2014-2015学年上海市市北中学高一上学期期中数学试卷和解析

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2014-2015年上海市闸北区市北中学高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计30分）1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=．3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．4．（3分）已知，，则tan2x=．5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为（用反三角函数表示）6．（3分）已知，α为第二象限角，则=．7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=．8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为．9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是，最小值是0，其中正确的命题是．（写出你所认为正确的所有命题序号）10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为．二、选择题（每题4分，共计16分）11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．（8分）已知，，，且，求的值？16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．18．（12分）已知函数，（1）若，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计30分）1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是α r2==3π，故答案为：3π．2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=﹣1．【解答】解：∵点P（﹣4，3）是角α终边上一点，∴x=﹣4，y=3，r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，则sinα+2cosα=﹣=﹣1，故答案为：﹣1．3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．【解答】解：函数y=tan2x的最小正周期为，故答案为：．4．（3分）已知，，则tan2x=．【解答】解：∵，，∴sinx=﹣∴tanx=﹣∴tan2x===故答案为：5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为arccos（用反三角函数表示）【解答】解：由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得：cosC==．∵0°＜C＜180°，∴C=arccos．故答案为：arccos．6．（3分）已知，α为第二象限角，则=3．【解答】解：∵已知=cosα，α为第二象限角，∴sinα==，则==3，故答案为：3．7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=﹣．【解答】解：由tan（π﹣x）=3可得，tanx=﹣3，sin2x=2sinxcosx=故答案为：﹣8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为．【解答】解：把函数f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x+）图象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=sin（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是，最小值是0，其中正确的命题是②④．（写出你所认为正确的所有命题序号）【解答】解：对于①﹣1≤x≤1，∴函数的定义域不可能为R，故①错误；对于②f（﹣x）=f（x），两个奇函数乘积偶函数，∴为偶函数，故②正确；对于③由于是偶函数，则f（x）在定义域内不可能单调，故③错误；对于④左边单减，右边单增，∴f（x）的最大值是，最小值是0，故④正确．故答案为：②④．10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为4．【解答】解：∵，∴sin=（x≠0），令f（x）==（x+），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，做出y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上有2个交点，又y=sin和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin和y=f（x）在（﹣∞，0）上有2个交点，∴方程有4个解，故答案为：4．二、选择题（每题4分，共计16分）11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”⇔“cosA＜cosB”，故选：C．12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y=cos（x+φ）为偶函数，则φ=2kπ，k∈Z，故“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数充分不必要条件，故选：A．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°【解答】解：对于A，若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得，求得a=，故△ABC有一解；对于B，若a=6，c=5，B=60°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，求得b=，只有一解，故△ABC有一解；对于C，若a=7，b=5，A=60°，则由正弦定理可得，求得sinB=，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；对于D，若a=3，b=4，A=45°，则由正弦定理可得，求得sinB=，再根据b＞a，可得B＞A，可得：B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]【解答】解：本题即求函数F（t）=50+4sin的增区间，由，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，故函数F（t）=50+4sin的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，故选：C．三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．（8分）已知，，，且，求的值？【解答】解：，，∴0＜﹣β＜，∴0＜α﹣β＜π；又，∴sin（α﹣β）=；∴tan（α﹣β）==；又，∴tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===﹣，∴===．16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【解答】解：（1）∵，∴sin∠EAC=．（2分）∴cosθ=cos（﹣∠EAC）=+=．（6分）（2）利用余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里，该船的行驶速度v=15（海里/小时）．（14分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a=，sinC=2sinA，∴根据正弦定理得：c=a=2a=2；（Ⅱ）∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，∴sinA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos2A﹣sin2A=，三角形ABC的面积S==3．18．（12分）已知函数，（1）若，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）解：y=cos2x+sinxcosx=×+==，∵，∴sin（2α+）=，解得2=2k或2=2kπ+，或（k∈Z）．（2）画出y=|f（x）|的图象，再画出y=m的图象，结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；可得m=0，1﹣＜m＜，＜m＜1+．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x+sin2x=）=sin（2x +），∴f（x）的最小正周期T=；∵f（﹣x）≠f（x）≠﹣f（x），f（x）是非奇非偶函数；由﹣+2kπ≤2x +≤2kπ，k∈Z 得﹣+kπ≤x，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]（k∈Z）；（2）当时，2x +，结合正弦函数图象可得，sin（2x +），∴函数f（x）的最大值和最小值分别为，﹣1．第11页（共11页）。

上海市位育中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

位育中学2014学年第一学期期中考试试卷高一数学一、填空题：(每小题3分，共36分)1、设全集}42|{<<-=x x U ，集合}41|{<<-=x x A ，则A C U =_________2、不等式02312≤++x x 的解集是_________3、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),[,),(,)(2a x x a x x x f ，若4)2(=f ，则a 的取值范围是_________4、满足}5,4,3,2,1,0{}1,0{≠⊂⊆P 的集合P 的个数是_________5、命题“已知R y x ∈,，若2≠+y x ，则0≠x 或2≠y ”是_________命题(填“真”或“假”)6、函数xx x x f -+=||)1()(0的定义域是_________7、若不等式02<++q px x 的解集是}|{p x q x <<，则=+22q p _________ 8、若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________ 9、已知集合}2,1{-=A ，}01|{>+=mx x B ，且B B A = ，则实数m 的取值范围是_________10、设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________ 11、已知b a ,均为正数，且14122=+b a ，则21b a +的最大值为_________ 12、满足不等式||(0,)x A B B A -<>∈R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，若2-+b a 的b a +邻域是一个关于原点对称的区间，则ba 41+的取值范围是_________二、选择题：（每小题3分，共12分）13、设b a >，R c ∈，则下列不等式中恒成立的是 ( )(A)ba 11< (B)22b a > (C)||||c b c a > (D)1122+>+c bc a14、下面四组函数中，)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（） (A)1)(=x f ，0)(x x g =(B)||)(x x f =，2)(t t g =(C)x x f =)(，2)()(x x g = (D)x x f =)(，2)(x x g =15、设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合M 使得M A ⊆且)(M C B U ⊆”是“φ=B A ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件16、集合},42|{Z k k x x A ∈+==ππ，},24|{Z k k x x B ∈+==ππ之间关系是 ( ) (A)B A = (B)B A ⊆(C)B A ⊇ (D)φ=B A三、解答题：（共52分）17、(8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A ，}2{-=B A ，求r q p ++的值18、(10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ，集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P19、(10分)解关于x 的不等式：12)1(<--x x m20、(12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（） A ．c b a <x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．．是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。

2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)

第1页共10页 ◎ 第2页共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则（） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。

2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页共10页 ◎ 第4页共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线，由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，综合，得图象是C ，故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ，根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10．下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（）（1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（）A ．c b a <x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)

π 3 f (a ) − f (b ) > 0 成立，则必有（ 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a，b ，总有 a −b
D. f (−1) > f (−π ) > f ( ) A. 函数 f ( x ) 是先增加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 B. 函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数
）个
12.定义在 [ −1,1] 的函数 f ( x) 满足下列两个条件：①任意的 x ∈ [−1,1] ，都有 f (− x) = − f ( x) ；②任意的 m, n ∈ [0,1] ，当
f ( m) − f ( n) < 0 ，则不等式 f (1 − 3 x) < f ( x − 1) 的解集是 m−n 1 1 2 1 2 B. ( , ] C. [−1, ) D. [ ,1] A. [0, ) 2 2 3 2 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 x − 1 (x ≥ 3) ，则 f ( f (− 1)) 的值是 13. 已知函数 f ( x ) = 。 1 − 3 x (x < 3) m ≠ n ，都有
[来源:学科
π 3
B. f ( ) > f (−1) > f (−π )
π 3
π 3
）
10. 如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a − 1) x + 2 在区间 ( −∞, 4] 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 5 B.
a≤5
C. a ≥ −3
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20.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = x （1）求 f ( x) 的解析式; （ 2）解关于 x 的不等式 f ( x) ≤

XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{1,2\}$。

C。

$\{0,1,2\}$。

D。

$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。

$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。

2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。

利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。

3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。

$(1,+\infty)$。

B。

$[1,+\infty)$。

C。

$(0,+\infty)$。

D。

$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。

由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。

4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。

$y=-|x|$。

B。

$y=x$。

C。

$y=|x|$。

高中上海市市北中学高一上学期期中数学试题

上海市市北中学【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，A B ⊆，则实数a =___________ 2．命题“若21≠a ，则1a ≠”的逆否命题是___________3．若函数)()1f x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=____________ 4．已知集合{|},{|1A x x a B x x =<=≤或2}x ≥，且R AB =∅，则实数a 的取值范围是___________ 5．已知,a b ∈R ，且2221a b +=，则ab 的最大值是___________6．已知(,1)(5,),(,4)A B a a =-∞-+∞=+，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是___________7．设条件:22x α-<<，条件:2213m x m β-≤<-，且α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是___________8．不等式31x x a-≥+的解集为M ，若2M -∉，则实数a 的取值范围为________． 9．某服装公司生产得到衬衫，每件定价80元，在某城市年销售8万件，现在该公司在该市设立代理商来销售衬衫代理商要收取代销费，代销费为销售金额的r %（即每销售100元收取r 元），为此，该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润.由于提价每年将少销售0.62r 万件，如果代理商每年收取的代销费不小于16万元，则r 的取值范围是___________10．定义关于x 的不等式(,0)x A B A R B -∈的解集称为A 的B 邻域．若3a b +-的+a b 邻域是区间()3,3-，则22a b +的最小值是．二、单选题11．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<12．下列四组函数中，函数()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A．2()||,()f x x g x == B．(),()f x x g x ==C ．3(),{1,0,1},(),{1,0,1}f x x x g x x x =∈-=∈- D ．以上三组都不是同一个函数 13．若{(,)|0,,},{(,),,}P x y xy x y R Q x y x y x y x y R =≤∈=+≠+∈，则（） A ．P Q =∅ B ．P Q = C ．Q P D ．P Q 14．设,x y R +∈，当21x y +=时，14a x y+≥恒成立，则a 的最小值是（） A ．12 B ．1 C ．23 D ．2三、解答题15．解关于x 的不等式：2(21)20()mx m x m R --->∈16．某商品每千克定价10元，商家采取了如下的促销方式：（1）求一次购买x （单位：千克），此商品的花费()f x （单位：元）的函数解析式；（2）某人一次购买此商品400元，问他能购得此商品多少千克？17．设函数221()f x x ax x ax a=++++，其中a 为实数（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）当1a =时，求()f x 的最小值18．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的面积”，求出面积6后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积为6，一条直角边长为3，求另一条直角边的长”.试给出问题“已知c a b =+，若12,13a b ≤≤-≤≤，求c 的取值范围”的一个“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.19．若实数,,x y m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m（1）若4比23x x -接近0，求x 的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数,a b ，求证：+a b 比22b a a b+接近（3）若对于任意的非零实数x ，实数a 比4x x+接近1-，求a 的取值范围参考答案1．0【解析】【分析】根据子集关系，建立关于字母的方程，解完后注意检验.【详解】解：∵A B ⊆，集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，∴1a B +∈且12a +≠，∴13a +=，或211a a a +=-+，解得：2a =，或0a =，经检验：0a =适合题意，故答案为：0【点睛】本题考查子集的关系，注意元素互异性的检验，属于易错题.2．若1a =,则21a =【分析】根据逆否命题的定义，即可得到答案.【详解】解：命题“若21≠a ，则1a ≠”的逆否命题是“若1a =,则21a =”，故答案为：若1a =,则21a =【点睛】本题考查逆否命题的概念，旨在考查学生对基本概念的理解程度.3．()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞【分析】分别求得函数()(),f x g x 的定义域，再结合()()f x g x ⋅，即可求得函数的解析式，得到答案.【详解】由题意，函数)()1f x =-的定义域为[0,)+∞，函数()g x =满足010x ≥⎧⎪≠，解得0x ≥且1x ≠，即函数()g x 的定义域为[0,1)(1,)⋃+∞所以()()[0,11)(1,))x f x g x ⋅==∈+∞.故答案为：()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞ 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．1a ≤【分析】先求出R B = {|12}x x <<，根据R A B =∅，结合数轴求出实数a 的取值范围.【详解】解：∵{|1B x x =≤或2}x ≥，∴R B = {|12}x x <<，又R A B =∅∴1a ≤故答案为：1a ≤【点睛】本题考查交并补运算，考查利用数轴处理集合间的关系，属于基础题.5．4【分析】根据题意，结合基本不等式的性质分析可得a 2+2b 2＝a 2+）2≥ab ，变形可得ab 4≤；即可得答案．【详解】解：根据题意，a 2+2b 2＝1，又由a 2+2b 2＝a 2+）2≥ab ，即1≥ab ，变形可得ab 4≤；即ab．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是利用基本不等式的性质进行变形． 6．(][),55,-∞-+∞ 【分析】由A B A ⋃=可知B A ⊆，结合数轴得到结果.【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，又(,1)(5,),(,4)A B a a =-∞-+∞=+， ∴41a +≤-，或5a ≥，即5a ≤-，或5a ≥，故答案为：(][),55,-∞-+∞ 【点睛】本题考查并集的概念及运算，解题关键是A B A ⋃=等价于B A ⊆.7．13m ≤-【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，进行判断即可．【详解】解：∵条件:22x α-<<，条件:2213m x m β-≤<-，且α是β的充分条件，则2213213222m m m m -<-⎧⎪≤-⎨⎪-≥-⎩，即35130m m m ⎧<⎪⎪⎪≤-⎨⎪≤⎪⎪⎩，解得13m ≤-，故答案为：13m ≤-．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解决本题的关键．8．()[),32,-∞-⋃+∞【分析】由题意可知，实数a 满足2312a--<-+或20a -+=，解出即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，实数a 满足2312a--<-+或20a -+=. 解不等式2312a --<-+，即5102a +>-，即302a a +>-，解得3a <-或2a >. 因此，实数a 的取值范围是()[),32,-∞-⋃+∞.故答案为()[),32,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查利用元素与集合的关系求参数，解题的关键在于将问题转化为不等式进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.9．100,1031⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知中该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r 万件，由此可以计算出年销售额，再由代销费为销售金额的r %，代入可得代理商收取的年代理费f 关于r 的函数解析式，可根据代理商每年收取的代理费不小于16万元，构造一个关于r 的不等式，解不等式可得r 的取值范围．【详解】根据题意，代理商每年可销售8﹣0.62r 万件衬衫，每件衬衫的价格为801%r -元，因此年销售额为()8080.621%r r --万元．所以代理商收取的年代理费f 为()()8080.628080.62%1%100r r f r r r r -=-=--（万元）．其中400031r ＜＜．（写为400031r ≤≤也可以）依题意，得()8080.6216100r rr -≥-，注意到0＜r ＜100（0≤r ≤100），解得1001031r ≤≤．因此所求r 的取值范围是1001031⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故答案为：100,1031⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，不等式的应用，其中（1）的解答中，要注意不要忽略对自变量r 的取值范围进行限制，（2）的关键是构造关于r 的不等式． 10．92【分析】解题时先由邻域的概念及绝对值不等式的解法得3a b +=，再考查22a b +与条件3a b +=的关系，利用重要不等式222()2a b a b ++≥求出22a b +的最小值．【详解】由邻域的定义知(3)x a b a b -+-<+的解集是()3,3-，解此不等式：3+3=223x a b a b a b -<<++-+-，所以3a b +=，由重要不等式222()2a b a b ++≥知：2292a b +≥，故答案为92．考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于基础题．11．C【详解】若a b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b >⇒<,所以D 不成立 ,故选C. 12．C【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【详解】解：对于A ，()||f x x =的定义域为R ，2()g x x ==的定义域为)0⎡+∞⎣，，定义域不相同，对应法则不同，不是同一函数；对于B ，()f x x =的定义域为R ，()g x x ==的定义域为R,对应法则不同，不是同一函数；对于C ，3(),{1,0,1},(),{1,0,1}f x x x g x x x =∈-=∈-，定义域相同，对应法则也相同，都是1对应1,0对应0，1-对于1-，是同一函数，故选：C【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．13．C【分析】化简集合Q ，根据子集关系判断即可.【详解】解：{(,),,}{(,)0,,}Q x y x y x y x y R Q x y xy x y R =+≠+∈==<∈，显然0xy <能推出0xy ≤，反之不成立，∴Q P ，故选：C【点睛】本题集合间的包含关系，考查集合的描述法，属于基础题.14．A【分析】利用均值不等式求出1a x y+的最小值，然后解不等式得到结果. 【详解】解：由题意可知：0a >，∵,x y R +∈，21x y +=，∴()11221212a a y ax x y a a x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2y ax x y =时，等号成立，要使14a x y+≥恒成立，则124a ++≥，即(214+≥∴12+≥，即12a ≥， ∴a 的最小值是12故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查均值不等式的应用，考查“1”的巧用，考查不等式的解法，属于中档题.15．见解析【分析】讨论m ＝0、m ＞0和m ＜0，解一元二次不等式即可.【详解】解：关于x 的不等式mx 2﹣（2m ﹣1）x ﹣2＞0等价于（x ﹣2）（mx +1）＞0；当m ＝0时，不等式化为x ﹣2＞0，解得解集为（2，+∞）；当m ＞0时，不等式等价于（x 1m+）（x ﹣2）＞0，解得不等式的解集为（﹣∞，﹣1m）∪（2，+∞）；当m ＜0时，不等式等价于（x 1m+）（x ﹣2）＜0，若12-＜m ＜0，则1m->2，解得不等式的解集为（2，1m -）；若m 12=-，则1m-=-2，不等式化为（x -2）2＜0，此时不等式的解集为∅；若m 12-＜，则1m -<2，解得不等式的解集为（1m -，2）．综上，m ＝0时，不等式的解集为（2，+∞）；m ＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1m）∪（2，+∞）； 12-＜m ＜0时，不等式的解集为（2，1m-）； m 12=-时，不等式的解集为∅； m 12-＜时，不等式的解集为（1m -，2）．【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，关键是合理分类讨论，是中档题．16．（1）()[](](]10,0,2092020,4086040,x x f x x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪+∈+∞⎩；（2）42.5千克【分析】（1）根据促销方案可得y 与x 的函数关系；（2）根据（1）可知：860400x +=，从而得到答案.【详解】（1）由题意可得：一次购买x （单位：千克），此商品的花费()[](](]10,0,2092020,4086040,x x f x x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪+∈+∞⎩；（2）当[]0,20x ∈时，()[]0,200f x ∈，当(]20,40x ∈时，()(]200,380f x ∈，当(]40,x ∈+∞时，()()380,f x ∈+∞，某人一次购买此商品400元时，令860400x +=，解得：42.5x =，∴他能购得此商品42.5千克【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力.17．（1）04a <<；（2）1【分析】（1）()f x 的定义域为R 等价于20x ax a ++≠恒成立，即240a a =-<；（2）当1a =时，令221331244t x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，11y t t =+-，借助对勾函数的单调性求最值即可.【详解】解：（1）∵()f x 的定义域为R ，∴20x ax a ++≠恒成立，∴240a a =-<，∴04a <<；（2）当1a =时，221()1f x x x x x =++++，令221331244t x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，则11y t t=+-，又11y t t=+-在314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在)1⎡+∞⎣，上单调递增， ∴11y t t =+-的最小值为11111y =+-=，即()f x 的最小值为1.【点睛】本题考查函数的定义域与最值，考查“三个二次”的关系，考查对勾函数的单调性，属于中档题.18．“逆向”问题：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围；解答为：24b -≤≤【分析】利用逆向”问题的意义可以是：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围．【详解】∵12,13a b ≤≤-≤≤，∴[]0,5c a b =+∈,“逆向”问题：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围.解：∵12a ≤≤，∴21a -≤-≤-，又05c ≤≤,∴24,c a -≤-≤∴24b -≤≤【点睛】正确理解“逆向”问题的意义和不等式的基本性质是解题的关键．19．（1）()(),14,-∞-+∞；（2）证明见解析；（3）()4,2- 【分析】（1）由题意得：|x 2﹣3x |＞4，则x 2﹣3x ＞4或x 2﹣3x ＜﹣4，由此求得x 的范围．（2）根据a b ＞+，且22b a a b +＞，化简|22b a a b+-|﹣|a +b ﹣的结果大于零，可得a +b 比22b a a b+接近（3）由题意411a x x +++＜对于x ∈R ，x ≠0恒成立，分类讨论求得|x 4x++1|的最小值，可得|a +1|的范围，从而求得a 的范围．【详解】解：（1）由题意得：|x 2﹣3x |＞4，则x 2﹣3x ＞4或x 2﹣3x ＜﹣4，由x 2﹣3x ＞4，求得x ＞4或x ＜﹣1；由x 2﹣3x ＜﹣4，求得x 无解．所以x 取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．（2）因为a ，b ＞0且a ≠b ，所以a b ＞+22b a a b+＞所以(2222b a b a a b a b a b a b ⎛+-+-=+--+- ⎝ ()()()2220a b a b b a a b a b ab +-=+-+=＞，则220b a a b a b+-+-，即a +b 比22b a a b+接近（3）由题意：411a x x+++＜对于x ∈R ，x ≠0恒成立，当x ＞0时，4115x x ++≥=，当x ＝2时等号成立，当x ＜0时，则﹣x ＞0，()44x x -+≥=-，当x ＝﹣2时等号成立，所以44x x +≤-，则413x x ++≤-，综上4|1|3min x x ++=．故由|a +1|＜3，求得﹣4＜a ＜2，即a 取值范围为（﹣4，2）．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

上海市北中学2014-2015年度第一学期高一数学期终考试

2014-2015年度第一学期高一数学终考试试题命题：邹建兵审题：肖登鹏一、填空题（每题3分，共计10小题，总计30分） 1．函数()3log 2y x =-的定义域为__________．2．若sin 0α<且tan 0α>，则α是第__________象限的角 3．方程()3log 941x x -=+的解为__________4．已知sin 2cos x x =，则πtan 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=__________．5．幂函数()y f x =的图象经过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，则满足()27f a =的a 的值是__________6．设2log x a =，2log y b =，则用a ，b 表示()424log log x xy y+=__________． 7．设奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⋅+-<⎡⎤⎣⎦的解为_______ 8．据监测：服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量()f x （单位：微克）与时间x （单位：小时）之间满足：()()0.54log 3,x f x x ⎧⎪=⎨+-⎪⎩，()()044x x ≤≤>．据测定：每毫升血液中含药量不少于１微克时治疗疾病有效．则服用这种药一次能维持的有效时间为__________小时．9．对于在区间[]m n ，上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意[]x m n ∈，，均有()()1f x g x -≤，那么我们称()f x 和()g 在[]m n ，上为“密切函数”，若()()2l o g 1f x a x=+与()2log g x x =在区间[]12，上为“密切函数”，则a 的取值范围是__________．10．若函数()f x 满足对任意非零常数m ，在定义域内始终存在x 使得()()()f x m f x f m +=+成立，则称()f x 为m 函数。

试题

2014～2015学年度高一年级第一学期期中考试数学试题卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题（共12小题每题5分）1、1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U C M N 等于 A.｛0， 4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ∅ 2、设集合{}1->∈=x Q x A ，则（）A ．A ∅∈ BA C．A ∈ D．A3、下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()()f x g x x == B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==．()(),f x x g x ==4、已知log 83a =，则a 的值为 A 、12B 、2C 、3D 、4 5、函数2()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图像恒过定点 A 、（0,1） B 、（0,2） C 、（2,1） D 、（2,2）6.已知3,(1)()222,(1)x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 那么1[()]2f f 的值是（） A. 54 B. 34 C. 94 D. 14-7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．若函数)(x f 对任意0>a 且1≠a ，都有)()(x af ax f =，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是( )A. x x f -=)(B. 1)(+=x x fC. x x f =)(D. x x x f -=)(9.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（）A ． 0a b <>C ．01b a <<<D ．01a b <<< 9. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）A ． 3(0,)4B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A . )()(x g x f 是偶函数B . )(|)(|x g x f 是奇函数C . |)(|)(x g x f 是奇函数D . |)()(|x g x f 是奇函数10、已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，3()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=A 、1-B 、3-C 、 1D 、311．已知)(x f 满足)()(x f x f -=-，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的表达式为（）A ．2)(+=x x x fB ．2)(-=x x x fC ．2)(+-=x x x fD ．2)(--=x x x f 12、已知函数(2)f x +的定义域为[]2,2-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2- C ．[]1,3 D ．[]1,5-卷Ⅱ（非选择题，共90分）13、如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则1()(3)f f 的值等于 14、求函数|21|()3x f x -=的单调递增区间14、若集合{}2,12,4a a A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;15、设25abm ==，且112a b+=则m 等于 16.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数c ，使)(c f ＞0 ，则实数p 的取值范围是_____________。

2014-2015学年上海中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)

2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝．3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是． 5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ． 6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为．二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2|C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值；（2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．17．已知函数f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）设x ∈[−π3，π3]，求f （x ）的单调区间．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g （x ）的值域．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．20．已知函数f（x）＝a（|sin x|+|cos x|）+4sin2x+9，若f(9π4)=13−9√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n，使得f（x）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝45．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值．解：∵角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），∴x ＝3t ，y ＝4t ，r ＝|OP |＝5t ，则sin θ=y r =45，故答案为：45．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ 65° ．【分析】连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ，即可得出结论．解：连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∴∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ， ∵BĈ，CF ̂的度数分别为62°，68°， ∴∠BDF =12(62°+68°)=65°，故答案为65°．【点评】本题考查圆周角定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础， 3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝π6．【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ，由此求得φ的值．解：∵函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，∴−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ，结合0＜φ＜π，则φ=π6，故答案为：π6．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 {x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z } ．【分析】先利用两角和公式对 sin x +cos x 化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集．解：sin x +cos x =√2（ √22sin x +√22cos x ）=√2sin （x +π4）＝﹣1∴sin （x +π4）=−√22∴x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z故答案为：{x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z }．【点评】本题主要考查了终边相同的角、正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= cos θ2 ．【分析】利用二倍角余弦公式的变形进行转化去根号是解决本题的关键，即将被开方数进行升幂转化，结合角所在的象限进行开方化简．解：由于π＜θ＜3π2，则π2＜θ2＜3π4， ∴cos θ＜0，sin θ2＞0，cos θ2＜0，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ=√12+12√cos 2θ−√1−2sin θ2cos θ2=√1−cosθ2−√(sin θ2−cos θ2)2=sin θ2−|sin θ2−cos θ2| ＝sin θ2−sin θ2+cosθ2=cos θ2．故答案为：cos θ2．【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形公式的运用，考查三角函数的基本关系式的应用，诱导公式带根号问题的处理方法，考查学生的转化与化归思想和方法，注意角所在象限对三角函数正负的影响，是中档题．6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x 2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为（0，5）．【分析】利用倍角公式、诱导公式化简f （x ），利用其单调性可得f （x ）的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出．解：函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ＝4sin x •1−cos(π2+x)2+cos2x ＝2sin x （1+sin x ）+1﹣2sin 2x ＝2sin x +1，∵π6≤x ≤2π3，∴sin x ∈[12，1]，∴f （x ）∈[2，3]．∵|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，即0＜m ＜5．则实数m 的取值范围为（0，5）．故答案为：（0，5）．【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性、绝对值不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 √3 ．【分析】设M （x 0，sin （x 0+π6）），N （x 0，2cos x 0），化简|MN |为|sin （x 0+π6）|，利用正弦函数的有界性求得它的最最大値．解：直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，设M （x 0，sin （x 0+π6）），N （x 0，2cos x 0），则|MN |＝|2cos x 0﹣sin （x 0+π6）|＝|√32sin x 0−32cos x 0|=√3•|12sin x 0 −√32cos x 0|=√3|sin （x 0−π3）|≤√3，当且仅当x 0−π3=k π+π2，k ∈z 时，即x 0 ＝k π+5π6，k ∈z 时，等号成立，则|MN |的最大值为√3，故答案为：√3．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，考查两点间的距离公式与辅助角公式的应用，正弦函数的有界性，属于中档题．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ．【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，由此求得x 和y 的取值范围，即为所求．解：∵cos （x +y ）＝cos x cos y ﹣sin x sin y ，若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，故x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ，故答案为：x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ．【点评】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ 2k π±2π3，k ∈Z ．【分析】化函数y 为y ＝A sin （ωx +φ）后，振幅为1，得出（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝1，求出cos （α﹣β）=−12，得α﹣β的值．解：函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）＝（sin x cos α+cos x sin α）+（sin x cos β+cos x sin β）＝sin x （cos α+cos β）+cos x （sin α+sin β），化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）后，振幅为1， ∴（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝cos 2α+2cos αcos β+cos 2β+sin 2α+2sin αsin β+sin 2β ＝2+2cos （α﹣β）＝1，∴cos （α﹣β）=−12，α﹣β＝2k π±2π3，k ∈Z ．故答案为：2k π±2π3，k ∈Z ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数应用问题，是基础题．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 1≤k ＜√2 ．【分析】根据x 的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简|sin x |，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x 的范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，根据题意并且结合正弦图象可得出k 的范围．解：当x ∈[0，π]时，|sin x |＝sin x ，所以y ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），当x ∈（π，2π）时，|sin x |＝﹣sin x ，所以y ＝﹣sin x +cos x =√2sin （π4−x ），根据解析式画出分段函数图象，分析可得k 的范围为：1≤k ＜√2．故答案为：1≤k ＜√2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象，利用了数形结合的思想．根据x 的范围化简|sin x |，再利用三角函数的恒等变换得到一个角的正弦函数，从而确定出分段函数的解析式，在坐标系中画出相应的分段函数图象是解本题的关键．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 ．【分析】法一：先利用二倍角公式将函数f （x ）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x ，通过对二次齐次式分子分母同除以cos 2x 的办法，转化为关于x 的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x ，利用数形结合求函数的最值解：解法一：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x 2sinx⋅cosx∵0＜x ＜π2，∴cos x ＞0，tan x ＞0， ∴将f （x ）的分子分母同除以cos 2x∴f （x ）=2+6tan 2x 2tanx =1tanx +3tanx ≥2√1tanx×3tanx =2√3（当且仅当tan x =√33，即x =π6时取等号）∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 故答案为2√3解法二：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =1+cos2x+6×1−cos2x2sin2x=−2(cos2x−2)sin2x∴设x ＝sin2x ，y ＝cos2x ，∵0＜x ＜π2，∴0＜x ≤1，﹣1＜y ＜1，且x 2+y 2＝1∴点P （x ，y ）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图此时y−2x表示点P 与点（0，2）连线的斜率数形结合可得：OP ＝r ＝1，OM ＝2，∠MAO ＝60° ∴y−2x≤−√3∴−2(cos2x−2)sin2x=−2(y−2)x≥2√3∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3故答案为2√3【点评】本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）【分析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解：由于kπ2表示π2的整数倍，而 kπ+π2=（2k +1）π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件．由于k π±π3=（3k ±1）π3表示π3的非3的整数倍，而kπ3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．（2k +1）π 表示π的奇数倍，（4k ±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）是终边相同的角，故C 满足条件． k π+π6=(6k+1)π6，表示π6 的(6k+1)6倍，而 k π±π6=表示π6的(6k±1)6倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件．故选：C ．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2| C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx【分析】判断这四个函数的最小正周期，需要逐一分析．A 、D 选项用三角函数对应的公式化为y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0）的形式．C 与B 选项用函数的图象的性质，求出四个函数的周期，得到结果．解：对于A ，f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），其最小正周期T ＝2π；对于B ，f （x ）=f(x)=|tan x2|，先去掉绝对值，利用正切的周期公式得到f （x ）＝tan x2，其最小正周期T ＝2π；加上绝对值后周期仍然是2π；对于C ，y ＝|sin2x |，y ＝sin2x 的周期是π，加上绝对值以后周期为π2对于D ，f(x)=sin(x +π3)cosx =（12sin x +√32cos x ）cos x =12sin2x +√32×cos2x+12=14sin2x +√34cos2x +√34=12sin （2x +π3）+π4，∴函数的周期是T =2π2=π 综上可知只有D 选项的函数的周期是π 故选：D ．【点评】本题考查三角函数最小正周期的求法．根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T =2πω，正切型最小正周期为T =πω，初次之外可以用图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换，得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式，本题是一个中档题目．14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z【分析】利用反三角函数的本质概念及性质，求出a 、b 即可．解：令arcsin a ＝θ，∵cos(arcsina)=√32，∴cos θ=√32，则sin θ＝a =12令arccos b ＝β，∵tan(arccosb)=−√3，∴tan β=−√3，则cos β＝b =−12． ∴sinx1−cosx=a +b =0，则sin x ＝0且cos x ≠1，∴x ＝2k π+π，（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查了反三角函数的本质概念及性质，及解三角方程、三角函数的性质，属于中档题．15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q ，利用充要条件的定义判断出p 是q 的充要条件．解：q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α即α﹣β＞sin （β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β 故选：A ．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断．三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值；（2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．解：（1）∵169x2﹣bx+60＝0的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ=b169，sinθcosθ=60169＞0，∵θ∈(π4，3π4)，∴θ+π4∈（π2，π），即sinθ+cosθ=√2sin（θ+π4）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×60169=（b169）2，解得：b＝±221（负值舍去），则b＝221；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×60169=49 169，∴sinθ﹣cosθ=7 13，∵sinθ+cosθ=17 13，∴sinθ=1213，cosθ=513，则原式=sin2θ+1−cos2θsinθ(1−cosθ)=2sinθ1−cosθ=3．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)−2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[−π3，π3]，求f（x）的单调区间．【分析】根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω＝2，可得f（x）的最小正周期；x∈[−π3，π3]，⇒−π3≤2x+π3≤π，当−π3≤2x+π3≤π2，即−π3≤x≤π12时f（x）递减，同理求得递增区间．解：f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx =−（sin2x +√3cos2x ）＝﹣2sin （2x +π3）．（1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π．（2）∵x ∈[−π3，π3]，∴−π3≤2x +π3≤π，当−π3≤2x +π3≤π2，即−π3≤x ≤π12，故f （x ）的递减区间为[−π3，π12]．增区间为[π12，π3]．【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g （x ）的值域．【分析】（1）将f （sin x ），f （cos x ）代入g （x ），分子分母分别乘以（1﹣sin x ），（1﹣cos x ）去掉根号，再由x 的范围去绝对值可得答案．（2）先由x 的范围求出x +π4的范围，再由三角函数的单调性可得答案．解：（Ⅰ）g(x)=cosx ⋅√1−sinx 1+sinx+sinx ⋅√1−cosx 1+cosx=cosx ⋅√(1−sinx)2cos 2x+sinx ⋅√(1−cosx)2sin 2x∵x ∈(π，17π12]，∴|cosx|=−cosx ，|sinx|=−sinx ， ∴g(x)=cosx ⋅1−sinx −cosx +sinx ⋅1−cosx−sinx＝sin x +cos x ﹣2=√2sin(x +π4)−2．（Ⅱ）由π＜x ≤17π12，得5π4＜x +π4≤5π3． ∵sin t 在(5π4，3π2]上为减函数，在(3π2，5π3]上为增函数，又sin 5π3＜sin 5π4，∴sin 3π2≤sin(x +π4)＜sin 5π4（当x ∈(π，17π2]），即−1≤sin(x +π4)＜−√22，∴−√2−2≤√2sin(x +π4)−2＜−3，故g （x ）的值域为[−√2−2，−3)．【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．【分析】（1）由图1及对称性知，CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ，又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ，得AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ，由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，利用导数求解（2）当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合，当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线，AD ≥BC 解：（1）由图1及对称性知， CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ，又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ， ∴AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ，由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，即L 关于θ的函数关系式 L =1sinθ+sinθcos2θ，θ∈（0，π2），L ′=2cosθ(2sin 2θ−cos 2θ)4sin 2θcos 4θ=0，可得tan θ=√22，即有arctan √22＜θ＜π2，L ′＞0，函数L 递增；0＜θ＜arctan √22，L ′＜0，函数L 递减．可得L =133+33×(1−2×13)=3√34，此时L 取得最小值为3√34；（2）如下图，当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合，当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线， AD ≥BC ，∴AD 的范围是[1，+∞）【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，若f(9π4)=13−9√2．（1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）计算x =9π4时f （x ）的值，从而解得a 的值；（2）根据f （x +π）＝f （x ），求得f （x ）的最小正周期为π；（3）讨论f （x ）在一个周期内的函数性质，即x ∈[0，π2]和x ∈（π2，π）时，f （x ）零点的情况，从而得出正确的结论．解：（1）函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，令x =9π4，得√2a +4+9＝13﹣9√2，解得a ＝﹣9；（2）f （x +π）＝﹣9[|sin （x +π）|+|cos （x +π）|]+4sin2（x +π）+9 ＝﹣9（|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9＝f （x ）所以，f （x ）的最小正周期为π．（3）存在n ＝1007满足题意；当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9；设t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），t ∈[1，√2]，则sin2x ＝2sin x cos x ＝t 2﹣1，于是f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9＝4t 2﹣9t +5，令4t 2﹣9t +5＝0，得t ＝1或t =54∈[1，√2]，于是x ＝0，π2，或x ＝x 0（0＜x 0＜π4）或x =π2−x 0，其中sin （x 0+π4）=5√28，当x ∈（π2，π）时，f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9．设t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），t ∈（1，√2]，则sin2x ＝2sin x cos x ＝1﹣t 2，于是f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9＝﹣4t 2﹣9t +13，令﹣4t 2﹣9t +13＝0，解得t ＝1或t =−134∉（1，√2]，故f （x ）在x ∈（π2，π）没有实根．综上讨论可得，f （x ）＝0在[0，π）上有4根，当n ＝1006时恰好是503个周期有2012个根，当n ＝1007时，相当于又往下走了前半个周期，前半个周期有四个根（之前证过的），所以为2016个根；故不存在n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2）内恰有2015个根．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根，任意角的三角函数图象与性质的应用问题，是综合题．。

市北中学高一数学试题

市北中学2014学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人：肖登鹏审题人：邹建兵一、填空题（3分×10=30分）1．若{}012=，，A ，{}123=，，B ，则=∩A B ．2．函数()=f x 的定义域是．3．已知集合{}2==∈，A y y x x R ，{}323==-+∈，B y y x x R ，则=∩A B ．4．若“30-<x m ”是“2<x ”的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．5．不等式21<x的解集是． 6．已知()f x 为奇函数，且当0>x 时，()3=-f x x ，则当0<x 时，()f x 的解析式为．7．已知x ，y 为正实数，121+=x y，则2+x y 的最小值为．8．若关于x 的不等式2260(0)-+<≠kx x k k 解集为{}32<->-或x x x ，则实数k 的值是．9．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11012323⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，，，，M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为．10．关于x 的不等式260--≤x ax a 有解，且对于任意的解1x ，2x ，恒有125-≤x x ，则实数a 的取值范围是．二、选择题（4分×4=16分）11．下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是（）A ．2()()==，f x x g xB ．22()()(1)==+，f x x g x xC ．0()1()==，f x g x xD ．(0)()()(0)⎧==⎨-<⎩，≥x x f x x g x x x12．若0<ab ，且0+>a b ，则以下不等式中正确的是（）A ．110+<a bBC ．22<a bD ．>a b13．如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0)≤≤h H ．则该函数的大致图象是（）14．已知2()2=-+f x x mx m 在区间(1)-∞，上有最小值，则函数()()=f xg x x在区间(1)+∞，上一定（） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数三、解答题（共54分） 15．（本题满分8分）已知∈m R 且1≠-m ，比较11+m与1-m 的大小． 16．（本题满分10分）已知函数[](]9101()312⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，x x f x x x ，1()1=-g x x ．⑴求14⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f 的值； ⑵若()()()=-F x f xg x ，写出()F x 的解析式，求函数()F x 的最小值与最大值． 17．（本题满分10分）已知：集合203⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x A xx ，集合{}13=+>B x x ，集合 {}22430=-+<∈，C x x ax a a R ．⑴求∪A B 和∩R R C A C BD ．C ．B ．A ．h⑵要使()⊇∩R R C C A C B ，试求a 的取值范围．18．（本题满分12分）某厂某个月预计生产某种产品x （百合）(0.2510)≤≤x 的成本为()C x （万元），其中固定成本为2万元，且每生产1百台产品，成本就增加1万元，销售收入为()R x （万元）且240.50.50.254()7.5410.⎧--=⎨<⎩，，≤≤≤x x x R x x 假定该月该产品产销平衡．（利润=销集收入-成本）⑴该月要不亏本，产量x 应控制在什么范围内？⑵生产多少台时，可使该月利润最大？并求此时每台产品的售价． 19．（本题满分14分）已知函数21()1-=-x f x x．⑴证明：函数()f x 是偶函数；⑵画出函数()=y f x 的图像：写出其单调区间（不必证明）； ⑶设()()=-g x f x a ，讨论函数()=y g x 的零点的个数．。

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P （﹣4，3）是角α终边上一点，则sin α+2cos α＝．3．函数y ＝tan2x 的最小正周期．4．已知cosx =35，x ∈(−π2，0)，则tan2x ＝．5．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的最小角为（用反三角函数表示） 6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tan α2= ．7．已知tan （π﹣x ）＝3，则sin2x ＝．8．函数f （x ）＝cos2x +sin2x 图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m 的最小值为．9．关于函数f （x ）＝x •arcsin x 有下列命题： ①f （x ）的定义域是R ； ②f （x ）是偶函数；③f （x ）在定义域内是增函数； ④f （x ）的最大值是π2，最小值是0，其中正确的命题是．（写出你所认为正确的所有命题序号）10．方程x 2﹣cos x ＝0的解可视为函数y ＝cos x 的图象与函数y ＝x 2的图象交点的横坐标，则方程x 2−4xsin πx2+1=0实数解的个数为．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件12．“φ＝0”是“函数y ＝cos （x +φ）为偶函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°14．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50+4sin t2（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=√5，b＝3，sin C＝2sin A．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．18．已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx，（1）若f(a)=1+√32，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是 3π ．【分析】把扇形的圆心角为2π3代入扇形的面积s =12αr 2 进行计算求值．解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为2π3，则扇形的面积是 12αr 2=12×2π3×9 ＝3π，故答案为：3π．【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口． 2．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P （﹣4，3）是角α终边上一点，则sin α+2cos α＝ ﹣1 ．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sin α和cos α的值，可得sin α+2cos α的值．解：∵点P （﹣4，3）是角α终边上一点，∴x ＝﹣4，y ＝3，r ＝|OP |＝5， ∴sin α=y r =35，cos α=x r =−45，则sin α+2cos α=35−85=−1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3．函数y ＝tan2x 的最小正周期π2．【分析】根据函数y ＝tan ωx 的周期为πω，求出函数y ＝tan2x 的最小正周期．解：函数y ＝tan2x 的最小正周期为 π2，故答案为：π2．【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．已知cosx =35，x ∈(−π2，0)，则tan2x ＝247．【分析】先求出tan x ，再由正切函数的二倍角公式得到答案．解：∵cosx =35，x ∈(−π2，0)，∴sin x =−45∴tan x =−43∴tan2x =2tanx 1−tan 2x =2×(−43)1−(−43)2=247 故答案为：247【点评】本题主要考查正切函数的二倍角公式．属基础题．5．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的最小角为 arccos 78 （用反三角函数表示）【分析】由三角形中大边对大角可知，边c 所对的角C 最小，然后利用余弦定理的推论求得cos C ，则答案可求．解：由大边对大角可知，边c 所对的角C 最小，由余弦定理可得：cos C =16+9−42×4×3=78．∵0°＜C ＜180°，∴C ＝arccos 78．故答案为：arccos 78．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题． 6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tan α2= 3 ．【分析】利用诱导公式求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用半角的三角函数的计算公式求得tan α2的值．解：∵已知sin(π2−α)=−45=cos α，α为第二象限角，∴sin α=√1−cos 2α=35，则tan α2=1−cosαsinα=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，半角的三角函数的计算公式，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 7．已知tan （π﹣x ）＝3，则sin2x ＝ −35 ．【分析】由已知求出tan x ，再由sin2x =2tanx1+tan 2x求解．解：由tan （π﹣x ）＝3可得，tan x ＝﹣3，sin2x ＝2sin x cos x =2sinxcosx sin 2x+cos 2x =2tanx 1+tan 2x=−35 故答案为：−35【点评】本题考查了三角恒等变形，诱导公式，属于基础题．8．函数f （x ）＝cos2x +sin2x 图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m 的最小值为3π8．【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m 的最小值．解：把函数f （x ）＝cos2x +sin2x =√2sin （2x +π4）图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y =√2sin （2x +2m +π4）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m +π4=k π，k ∈Z ，则m 的最小值为3π8，故答案为：3π8．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．关于函数f （x ）＝x •arcsin x 有下列命题： ①f （x ）的定义域是R ； ②f （x ）是偶函数；③f （x ）在定义域内是增函数； ④f （x ）的最大值是π2，最小值是0，其中正确的命题是 ②④ ．（写出你所认为正确的所有命题序号）【分析】对于①﹣1≤x ≤1，∴函数的定义域不可能为R ；对于②两个奇函数乘积偶函数；对于③由于是偶函数，则f （x ）在定义域内不可能单调；对于④左边单减，右边单增，故可得结论．解：对于①﹣1≤x ≤1，∴函数的定义域不可能为R ，故①错误；对于②f （﹣x ）＝f （x ），两个奇函数乘积偶函数，∴为偶函数，故②正确；对于③由于是偶函数，则f （x ）在定义域内不可能单调，故③错误；对于④左边单减，右边单增，∴f （x ）的最大值是π2，最小值是0，故④正确．故答案为：②④．【点评】本题的考点是反三角函数的运用，主要考查反三角函数的性质，定义域，单调性，奇偶性，最值等，有一定的综合性．10．方程x 2﹣cos x ＝0的解可视为函数y ＝cos x 的图象与函数y ＝x 2的图象交点的横坐标，则方程x 2−4xsin πx2+1=0实数解的个数为 4 ．【分析】将方程变形得sinπx 2=x 4+14x（x ≠0），分别作出y ＝sinπx 2和y =14（x +1x）的函数图象，根据交点个数进行判断．解：∵x 2−4xsin πx2+1=0，∴sin πx2=x4+14x （x ≠0），令f （x ）=x 4+14x =14（x +1x），则f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，做出y ＝sinπx 2和y ＝f （x ）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y ＝sin πx 2和y ＝f （x ）在（0，+∞）上有2个交点，又y ＝sin πx 2和y ＝f （x ）都是奇函数，∴y ＝sinπx2和y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上有2个交点，∴方程x 2−4xsin πx2+1=0有4个解，故答案为：4．【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】因为A 、B 是三角形的内角，所以AB ∈（0，π），在（0，π）上，y ＝cos x 是减函数．由此知△ABC 中，“A ＞B ”⇔“cos A ＜cos B ”，即可得答案．解：∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），∵在（0，π）上，y＝cos x是减函数，∴△ABC中，“A＞B”⇔“cos A＜cos B”，故选：C．【点评】本题考查必要条件、充分分条件和充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用．12．“φ＝0”是“函数y＝cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义即可判断．解：函数y＝cos（x+φ）为偶函数，则φ＝2kπ，k∈Z，故“φ＝0”是“函数y＝cos（x+φ）为偶函数充分不必要条件，故选：A．【点评】本题是基础题，考查余弦函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确计算函数是偶函数的条件是解题的关键．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°【分析】由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可得解．解：对于A，若b＝10，A＝45°，B＝60°，则由正弦定理可得asin45°=10sin60°，求得a=10√63，故△ABC有一解；对于B，若a＝6，c＝5，B＝60°，则由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，求得b=√31，只有一解，故△ABC有一解；对于C，若a＝7，b＝5，A＝60°，则由正弦定理可得7sin60°=5sinB，求得sin B=5√314，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；对于D，若a＝3，b＝4，A＝45°，则由正弦定理可得3sin45°=4sinB，求得sin B=2√23，再根据b＞a，可得B＞A，可得：B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50+4sin t2（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]【分析】由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，得到函数F（t）＝50+4sint2的增区间，即为所求．解：本题即求函数F（t）＝50+4sin t2的增区间，由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，故函数F（t）＝50+4sin t2的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，故选：C．【点评】本题考查正弦函数的单调性，求正弦函数的单调增区间的方法，得到2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，是解题的关键，属于中档题．三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？【分析】根据α、β的取值范围计算tan（α﹣β）的值，再求出tanβ的值，即可求出tan(β+π4 )的值．解：0＜α＜π2，−π2＜β＜0，∴0＜﹣β＜π2，∴0＜α﹣β＜π；又cos(α−β)=3 5，∴sin（α﹣β）=4 5；∴tan（α﹣β）=sin(α−β)cos(α−β)=43；又tanα=3 4，∴tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]=tanα−tan(α−β)1+tanαtan(α−β)=34−431+34×43=−724，∴tan(β+π4)=tanβ+tanπ41−tanβtanπ4=−724+11−(−724)×1=1731．【点评】本题考查了三角函数值的计算问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ＝cos（3π4−∠EAC），利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC 的值，而且BC 这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．解：（1）∵cos∠EAC =−2√1313，∴sin ∠EAC =3√1313． ∴cos θ＝cos （3π4−∠EAC ）=√22×2√1313+√22×3√1313=5√2626．（2）利用余弦定理求得 BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos θ＝925，∴BC ＝5√35．又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5√35海里，该船的行驶速度v ＝15√35（海里/小时）．【点评】本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且a =√5，b ＝3，sin C ＝2sin A ．（1）求c 的值；（2）求cos2A 的值和三角形ABC 的面积．【分析】（1）利用正弦定理得到c =sinC sinAa ，将a 的值及sin C ＝2sin A 代入，即可求出c 的值；（2）利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 及求出的c 值代入，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A 及cos2A 的值，可求三角形ABC 的面积．解：（Ⅰ）∵a =√5，sin C ＝2sin A ，∴根据正弦定理得：c =sinC sinAa ＝2a ＝2√5；（Ⅱ）∵a =√5，b ＝3，c ＝2√5，∴由余弦定理得：cos A =9+20−52×3×25=2√55，又A 为三角形的内角，∴sin A =√55， ∴sin2A ＝2sin A cos A =45，cos2A ＝cos 2A ﹣sin 2A =35，三角形ABC 的面积S =12×3×2√5×√55=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx，（1）若f(a)=1+√32，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦图象，求α；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．解：（1）解：y=√3cos2x+sin x cos x=√3×1+cos2x2+12sin2x=12sin2x+√32cos2x+√32=six(2x+π3)+√32，∵f(a)=1+√32，∴sin（2α+π3）=12，解得2α+π3=2kπ+π6或2α+π3=2kπ+5π6，α=kπ−π12或α=kπ+π4（k∈Z）．（2）画出y＝|f（x）|的图象，再画出y＝m的图象，结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；可得m＝0，1−√32＜m＜√3，√3＜m＜1+√32．【点评】本题考查三角函数式的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数公式的应用，考查函数与方程的思想，数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=√2sin（2x+π4），从而求出函数的最小正周期；判定奇偶性、结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．（2）先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由正弦函数的性质可求出最值．解：（1）f（x）＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x+sin2x＝）=√2sin（2x+π4），∴f（x）的最小正周期T=2π2=π；∵f（﹣x）≠f（x）≠﹣f（x），f（x）是非奇非偶函数；由−π2+2kπ≤2x+π4≤2kππ2，k∈Z得−3π8+kπ≤x≤kπ+π8，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[−3π8+kπ，kπ+π8]（k∈Z）；（2）当x∈[0，π2]时，2x+π4∈[π4，5π4]，结合正弦函数图象可得，sin（2x+π4）∈[−√22，1]，∴函数f（x）的最大值和最小值分别为√2，﹣1．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性、奇偶性，考查函数的单调性问题，属于中档题．。

数学卷·2014届上海市重点中学高一上学期期中考试

上海市重点中学2012-2013学年度第一学期高一数学期中试卷（满分100分，90分钟完成. 答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U A = .2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有个.3. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④≠⊂∅∅；⑤∅{0}上述五个关系中，错误的个数是 .4. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .5. 不等式12x ≤的解为________ .6. 不等式|5|5>的解为________ .7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 8. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M N =∅，则实数m 的取值范围是________________ .10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()U B .11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 .12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________.13. 设实数x 、y 满足23y ≤，12，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“a b +≥成立的（） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . 11()()a b a b++≥4 B . 3322()a b ab a b ++≥C . 22222a b a b +++≥D . 3322a b ab +≥18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题：（1）若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；（2）若(3)10f =，则(5)25f >；（3）若(5)25f =，则(4)16f ≤；（4）若2()(1)f x x +≥，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y+++≥，并指出等号成立的条件；（2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值.22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ；（2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<++≤；并由此说明A 中元素b 若满足12b <+≤2b =+（3）设c A ∈，试求满足22(2c <+≤的A 的元素.参考答案一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U C A = . 答案：{4}2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有个. 答案：83. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④φφ；⑤φ{0}上述五个关系中，错误的个数是 . 答案：34. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .答案：“如果a b +是奇数，则,a b 不都是奇数” . 5. 不等式12x≤的解为________ . 答案：1(,0)[,)2-∞⋃+∞6.不等式|5|5>的解为________ .答案：[0,25)7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 答案：-18. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 答案：[1,0]-9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M ∩N =Φ，则实数m 的取值范围是________________ . 答案：(,3]-∞-10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()u C B . 答案：11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 . 答案：(3,0]- 12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________. 答案：3-13. 设实数x 、y 满足2≤x y ⋅≤3，1≤xy ≤2，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .[答案] 4. ∵34x y=2()x y -⋅⋅4()x y ∈[19，4] 14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .答案：(22,2)(22,4)--二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“2a b ab +≥”成立的（） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件答案：A16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 答案：D17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . )11)((ba b a ++≥4 B . 3322()a b ab a b +≥+C . 222++b a ≥b a 22+D . 33b a +≥22ab 答案：D18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题：（5）若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；（6）若(3)10f =，则(5)25f >；（7）若(5)25f =，则(4)16f ≤；（8）若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个答案：C三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.解：（1）||333x a a x a -≤⇒-≤≤+，∴31a -=-且35a +=，得2a =. 2分（2）()|2|f x x =-，31, 32()(5)2|2||3|7, 3231, 2x x f x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪++=-++=-+-<≤⎨⎪->⎩5分当3x ≤-时，3182x x -+>-⇒7x <-当32x -<≤时，782x x -+>-⇒1x >，∴12x <≤ 当2x >时，3182x x ->-⇒95x >，∴2x > 综上，7x <-或1x > 8分20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．解：（1）据题意，(0)8C =⇒k =40 1分40800()62063535f x x x x x =+⋅=+++，010x ≤≤ 3分（2）800()2(35)10107035f x x x =++-≥=+ 6分当且仅当8002(35)35x x +=+，即5x =时等号成立. 7分所以，当修建5厘米厚的隔热层时，所求总费用的最小值为70万元. 8分21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件；（2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值. 解：（1）2222()()()a b a b ay bx x y x y xy x y +-+-==++ 3分 ∵ ,,,(0,)a b x y ∈+∞ ∴ ()0xy x y +>，2()0ay bx -≥222()a b a b x y x y++≥+ 4分等号当且仅当ay bx =时成立. 6分（2） 22949(23)()2512212212f x x x x x x x+=+=+≥=--+- 9分等号当且仅当2(12)32x x -=⋅即11(0,)52x =∈时成立. 11分所以，15x =时，()f x 的最小值为25. 12分22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ；（2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<+≤+；并由此说明A 中元素b 若满足12b <≤+2b =；（3）设c A ∈，试求满足22(2c <≤+的A 的元素.解：（1）证明：若a A ∈，则a m =+，,m n Z ∈，且2231m n -=于是1(m n a ===+-,m n Z -∈，且223()1m n --=， ∴1A a ∈. 2分((23)(2m m n n m =+=-+-23,2m n n m Z --∈，且2222(23)3(2)31m n n m m n ---=-=，A . 4分（2）由1p q <≤，则21(1)20p p p p -+-=>，111()()()0pq p q p q p q pq-+-+=-⋅≤∴112p q p q <+≤+. 6分若满足12b <≤124b b<+≤；又b A ∈，设b m =+,m n Z ∈，且2231m n -= 则12(2,4]2b m m b+=∈⇒=；又22311m n n -=⇒=±，∴2b =1b >，得2b = 10分（3）22(212c ≤+⇒<≤1A ， 12分由（22=，2(27c =+=+227341-⋅=，所以A 中元素为7+。

【数学】上海市行知中学2014-2015学年高一上学期期中考试

∴ a∈[2,3]
…… 8 分
18、（本小题满分 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
已知关于 x的不等式 kx2 2x 6k 0, (k 0)
（ 1 ）若不等式解集为，求实数 k 的取值范围；
（ 2 ）若不等式的解集为集合 { x | 2 x 3} 的子集，求实数 k 的取值范围。
解：（ 1 ）由 Δ ≤ 0 解得 k≤ 又 k>0, ∴ k ≥ 6 6
平均每人每年创造利润为 10( a
3x ) 万元（ a
0），剩下的员工平均每人每年创造
500
的利润可以提高 0.2x% .
(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，
则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2) 在 (1)的条件下，若要调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造
5
2
1
2
3
k
综上，符合条件的 k 的取值范围是
[ 2 ,+ ∞ ) 5
…… 12 分
19、（本小题满分 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力，决定优
化产业结构，调整出 x名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造
B. ( , 3] ∪ (2, )
C . ( , 3) ∪ (2, )
D . ( ,0] ∪ [2, )
14．设 f x 是 R 上的偶函数，且在
，0 上为减函数，若 x1 0 ， x1 x2 0 ，
则（
）
A． f x1 f x2
C． f x1 f x2