离散数学练习题
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学练习题库
离散数学练习题库离散数学⼀、选择题1.给出下列语句：（1）5能被2整除. （2）2是素数当且仅当三⾓形有三条边. （3） x+5>0. （4）4是2的倍数或是3的倍数. （5）明天我去看电影.其中（1）（2）（4）（5）是命题；（2）（4）是复合命题。
2.给出以下命题：（1）1+2=3743321)2(.743≠+→≠+≠+→. （3）743321)4(.743521=+→=+=+?≠+. 其中真值是T 的命题是 (2)(4) 。
3.给出下列语句：（1）5能被2整除. （2）雪是⿊⾊的当且仅当太阳从西⽅升起. （3） x+5>0. （4）⼩李在宿舍⾥.其中（1）（2）（4）是命题；（2）是复合命题。
4.给出以下命题：（1）1+2=3743321)2(.743≠+→≠+≠+→. （3）743321=+?≠+. (4)743321=+→=+ 其中真值是F 的命题是（1）（3）。
5. 设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有⼀个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( D )。
))()(()A (x G x C x ?∧?? ))()(()B (x G x C x ?→?? ))()(()C (x G x C x ?→?? ))()(()D (x G x C x ?∧?? 6.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( C )。
(A) 1∈A (B) {1,2, 3}?A (C) {{4,5}}?A (D) ?∈A7. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ?C )= ( A )。
(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {,<2,c >}(C) {,} (D) {<1,c >,}8. 如第5题图所⽰各图，其中存在哈密顿回路的图是 ( C )。
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。
（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。
（3）设:p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（5）设，p：径一事;q：长一智。
在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。
" 可符号化为： p q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。
（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。
" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。
（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。
（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。
（12）设P:你努力.Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q:小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（）2.命题公式p q r是析取范式。
( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。
《离散数学》练习题和参考答案
《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ→⌝（2）QP⌝→（3）QP⌝↔（4）QP→⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题
离散数学练习题1、图中度为零的结点称为孤立结点。
A. 正确B. 错误正确：【A】2、域是整环。
A. 正确B. 错误正确：【A】3、有限格都是有界格。
A. 正确B. 错误正确：【A】4、连通且不含圈的图称为树。
A. 正确B. 错误正确：【A】5、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】6、无向图G为欧拉图，则G是连通的。
A. 正确B. 错误正确：【A】7、若A和B都是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。
A. 正确B. 错误8、设A, B, C是命题公式，则AVBV﹁C 也是命题公式。
A. 正确B. 错误正确：【A】9、设〈L，≤〉是格，则格的交∧和并∨运算满足等幂律。
A. 正确B. 错误正确：【A】10、“x+3>1。
”是命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】11、半群满足交换律。
A. 正确B. 错误正确：【B】12、在任何图中，奇数度的结点数必是偶数。
A. 正确B. 错误正确：【A】13、在格〈L，∨，∧〉中，如果交运算对并运算是可分配的，则并运算对交运算也是可分配的。
A. 正确B. 错误正确：【A】14、完全图Kn没有割集，它的连通性能是最好的。
A. 正确B. 错误15、对任意集合A，都有∅⊆A。
A. 正确B. 错误正确：【A】17、强连通图一定是单向连通图。
A. 正确B. 错误正确：【A】18、代数系统〈G，∘〉为群的条件是存在零元素。
A. 正确B. 错误正确：【B】19、对应日常生活中的“任意的”，“所有的”，“一切的”等词，用符号“任意”表示。
A. 正确B. 错误正确：【A】20、如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∉A。
A. 正确B. 错误正确：【B】21、A,B是集合,P（A），P（B）为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为（）A. B.C. D.正确：【B】22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则方程f1(x)•f2(x)=0的解为（）A. M∩NB. M∪NC. MND. M-N正确：【B】23、设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（）A. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 正确：【C】24、设<A，?，*>是环，则下列说法不正确的是（）A. <A，?>是交换群B. <A，*>是半群C. *对?是可分配的D. ?对*是可分配的正确：【D】25、平面图(如下)的三个面的次数分别是（）A. 11，3，4B. 11，3，5C. 12，3，6D. 10，4，3正确：【A】26、下列命题正确的是（）A. {l，2} {{1，2}，{l，2，3}，1}B. {1，2} {1，{l，2}，{l，2，3}，2}C. {1，2} {{1}，{2}，{1，2}}D. {1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}正确：【B】27、设D的结点数大于1，D=<V,E>是强连通图，当且仅当（）A. D中至少有一条通路B. D中至少有一条回路C. D中有通过每个结点至少一次的通路D. D中有通过每个结点至少一次的回路正确：【D】28、下列等价式正确的是（）A. ┐┐AB.C. ┐┐AD.正确：【C】29、设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）A. PQB. PQC. QPD. Q=P正确：【C】30、设，则有（）A. B.C. D.正确：【C】31、下列各图中既是欧拉图，又是汉密尔顿图的是（）A. B.C. D.正确：【C】32、无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且（）A. G中各顶点的度数均相等B. G中各顶点的度数之和为偶数C. G中各顶点的度数均为偶数D. G中各顶点的度数均为奇数正确：【C】33、下列式子正确的是（）A. （A－B）－C = A－（B∪C）B. A－（B∪C）=（A－B）∪CC. ~（A－B）= ~（B－A）D.正确：【A】34、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足D. 公式p∧q正确：【B】35、设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（）A. ┐P∧QB. ┐P→QC. ┐P→┐QD. P→┐Q正确：【C】36、集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y ∈A}，则R的性质是（）A. 自反的B. 对称的C. 传递的、对称的D. 反自反的、传递的正确：【B】37、设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（）A. R={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>}B. R={<a,c>,<c,a>}C. R={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}D. R={<a,a>}正确：【D】38、下列等价式不正确的是（）A. B.C. D.正确：【A】39、设M（x）：x是人；F（x）：x要吃饭。
离散数学习题
第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )BBAAQPQQPQB AABAAQPQP),()D(),()C() (),()B(,)A(∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝2. 设命题公式G：)(RQP∧→⌝,则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是( )0,0,1)D(0,1,0)C(1,0,0)B(0,0,0)A(3. 命题公式QQP→∨)(为( )(A) 矛盾式(B) 仅可满足式(C) 重言式(D) 合取范式4 命题公式)(QP→⌝的主析取范式是( )．(A) QP⌝∧(B) QP∧⌝(C) QP∨⌝(D) QP⌝∨5. 前提条件PQP,⌝→的有效结论是( )．(A) P(B) ⌝P(C) Q(D)⌝Q6. 设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )QPQPQPPQ⌝∨⌝↔→→)D()C()B()A(二、填空题1. 设命题公式G：P→⌝(Q→P)，则使公式G为假的真值指派是2. 设P：我们划船，G：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是4. 若命题变元P，Q，R赋值为(1,0,1)，则命题公式G＝)())((QPRQP∨⌝↔→∧的真值是5. 命题公式P→⌝(P∧Q)的类型是．6. 设A，B为任意命题公式，C为重言式，若C⇔∧，那么A∧CBA↔是式(重言式、矛盾式或可满B足式)三、解答化简计算题1.判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！(4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式)P∨∧→→的真值表，并判断该公式的类Q)((P)(PQ型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P∨⌝Q)→(P∧Q)的成真赋值．(2) 设命题变元P,Q,R的真值指派为(0,1,1),求命题公式∨P→R→⌝↔的真值．∧P⌝(()Q)((QR))4. 化简下式命题公式)⌝∧P∧∨Q⌝∧(P))Q((P5. 求命题公式))⌝∧→的主合取范式.Q→P∧P)(P((Q6. 求命题公式R→∧⌝⌝)((的真值．→(∧))QP∨PRQ∨↔RP7. 求命题公式)→∧→⌝的主析取范式，并求该命题公P⌝(Q)(PQ式的成假赋值．8. 将命题公式)⌝∧⌝化为只含∨和⌝的尽可能简单的⌝∧RQP→(P等值式．9. 求命题公式)∨⌝∧的真值表.P⌝∧)((QPQ四、证明题1. 证明S∧∧→)∨⌝)⌝(()(RQRS∧QP⌝P⌝∨⇒2. 构造推理证明：QR→→())((⇒S→)RPSQ→P∧∧3. 证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等值．4. 证明命题公式)R→与QP→∧)(有相同的主析取范∨)((QRP→Q式．命题逻辑习题参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧⌝或Q P ⌝∨⌝ 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5)是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表 P Q P →Q Q P ∧ P Q P ∨∧)())(()(P Q P Q P ∨∧→→ 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1原式为可满足式.3. (1) (P ∨⌝Q )→(P ∧Q )⇔(⌝P ∧Q )∨(P ∧Q )⇔(⌝P ∨P )∧Q ⇔Q可见(P ∨⌝Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →⌝∨⌝→⌝∧↔0))10()01(()10(⇔→∨→∧↔⇔4. ))()((P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧⇔)()()()(P P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⇔0)(∨∧⇔Q PQ P ∧⇔5. ))()((Q P P Q P ∧⌝∧→→))()((Q P P Q P ∧⌝∧∨⌝∨⌝⇔)())(Q P P Q P Q P ∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝⇔)00(∧∨⌝⇔P)(Q Q P ⌝∧∨⌝⇔)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∨⌝⇔6. R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()(R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)(1⇔7. Q P Q P Q P Q P Q P ⌝∧⇔⌝∨⌝∧⌝∧⇔⌝→∧→⌝)()()()(因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨⌝⇔→⌝∧⌝∧⌝))()((R P Q P ∨⌝∨∨⌝⇔不唯一．9. 作真值表P Q P∧Q⌝P⌝Q⌝P∨⌝Q (P∧Q)∧(⌝P∨⌝Q)0 0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0四、证明题1.①⌝Q∨R P②⌝R P③⌝Q①，②析取三段论④P→Q P⑤P⌝③，④拒取式⑥P∨⌝S P⑦⌝S⑤，⑥析取三段论2.前提：QPRSQP,)),((→→→结论：SR→证明：①R附加前提②R→P前提引入③P①，②假言推理④P→(Q→S) 前提引入⑤Q→S③,④假言推理⑥Q前提引入⑦S⑤,⑥假言推理3. (P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)⇔⌝P∧Q⇔⌝(P∨⌝Q)4.方法1．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝⇔∨∧⌝⇔QRP)(QRP→∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．方法2．)()(QRQP→∨→⇔)()(QRQP∨⌝∨∨⌝RQPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔RQPQRPQRP⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑习题一、 单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q2. 谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x(B) )0(=+∀∃y x x y (C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x 4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →∀ (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 5. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∃y ((x <y )→(x -y <0))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是谓词逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是谓词逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )(A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、 填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为.2. 设个体域D＝{a,b},公式))Gx→∀消去量词化为yHx∃(y,()(x3. 设N(x)：x是自然数，Z(y)；y是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式∀x(F(x)→G(x))∧⌝∀y(F(y)→G(y))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P(1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q(2)=1，则∀x(P(x)∨Q(x))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(x∃yF∀→∃的类型.∀x,)yx(yyxF2. 指出谓词公式)(xQyPx∀中∀x和∃x的辖xR→∧∃x∧(,))x))(S)((x(域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))PQx∧→x∀的真值．(R(())f(a其中P：4>3，Q（x）：x>1，R（x）：x≤2．f（-3）=1，f（1）=5，f（5）= -3．a：5．个体域D=（-3，1，5）．4.说明公式))xP∀xyG→(∀是逻辑有效式(永真式)．→x∃()y(,)(xxP5. 通过等值演算说明下列等值式成立：PxxxPQ∃→⇔∀→x∃)()()))(xQ(x(x6. 求谓词公式),,(xyyGxxF∃∧∀的前束范式.→∀yzH)(,,(xy(z))四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式xyzGxF∀∃∀→∀x→,)())((xF(x)z是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))xxQxxP∀∃．→∀⇒xP→(()()(Q(x)x（提示：))xA∨xxBx∀x∨∀⇒∀.))(()(()xB(xA谓词逻辑习题参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3.))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀ 4. 永假式 5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ∃∀如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1； 若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈∃使得),(y x yF ∀为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'∀为1),(y x xF '∃⇒为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ∃∀为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃为1. 所以，),(),(y x xF y y x yF x ∃∀→∀∃是永真式．2. ∀x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧∃xR (x )∃x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y是自由变元，自由出现1次． 3. ))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∨⌝∃∨⌝∀⇔x P y x yG x xP5. ⇔→∃))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨⌝∃))()(x xQ x P x ∃∨⌝∃⇔)()(x xQ x xP ∃∨⌝∀⇔)()(x xQ x xP ∃→∀⇔6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀∨⌝∀⇔),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ∃∧∀∨⌝∃⇔)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨⌝∃∀∃⇔(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→∃∀∃⇔)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀ 是命题公式)(P Q P →→的代换实例．因为命题公式⇔∨⌝∨⌝⇔→→P Q P P Q P )(1是永真式， 故))(),(()(x xF z x zG y x xF ∀→∃∀→∀是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：)()(x xQ x xP ∀→∃．证 ① )()(x xQ x xP ∀→∃ 前提引入② )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨⌝∀⑤ ))()((x Q x P x →∀ T ④,蕴含等值式第3章 集合及其运算一、 单项选择题1. 设a 是集合A 的元素，则以下正确的是( )A a A a A a a a ∈⊆⊆⊆}){D ()C (}){B (}){A (2. 设集合A ={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B＝( )(A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9}3. 设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )(A) 1∈A (B) {{4,5}}⊂A(C) {1,2,3}⊆A (D) ∅∈A4. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有( ) (A) A ＝B (B) A ≠B (C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B(D) 当C =U 时, 有A ≠B5. 设集合A ＝{∅，a }，则P (A )＝ ( )}},{},{},{,){D (}}}},{,{},{},{,){C (}},{},{},){{B (}},{},{,){A (a a A a a a a a a ∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅6. 设A ={1，2，3}，B ={2，3，4，5}，C ={2，3}，则（A ∪B ）⊕C 为（ ）(A) {1，2} (B) {2，3} (C) {1，4，5} (D) {1，2，3}二、 填空题1.设A , B 代表集合，命题A -B =∅⇔A=B 的真值为 ．2. 设A , B 为任意集合，命题A -B =∅⇔A⊆B 的真值为 ．3. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=4. 设集合A ={{a ,b },c }, B ={c ,d }, 那么A －B ＝5. 设集合A ＝{1,2,3,4}，B ={a ，b ，c }，则∣A ×B ∣＝三、解答化简计算题1. 试作以下二题：(1) 设有序对＜2x +y ,6＞=＜5,x +y ＞,求x ,y ；(2)设集合A ＝{1,2},求A ×P (A ).2. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={b ,d ,e }，求B ⋂A ，A ⋃B ，A －B ，B ⊕A ．3. 化简集合表达式：((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )4. 判断下列哪些运算结果是对的？哪些是错的？请将错误的运算结果更正过来．(1) ∅=∅⋂∅}{ (2) ∅=∅⋃∅}{(3) }{}}{,{}{∅=∅∅⋂∅ (4) }}{,{}{}}{,{∅∅=∅-∅∅（5）A B B A =⋃-)( （6）A B B A =-⋃)(（7）A A A =⊕ （8）∅=-⋂A B A )(5.易,0.5,8,掌握,2-2 设全集E ＝(a ,b ,c ,d ,e ,f ), A ={a ,d }，B ={a ,b ,e }，C ={b ,d }，求下列集合：(1) C B A ~)(⋃⋂； (2))()(A P A A ⋃⊕.6. 设},{},,,{},,{},,,,,{42=521=41=54321=C B A E求 (A ⋂B )⋃~C ，P (A )－P (B )，A ⊕B ．四、证明题1. 设A ，B ，C 为三个集合，证明若C ⊆A ．则(A ⋂B )⋃C ⊆A ⋂(B ⋃C )2. 试证明对任意集合A ，B ，C ，如果B A ⊆且D C ⊆，则C BD A -⊆- 3. 设A ，B ，C 为任意集合，证明：)()()(C B C A C B A ---=--集合练习题参考答案一、1. B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 二、1. 0 2. 1 3. }}}{,{}},{{},{,{a a ∅∅∅ 4. {{a ,b }} 5.12三、解答化简题1. (1) 由有序对定义，解方程⎩⎨⎧=+=+652y x y x 解得x=－1，y=7．(4分)（2）P （A ）={∅,{1},{2}{1,2}}A ⨯P (A )={<1,∅>,<2,∅>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}2. B ⋂A ＝{b } A ⋃B ={a ,b ,c ,d ,e } A －B ={a ,c } B ⊕A ={a ,b ,c ,d ,e }－{b }={a ,c ,d ,e }3. ((A ⋃B ⋃C )⋂(A ⋃B ))－((B ⋃(B －C ))－A )＝(A ⋃B )－(B －A ) =(A ⋃B )⋂(～B ⋃A ) =A ⋃(B ⋂～B )=A ⋃∅=A4. (1) 对． (2) 错．应为}{∅． (3) 对． (4) 错．应为{}{∅}（5）错．应为B A ⋃ （6）错．应为B A -(或B A ~⋂或A －AB )（7）错．应为∅，即∅=⋂-⋃=⊕A A A A A A （8）对． 5. (1) },,,{},,,{}{~)(f e c a f e c a a C B A =⋃=⋃⋂ (2)∅=⋂-⋃=⊕)()()(A A A A A A . }},{},{},{,{)(d a d a A P ∅=.故)()(A P A A ⋃⊕＝}},{},{},{,{d a d a ∅ 6. (A ⋂B )⋃~C ={1}⋃}5,3,1{}5,3,1{=}},{},{{}},{},{},{,{}},{},{},{,{)()(411=4242-4141=-φφC P A PA⊕B =(A⋃B)－（A⋂B）=}5,4,2{}5,4,2,1{=-}1{四、证明题1. 已知xC∀⊆,A∈⋂∨⇔⋃(∈)x∈⋂CAxABxBC∈∧(⇔)∈∨Cx∈BxAx∨∈x∈∧⇔A∈∨∈x(C)(x)BCx∈∈x⋃∨⋂∧A⇒∈∈⇔B(C(xA)BxC)即)⋂A⋃⊆⋂B⋃(CC)(AB2. 由于C⇔~⊆⊆，DC~D又有BA⊆，所以⊆⋂~⋂DCA~B即C-．⊆A-DB3. )A⋂CC⋂B---A=⋂~)~(~C(B(C))(⋂A⋃C=⋂~B(~))(CA⋂CB⋂⋂A⋂⋃=(~))~(C~C＝C)~~(⋂⋂⋂=⋂= C)(BBAC~A~(-)BA-第3章 二元关系练习题一、 单项选择题1. 设集合A ＝{0,b },B ={1,b ,3},则A ⋃B 上的恒等关系是 ( ).(A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,<b ,b >,<3,3>}(C) {<1,1>,<b ,b >,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b ><b ,3>,<3,0>} 2. 已知集合A ＝{a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001011010，那么R ＝( )，(A) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<a ,c >} (B) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,b >} (C) {<a ,b >,<a ,a >,<b ,b >,<c ,a >} (D) {<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >,<c ,a >} 3. 设集合A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R 的关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000001011001则关系R 的表达式是( )(A) {<1,1>,<1,4>,<2,1>,<2,3>} (B) {<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,3>} (C) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,4>} (D) {<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,1>}4. 设A ={a ，b ，c }，R ={<a ，a >，<b ，b >}，则R 具有性质（ ） (A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的5. 设R 是集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，如果R ⊂I A ，则下面四个命题中为真的是（ ）(A) R 不是自反的 (B) R 不是传递的 (C) R 不是对称的 (D) R不是反对称的 二、填空题1. 设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )=2. 如果关系R 是传递的，则R ∙R ⊆ ．3. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝4. 设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为 ．5. 设A ={1,2,3,4}，A 上的二元关系}3,{Z ∈-><=y x y x R ,其中Z 是整数集合．试用列举法那么R＝ ． 三、解答化简计算题1. 设集合A ＝{a ,b ,c ,d }，在A 上定义二元关系R ＝{<a ,a >,<a ,d >,<b ,b >,<b ,c >,<c ,b >,<c ,c >,<d ,a >,<d ,d >} R 是否为等价关系，说明理由.2. 设R 是实数集，R 上的二元关系S 为 S ＝{<x ,y >∣x ,y ∈R ∧x =y }试问二元关系S 具有哪些性质？简单说明理由．3. 设A ＝{1,2},B ={a ,b },试问从A 到B 的二元关系有多少个?4. 设集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R 如下： R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,<3,5>}⋃I A 做偏序集<A ,R >的哈斯图，并求B ={0,2,3}的极大元、极小元、最大元和最小元．5. 设集合A ={0,1,2,3,4}，定义A 上的二元关系R 为： R ＝{<x ,y >⎪x ,y ∈A ∧(x =y ∨x +y ∈A )}试写出二元关系R 的集合表达式，并指出R 具有的性质．6. 已知集合A 上的二元关系R 的关系图如图4－1，试写出R 的集合表达式和R 的关系矩阵．并指出R 所有的性质．7. 设集合A ＝{1,2,3,4}, B ＝{2,4,6} 从A 到B 的二元关系R 定义为R ＝},{N k k xy B y A x y x ∈∧=∧∈∧∈><试求R 的集合表达式和关系矩阵M R .8. 设R 1是A 1＝{1,2}到A 2＝(a ,b ,c )的二元关系，R 2是A 2到A 3＝{βα,}的二元关系，R 1= {<1,a >,<1,b >,<2,c >}, R 2={<a ,β>,<b ,β>} 试用关系矩阵求R 1∙R 2的集合表达式.9. 设集合X ＝{a ,b ,c ,d },X 上的二元关系R 的关系图如图4－2所示．试写出R 的表达式和关系矩阵．10. 设集合S ＝{1,2,3,4},定义S 上的二元关系 })(,,{2y x S y x S y x y x R >∧∈-∧∈><=},,{是素数yx S y x y x T ∧∈><=试求R ，T 的元素表达式，并计算R ∙T ． 四、证明题1. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系．2. 设R 是集合A 上的二元关系，试证明R 是自反的当且仅当R I A ⊆．3. 假设R 是非空集合A 上的等价关系，证明R 的逆关系R －1也是A 上的等价关系．0 ∙ ∙2 1∙ 图4－ 1a db c图4－2二元关系习题参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. C 5. A二、1. R ⋂S 2. R 3. {<6,3>,<8,4> }4. 如图4－3．5. }1,4,4,1{><><⋃A I三、1. R 含有<a ,a >,<b ,b >,<c ,c >,<d ,d >, 是自反的；R 含有<a ,a >,<b ,b >,<c ,c >,<d ,d >,<a ,d >,<d ,a >,<b ,c >,<c ,b >, 是对称的； 对R z x R z y R y x >∈⇒<>∈<>∈<∀,,,,，是传递的.故R 是A 上的等价关系.2. S 具有自反性，显然<x ,x >∈S ； S 具有对称性，∀<x ,y >∈S ，有x =y ，则<y ,x >∈S ； S 具有反对称性，∀<x ,y >,<y ,x >∈S ，有x =y ； S 具有传递性，∀<x ,y >,<y ,z >∈S ,因为x =y =z ，故<x ,z >∈S ．3. 二元关系共有16个．4. A ＝{0,1,2,3,4,5,6}, B ={0，2，3}， 哈斯图如图4－4．B 的极大元：2，3, B 的极小元：0 B 的最大元：无 B 的最小元：05. 由题设，R ＝I A ⋃{<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<0,3>,<3,0>,<0,4>,<4,0>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}易知，R 具有自反性和对称性．6. }0,2,2,0,2,2,0,0{><><><><=R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101000101RMR 有对称性和传递性．7. R ＝{<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4,4>}M R =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01100111111 a c b 图4－3 6∙ 5∙∙4 3∙ 2∙ ∙10∙ 图4－48. ,100111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0010102R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙10001121R R M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0010001010 },1{21><=∙βR R9. R ＝{<a ,a >,<a ,c >,<b ,c >,<d ,d >}⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000001000101R M 10. }2,4,3,4,2,3,1,2{><><><><=R}2,4,1,3,1,2{><><><=T }1,4,1,3{><><=⋅T R四、证明题1. .① S R x x S x x R x x A x ⋂>∈⇒<>∈<>∈<∈∀,,,,,，所以S R ⋂有自反性；②,,A y x ∈∀因为R ，S 是反对称的，yx x y y x S x y S y x R x y R y x S x y R x y S y x R y x S R x y S R y x =⇔=∧=⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇔⋂><∧⋂><),,(),,(),,(),,(,, 所以，R ⋂S 有反对称性．③ A z y x ∈∀,,，因为R ，S 是传递的， S R z y S R y x ⋂>∈<∧⋂>∈<,,S z y R z y S y x R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S z y S y x R z y R y x >∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈⇔<,,,, S R z x S z x R z x ⋂>∈⇔<>∈<∧>∈⇒<,,,所以，S R ⋂有传递性． 总之，R 是偏序关系. 2. 先证必要性．假设R I A ⊆/，则必存在x ∈A ,使得<x ,x >∈I A ,且<x ,x >∉R ,这与R 是自反的相矛盾．所以R I A ⊆．再证充分性．设R I A ⊆，则对,,,A I x x A x >∈<∈∀因为R I A ⊆，所以R x x >∈<,．因此R 是自反的．3. (1) ∀x ∈A ，则<x ,x >∈R ，显然<x ,x >∈R －1，R －1具有自反性． (2) ∀x ，y ∈A ， 如果<x ,y >∈R －1⇔<y ,x >∈R⇒<x ,y >∈R (R 是对称的)⇔<y ,x >∈R －1， R －1具有对称性．(3) ∀x ,y ,z ∈A ，如果<x ,y >∈R －1∧<y ,z >∈R 1⇔<y ,x >∈R ∧<z ,y >∈R ⇔<z ,y >∈R ∧<y ,x >∈R ⇒<z ,x >∈R （R 是传递的）⇔<x ,z >R －1，R 具有传递性．总之，R 是等价关系．第5章 群练习题一、单项选择题1. 设A ＝Q ×Q ，其中Q 是有理数集，定义A 上的二元运算*为:),,(b a ∀,A y x ∈),(,),(),(),(b ay ax y x b a +=*,则(1,2)*(3,4)=())6,3)(D ()8,6)(C ()1,5)(B ()10,3)(A (-2. 下列集合和运算能构成群的是 ( )．(A) (M n (R ),+),其中M n (R )是定义在实数集上的n 阶矩阵，＋是普通加法 (B)(A ,+),其中A ＝{0,±1,±2,…,±n },+是普通加法 (C)({21,0,2},+),其中＋是普通加法(D) ({0,1,2,3},⊗),其中运算⊗是模4乘法3. 在自然数集N 上定义的二元运算*，满足结合律的是( )ba b a b a b a b a b a b a b a -=*=*2+=*-=*)D (},max{)C ()B ()A (4. 以下代数系统中，只是半群的为( )． (A) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －2 (B) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =b (C) (Z ，︒)，其中Z 是整数集，∀a ,b ∈Z ,a ︒b =a +b －ab(D) (R －{0}，︒)，其中R 是实数集，∀a ，b ∈R ,a ︒b =ab 5. 以下群中，是循环群的为( )． (A) (Z ，+)，其中Z 是整数集，+是数的加法 (B) (Q +，×)，其中Q +是正有理数集，×是数的乘法 (C) (Q ，+)，其中Q 是有理数集，+是数的加法(D) (P (A),⊕)，其中A ={a ,b },P (A)是A 的幂集，⊕是集合的对称差运算 二、填空题 1. 设R 是实数集，∀a ,b ∈R ,定义二元运算*：a *b =a +b +ab ,已知0∈R 是其单位元，那么∀a ∈R ,但a ≠－1，则a 的逆元是 .2. 设(R *, )是代数系统，其中R *＝R －{0}，二元运算 定义为abb a R b a =∈∀ ,,*,那么，a R a ,*∈∀的逆元是3. 设集合A ＝{1，2，3}，在A 上定义二元运算︒为：,,A b a ∈∀a ︒b =},min{b a ，则︒的运算表为︒ 1 2 3 1 2 34. 设S 是非空有限集合，P （S ）是S 的幂集，则代数系统<P (S ),⋃ >存在单位元是 三、解答化简计算题1. 设代数系统(R *, ︒)，其中R *是非0实数集，二元运算︒为：∀a ,b ∈R , a ︒b =ab. 试问︒是否满足交换律、结合律，并求单位元以及可逆元素的逆元.2. 验证H 2={e ,a 3}是6阶循环群G ={ e ,a 1,a 2,a 3,a 4, a 5}的子群．3. 验证代数系统(Z ,+)与(2Z ，+)同构．4. 设集合A ＝{1,2,3}，P (A )是A 的幂集合，⊕是集合的对称差运算．求运算⊕在P (A )上的单位元．∀x ∈P (A )，求x 关于运算⊕的逆元．并解方程{1,2}⊕y ={1}．四、证明题1. 设群(G ,*), 若∀a ∈G ,都有a 的逆元a －1=a ，则G 是交换群.2. 设R *=R －{0}，集合S 定义为},00{*R b a b a S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 证明代数系统(S ，*)是群，其中*是矩阵的乘法运算．3. 在整数集合Z 上定义二元运算︒：∀x ,y ∈Z , x ︒y =x +y －2，已知<Z , ︒>是半群，证明<Z ，︒>是群．4. 证明群(R ，+)与(R +，∙)同构，其中+和∙分别是数的加法和乘法．(提示：考虑函数f (x )=e x )群练习题参考答案一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 二、1. 1+-a a 2.a1 3.4. ∅三、1. ∀a ,b ,c ∈R *, a ︒b =ab =ba =b ︒a ，可交换； (a ︒b )︒c =ab ︒c =abc =a (bc )=a ︒(bc )=a ︒(b ︒c )，可结合. 易见，单位元为1.对∀a ∈R *, a ︒a －1=aa －1=1=a －1a ＝a －1︒a ，故a 的逆元：aa 11=-2. (1) H 2⊂G ．易验证∀x ,y ∈H 2,有xy ∈H 2．且在H 2上满足结合律． e 是其单位元，(e )－1=e ，(a 3)－1=a 3． 故H 2是G 的子群．3. ∀z ∈Z ，f (z )=2z ，有f ：Z →2Z ．∀z 1,z 2∈Z ，f (z 1+z 2)=2(z 1+z 2)= 2z 1+2z 2= f (z 1)+f (z 2) 所以，(Z ,+)与(2Z ，+)同态．又因为f (z )=2z 是双射函数，故(Z ,+)与(2Z ，+)同构． 4. ∀S ∈P (A)，S ⊕∅=∅⊕S =S ，故∅是单位元． ∀x ∈P (A)，x ⊕x =∅，故x 的逆元是它自己． 因为(1,2)的逆元是{1,2}，故y ={1,2}⊕{1}={2}． 四、1. 111,,)(,,,---==*=*∈*∈∀b b a a b a b a G b a G b a 由题设(3分) 于是有a b a b b a b a b a *====--------11111111)(*)()*()*(* 所以G 是一个交换群.2. 任取S 中的元素⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c y x b a00,00,00，其中a ,b ,x ,y ,c ,d ∈R *，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡byd axc yd xcb a dc y x b a byd axc d c by ax d c y x b a 0000*00)00*00(*000000*0000*)00*00(︒1 2 3 1 1 1 1 21 2 2 3123可见，*满足结合律，故(S ，*)是半群． 取E =S ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，∀A ∈S ，有AE ＝EA ＝A ．E 为S 的单位元．∀X ∈S ，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0，x ,y ∈R *，则存在⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001∈S ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x0*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001*⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 00=E ，即X －1＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡y x 1001．S 的每个元素都有逆元.故(S , *)是群． 3. 因为<Z ，︒>是半群，易见二元运算︒满足交换律．设幺元为e , ∀x ∈Z ，有x ︒e =x +e －2=x ，得到e =2∈Z ，幺元存在惟一；∀x ∈Z , x 的逆元记作x －1, x ︒x －1=x +x －1－2=2, 即x －1=4－x ∈Z ，即x 的逆元存在且惟一．所以，<Z ，︒>是群． 4.设f (x )=e x ，可知f ：R →R +．(1) ∈∀21,x x R ，)()(e e e )(21212121x f x f x x f x x x x ∙===++∈R +． 0和1分别是(R ，+)和(R +，∙)的单位元，有 f (0)=e 0=1对任意x ∈R ，x 关于+的逆元为－x ，而f (－x )＝e －x ＝)(11x f ex=．(2) f ：R →R +是双射函数．所以，(R ，+)与(R +，∙)同构．第6章 格与布尔代数及环、域练习题一、 单项选择题1.下列偏序集中是格的为( )2. 设布尔代数式c b a f ⋅+=，则f 的对偶式f *=( )(A) c b a ⋅+ (B) c b a ⋅+ (C) c b a +⋅ (D) c b a +⋅ 3. ( )是布尔代数． (A) 有余有界格 (B) 有余分配格 (C) 有界分配格 (D) 有余代数格 4. 设G 是非空集合，G 上二元运算︒和*，*对︒有左、右分配律，又满足( )，则(G ,︒,*)称为环．(A) (G ,*)是交换群，(G ,︒)是交换群 (B) (G ,*)是半群，(G ,︒)是半群(C) (G ,*)是群，(G ,︒)是群 (D) (G ,*)是半群，(G ,︒)是交换群二、 填空题1. 设代数系统(L ，︒，*)，若(L ，︒)是 ，(L ，*)是半群，又二元运算*对︒满足分配律，则(L ，︒，*)是环.2. 布尔代数式))(()1(c a b a +⋅+⋅的对偶式是3.在布尔代数中，有b a b a a +=⋅+)(成立，则其对偶式 一定成立．4. 若<G ,+,∙>是环，那么∀a ,b ∈G ，有 则称<G ,+,∙>是交换环． 三、解答化简计算题1. 设代数系统(Z ，+，×)，已知(Z ，×)是半群，验证(Z ，+，×)是环．2. 设(L ，*，︒)是有补格，∀a ,b ∈L ，化简表达式 (a *b )*(a '︒b ')(其中a ',b '分别是元素a ,b 的补元)3. 已知(L ，*，︒)是格，且二元运算*和︒满足分配律，∀a ,b ,c ∈L ，化简表达式 ((a *b )︒(a *c ))* ((a *b )︒(b *c ))4. 试作以下二题：(1)已知A ≠∅，则(P (A )，⋃，⋂，～，∅，A )是布尔代数，∀S ∈P (A )，求S 的补元，说明理由．（2）布尔代数(),,,+∙B ，其中}1,0{=B ，若B 上的三个变元的表达式c b c b a c b a E ++∙+=),,(求)1,1,0(E 的真值．四、证明题1. 设R 为实数集，证明(R ，＋)是交换群，(R ,×)是半群，且×对＋满足左、右分配律，即(R ，＋，×)是环．其中＋，×是普通加法和乘法．2. 设<S ,+,∙,,0,1>为一布尔代数，证明∀a ,b ∈S ，有b a b a a +=∙+)(；b a b a a ∙=+∙)((A)(B) (C) (D)格等代数系统习题参考答案一、 1. B 2. C 3. B 4. D二、1.交换群 2. ))(()0(c a b a ⋅+⋅+ 3. b a b a a ⋅=+⋅)( 4. a ∙b =b ∙a 三、1.只需验证(Z ，+)是交换群． 易验证整数具有结合律，交换律． 0是加法的单位元．(4分)∀k ∈Z ，∃－k ∈Z ，有 k +(―k )=(―k )+k =0Z 中每个元素有逆元．故(Z ,+)是交换群． 所以(Z ,+,×)是环．(8分)2. (a *b )*(a '︒b ')＝(a *b )* (a *b ) '=13. ((a *b )︒(a *c ))*((a *b )︒(b *c ))＝(a *b )︒ ( (a *c )* (b *c ))(分配律) =(a *b ) ︒((a *b )*c ) (幂等律) =a *b (吸收律)4. (1) 对任意S ， 因为S ⋃(A －S )=(S ⋃A )⋂(S ⋃~S )=A ，S ⋂(A －S )=S ⋂(A ⋂~S )=∅故S 的补元为A －S ．（2） 因为c b c b a c b a E ++∙+=),,(所以， E (0,1,1) =11110++∙+=1110++∙=0+1=1四、1. (1)∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )+z =x +(y +z ),满足加法 R 上满足加法结合律． (2) ∀x ,y ∈R ,有x +y =y +x ,满足加法R 上满足加法交换律．(3)R 中存在元素0，使得∀x ∈R ,有x +0 =0＋x , 加法单位元存在，为0． (4) ∀x ∈R , 存在－x ∈R ，使得x +(－x )=0，加法逆元存在，x －1=－x ． 可见(R ,+)是交换群； (5) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x ×y )×z =x ×(y ×z ),满足乘法结合律． 可见(R ,×)是半群； (6) ∀x ,y ,z ∈R ,有(x +y )×z =x ×z +(y ×z ), z ×(x +y )=z ×x +z ×y , 满足左、右分配律．二元运算×对＋满足左右分配律．总之，(R ，＋，×>是环． 2. b a b a b a a a b a a +=+∙=+∙+=∙+)(1)()()( b a b a b a a a b a a ∙=∙+=∙+∙=+∙0)()(第７章 图的基本概念一、 单项选择题1. 设V ＝{a ,b ,c ,d },与V 能构成强连通图的边集E ＝( )(A) {<a ,b >,<a ,c >,<d ,a >,<b ,d >,<c ,d >} (B) {<a ,d >,<b ,a >,<b ,c >,<b ,d >,<d ,c >} (C) {<a ,c >,<b ,a >,<b ,c >,<d ,a >,<d ,c >} (D) {<a ,d >,<b ,a >,<b ,d >,<c ,d >,<d ,c >} 2. 有向完全图D ＝<V ,E >, 则图D 的边数是( )(A)2)1(-E E (B)2)1(-V V (C) ∣E ∣(∣E ∣－1) (D) ∣V ∣(∣V ∣－1)3. n 阶无向完全图K n 中的边数为（ ） (A)2)1(-n n (B)2)1(+n n (C) n (D)n (n +1)4. 给定无向图G 图5－1所示，下面给出的顶点集子集中，不是点割集的为（ ）(A) {b ,d } (B) {d } (C) {a ,c } (D) {g ,e } 5. 下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)二、 填空题1.设有向图D ＝<V ,E >的邻接矩阵为A (D )=0110101000010110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么∣E ∣＝ . 2. 无向图G (如图5－2)的关联矩阵M (G )=3. 数列{2，3，3，4}不能构成无向简单图的度数列，此命题的真值为4. 在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和与第j 列元素之和分别为 ．5. 图G 如图5－3，那么图G 的割点是6. 有16条边，每个顶点都是2度顶点的无向图有个顶点．三、解答化简计算题 1. 设图G 如图5－4所示．已知通路(1) v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3(2) v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5 (3) v 2e 7 v 5e 6 v 2(4) v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5试回答它们各是简单通路、简单回路、 初级通路还是初级回路．a gb d fc e 图5－ 1 v 2e 2 v 3 e 1 e 3 v 1 e 4 v 4 图5－2a bf ce d图5－3 v 1 e 1 e 5 v 2 e 6 v 5 e 2 e 7 e 4 e 8v 3 e 3 v 4 图5－42. 指出有向图D(如图5－5)中各图是强连通，单侧连通还是弱连通？3. 找出无向图G（如图5－6所示）中的一个点割集，三条边和四条边的边割集各一个．4. 已知有向图D(如图5－7)的邻接矩阵为A(D)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111求从v2到v4长度为2和从v3到v3长度为2的通路条数，并将它们具体写出.5. 设图G＝<V，E>，其中V＝{a,b,c,d,e}, E={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图G的图形，并指出图G是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.6. 设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．四、证明题1. 若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．2 证明在任何有向完全图中，所有结点的入度平方之和等于所有结点的出度平方之和．(1)(2)(3)(4)(5)图5－5a bce d图5－6v4 v3v1 v2图5－7图的基本概念习题参考答案一、1. A 2. D 3. A 4. A 5. B二、1. 7 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11001101101001 3. 1 4.结点v i 的出度与结点v j 的入度 5. a , f 6. 16 三、1. (1) 初级通路； (2) 简单回路； (3) 初级回路； (4) 简单通路．2. 强连通图为：图5－5的(1),(4),(5)；单侧连通图为：如图5－5的(1),(2),(4),(5)，或图5－5的(2)； 弱连通图为：图5－5(1)～(5)，或图5－5的(3).．3. 点割集：{a ,c ,d }(不惟一) 三条边的边割集：{(b ,c ),(c ,e ),(c ,d )}(不惟一) 四条边的边割集：{(a ,b ),(a ,d ),(d ,e ),(c ,e )}(不惟一)4.. A 2(D )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2120020221201212从矩阵A 2(D )中a 24=2,a 33=2可知，从v 2到v 4长度为2的通路有2条. 它们是： v 2v 3v 4,和v 2v 1v 4, 从v 3到v 3长度为2的通路有2条. 它们是： v 3v 4v 3,和v 3v 2v 3,5. 图G 如图5－8.图G 中既无环，也无平行边，是简单图.图G 是连通图. G 中任意两点都连通. 6. 设图G 有x 个结点，有握手定理 2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2271821243=-+=xx ＝9 图G 有9个结点． 作图如图5－10四、1. 用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通． 即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．ab ec d图5－8 图5－10第七章几种特殊图练习题一、 单项选择题1. 以下命题真值为1的是( )(A) 无向完全图都是欧拉图 (B) 有n 个结点n －1条边的无向图都是树 (B) 无向完全图都是平面图 (D) 树的每条边都是割边 2. 有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 无向完全图K 4是（ ）（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 （D ）非平面图 4. 以下各图中存在哈密顿回路的图是 ( )5. 设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． (A) e －v ＋2 (B)v ＋e －2 (C)e －v －2 (D) e ＋v ＋26. 无向图G 是欧拉图，当且仅当( )(A) G 中所有结点的度数全为偶数 (B) G 中所有结点的度数全为奇数 (C) G 连通且所有结点的度数全为偶数 (D) G 连通且所有结点的度数全为奇数 7. 设G 是有6个结点的无向完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15二、填空题1. 无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是2. 设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ．3. 图G （如图6－1所示）带权图中最小生成树的权是4.在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri i r 1)deg(＝ ,其中r i (i =1,2,…,r )是图G 的面．5. 设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．6. 设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是三、解答化简计算题1. 设无向图G ＝<V ,E >, 那么图G 中∣V ∣与∣E ∣满足什么条件，图G 一定是树.2. 图G (如图6－2)能否一笔画出？说明理由. 若能画出，请写出一条通路或回路.3. 给定三个图如图6－3所示，试判断它们是否 为欧拉图、哈密顿图、或平面图？并说明理由．(A) (B) (C) (D)∙2 2 3∙ 1 ∙7 9 2∙ 8 ∙ 6 图6－1v 5 d v 4 v 1 v 2 v 3 图6－2 e f n c a h g b。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
《离散数学》练习题
第二部分:.集合1.若集合A 上的关系R 是对称的，则1R -也是对称的。
( )2.数集合上的不等关系()≠可确定A 的一个划分。
( )3.设A ，B ，C 为任意集合，若A B A C ⨯=⨯，则 B C =。
( )4.函数的复合运算“。
”满足结合律。
( )5.A ，B ，C 为任意集合，若 A B A C ⋃=⋃ 则B C =。
( )6.设R 是实数集，R 上的关系R (){},2,,x y x y x y R =-<∈，则R 是相容关系。
() 7.设,A ≤是偏序集，B A ⊆，则B 的极大元b B ∈且唯一。
( )8.设{}1,2A =，{}B a =，则()222A B A B ⋃⋃=。
（注 其中 2A 为()A ϕ） ( )9.设 {}0,1A =，{}1,2B =， 则{}20,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0,2A B ⨯=。
( )10.集合A 上的恒等关系是一个双射函数。
( )11.设A ，B 为任意集合，不能A B ⊂ 且A B ∈。
( )12.设R 是集合A 上的关系，若12,R R 是对称的， 则 12R R 也是对称的。
( )1. 设A ＝{}∅，B ＝(())P P A ，下列各式中哪个是错的 ( )A. B ∅⊆B. {}B ∅⊆C. {{}}B ∅∈D. {,{}}()P A ∅∅⊆2. 设Z 为整数集，下面哪个序偶不构成偏序集 ( )A. Z,<〈〉 (<：小于关系)B. Z,〈≤〉 (≤：小于等于)C. Z,=〈〉 (＝：等于关系)D. Z,|〈〉 (|：整除关系)3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{},4,3,4,2,3,2,1,1=R则R 具有 ( )A.自反性B.对称性C.传递性D. 以上答案都不对4. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 （ ）A.{}{}{}d c b a ,,,,ΦB. {}{}d c b a ,,,C. {}{}{}{}d a c b a ,,,,D. {}{}{}c b a ,,5. 设A ＝∅，B={∅,{∅}}，则B A -是 ( )A. {{∅}}B. {∅}C. {∅,{∅}}D. ∅6. 下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为 ( )A. b,cB. a,bC. bD. a,b,c7. 设集合{}{}ΦΦ=,A , 则A 的幂集为： ( )A. {}{}ΦΦ, B. {}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, C. {}{}{}{}ΦΦΦ,, D. {}{}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, 8. 若Q P Q P ⋃=⋂, 则P, Q 要满足的条件为 （ ）A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. Q 为空集D. P=Q``````````````````````````````9. 在０ ∅之间应填入的符号为 ( )A. ＝B. ⊂C. ∈D. ∉10. 设,A 〈≤〉是偏序集，B A ⊆，下面结论正确的是 ( )A. B 的极大元b B ∈且唯一B. B 的极大元b A ∈且不唯一C. B 的上界b B ∈且不唯一D. B 的上确界b A ∈且唯一11. 集合{}4,3,2,1=I , I 上的关系 R={4,43,44,1,3,3,3,2,23,1,1,1，则R 是 （ ）A. 反对称的B. 传递的C.反自反的D. 自反的12. 设S A B ⊆⨯，下列各式中哪个是正确的 ( )A. domS B ⊆B. domS A ⊆C. ranS A ⊆D. domS ranS S ⋃=13. 设A ＝｛1,2,3,4,5｝，下面哪个集合等于A ( )A. ｛1,2,3,4,5,6｝B. {x |x 是整数且225x ≤}C. {x |x 是正整数且5x ≤}D. {x |x 是正有理数且5x ≤}14. 设A ＝｛｛1,2,3｝,{4,5},{6,7,8}｝，下列各式中哪个是错的 ( )A. A ∅⊆B. {6,7,8}A ∈C. {{4,5}}A ⊂D. {1,2,3}A ⊂15. 设集合X ≠∅，则空关系X ∅不具备的性质是 ( )A. 自反性B. 反自反性C. 对称性D. 传递性``````````````````````````````````````````````16. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为 ( )A. 全序关系B. 等价关系C. 偏序关系D. 拟序关系17. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 ( )(A) {}{}{}d c b a ,,,,Φ (B){}{}d c b a ,,, (C) {}{}{}{}d a c b a ,,,, (D) {}{}{}c b a ,,18. 设集合A ＝{0, b }, B ={1, b , 3}, 则A ⋃B 上的恒等关系是 ( )(A) {<0, 0>, <1, 1>, <3, 3>} (B){<0, 0>, <1, 1>, <b , b >,<3, 3>}(C) {<1, 1>, <b , b >, <3, 3>} (D) {<0, 1>,<1, b > , <b , 3>, <3, 0>}19. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}20. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B21. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅22. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是 ( )A. 并集A RB. 交集A RC. 差集A R -D. 商集/A R23. 设1R 和2R 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是 ( )A. 若1R 和2R 是自反的，则12R R 也是自反的B. 若1R 和2R 是反自反的，则12R R 也是反自反的C. 若1R 和2R 是对称的，则12R R 也是对称的D. 若1R 和2R 是传递的，则12R R 真也是传递的24. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}25. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B26. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅27. 集合A 上的关系R 是相容关系的必要条件是 ( )A. 自反的，反对称的B. 反自反的，对称的C. 传递的，自反的D. 自反的，对称的28. 集合{1,2,,10}A = 上的关系R={x,y |x+y=10 x,y }A ∈且则R 的性质为 ( )A. 自反的B. 对称的C. 传递的，对称的D. 反自反的，传递的29. 下面关于集合的表示中，正确的是 ( )A. 0φ=B. {}φφ∈C. φφ∈D. {,}a b φ∈30. 设{}c b a A ,,=，{}2,1=B ，则从A 到B 的所有函数集合中有 个函数。
离散数学综合练习题
离散数学综合练习题一、多项选择题（每题3分，共33分）1．下列语句中不是命题的有（ ）⑴ 9+5≤12 ； ⑵ x+3=5； ⑶我用的计算机CPU 主频是1G 吗？ ⑷ 我要努力学习。
2．命题“我不能一边听课，一边看小说”的符号化为（ ）⑴ Q P ⌝→ ； ⑵ Q P →⌝； ⑶ P Q ⌝∧⌝ ； ⑷ )(Q P ∧⌝。
3．下列表达式正确的有（ ）⑴ Q Q P ⌝⇒→⌝)(； ⑵ P Q P ⇒∨ ； ⑶ P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()(； ⑷ T Q P P ⇔→→)(。
4．n 个命题变元可产生（ ）个互不等价的极小项。
⑴ n ； ⑵ n 2； ⑶ 2n ； ⑷ 2n。
5．若公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式为111110011001m m m m ∨∨∨则它的主合取范式为（ ）⑴ 111110011001m m m m ∧∧∧ ； ⑵ 101100010000M M M M ∧∧∧ ；⑶111110011001M M M M ∧∧∧； ⑷ 101100010000m m m m ∧∧∧ 。
6．命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化 （P(x)：x 是聪明的，M(x)：x 是人） （ ）⑴ )))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧→∃ ⑵ )))()((())()((x P x M x x P x M x ∧∀⌝∧∧∃ ⑶ )))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧∧∃ ⑷)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∨∧∃7．求在1和100之间（1和100包含在内）能被5整除，但不能被4和6整除的数的个数为（ ）(1) 18； （2）19； （3）20； （4） 21 8．A 是素数集合，B 是奇数集合，则A-B=（ ）⑴ 素数集合； ⑵ 奇数集合； ⑶ Φ； ⑷ {2}。
离散数学练习题及答案
一、填空题1、集合的表示方法有两种： 法和 法。
请把“奇整数集合”表示出来{ }。
1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 ，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是 通路. 边不重复的通路是 通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。
离散数学数理逻辑期末练习题
数理逻辑1、下列解释中只有_______使公式(p q)r ↔→成假。
(A ) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B ) (p ,q ,r )＝(1,0,1) (C ) (p ,q ,r )＝(0,1,0)(D ) (p ,q ,r )＝(0,0,1)2、下列解释中只有_______使公式p q r ↔∨成真。
(A) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C) (p ,q ,r )＝(1,0,0)(D) (p ,q ,r )＝(0,1,1)3、下列解释中只有_______使公式r q p ∨→成假。
(A ) (p ,q ,r )＝(1,0,0) (B ) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C ) (p ,q ,r )＝(1,1,0)(D ) p ,q ,r )＝(0,0,0)4、下列公式是重言式的是（ ）。
()()A. P Q P Q ⌝∧→∨ ()P P Q →∧B.()P Q Q ⌝→∧C.()P P Q →∨D.5、 下列公式是重言式的是（ ）。
()()A. P Q P Q ⌝∧→∨()()()()P Q P Q Q P ↔↔→∧→B. ()P Q Q ⌝→∧C.()P P Q ⌝→∨D.6、下列解释中只有_______使公式r q p ∧→成假。
(A) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C) (p ,q ,r )＝(1,1,0)(D) (p ,q ,r )＝(1,1,1)7、下列解释中只有_______使公式r q p →∨成假。
(A ) (p ,q ,r )＝(0,0,0)(B ) (p ,q ,r )＝(0,1,1) (C ) (p ,q ,r )＝(1,0,0)(D ) (p ,q ,r )＝(1,1,1)8、下列解释中只有_______使公式r q p →→)(成真。
离散数学练习题
离散数学练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、填空题（10分，每空1分，请将本题答案填在原题横线．．．．上！）1、设集合X={0，1，2}，R 是X 上的二元关系，R={<0，0>，<0，2>，<1，2>，<2，0>，<2，1>}，则R 的关系矩阵M R = 。
2、66,Z <⊕>为模6整数加群， 则由2生成的子群<2>= ，右陪集<2>⊕65= 。
3、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数。
4、无向图G 如下图所示，G 的点连通度κ为 ，边连通度λ为 。
5、在上面无向图中，已给出了一棵生成树T （粗边所示），则树枝d 对应的基本割集是 ，弦b 对应的基本回路是 。
6、令F(x)： x 是整数，G(x)：x 是奇数，则“不存在不是奇数的整数”符号化为 。
7、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 （用m i 形式表示最小项）。
二、单选题（20分，每题1分，请将本题答案写在下方表格．．．．中！）A 、{}1111,110,10,0B 、{}01,001,000,10C 、{}1101,1001,101,110,D 、{}abc aba ac aa c b ,,,,,2、下列( )组赋值不是命题公式C ()A B →∨⌝的成真赋值。
A 、010B 、011C 、110D 、1013、设A={a ，b ，c ，d}，A 上的等价关系R={<a ，b>，<b ，d>，<d ，a>}∪R -1∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ ）。
A 、{{a ，b}，{c ，d}}B 、{{a ，b ，d}，{c}}C 、{{a}，{b}，{c}，{d}}D 、{{a}，{b ，c}，{d}} 4、二部图3,3K 是( ) 。
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模拟题一、选择与填空题：1．设<A，+，⨯>是代数系统，其中+和⨯为普通的加法和乘法，则当A= 时，<A，+，⨯>是域。
①{x|x是整数} ②{x|x≥0，x是有理数} ③{x|x≥0，x是实数}④{x|x是偶数} ⑤{x|x=a+b2，a, b是有理数}2．设G是由6个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有_______个子群，G的生成元是________________。
3．∅∩{∅} = ，{∅，{∅}}-{∅} = 。
4．设集合A={a，b，c，d，e，f，g}，π={{a，b}，{c，d，e}，{f，g}}是A上的一个划分，则π所对应的等价关系R应有个有序对。
①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27 5．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算），(1)G为整数集合；(2)G为偶数集合；(3) G为有理数集合；(4) G为自然数集合。
其中，不是群。
6．设G为任意的连通平面图，则有n-m+r = ；若G是简单连通平面图(n≥3)，则m≤；若G是简单连通平面图(n≥3)，且G是二部图，则m ≤。
（其中n表示顶点数，m表示边数，r表示平面数。
）7．一棵树T中有2个2度顶点，3个3度顶点，4个4度顶点，且没有大于4度的顶点，那么T中有片树叶。
8．设有下列集合，A ={0，10，110，1111}，B ={1，01，001，000}，C ={1，11，101，001，0011}，D ={b，c，aa，ac，aba，abb，abc}，则是前缀码。
9．设集合A={a，b，c}，R={<a，a>，<a，b>，<a，c>，<c，a>}，则R是。
①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的10．在图1所示的二部图中，其最大匹配含有条边。
图111．设<A ，≤>是格，其中A ={1，2，3，4，6，8，12，24>，≤为整除关系，则3的补元是 ，8的补元是 ，1的补元是 。
离散数学练习题
离散数学练习题Chapter 1 集合、映射与运算1. 下列集合运算的结果中与其余三个不同的是（）.（A ）{}ΦΦ（B ）{}{}ΦΦ（C ）{}{}{}Φ-ΦΦ, （D ）{}{}{}{}Φ-ΦΦ, 2. 设A 为⾮空集合,则下列各式中正确的是（）.（A ）)(A P A ? （B ）)(A P A ? （C ）{})(A P A ∈（D ）{})(A P A ? 3. ( )是错误的.（A ）{}{}{}a a ∈（B ）{}{}{}a a a ,∈（C ）{}{}{}a a a ,? （D ）{}{}{}a a ? 4. 设{}{}a a A ,=,下列各式中错误的是（）.（A ）{}()A P a ∈（B ）{}()A P a ? （C ）{}{}()A P a ∈（D ）{}{}()A P a ? 5. 设{})(,A P B A =Φ=,则A B -是（）. （A ）Φ（B ）{}Φ（C ）{}{}Φ（D ）{}{}ΦΦ, 6. 对任⼀集合A ,能成⽴的是（）.（A ）)(A P A ∈（B ）{})(A P A ∈（C ）Φ-∈A A （D ）Φ⊕∈A A 7. 证明a) A C B A C A B -=--)()()( b) )()()(C B C A C B A ---=-- c) ()()()C A B A C B A -=-- 8. 下列等式说明集合A,B 有何关系? a) A B A =b) A B A =c)A B A =-d) A B B A =e) A B B A -=-9. 判断题.（1）设2N ,3N 分别为2,3的倍数集,则{}N N 3,2是N 的划分. （）（2）若{}A B B A -, 是B A 的⼀个划分,则Φ=-B A . （）（3）若Φ==B A B B A ,,则Φ=A . （）（4）若A B B A ?=?,则B A =. （）（5）设B A ,为任意集合,则有()()()B P A P B A P = （）（6）若Φ=-B A ,则B A =.（）10. 求1000~1中能被8,6,5之⼀整除的整数个数.11. 在校运会中,某班有10⼈,12⼈,8⼈分别参加了长跑,短跑和跳远,其中有6⼈三项全参加.已知该班共40⼈,问该班⾄少有多少⼈没有参加任何项⽬？12. 设}}{{5,2,1,4,3,2,1==B A ,求)()(B P A P ⊕.参考答案： 1-6：CDDBCA7. a) ()()()右左===A C B A C A B b)右=()()()()()()()C B A C C A B C A C B C A C B C A ====左c)左=()()()()()C A B A C B A C B A C B A ===-=右 8. a)A B ?, b)B A ?, c)Φ=B A , d)⽆, e)B A = 9.×√√××× 10. 20051000=, 16661000=,12581000=, 33651000=?,25851000=?,41241000=,81201000=??200+166+125-33-25-41+8=40011.40-(10+12+8-6-6-6+6)=2212.16Chapter 2 关系1. 设S R ,是集合A 上的等价关系,则是等价关系. （）（A ）R A A -? （B ）2R （C ）S R - （D ）()S R r -2. 设A 为某⼀⾮空集合,)(A P 为A 的幂集,在)()(A P A P ?上定义函数:f ()=21,S S f ()2121,S S S S ,)(,21A P S S ∈?,则f 是 .（）（A ）单射但不是满射（B ）满射但不是单射（C ）双射（D ）既⾮单射⼜⾮满射3. 集合A 上的关系21,R R 具有下列哪个性质,使21R R 也具有同样的性质？（）（A ）⾃反（B ）反⾃反（C ）对称（D ）传递4. 设4=A ,则A 上有个等价关系. （）（A ）11 （B ）14 （C ）15 （D ）175. 若A 上的函数f 满⾜A I f=2,则f 是双射. （） 6. 若A 上的函数f 满⾜A I f =3,则f 是双射. （） 7. 若集合A 上的关系21,R R 都是⾃反的,则21R R 也是⾃反的.（）8. 设n A =,则A 上有个关系,有个⾃反关系,有个函数,有个双射.9. 设集合{}c b a S ,,=,求S 上所有满⾜b a f =)(且f f=2的函数10. 已知(){}1,,,=-∈=i j I j i j i R ,求R 的三种闭包. 11. 设n A =,则A 上有多少商集的基数为2的等价关系？ 12. 设{}4,3,2,1=A ,在)(A P 上规定关系R 如下：(){}T S A P T S T S R =∈=),(,,,证明R 是)(A P 上的等价关系,并写出商集R A P /)(.13. +I 上的关系R 定义如下：21Rn n 当且仅当21/n n 能表⽰成m2的样⼦, m 是任⼀整数.（1）证明R 是⼀等价关系；（2）R 下的等价类是什么？参考答案：1 B2 D3 A4 C 5√ 6√ 7√ 8. ()!,,2,222n n n nnn -9.()()(){},,,,,,1b c b b b a f =()()(){}c c b b b a f ,,,,,2=10. (){}r R i j i j I j i or j i (),,,1=∈-==(){}s R i j i j I j i (),,,1=∈-=(){}t R i j i j I j i (),,,=∈>11.12)(211121-=++--n n n n n C C C 12. R 满⾜⾃反、对称、传递性,所以是等价关系；(){}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{4,3,2,1,4,3,2,4,3,1,4,2,1,3,2,1 ,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,4,3,2,1,/Φ=R A P13. （1）02/=n n ,所以⾃反;m m n n n n -=?=2/ 2/1221,所以对称；lm l m n n n n n n +=?==2/2/,2/313221, 所以传递,所以R 是等价关系（2）[]{}++∈-=I n n R I 12 /RChapter3 命题逻辑单项选择:1. 下列哪个语句是命题？（）（A ）⼈可以长⽣不⽼. （B ）真没劲！（C ）本命题为假. （D ）你吃过了吗？2. 下列语句中哪个是真命题？（）（A ）我在说假话. （B ）如果1+2=3,那么雪是⿊的.（C ）严禁吸烟！（D ）如果疑问句是命题,那么地球将停⽌转动. 3. 下⾯哪个公式不是永真式？（）（A ）()Q P Q ∨→（B ）()P Q P →∧（C ）()()Q P Q P ∨?∧?∧? （D ）()()Q P Q P ∨??→ 4. 下⾯哪个公式是永真式？（）（A ）R Q P ∨→（B ）()()R P Q P →∧∨（C ）()()R Q Q P ∨?∨（D ）()()Q P Q P ∨??→ 5. 是错误的. （）（A ）()P P Q P ∨∧= （B ）()()P Q R P Q R→→=∧→（C ）()()()P Q R Q P R Q →∧→=∨→（D ）()()P Q Q R P R →∧→=→填空题：1. 公式()()()R P Q Q P ∧?→??→可化简为 .2. 公式()()R P Q P P →∨→?∨可化简为 .3. 公式Q P ∨的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .4. 公式Q P ∧的仅⽤→和?表⽰的逻辑等值式为 .计算或证明:1. 求下列公式类型：（1） )()(P Q Q P ?→?→→（2）)()(Q P Q p ∨?→? （北师⼤2000年考研试题）2. 给出真值表：(a) )()(Q P Q P ∧→∨ (b) )(R Q P ∨?→3. 形式证明：()()()E B S A B C F E C B A →??∧→?→?→∧→,,4. 形式证明：()()D C B A →∧→,E B →,F D →,()F E ∧?,C A → ? A ?.5. ⽤推理规则说明()C A C B B A ∧∧?→,,能否同时为真.6. 在某次研讨会的中间休息时间,3名与会者根据王教授的⼝⾳猜测他是哪⾥⼈：甲说王教授不是苏州⼈,是上海⼈；⼄说王教授不是上海⼈,是苏州⼈；丙说王教授既不是上海⼈,也不是杭州⼈.听完3⼈的判断后,王教授笑着说,3⼈中有⼀⼈说得全对,有⼀⼈说对了⼀半,另⼀⼈说得全不对.试⽤真值表⽅法判断王教授到底是哪⾥⼈？7. 公安⼈员审查⼀件盗窃案.已知的事实如下： (1) 甲或⼄盗窃了名画；(2) 若是甲盗窃了名画,则作案时间不可能在午夜前； (3) 若⼄的证词正确,则午夜时屋⾥灯光未灭； (4) 若⼄的证词不正确,则作案时间在午夜前； (5) 午夜时屋⾥灯光灭了,将各命题符号化,推断是谁盗窃了名画,并⽤形式⽅法证明推理的有效性.8. 将下⾯推理符号化并形式证明推理的有效性：如果甲努⼒⼯作,那么⼄或丙感到愉快；如果⼄愉快,那么甲不努⼒⼯作；如果丁愉快,那么丙不愉快；所以,如果甲努⼒⼯作,那么丁不愉快.参考答案：选择1-5: A D C D D 填空：1.()()()P Q Q P R R R 1→??→?∧=∧=；2. ()()R P Q P P →∨→?∨=()()R P Q P P →∨?∧∨()P P R P P R ()1=∨→=∨?∨= 3. P Q P Q ∨=?→4. P Q P Q P Q ()()∧=??∨?=?→?.计算证明：1．解（1）)()(P Q Q P ?→?→→=)()(P Q Q P ?∨→∨? =)()(P Q Q P ?∨∨?∧=)()(P Q Q P Q P ?∨∨?∧?∨∨=1 永真式(2) 若P 和 Q 都为真, 命题为假; 若P 和 Q 都为假, 命题为真, 因此为中性式. 3．证（1） B P(附加) （2） ()S A B ?∧→ P（3） S A ?∧ T （1）,（2）I （4） A T （3）I （5） ()C B A ∧→ P （6） C B ∧ T （4）,（5）I （7） C T （6）I （8） ()C F E ?→?→ P（9） ()F E ?→? T （7）,（8）I （10） ()F E ?∨?? T （9）E （11） F E ∧ T （10）E （12） E T （11）I（13） E B →CP 4．证(1) A P(附加) (2) ()()D C B A →∧→ P(3) B A → T(2)I (4) B T(1),(3)I (5) E B → P(6) E T(4),(5)I (7) C A → P(8) C T(1),(7)I (9) D C → T(2)I (9) DT(8),(9)I(10) F D → P(11) F T(9),(10)I (12) F E ∧ T(6),(11)I (13) ()F E ∧?P(14) ()()F E F E ∧?∧∧ T(12),(13)I 5．解（1）C A ∧ P（2）A T （1）I （3）B A → P（4）B T （2）,（3）I （5）C T （1）I（6）C B ∧ T （4）,（5）I （7）()C B ∧? P（8）()()C B C B ∧∧∧? T （6）,（7）I 所以不能同时为真. 6.解甲⼄丙是杭州⼈是苏州⼈是上海⼈01∧ 01∧ 01∧ 00∧ 11∧ 11∧ 11∧ 00∧ 10∧所以是上海⼈.7．解设：:P 甲盗窃了名画；:Q ⼄盗窃了名画；:R 作案时间在午夜前；:S ⼄的证词正确；:T 午夜时灯光灭了. T R S T S R P Q P , , , ,→??→?→∨证（1）TP（2）T S ?→ P（3）S ?T （1）,（2）I （4）R S →? P （5）R T （3）,（4）I（6）R P ?→P（7）P ?T （5）,（6）I （8）Q P ∨P（9）Q T （7）,（8）I 所以是⼄盗窃了名画.8．解设P ：甲努⼒⼯作；Q ：⼄感到愉快；R ：丙感到愉快；S ：丁感到愉快.S P R S P Q R Q P ?→??→?→∨→ , ,证：（1）PP(附加)（2）R Q P ∨→ P （3）R Q ∨ T （1）,（2）I（4）P Q ?→P（5）Q ?T （1）,（4）I （6）R T （3）,（5）I （7）R S ?→ P（8）S ?T （6）,（7）I（9）S P ?→CPChapter 5 群单项选择:1. 下列集合中, 对普通加法和普通乘法都封闭. （）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n∈22. 在⾃然数集N 上,下⾯哪种运算是可结合的？（）（A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3. 有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（）（A ）ba b a =*（B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4. 下列代数系统,哪个是独异点？（）（A ）()22,,b a b a R +=（B ）()333,,b a b a R +=**（C ）()max ,I （D ）()表⽰最⼤公约数GCD GCD I ,,+.5. 下列各个N 的⼦集,哪个关于加法封闭？（）（A ）{}整除的某次幂能被6x x （B ）{}互质与5x x（C ）{}的因⼦是30x x（D ）{}N n x x n∈=,26. 下列运算中,哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（）（A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*7. 运算*定义为： b a b a ?=*,则代数系统()*,R 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 8. 设{}1,0=S ,则代数系统()?,S 是（）（A ）半群（B ）独异点（C ）群（D ）交换群 9. 具有多个幂等元的半群,它（）（A ）不能构成群（B ）不⼀定能构成群（C ）必能构成群（D ）能构成交换群10. 设实数集R 上的运算*定义为：x y x =*,则()*,R （）（A ）不是代数系统（B ）是半群,但不是独异点（C ）是独异点,但不是群（D ）是群.11. 运算*定义为:ab b a b a -+=*,则代数系统()*,Q 的单位元是（）（A ）a （B ）不存在（C ）1 （D ）012. 代数系统()*,R 中*表⽰普通乘法,下列映射中是R R →的⼀个⼦集的同态. （A ）2x x →（B ）x x 2→（C ）xx 2→（D ）x x -→是⾮题1. 设),(*S 是代数系统,S B ?,则()*,B 是),(*S 的⼦代数系统. （）2. 设),(*S 是代数系统,S a ∈,若a 的左、右逆元均存在,则必相等.（）3. 若代数系统的右零元存在,则必唯⼀. （）4. 若()()**,,,B A 都是群()*,G 的⼦群,则()*?,B A 也是()*,G 的⼦群.（）5. 设),(*S 是半群,若l θ是左零元,则对l x S x θ*∈?,仍是左零元.（）6. 设),(*S 为可交换独异点,{}x x x S x x T =*∈=,,则T 也是独异点.（） 7. 设),(*G 为独异点,若对,,e a a G a =*∈?有其中e 是单位元,则),(*G 是交换群.（）8. 除了单位元以外,⼀个群没有其他幂等元. （） 9. 设{}I n m G n m ∈=,23,则()?,G 是群. （）计算与证明1．设{}0-=*R R ,在R R ?*上定义运算*如下: ()()()d bc ac d c b a +=*,,,,()()R R d c b a ?∈?*,,,,证明: ()*?*,R R 构成群. 2. 设()*,G 是群,若对任意G x ∈,有x x=-1,则()*,G 是交换群.3. 设()*,A 是⼀个半群,且满⾜以下条件：A b a b a a b b a ∈?=?*=*,,,证明：（1）A a ∈?,有a a a =*；（2）A b a ∈?,,有a a b a =**；（3）A c b a ∈?,,,有c a c b a *=**.4. 设u 是群()*,G 中取定的元素,在G 中定义运算b u a b a **=-1: ,其中1-u 为u 在群()*,G 中的逆元.证明：() ,G 也是⼀个群.5. 设()*,G 是交换群,()()**,,,B A 是它的⼦群,{}B b A a b a ABC ∈∈*==,,证明：()*,C 也是()*,G 的⼦群.6. 设()*,1H ,()*,2H 是群()*,G 的两个互不包含的⼦群.证明:G 中存在元素既不属于1H ⼜不属于2H .参考答案CBDBADABABDA FFFTTTTTT1．证 (1) 运算*在R R ?*上封闭,所以()*?*,R R 构成代数系统； (2) ()()()()),(,),(,,f e d bc ac f e d c b a *+=**()()f de bce ace f e d bc ace ++=++=,)(,,()()()()f de ce b a f e d c b a +*=**,,),(),(,()f de bce ace ++=,,所以满⾜结合律；(3)单位元()0,1=e ； (4) ()??-=-a b a b a ,1,1综上所述, ()*?*,R R 构成群.2．证 ()()x y x y y x y x *=*=*=*---111,即*可交换.3．证（1）由结合律,()()a a a a a a a a a *=?**=**；（2）()()()()a b a a a a b a a a b a a b a a a b a a **=?***=***=***=***；（3）)()(c a c b a ****c b a c a c b a **=****=)()()()()(c b a c a c b a c a ****=****=, ? c a c b a *=**.4. 证由*的封闭性可以得到的封闭性,结合律显然,关于的⼳元为u ,a 关于的逆元为u a u **-1,其中1-a 为a 关于*的逆元.5. 证（1）C d c b a ∈**?,,即 B d b A c a ∈∈,,,,因为()()**,,,B A 是群,B d b A c a ∈*∈*, ,⽽*可交换, ()()()()()()C d b c a d b c a d c b a d c ∈***=***=***=***∴b a , 即*在C 中封闭;（2）C e e e ∈*= 所以C 有单位元;（3）()C b a a b b a ∈*=*=*-----11111,所以C 中的元素可逆; （4）*在C 中显然满⾜结合律 . 综上所述,()*,C 构成()*,G 的⼦群.6. 证因为1H ,2H 互不包含,所以1H a ∈?但2H a ?,2H b ∈?但1H b ?,若1H b a ∈*,则11)(H b a a b ∈**=-,⽭盾,故1H b a ?*；同理,2H b a ?*,所以21H H b a ?*.chap6,7 图论补充练习1. 在任何图中必有偶数个的结点. （ B ）（A ）度数为偶数（B ）度数为奇数（C ）⼊度为偶数（D ）出度为偶数2. 下列序列中,哪⼀个可构成简单⽆向图的结点度数序列？（ B ）（A ）()3,2,2,1,1 （B ）()2,2,2,1,1 （C ）()3,3,3,1,0 （D ）()5,4,4,3,23. 设()m n ,图G 中有k N 个k 度结点,其余均为1+k 度结点,则k N 为（ C ）（A ）2n（B ）()1+k n （C ）()m k n 21-+ （D ）()m k n -+1 4. 附图不是 .（ C ）（A ）欧拉图（B ）哈密尔顿图（C ）⼆部图（D ）完全图1．证明：有k 个连通分⽀的简单⽆向图⾄多有)1)((21+--k n k n 条边．证设分⽀i G 是()i i m n ,图,k i ,,1 =,则()121-≤i i i n n m ,()11--≤≤k n n i ,∑==ki in n 1, ()()()()()k n k n n k n n n m m ki i k i k i i i i -+-=-+-≤-≤=∴∑∑∑===1211121121 1112. 设G 是边数30假设()n i v i ,,1,5deg =≥，由握⼿定理，()∑≥=n v m i 5deg 2，所以652363-?≤-≤m n m ,于是30≥m ,与已知条件⽭盾,于是结论成⽴. 3. 设G 是简单平⾯图,证明G 中⾄少有⼀个结点的度数⼩于等于5.证不妨设G 连通，否则考察G 的⼀个连通分⽀．设G 有n 个结点，m 条边，k 个⾯．若2≤m ，因为G 是简单图，结论成⽴；若3≥m ，()3≥∴i F d ，m k k m 32,32≤≥；假设()n i v d i ,,1,6 =≥，则n m 62≥，n m 3≥，由欧拉公式，032312=+-≤+-=m m m k m n ，⽭盾．4. 设G 为阶数11≥n 的简单⽆向图,且G 和G 均连通.证明：G 或G ⾄少有⼀个不是平⾯图.证 (反证)假设()1,m n G 和()2,m n G 都是平⾯图，⽽11≥n ，所以632,1-≤n m ,⽽()12121-=+n n m m ，所以()126121-≤-n n n ，或024132≤+-n n , 所以，1127313 <+≤n ，与条件⽭盾．所以G 和G ⾄少有⼀个不是平⾯图．5. 设G 为阶数7证假设G 和G 都不是平⾯图，由Kuratowsky 定理,G 和G 必含有与5K 或3,3K同胚的⼦图，即⾄少有9条边，于是G 和G 的边数之和()1812 1≥-n n ，7 ≥?n ,与7。
离散数学特殊图练习题
离散数学特殊图练习题一、基本概念与性质1. 判断下列说法是否正确：（1）完全图是连通图。
（2）树是一个无环的连通图。
（3）平面图一定可以画在一个平面上，使得任意两边都不相交。
2. 填空题：（1）一个有n个顶点的完全图的边数为______。
（2）一个有n个顶点的连通图至少有______条边。
（3）一个有n个顶点的树有______条边。
二、特殊图的判定1. 判断下列图是否为特殊图，并说明理由：（1）一个有5个顶点的图，其中每个顶点的度数分别为4, 4, 3, 3, 2。
（2）一个有6个顶点的图，其中每个顶点的度数都为3。
2. 下列图是否为平面图？请给出证明或反例：（1）K5（完全图K5）。
（2）K3,3（完全二部图K3,3）。
三、特殊图的性质与应用1. 计算下列图的色数：（1）一个有5个顶点的完全图。
（2）一个有6个顶点的环形图。
2. 下列图是否存在哈密顿回路？请给出证明或反例：（1）一个有5个顶点的环形图。
（2）一个有6个顶点的完全二部图。
四、综合题（1）若G为连通图，则G至少有n1条边。
（2）若G为平面图，则G的边数e ≤ 3n 6。
（1）完全图K6。
（2）完全二部图K3,3。
（3）一个有5个顶点的树。
3. 设G是一个有8个顶点的连通图，其中每个顶点的度数都为3。
证明：G至少有一个哈密顿回路。
五、图的同构与子图（1）图G1：顶点集{A, B, C, D}，边集{AB, AC, BC, BD, CD}；图G2：顶点集{P, Q, R, S}，边集{PQ, PR, QR, QS, RS}。
（1）一个有4个顶点的完全图。
（2）一个有5个顶点的星形图。
六、路径与距离（1）一个有6个顶点的环形图。
（2）一个有5个顶点的完全图。
（1）一个有6个顶点的路径图，顶点A和顶点B分别位于路径的两端。
（2）一个有7个顶点的图，顶点A和B不相邻，但通过其他顶点可以到达。
七、欧拉图与哈密顿图（1）一个有5个顶点的环形图。
离散数学练习题
离散数学练习题离散数学练习题1、图中度为零的结点称为孤⽴结点。
A. 正确B. 错误正确：【A】2、域是整环。
A. 正确B. 错误正确：【A】3、有限格都是有界格。
A. 正确B. 错误正确：【A】4、连通且不含圈的图称为树。
A. 正确B. 错误正确：【A】5、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】6、⽆向图G为欧拉图，则G是连通的。
A. 正确B. 错误正确：【A】7、若A和B都是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。
A. 正确B. 错误8、设A, B, C是命题公式，则AVBV﹁C 也是命题公式。
A. 正确B. 错误正确：【A】9、设〈L，≤〉是格，则格的交∧和并∨运算满⾜等幂律。
A. 正确10、“x+3>1。
”是命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】11、半群满⾜交换律。
A. 正确B. 错误正确：【B】12、在任何图中，奇数度的结点数必是偶数。
A. 正确B. 错误正确：【A】13、在格〈L，∨，∧〉中，如果交运算对并运算是可分配的，则并运算对交运算也是可分配的。
A. 正确B. 错误正确：【A】14、完全图Kn没有割集，它的连通性能是最好的。
A. 正确B. 错误15、对任意集合A，都有??A。
A. 正确B. 错误正确：【A】17、强连通图⼀定是单向连通图。
A. 正确B. 错误正确：【A】18、代数系统〈G，°〉为群的条件是存在零元素。
A. 正确B. 错误正确：【B】19、对应⽇常⽣活中的“任意的”，“所有的”，“⼀切的”等词，⽤符号“任意”表⽰。
A. 正确20、如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a?A。
A. 正确B. 错误正确：【B】21、A,B是集合,P（A），P（B）为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为（）A. B.C. D.正确：【B】22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则⽅程f1(x)?f2(x)=0的解为（）A. M∩NB. M∪NC. MND. M-N正确：【B】23、设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（）A. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 正确：【C】24、设是环，则下列说法不正确的是（）A. 是交换群B. 是半群C. *对?是可分配的D. ?对*是可分配的正确：【D】25、平⾯图(如下)的三个⾯的次数分别是（）A. 11，3，4B. 11，3，5C. 12，3，6D. 10，4，3正确：【A】26、下列命题正确的是（）A. {l，2} {{1，2}，{l，2，3}，1}B. {1，2} {1，{l，2}，{l，2，3}，2}C. {1，2} {{1}，{2}，{1，2}}D. {1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}正确：【B】27、设D的结点数⼤于1，D=是强连通图，当且仅当（）A. D中⾄少有⼀条通路B. D中⾄少有⼀条回路C. D中有通过每个结点⾄少⼀次的通路D. D中有通过每个结点⾄少⼀次的回路正确：【D】28、下列等价式正确的是（）A. ┐┐AB.C. ┐┐AD.正确：【C】29、设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）A. PQB. PQC. QPD. Q=P正确：【C】30、设，则有（）A. B.C. D.正确：【C】31、下列各图中既是欧拉图，⼜是汉密尔顿图的是（）A. B.C. D.正确：【C】32、⽆向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且（）A. G中各顶点的度数均相等B. G中各顶点的度数之和为偶数C. G中各顶点的度数均为偶数D. G中各顶点的度数均为奇数正确：【C】33、下列式⼦正确的是（）A. （A－B）－C = A－（B∪C）B. A－（B∪C）=（A－B）∪CC. ~（A－B）= ~（B－A）D.正确：【A】34、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的⼳元是（）A. ⽭盾式B. 重⾔式C. 可满⾜D. 公式p∧q正确：【B】35、设P：天下⼤⾬,Q：他在室内运动,命题“除⾮天下⼤⾬，否则他不在室内运动”可符合化为（）A. ┐P∧QB. ┐P→QC. ┐P→┐QD. P→┐Q正确：【C】36、集合A={1，2，…，10}上的关系R={|x+y=10，x∈A，y ∈A}，则R的性质是（）A. ⾃反的B. 对称的C. 传递的、对称的D. 反⾃反的、传递的正确：【B】37、设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（）A. R={,,,}B. R={,}C. R={,,,}D. R={}正确：【D】38、下列等价式不正确的是（）A. B.正确：【A】39、设M（x）：x是⼈；F（x）：x要吃饭。
离散数学
计算机专业通知：计算机资料就是同学们网上学习的阶段测试和简答练习等资料，请同学们打印下来复习，如有新的资料更新会通知大家！（以下资料只是网上一部分）离散数学一、单项选择题1、（p∨(q∧r)）→(p∧q∧r)的主析取范式是：（B ）A. ∑(0,1)B. ∑(0,1,7)C. ∑(0,7)D. ∑(1,7)2、下列是真命题的是（A ）A. 2是素数B. 2+3=6C. 雪是黑色的D. 3能被2整除3、设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（B ）A. P QB. ┐（P∧Q）C. ┐P∧┐QD. ┐P∧Q4、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真(A)A. 自然数B. 实数C. 复数D. 前面三者均成立5、当P的真值是1,Q的真值是1 R的真值是0，下列复合命题中真值为0的是（D ）A. （PvQ）→RB. R→(P ʌ Q)C. (PvR) →QD. (P ʌR)↔¬Q6、设A=｛1，2，3｝，则下列说法正确的是（C ）A. R={<1,1>，<2，2>，<3，3>，<1,2>}在A上是反自反的B. R=｛<2，3>，<3，2>｝在A上是自反的C. R=｛<1，2>，<2，1>，<3，3>在A上是对称的D. R={<1，2>，<1，3>}在A上是对称的7、下面关于集合的表示中，正确的是(B )．A. φ＝0B. φ∈{φ}C. φ∈φD. φ∈{a，b}8、设A={Ø}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（）（分数：1分）A. ．{{Ø }，{{Ø }}，{Ø，{Ø }}}包含于BB. {{{Ø }}}包含于BC. {{Ø，{Ø }}}包括于BD. {{Ø }，{{Ø，{Ø }}}}包含于B标准答案是：D。
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离散数学练习题一、选择题1．下列句子中，（ A ）是命题。
A ．2是常数。
B ．这朵花多好看呀！C ．请把门关上！D ．下午有会吗？2．下列句子不是命题的是（ D ）。
A ．张三是学生．B ．中华人民共和国的首都是北京．C ．雪是黑色的．D ．太好了！3．令P ：今天下雪了，Q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( A ) A. P Q ∧⌝ B. P Q ∨⌝ C. P Q ∧ D. P Q →⌝4．设P ：我们划船，Q ：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化正确的是（ B ）A. P Q ∧B. ()P Q ⌝∧C. P Q ⌝∧⌝D. P Q ⌝∧5．设()R x :x 为有理数；()Q x :x 为实数。
命题“任何有理数都是实数”的符号化为（ A ） A ．()(()())∀→x R x Q xB ．()(()())∀∧x R x Q xC ．()(()())x R x Q x ∃∧D ．(()())x R x Q x ∃→6．下列命题公式是．永真式的是（ D ） A. P Q ∨B. ()P Q Q ⌝→∧C. P ()Q P ⌝∨→⌝D. ()P Q P →→ 7．当P 的真值是1,Q 的真值是1,R 的真值是0，下列复合命题中真值为0的是( A ) A. P Q R ∨→ B. ()R P Q →∧ C. P R Q ∨→D. P R Q ∧→⌝ 8． 设A B B =, 则有（ A ） A. AB A = B. A B -=∅ C. A B B =D. A B ⊆ 9． 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（ C ）A. (1,2,2,3,4,5)B. (1,2,3,4,5,5)C. (1,1,1,2,3)D. (2,3,3,4,5,6) 10. 设{,{},{,{}}}A a a a a =则其幂集()P A 的元素总个数为（ C ）A. 3B. 4C. 8D. 1611. 若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 ( D ) A. 10 B. 20 C.1000D. 102412. 设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ∃等价的命题公式是( C )A ．()()A a A b ∧B ．()()A a A b →C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a →13. 设A B ⊆, 则有 ( B ) A. B A -=∅ B. A B -=∅ C. AB B = D. A B A =14. 在实数集合R 上，下列定义的运算中不可结合的是 ( D )A. 2a b a b ab *=++B. a b a b *=+C. a b a b ab *=++D. a b a b *=-15. 设简单图G 所有结点的度数之和为12，则G 的边数为（ B ）A. 4B. 6C. 12D. 2416. 无向图G 是欧拉图，当且仅当（ D ）A. G 的所有结点的度数全为偶数B. G 中所有结点的度数全为奇数C. G 连通且所有结点度数全为奇数D. G 连通且所有结点度数全为偶数 17.下列不一定．．．是树的是（ C ） A. 无回路的连通图B. 有n 个结点，n -1条边的连通图C. 每对结点之间都有通路的图D. 连通但删去一条边则不连通的图18. 设G 是具有n 个结点的无向简单图，若在G 中存在一条汉密尔顿路，则G 中每一对结点的度数之和与n-1的关系为（ B ） A ．大于 B ．大于等于 C ．等于 D ．小于 19. 设简单图G 所有结点的度数之和为48，则G 的边数为( B ) A. 48 B. 24 C. 16D. 1220. 有向图G 是单向连通图，当且仅当 ( B )A. 图G 中至少有一条通路B. 图G 中有通过每个顶点至少一次的通路C. 图G 的连通分支数为一D. 图G 中有通过每个顶点至少一次的回路 21. 设<G ，*>是群，则下列陈述不正确．．．的是 ( B ) A.11()a a --= B.111()ab a b ---=C.n m n m a a a +=D.11()nna ba ab a --= 22．下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是（ B ）。
23.下列必为欧拉图的是（ D ） A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图24.二部图 3,3K 是（ B ）。
A.欧拉图 B. 哈密顿图 C.平面图D. 完全图25．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（ C ）。
A .B .C .D .26.设简单无向图G 是一个有6个顶点的3－正则图，则G 有( )条边。
A. 3B. 6C. 9D. 1827．下列式子为矛盾式的是（ C ）。
A ．()p p q ∨∧B ．p p ∨⌝C ．p p ∧⌝D ． ()p q p q ⌝∨⇔⌝∧⌝28. 设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是( A )A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的29.设有谓词():R x x 为人；():Q x x 活百岁以上。
命题“有的人活百岁以上”可符号化为（ A ）。
A ．()(()())x R x Q x ∃∧B ．()(()())x R x Q x ∀∧C ．()(()())x R x Q x ∃∨D ．()()()R x x Q x →∃ 30.设集合{,,}A a b c =，A 上的关系{,,,,,}R a a a c c a =<><><>，则R 是（ B ）A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反对称的31．设12,R R 是集合{,,,}A a b c d =上的两个关系，其中1{,,,,R a a b b =<><>,,,}b c d d <><>，2{,,,,,,,,,}R a a b b c b b c d d =<><><><><>，则2R 是1R 的（ B ）闭包。
A ．自反 B ．对称C ．传递D ．自反、对称且传递闭包32. 设{1,2},{,,},{1,,2,}X Y a b c a b ϕ===<><>,则ϕ是（ D ）。
A ．从X 到Y 的双射B ．从X 到Y 的单射，但不是满射C ．从X 到Y 的满射，但不是单射D ．从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的映射 33. 下列公式是前束范式的是（A ）。
A ．()()((,)())x y F z x G y ∀∀⌝∨B ．(()()()())()x F x y G y H z ⌝∃∨∀∧C ．()(,)()()x F x y y G y ∃→∀D ．()((,)()(,))x F x y y G x y ∀→∀ 34. 下列公式不是前束范式的是（ B ）。
A ．()()((,)())x y F z x G y ∀∀⌝∨B ．(()()()())()x F x y G y H z ⌝∃∨∀∧C ．()()((,)())x y F x y G y ∃∀→D ．()()((,)(,))x y F x y G x y ∀∀→35. 设R 为实数集，函数:f R R →，2()25f x x x =-++，则f 是（ D ）。
A ．单射而非满射B ．满射而非单射C ．双射D ．既不是单射，也不是满射36．无向图G 如右图1所示，以下说法正确的是（ A ）。
A ．{b,c }是点割集B ．a 是割点C ．{b,d }是点割集D ．{c }是割点37． 设简单图G 所有结点的度之和为8，则G 一定有（ B ）。
A ．2条边B ．4条边C ．8条边D ．16条边38. 下列无向图一定是树的是（ C ）。
A ．无回路的图B ．边数比结点少1的图C ．连通但任意删去一条边都不连通的图D ．每对强点之都有通路的图39．下列各图中既是欧拉图，又是汉密尔顿图的是（ C ）。
A ．B ．C ．D ． 40．下列四个格，是分配格的是（ C ） C ．D ． ．（ ） A ．B ．41. 在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ A ） A. max(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. a b a b *=- D. =1a b ab *- 42. 设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ∀等价的命题公式是( A )A ．()()A a A b ∧B ．()()A a A b →C ．()()A a A b ∨D ．()()A b A a →43.设集合A={a,b, c}上的关系如下，具有传递性的是（ D ）A ． R={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>}B ． R={<a,c>,<c,a>}C ． R={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>}D ． R={<a,a>}二、填空题dbca图11．命题公式()P Q ⌝→的成真指派为_10_，成假指派为______00，01，11______。
2．命题公式()P P Q →∧的成真指派为 10 , 成假指派为___00，01， 11____。
3．公式()()(()(,))()(,)x y P y Q x z y R x y ∀∀→∧∃约束变元为___x ,y _，自由变元为x ,z 。
4．公式(()())(,)x P x yR y Q x z ∀∨∃→约束变元为____x ,y _____，自由变元为__x ,z _______。
5．设{,,{,}}A a b a b =，{,}B a b =，则B A -=∅，A B ⊕= {{a,b}} 。
6． 设R 1，R 2是集合A ＝{1, 2, 3, 4}上的两个关系，其中R 1＝{<1, 1>,<2, 2>,<2, 3>,<4, 4>}，R 2＝{<1, 1>,<2, 2>,<2, 3>,<3, 2>,<4, 4>}，R 3＝{<1,1>,<2,2>,<2,3>，<3,3>,<4，4>}，则R 2是R 1的___对称___闭包, R 3是R 1的 自反 闭包。