高中物理微积分应用(完美)
高中物理微积分应用(完美)
高中物理中微积分思想伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021at t v x +=。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ，所以汽车由刹车到停车行驶的位移kmt t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(50252050050=-=+=+==⎰⎰小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分，是数学中的一个分支，是研究极限、导数、积分以及无限级数等概念和运算的一门学科。
微积分在物理学中有着广泛的应用。
物理学家们用微积分理论来解决很多物理问题，比如运动学、动力学、热力学、电磁学、光学、量子力学等等。
一、运动学在运动学中，微积分理论被用来推导出质点的速度和加速度，以及曲线上的切线、法线等。
例如，对于一个质点在直线上运动的问题，可以通过微积分求出质点的速度和加速度，进而得到其运动的规律。
对于曲线运动，则可以用微积分求解曲线上的切线和法线，以及曲率等物理量。
二、动力学在动力学中，微积分可以用来求解物体的运动方程和力学变量等。
例如，通过微积分求解牛顿第二定律的微分形式，可以推得物体的运动方程，并且可以求解出物体在不同时间点的位置、速度、加速度等，并且可以预测其未来的运动状态。
三、热力学在热力学中，微积分可以用来求解热力学变量。
例如，通过微积分求解热力学第一定律的微分形式，可以推得热量、内能等热力学变量的微分方程，并且可以利用这些微分方程进行各种热力学计算。
四、电磁学在电磁学中，微积分可以用来计算电场、磁场、电势等物理量。
通过微积分可以求出电场、磁场等物理量的微分、积分形式，并且可以从中得到电势、电势差等计算需要的物理量。
五、光学在光学中，微积分可以用来分析光的传播和折射、反射等现象。
通过微积分可以推导光线的传播路线、光线的折射和反射等现象，并且可以利用微积分的方法求解光学问题。
六、量子力学在量子力学中，微积分可以用来描述微观物理现象。
例如，通过微积分可以求解量子力学的薛定谔方程，进而得到量子态等物理量，并且可以对量子力学中的各种现象进行各种定量计算。
综上所述，微积分在物理学中扮演着重要的角色。
物理学家们用微积分来解决各种物理问题，并且在物理学的各个方面都发挥着重要的作用。
随着微积分理论的不断发展，将有更多的物理问题可以得到解决。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分作为数学的一个基础分支，在物理学中发挥着至关重要的作用。
它不仅提供了描述物理现象的数学语言，还为解决复杂的物理问题提供了有力的工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
一、运动学分析在物理学中，运动学研究物体的运动状态和变化规律。
微积分在这里的应用主要体现在速度和加速度的概念上。
速度是位移对时间的导数，而加速度则是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以精确地描述物体运动的瞬时状态，进而深入理解运动的本质。
二、力学系统在力学系统中，微积分用于分析力的作用效果。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，这需要用到微分来描述加速度随时间的变化。
同时，通过积分可以计算出在一定时间内，物体因受力而产生的位移或速度变化。
三、电磁学电磁学是研究电荷产生电场和磁场以及这些场如何影响电荷的科学。
在电磁学中，微积分被用来描述电场和磁场的空间分布。
例如，电势差可以通过电场强度的积分得到，而电流产生的磁场则可以通过安培环路定理来计算，这涉及到对闭合路径的线积分。
四、热力学热力学是研究能量转化以及物质状态变化的学科。
在热力学中，微积分用于计算热量、功和内能等物理量的变化。
例如，通过对温度-熵图的面积积分，可以得到系统的热量变化；而对压强-体积图的面积积分，则可以得到系统对外做的功。
五、量子力学量子力学是研究微观粒子行为的基本理论。
在量子力学中，微积分用于描述波函数的时间演化和空间分布。
薛定谔方程就是一个典型的偏微分方程，它描述了量子态随时间的演变。
通过求解这个方程，可以得到粒子在不同能级的概率分布。
六、光学在光学领域，微积分用于分析光的传播和干涉现象。
波动方程描述了光波的传播特性，而通过积分方法可以解释光的干涉和衍射现象。
例如，通过计算两束光波的相位差积分，可以得到它们相遇时的干涉图样。
总结微积分在物理学中的应用广泛而深刻，它不仅是描述自然现象的语言，也是解决物理问题的工具。
高中物理微积分应用(完美)
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学。
物理学是研究物质和能量及其相互关系的科学，而微积分为物理学家提供了分析和解决复杂物理问题的有力工具。
本文将详细介绍微积分在物理学中的应用，分析其对物理学研究的重要性和价值。
1. 那些连续变化的物理量物理学中存在许多连续变化的物理量，如速度、加速度、力和位移等。
微积分通过引入导数和积分的概念，可以对这些连续变化的物理量进行研究和分析。
例如，物体在某一时刻的速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过微积分，可以求解出物体的速度、加速度和位移的具体函数表达式，从而更好地理解和描述物理现象。
2. 曲线下的面积在物理学中，我们经常需要计算曲线下的面积，例如计算物体的质量、能量等。
微积分中的积分概念提供了一种有效的方法来求解这些面积。
通过对曲线进行积分处理，可以求得曲线下的面积。
例如，在力的曲线图中，曲线下的面积可以表示物体所做的功，从而得到能量的大小。
微积分的积分概念为物理学家提供了一种精确计算曲线下面积的方法。
3. 物理规律的微分方程描述微积分中的微分方程给予了物理学家一种描述动态过程的数学工具。
物理学中许多规律和现象的变化可以由微分方程来描述。
例如，牛顿第二定律（F=ma）可以通过对该方程进行微分得到物体的运动状态。
微积分提供了一种相对简便的方法，让我们能够更好地理解和分析物理学中的各种现象和规律。
4. 基本微积分定理和积分应用微积分中的基本定理为物理学提供了一种求解积分的方法。
基本定理表明，对于连续函数的不定积分，可以通过求导得到原函数表达式。
这一定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在动力学中，基本定理可以用于求解速度和位移之间的关系。
在热力学中，基本定理可以用于求解温度和热量之间的关系。
总之，微积分在物理学中有着广泛的应用。
它为物理学家提供了一种强大的工具，使他们能够更好地理解和解决物理学中的各种问题。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和变化率，是物理学中不可或缺的工具。
微积分的应用范围广泛，尤其在物理学中，它发挥着重要的作用。
本文将介绍微积分在物理学中的几个重要应用。
一、速度和加速度的计算在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
微积分可以帮助我们计算速度和加速度。
假设一个物体在时间t内的位移为s(t)，那么速度v(t)可以通过求位移函数的导数来计算，即v(t) =ds(t)/dt。
同样地，加速度a(t)可以通过求速度函数的导数来计算，即a(t) = dv(t)/dt。
微积分的求导运算可以帮助我们精确地计算速度和加速度，从而更好地理解物体的运动规律。
二、曲线的长度和曲率的计算在物理学中，我们经常需要计算曲线的长度和曲率。
微积分可以帮助我们解决这些问题。
对于一条曲线C，我们可以将其分割成无数个小线段，然后计算每个小线段的长度，再将这些长度相加，就可以得到曲线的长度。
这个过程可以通过微积分中的积分运算来实现。
同样地，曲率描述了曲线的弯曲程度，可以通过微积分中的导数运算来计算。
微积分的这些运算使得我们能够准确地计算曲线的长度和曲率，从而更好地理解曲线的性质。
三、力和功的计算在物理学中，力和功是描述物体受力和做功的重要概念。
微积分可以帮助我们计算力和功。
假设一个物体在位移s下受到力F的作用，那么力可以通过求位移函数的导数来计算，即 F = dW(s)/ds。
同样地，功可以通过力和位移的乘积来计算，即W = ∫Fds。
微积分的这些运算使得我们能够准确地计算力和功，从而更好地理解物体受力和做功的过程。
四、体积和质量的计算在物理学中，体积和质量是描述物体性质的重要概念。
微积分可以帮助我们计算体积和质量。
对于一个具有复杂形状的物体，我们可以将其分割成无数个小体积，然后计算每个小体积的大小，再将这些大小相加，就可以得到物体的体积。
同样地，质量可以通过微积分中的积分运算来计算。
高中物理微积分应用(完美)
Q0→Q1
q ③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ； ④联立上式，有i=== - CR ⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR= 同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数 的导数等于函数本身？ 我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。 故可以知道，i = Cex = Ce-t/CR 当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
①（△t+C）=C
②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)
④ f(t+△t)=f(t)
⑤=1
『附录』常用等价无穷小关系（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
㈢ 导数
前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z
可以写成:
z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常
用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化率和积分。
在物理学中，微积分是一种强大的工具，被广泛应用于解决各种物理问题。
本文将介绍微积分在物理学中的应用，并探讨其重要性和影响。
1. 运动学运动学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动规律。
微积分在运动学中起着至关重要的作用。
通过微积分，我们可以求解物体的速度、加速度和位移等运动参数。
例如，当我们知道一个物体的位移随时间的变化规律时，可以通过微积分求解出其速度和加速度。
这些参数对于研究物体的运动规律和描述力学系统非常重要。
2. 力学力学是物理学的基础，研究物体受力和运动规律之间的关系。
微积分在力学中有广泛的应用。
通过微积分，我们可以求解物体受力后的运动轨迹和速度变化。
例如，在牛顿第二定律中，通过对加速度随时间的变化进行积分，可以求解出物体的速度和位移。
这些结果对于研究物体的运动和力学系统的稳定性具有重要意义。
3. 电磁学电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷和电磁场之间的相互作用。
微积分在电磁学中也有广泛的应用。
例如，在电场和磁场的计算中，我们需要对电荷分布和电流密度进行积分。
通过微积分，我们可以求解出电场和磁场在空间中的分布情况。
这些结果对于理解电磁现象和设计电子设备非常重要。
4. 热力学热力学是物理学的一个重要分支，研究能量转化和系统的宏观性质。
微积分在热力学中也有重要的应用。
例如，在理想气体状态方程中，通过对压强和体积随温度的变化进行积分，可以求解出气体的内能和焓等参数。
这些参数对于研究能量转化和系统平衡具有重要意义。
5. 光学光学是物理学的一个重要分支，研究光的传播和相互作用。
微积分在光学中也有广泛的应用。
例如，在光的传播和折射中，我们需要对光线的路径进行积分。
通过微积分，我们可以求解出光线在介质中的传播路径和折射角度。
这些结果对于研究光学现象和设计光学器件非常重要。
6. 量子力学量子力学是物理学的一个重要分支，研究微观粒子的行为和相互作用。
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。
由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。
试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。
此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。
二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。
在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。
精选-微积分在高中物理领域的运用
微积分在高中物理领域的运用微积分在高中的学习越来越加强，主要原因一方面是微积分和微元法有助于理解高中的很多物理，数学知识，另一方面是微积分作为大学理工科的基础课，微积分的重要性不言而喻，而且很多同学在大学表现出了对这部分知识的强烈的不适应。
因此高中阶段接触简单的微积分对高中和大学的学习都很有帮助。
首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。
以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。
同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。
用这个方法可以推导关于直线运动中的加速运动的各种公式，在此就不再赘述。
其次，导数等于零时，则函数则有极值。
这个在物理中应用明显。
物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，“平衡”，“距离最大”或者“距离最小”，“能量最大”，“能量最小”，“速度最大”，“速度最小”等等情况。
这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。
例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。
能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。
再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的了解。
例如某年考试的压轴题中就考察了均匀质量球壳的重心问题。
用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。
除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。
通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。
毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分在物理学中的应用微积分是数学中重要的一类研究工具，它可以用来表达、分析、决定非常复杂而多变的函数和动力学系统中变化的数学问题。
微积分是无时空界限的，从天文学到地质学，从力学到物理学，它都扮演着至关重要的角色。
它在物理学中的主要应用有以下几种：一、在力学中的应用研究力学任何问题都必须使用微积分，例如运动学，动量，力学能量，动能，弹性力，等等。
该字类的问题在微积分的研究中有很大的作用，尤其在微积分应用中的重要性进一步提升。
二、在热力学中的应用热力学研究是一种微积分技术，热力学是在系统中转换能量的过程，它涉及热能，动能，弹性能，动量，势能，声能和其他种类的能量。
因此，这项技术需要微积分中的白技术，如逆变换，曲线积分，欧拉积分，和拉格朗日积分等，来实现有效的转换。
三、在电磁学中的应用在电磁学中，电磁场的电动势，磁通密度，磁偏振诅和电流密度均与空间及时间有关，可以用微积分来分析和解决许多电磁学问题，从而深入了解电磁现象。
四、在宇宙学中的应用宇宙学是在天文学的基础上发展起来的一门学科，它研究宇宙的结构、演变及其物理学规律。
微积分应用于宇宙学研究中，对宇宙空间的几何形状有着重要的贡献，通过研究天体运动及时空的曲线方程式，可以更好地理解宇宙的演变和结构，以及天体的运动历史。
五、在量子物理学和核物理学中的应用量子物理学是一门新兴的学科，它研究物质的结构，行为，性能和变化的微观规律。
量子力学是量子物理学的基础，只有通过微积分技术，才能够对量子力学研究和应用有比较深入的了解。
在核物理学中，核裂变，核聚变等核反应的研究也需要微积分的技术来深入理解。
总之，微积分在物理学中的应用十分广泛，它可以帮助我们更好地理解物理学的原理、规律和现象。
微积分在物理中的应用
微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用真的是个让人啧啧称奇的话题，听起来像是高大上的东西，其实跟我们的日常生活息息相关。
想想看，咱们平常开车、骑自行车，甚至是扔个飞盘，背后都有微积分的影子。
你有没有想过，为什么汽车能在不同的速度下稳稳地前进？这背后可少不了微积分的帮忙，真是让人感慨万分。
咱们先说说速度这个事。
开车的时候，车速总是在变化，有时候加速，有时候减速。
你可能觉得这只是踩刹车和油门的问题，这里就藏着微积分的奥秘。
想象一下，假设你在某个时刻开得飞快，这时你就需要知道你的速度到底有多快。
这就需要用到瞬时速度的概念，简单来说，就是在某一瞬间你车速的变化率。
通过微积分，你可以很容易地计算出这些变化，让你在开车的时候更得心应手，避免不必要的麻烦。
再说说抛物运动，大家应该都玩过投篮吧？投篮的时候，篮球的轨迹可是个优美的抛物线。
这就是微积分的又一场精彩演出。
想象一下，你把篮球投出去，微积分就能告诉你篮球从你手中飞出去到落地的每一个瞬间。
在这个过程中，重力不断影响着篮球的速度和方向。
微积分帮助你计算出每一时刻篮球的高度、速度，甚至能算出它落地的具体位置。
哇，简直像是给篮球加了一个隐形的导航仪。
再来聊聊功和能量，听起来高深，其实不然。
想象你在滑雪，雪坡越陡，越滑越快，对吧？这其中的能量转化就是个微积分的游戏。
你从高处滑下来的时候，势能转化为动能，速度越快，能量也越多。
这些变化可以用微积分来描述，让你明白能量是如何在不同状态之间转换的。
每一次滑行，都是在和微积分跳舞，恰到好处。
还有热力学，嘿嘿，听起来很复杂，其实也不难。
比如说，热量的传递，想象你手里拿着一杯热咖啡，渐渐变凉的过程，背后也是微积分在默默工作。
微积分能够帮助我们计算热量是如何从咖啡传递到空气中的。
每一秒钟，温度的变化就像在和时间赛跑，微积分就像一个专门记录的时钟，让我们能清晰地看到这个过程。
对了，咱们还得提提流体力学，大家都知道水流动得可快了。
利用微积分解决物理问题
利用微积分解决物理问题微积分是数学中的一门重要工具，被广泛应用于各个领域，尤其在物理学中有着重要的作用。
利用微积分的方法可以解决许多与物理相关的问题，本文将通过介绍几个具体的例子，来说明微积分在物理问题中的应用。
1. 物体的运动分析假设有一个物体在直线上做匀速运动，我们想知道在任意一时刻物体的位置。
根据微积分的思想，我们可以通过对速度函数进行积分，得到物体在不同时间的位置函数。
如果物体的速度函数是$v(t)$，其中$t$表示时间，那么物体的位置函数可表示为$s(t)=\int v(t)dt$。
通过计算速度函数积分的结果，我们可以准确地描述物体的位置随时间的变化规律。
2. 弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中常见的系统之一。
我们可以用微积分来分析弹簧振子的运动情况。
假设有一个弹簧振子，其位移函数为$x(t)$，其中$t$表示时间。
根据牛顿第二定律，我们可以得到$x(t)$满足的微分方程$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$，其中$m$是质量，$k$是弹簧的劲度系数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧振子的位移随时间的变化规律。
3. 计算物体的质量在一些实验中，我们需要知道物体的质量。
我们可以利用微积分中积分的思想来解决这个问题。
假设我们测得一个物体在不同时间下的速度函数为$v(t)$，我们可以通过对速度函数进行积分，来得到物体在不同时间下的位移函数$x(t)$。
假设物体在时间$t_1$到$t_2$之间的位移为$\Delta x$，那么根据牛顿第二定律，物体所受合外力的大小等于物体质量乘以加速度，即$F=ma$。
根据牛顿第二定律可以得到力函数$F(t)$和加速度函数$a(t)$之间的关系$F(t)=ma(t)$。
利用最终的位移函数$x(t)$，我们可以求解出物体所受外力的大小。
4. 计算物体的密度物体的密度是物理学中的一个重要概念，用以描述物体单位体积内的质量。
对于一个具有均匀密度的物体，通过微积分的方法可以计算出其密度。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的极限、导数、微分、积分和无穷级数等概念。
微积分作为数学工具，在物理学中有着广泛的应用。
物理学是研究自然界各种现象和规律的科学，而微积分则为物理学提供了强大的数学工具，帮助物理学家描述和解释各种物理现象。
本文将探讨微积分在物理学中的应用，介绍微积分在物理学中的重要性和作用。
一、微积分在运动学中的应用运动学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动规律。
微积分在运动学中有着重要的应用。
以一维运动为例，当我们知道物体的位移函数时，可以通过微积分求解得到物体的速度和加速度函数。
设物体的位移函数为s(t)，则物体的速度v(t)为位移函数的导数，即v(t)=ds(t)/dt；物体的加速度a(t)为速度函数的导数，即a(t)=dv(t)/dt=d²s(t)/dt²。
通过微积分，我们可以准确地描述物体的运动状态，分析速度和加速度的变化规律，从而深入理解物体的运动规律。
二、微积分在力学中的应用力学是研究物体运动和相互作用的学科，是物理学的基础。
微积分在力学中有着广泛的应用。
牛顿的运动定律是力学的基础，描述了物体受力时的运动规律。
通过微积分，我们可以推导出物体在外力作用下的运动方程，进而求解物体的运动轨迹、速度和加速度等物理量。
微积分还可以帮助我们分析复杂系统中的力学问题，如刚体运动、弹性碰撞等，为力学研究提供了重要的数学工具。
三、微积分在电磁学中的应用电磁学是研究电荷和电磁场相互作用的学科，是物理学的重要分支之一。
微积分在电磁学中有着重要的应用。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律，通过微积分可以推导出这些方程，深入理解电磁场的性质和规律。
在电磁学中，微积分还可以帮助我们计算电荷分布产生的电场和磁场，分析电磁波的传播和辐射，解决电磁场与物质相互作用的问题。
微积分为电磁学的研究提供了重要的数学工具和方法。
四、微积分在热力学中的应用热力学是研究热现象和能量转化的学科，也是物理学的重要分支之一。
高中数学微积分微积分在实际问题中的应用
高中数学微积分微积分在实际问题中的应用微积分作为数学的一个重要分支，是研究变化和积分的学科。
它在实际问题中的应用非常广泛，从物理到经济，从工程到生物等各个领域都可以看到微积分的身影。
本文将介绍微积分在实际问题中的应用，并举例说明其重要性。
一、速度和加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要参数。
微积分可以应用于求解速度和加速度的问题。
以匀速直线运动为例，如果我们已知物体的位移函数s(t)，我们可以通过求解其导数来得到速度函数v(t)，即v(t) = ds(t)/dt。
类似地，我们可以通过求解速度函数的导数得到加速度函数a(t)，即a(t) = dv(t)/dt。
这种应用可以帮助我们更好地理解和描述物体的运动情况。
二、函数的极值在数学中，函数的极值是函数中的一个重要特点。
微积分可以应用于求解函数的极值问题。
对于一个函数f(x)，要求其极大值或极小值，我们可以通过求解函数的导数f'(x) = 0来得到。
解这个方程的解析解或数值解，就可以找到函数的极值点。
这种应用可以在优化问题、经济学、物理学等领域中发挥重要作用。
三、曲线的弧长在几何学中，曲线的弧长是描述曲线长度的一个重要概念。
微积分可以应用于求解曲线的弧长问题。
对于一个曲线C，我们可以将其划分成无限小的线段，然后对每个线段求长，并对所有线段的长度求和，即可得到曲线的总弧长。
这个求和过程实际上就是对曲线的积分运算。
这种应用可以在计算几何学、物理学等领域中使用。
四、变化率和斜率在实际问题中，变化率和斜率是有重要意义的。
微积分可以应用于求解变化率和斜率的问题。
对于一个函数f(x)，我们可以通过求解其导数f'(x)来得到该函数的变化率和斜率。
例如，在经济学中，利润函数的变化率可以帮助我们了解企业的盈利状况；在物理学中，速度函数的斜率可以描述物体的运动状态。
这些应用帮助我们更好地理解和分析实际问题。
五、积分和面积在几何学中，积分可以应用于求解曲线下面积的问题。
(完整)微积分在物理 中的简单应用(DOC)
求解在立体斜面上滑动的物体的速度擦因数μ恰好满足一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩αμtg =，α为斜面的倾角.今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求:物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
G ，弹力N以及摩擦力解：物体在某一位置所受的力有:重力f 。
摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G,如图二,将1G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为τma f G =-''1(1） n ma G ='1（2) 由（1)，)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg m a 而,dtdVa =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数,但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分,要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d ds V V dS dt 1==（4） 而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V mmg = (5）由式(3）（4）（5）,可得到 ,)sec (φφφd tg V dV-= φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (， 积分,得到)sin 1ln()ln(sec cos ln lnφφφφ+-=+--=tg V V， .sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间子上,一边长度为1L ,另一条匀质的金属链条，质量为m,挂在一个光滑的钉一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。
微积分在物理中的应用
微积分在物理中的应用微积分是数学的一个分支，它研究函数的极限、导数、积分以及无穷级数等概念。
微积分在物理学中有着广泛的应用，它是理解和描述自然界现象的重要工具。
本文将探讨微积分在物理学中的几个关键应用。
运动学分析在物理学中，微积分用于描述和分析物体的运动。
速度和加速度的概念都与微积分紧密相关。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过微积分，我们可以从物体的运动方程出发，计算出在任何给定时刻的速度和加速度。
力学在力学中，微积分用于计算变力所做的功以及物体的动能和势能。
功是力沿其作用方向的位移的积分，而动能和势能的计算则涉及到对速度和位置的函数进行积分。
此外，牛顿的运动定律也可以结合微积分来预测物体在复杂力作用下的行为。
热力学热力学是研究能量转换的物理学分支，微积分在这里扮演着核心角色。
例如，热容的计算需要对温度-热能关系进行积分处理。
此外，熵的概念也与微积分密切相关，因为它涉及到系统状态的概率分布的对数的积分。
电磁学在电磁学中，微积分用于计算电场和磁场中的通量以及电荷分布产生的电势。
麦克斯韦方程组描述了电磁场如何随时间变化，而这些方程的求解往往需要用到微积分的知识。
电势差的计算就是一个积分过程，涉及到电场强度沿特定路径的积分。
量子力学量子力学是现代物理学的一个基本理论，它描述微观粒子的行为。
微积分在量子力学中的应用包括波函数的分析，这些波函数的平方给出了找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中的核心方程之一，它的解通常需要使用到微积分技巧。
结论微积分不仅是数学的一个重要分支，也是物理学不可或缺的工具。
从经典力学到量子力学，微积分提供了一种强大的语言来描述和理解自然界的基本规律。
通过微积分，物理学家能够精确地预测和解释各种物理现象，从而深化我们对宇宙的理解。
高一数学中的微积分在物理中的应用有哪些
高一数学中的微积分在物理中的应用有哪些在高一的学习中，我们开始接触微积分的基础知识。
或许你会觉得这些数学概念有些抽象和难以捉摸，但实际上，微积分在物理学中有着广泛而重要的应用。
它为我们理解和解决物理问题提供了强大的工具。
让我们先来了解一下微积分的基本概念。
微分主要涉及到函数的变化率，也就是导数；而积分则是求函数在某个区间上的累积效果。
在物理中，运动学是一个很好的例子来展示微积分的应用。
比如，当我们研究一个物体的直线运动时，位置随时间的变化函数可以表示为\（x(t)＼）。
那么，速度\（v(t)＼）就是位置函数对时间的导数，即\（v(t) ＝＼frac{dx}｛dt}＼）。
加速度\（a(t)＼）则是速度对时间的导数，＼（a(t) ＝＼frac{dv}｛dt}＼）。
想象一下，一个物体做匀加速直线运动，已知其初速度\（v_0\）和加速度\（a\）。
我们可以通过积分来求出物体在一段时间\（t\）内的位移\（x\）。
位移是速度在时间上的累积，所以\（x ＝＼int_{0}＾｛t} v(t) dt\）。
由于速度\（v(t) ＝ v_0 ＋ at\），将其代入积分式中，可得\（x ＝ v_0t ＋＼frac{1}｛2}at^2\）。
再来看力学中的功和能。
当一个力\（F\）作用在物体上，使物体沿力的方向移动了一段距离\（x\），力所做的功\（W\）可以表示为\（W＝＼int F ＼cdot dx\）。
例如，当力是恒力时，功就等于力的大小乘以位移的大小；但如果力是随位置变化的，就需要用到积分来计算。
能量的概念也与微积分密切相关。
比如，动能\（E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2\），如果要研究动能的变化，就需要用到导数。
而势能的计算，在某些情况下也会涉及到积分。
在电学中，电流\（I\）是单位时间内通过导体横截面的电荷量\（q\）。
那么，电流就是电荷量对时间的导数，＼（I ＝＼frac{dq}｛dt}＼）。
通过积分，可以计算在一段时间内通过导体横截面的总电荷量。
微积分在高中物理的应用-word文档
例一，其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。已知一质点做变加速直线运动，初速度为v0，加速度随位移线性减小满足a=a0-k选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。整理即得结果。
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高中物理中微积分思想伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了公里。
动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021at t v x +=。
【【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(50252050050=-=+=+==⎰⎰小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。
或者，利用定积分就可解决.2、解决变力做功问题恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同， 设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ作直线，且摩擦力可视为恒力，则在功之和可表示为：(μθμ-+∆-=∆R N W A f又因为车在A 、B 两点以速率v 作圆周运动，所以：综合以上各式得：=∆W f 故摩擦力对车所做的功：22222mv mv mv W W f f πμθμθμ-=∆∑-=∆-∑=∆∑=【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力N F f μ=，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为22022)(mv d mv d R N R N W B A f πμθμθμμπ-=-=--=⎰⎰<小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。
利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。
“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。
我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。
【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。
分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；）②立方体角点的电势与什么有关呢电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=K Qr 及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为U=CKQa =Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3 ③大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12 U 1【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。
如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。
Rmv mg N R mv mg N B A 22sin sin =+=-θθ导数㈠ 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。
我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=△v△t.，下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。
（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=△s△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。
s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t △t+2△t 2v=△s △t =3△t+4t △t+2△t 2△t=3+4t+2△t 当△t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为t 时刻的瞬时速度。
【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t 3,求感应电动势随时间t 的函数关系。
【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：;①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y 1- y 0=f(t+△t)- f(t)； ④求出z=△y △t =f(t+△t)- f(t)△t；⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。
㈡ 无穷小当△t 取很小时，可以用V=△s △t 求瞬时速度，也可用i=△Q △t 求瞬时电流,用ε=N △φ△t求瞬时感应电动势。
下面，我们来理解△t ：△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。
或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t2 ； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t3 ；《第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t4 ； …………第N 次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=tN+1 ；…………一直这样进行下去，我们知道，△t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t →0。
或者，用数学形式表示为 0lim t ∆→△t=0。
其中“0lim t ∆→”表示极限，意思是△t 的极限值为0。
常规计算：①0lim t ∆→（△t+C ）=C ②0lim t ∆→C ·△t=0 ③0lim t ∆→f(△t)=f(0)④0lim t ∆→ f(t+△t)=f(t) ⑤0limt ∆→sin(△t)△t = 1 『附录』常用等价无穷小关系（0x →） ①sin x x = ；②tan x x = ；③211cos 2x x -= ；④()ln 1x x += ；⑤1x e x -= ㈢ 导数—前面我们用了极限“0lim t ∆→”的表示方法，那么物理量y 的变化率的瞬时值z 可以写成:z=0limt ∆→△y △t,并简记为z=dyd t ,称为物理量y 函数对时间变量t 的导数。
物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=dx d t 、a=dv d t 、i=dq d t 、ε=N d Фd t 等，甚至不限于对时间求导，如F=dW Fd x 、E x =dU dx 、ρ=dmdl 等。
这个dt （也可以是dx 、dv 、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元△t ，当然每次这样用0lim t ∆→来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。
如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。
同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算①d(u±v)d t =du d t ± dvd t ③d(u v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2 ②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u v ⑵ 常见函数的导数①dC dt =0(C 为常数)； ④dcostdt =-sint ； ②dt n dt =nt n-1(n 为实数)； ⑤de tdt =e t ； （③dsintdt =cost ；⑶ 复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。
du(v(t))d t =du(v(t))d v(t) ·dv(t)d t复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则。
【练】1、某弹簧振子在X 轴上做直线运动，其位移x 与时间t 的关系为x=Asin ωt ，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A （A 称为振幅），周期为2πω （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。
请完成以下几问： ①求出t 时刻的速度v ~②写出合力F 与位移x 的关系③验证简谐运动中质点的机械能守恒。