-．。

《经济数学基础》 teaching_01_04

极限的性质与运算法则1.4.1 极限的性质性质1.5（唯一性）若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一．性质1.6（有界性）若极限)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．性质1.7（保号性）若A x f x x =→)(lim 0，且0>A （或0<A ），则在0x 的某空心领域内恒有0)(>x f （或0)(<x f ）．若A x f x x =→)(lim 0，且在0x 的某空心邻域内恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ）,则0≥A （或0≤A ）．1.4.2 极限的四则运算法则定理1.3 若A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，则(1) [])()(lim x v x u ±B A x v x u ±=±=)(lim )(lim ；(2) [])(lim )(lim )()(lim x v x u x v x u ⋅=⋅B A ⋅=；(3)当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim证我们只证(1)．因为A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，由定理α+=A x u )(，β+=B x v )(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是)()()()(βα+±+=±B A x v x u )()(βα±+±=B A ．根据无穷小量的性质，βα±仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ．上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．推论设)(lim x u 存在，c 为常数，n 为正整数，则有(1) [])(lim )(lim x u c x u c ⋅=⋅；(2) []n nx u x u )]([lim )(lim =．在使用这些法则时，必须注意两点：(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．例1 求)522(lim 1+--→x x x ．解 )522(lim 1+--→x x x5lim 1)2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x5lim 1)2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x85)1(2)1(2=+-⨯--=．例2 求)1110(lim 0na x n a n x a n x a x +-++-+→ ．解)1110(lim 0na x n a n x a n x a x x +-++-+→n a x x x n a x x n x ax x n x a x x lim 01lim 011lim 00lim 0→+-→+-→+→=n n n n a x a x a x a ++++=--0110100 ．可见多项式)(x p 当0x x →时的极限值就是多项式)(x p 在0x 处的函数值，即)0()(lim 0x p x p x x =→．（1.4.1）例3 求21322lim 0++-→x xx x ．解先求分母极限．因为0220)2(lim 0≠=+=+→x x ，所以)2(lim 0)1322(lim 021322lim 0+→+-→=++-→x x x x x x x x x2120103022=++⨯-⨯=．一般地，当0)(lim 0≠→x q x x 时，有)0()0()()(lim 0x q x p x q x p x x =→．（1.4.2）例4 求23234lim 1+--→x x x x ．解先求分母的极限．021321)232(lim 1=+⨯-=+-→x x x ,先考虑原来函数倒数的极限.0340)34(lim 1)232(lim 134232lim 1=-=-→+-→=-+-→x x x x x x x x x 即34232-+-x x x 是1→x 时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到∞=+--→23234lim 1x x x x ．例5 求92342lim 3-+-→x x x x ．解先求分母极限．0923)92(lim 3=-=-→x x ,再求分子极限．033423)342(lim 3=+⨯-=+-→x x x ．消去公因子，再求极限．)3)(3()1)(3(lim 392342lim 3-+--→=-+-→x x x x x x x x x 3131lim 3=+-→=x x x注意：因为0)92(lim 3=-→x x ，所以不能写成)92(lim 3)342(lim 392342lim 3-→+-→=-+-→x x x x x x x x x ．例6 求222322lim +++-∞→x x x x x ．解22212312lim 222322lim x x x x x x x x x x +++-∞→=+++-∞→2)2221(lim )2312(lim =++∞→+-∞→=x x x x x x ．例7 求22353lim ++-∞→x x x x ．解因为035211323lim 53223lim =+-+∞→=+-+∞→x x x x x x x x x ，所以∞=++-∞→22353lim x x x x ．一般地，当∞→x 时，有理分式)0,0(00≠≠b a 的极限有以下结果：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<++-+++-+∞→.,,,00,,0110110lim m n m n b a m n m b m x b m x b n a n x a n x a x ＝（1.4.3）例8 求下列极限：（1）8323524lim +-+∞→x x x x ；（2）32572243lim +--∞→x x x x ；（3）372)122)(3(lim x x x x -+-∞→．解（1）因为m >n ，所以08323524lim =+-+∞→x x x x ．（2）因为n >m ，所以∞=+--∞→32572243lim x x x x ．（3）因为n =m ，所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比．即72372)122)(3(lim -=-+-∞→x x x x ．。

《经济数学基础》复习指导(文本).doc

（2008.05.22）经济数学基础复习指导（文本）第一部微分学第1章函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数的两要素−−定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。

例1 求函数xx y --=2)1ln(的定义域。

解 )1ln(-x 的定义域是1>x ，x -2的定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表示运算：)(22)ln()(++于是，321ln 1)1(12=++=f ，2222ln 2)2(++=f 2ln 8+=。

例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解由于1)(+=x x f ，说明f 表示运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x（3）会判断两函数是否相同。

从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。

例3 下列函数中，哪两个函数是相等的函数：A.2)(x x f =与t t g =)(B. 11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g解 A 中的两个函数定义域相同，对应规则也相同，故它们是相等的函数；B 中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数。

精选国家开放大学电大专科《经济数学基础1》期末试题标准题库及答案(试卷号：2441)

国家开放大学电大专科《经济数学基础1》期末试题标准题库及答案（试号：2441)盗传必究题库一一、单项选择题（每小题4分，共20分）i・中为例冶教的％）,A. y .工iinx R. > • litrC y •XCWLI(X y ■ J： +Z 的变化过程中）是无齐小■.A・ xtin —(x f co) R gin —(x ― 0)JCh(x + J)(x -*0) fl d«r — on)>,3> i5l/（x）在1.可礼明|而仁二-2A)«2AA. /#(x t)B. 2/(x0C. — /^<x t) a -2/'s)4.F列算式成立的是（）.A J厂S<Lr ■/”〉G d|/(^ )<tr ■/( jr J11 j^J/(x)dx »/(x)5,下列枳分tt算正■的是（KA. J (e* > e'* )<Lr ・0 H [ <c* — c a )cLr・0C. J Ldx U J： |i |dx -0答案：LA 2. C 3.C 4.D 5.B二、填空题(每小题4分，共20分)Lr，一9 @ V 06.若IL + I x > 0 --------------(x — I JT > Q7・Wtty-. 的翎晰点是•I MOX 1 M 0 -------------------------&曲埃在(pl)处的切蛾斜率是_________________________________ .9.函数的粮凋增加区间星 _______________ .10.—Jcot-r ,dz ■•答案：6.一37.” =08.09.«h+8>10.cotr1三、计算题（每小题11分，共44分）此心故限此浩当12.y +L .京 dy .13. 计算不定段分f —=L=dx.J m J2 + Inr 14. 计算定次分匚喜丑・答案： »in(x — I) mn(x — I >Cr +2)Cr — I) TT (J - 1)................................................................ (II 分〉 12.分四则运鼻法则和l«分某本公式得 dy ・d(L +八=d(L> + dd»»r*** rl< atrur ) + 3】，心 — LMMircLr +3L<Lr(L COJLT +3Ddx13. 第■由庚元阴分法博=4 — 1>&四、应用题（本题16分）15. 某厂生产基抻产品g 件时的怠成本函数为C （g ）=2O + 4q 十0.01亦元〉.貌位前售价格为。