第15单元++妙用特殊值法(2014吴虹)
巧用特殊值法,培育核心素养
中学教育2019年04月新教育时代66巧用特殊值法，培育核心素养唐 珺 曹建英（无锡市西漳中学 江苏无锡 214171）摘 要：使用特殊值或特殊位置法解决一些问题，避开了繁琐的计算，推理，能快速、正确地得出答案。
从认识论看，复杂问题特殊化后，认识起点降低，便于学生的认识由浅入深，从方法论看，特殊化使问题由抽象到具体，由复杂到简单，从而有利于问题的解决。
关键词：特殊值法 特殊位置法 从特殊到一般一、现状分析，培养学生从特殊到一般的思想方法 （一）问题背景某次测验后大家照常评讲试卷，课后一位年轻教师与我交流说某道题不知该怎么讲。
题目是这样的：题目：a、b、c 是实数，点A（a-1，b）、B（a-2，c）在二次函数y=x 2-2ax+3的图像上，则b、c 的大小关系是 。
（二）分析现状是什么原因导致学生想不起来用特殊值法来解决这个问题呢？主要是我们教师在教学时更多地是注重教学生如何正面思考，严密地、符合逻辑的去分析解决一个问题，学生已养成习惯性思维。
之前与我交流的那位年轻教师本身是第一年带初三，没什么教学经验，教的班级学生数学水平一般。
而这一题二次函数解析式以及点的坐标中都含有字母，这些不确定因素使得部分学生感觉很难，无从下手。
这时如果采用特殊到一般的思想方法，赋予字母一个值，那么问题就迎刃而解了。
所以如果平时教师多关注这种特殊方法的教学，学生就不会失分，也会让部分学生重拾对数学的兴趣，觉得数学没那么难。
让优秀的学生知道有些题可用较少的时间做出正确答案，省出时间思考后面大题。
二、实例探究，培养学生应用知识的能力题目1：如图，抛物线y=x 2-2x+k（k ﹤0）与x 轴相交于A（x1，0）、B （x2，0）两点，其中x1﹤x2，当x=x1+2时，y 0（填”＞”、” ﹤”或”=”号）。
【正解】∵抛物线y=x 2-2x+k （k ﹤0）的对称轴方程是x=1，又∵x1﹤0，∴x1与对称轴x=1距离大于1， ∴x1+2﹤x2，∴当x=x1+2时，抛物线图像在x 轴下方，即y ﹤0.故答案是：﹤.【分析】这是某次测验填空题中较难的一题。
巧借特殊值法,妙解高考真题
２０２３年８月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀巧借特殊值法,妙解高考真题◉张家港高级中学㊀黄㊀轶㊀㊀摘要:巧妙利用特殊值法,借助特殊值的选取,有时可以更加简捷地求解客观题．本文中结合２０２２年高考真题,剖析特殊值法的巧妙应用,总结特殊值法的解题技巧与规律．关键词:高考;特殊值;客观题;函数;三角;不等式㊀㊀特殊值法破解数学客观题,有其特殊的优势与美妙的体验,它是数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验等 四基 落实并上升到一定高度的特殊 产物 ,是特殊与一般思维的升华．特别在解决一些函数或方程㊁数列㊁三角函数或不等式等的选择题时,利用特殊值法,解题过程简洁明了,很好地提升解题速度与解题效益．下面结合２０２２年高考数学真题中一些客观题特殊值法的合理选用与巧妙应用加以剖析．１巧判函数图象例１㊀(２０２２年高考数学全国甲卷理科 ５)函数y ＝(３x －３－x)c o s x 在区间－π２,π２éëêêùûúú的图象大致为(㊀㊀)．A．㊀㊀B ．C ．D．分析:解决此类题的常用思维就是先根据函数的解析式判定函数的奇偶性,再借助特殊值的选取合理排除错误的选项．而此题两次利用函数特殊值的选取,即可将不满足函数值取值情况的图象完美地排除,实现巧妙判定函数图象的目的．解析:选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝(３１－３－１)c o s １＞０,由此排除选项C ,D ;再选取特殊值x ＝－１,得f (－１)＝(３－１－３１) c o s (－１)＜０,由此排除选项B ．故选择答案:A ．点评:巧妙选取特殊值来判断函数或方程所对应的函数图象问题,将特殊值所对应的函数值情况与点的位置特征加以联系与对比,排除不合理的图象选项．对于单选题,在利用特殊值法巧判函数或方程所对应的函数图象问题时,经常要多次利用特殊值的巧妙选取来合理排除,直到剩下最后一个正确答案为止．２判定函数关系式例２㊀(２０２２年高考数学北京卷 ４)已知函数f (x )＝１１＋２x,则对任意实数x ,有(㊀㊀)．A．f (－x )＋f (x )＝０㊀B ．f (－x )－f (x )＝０C ．f (－x )＋f (x )＝１D．f (－x )－f (x )＝１３分析:解决此类题的常用思维就是利用题设给出的函数关系式,结合选项中对应函数关系式代入,通过指数运算与变形来转化与验证,进而得以正确判定．而此题选取特殊值加以验证即可正确判定,从而减少数学运算量,这也是一种不错的技巧方法．解析:由函数f (x )＝１１＋２x,选取特殊值x ＝０,可得f (０)＝１１＋２０＝１２,代入各选项中进行验证,选项B ,C 成立;又选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝１１＋２１＝１３,f (－１)＝１１＋２－１＝２３,只有选项C 成立．故选择答案:C ．点评:在判定一些复杂函数关系式的成立问题时,为避免复杂的逻辑推理与繁杂的数学运算,经常借助一些特殊值的选取,代入函数关系式加以化简与求值,可以很好地优化解题过程,同时对于函数关系式的判定更加直接㊁有效．３４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年８月上半月㊀㊀㊀３求解相应函数值例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ６)角α,β满足s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β,则(㊀㊀)．A．t a n (α＋β)＝１B ．t a n (α＋β)＝－１C ．t a n (α－β)＝１D．t a n (α－β)＝－１分析:解决此类题的常用思维就是利用三角恒等变换公式对题设的三角函数方程加以变形与转化,进而结合化简的结果来分析与求解对应的三角函数值问题．而此题结合两次特殊值的选取,即可合理排除不满足条件的选取,简化公式变形与推理过程,优化数学运算．解析:s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β．①选取特殊值β＝０,代入①式,得s i n α＋c o s α＝０,即t a n α＝－１;再将β＝０分别代入四个选项,由此可以排除选项A ,C ．选取特殊值α＝０,代入①式,可得s i n β－c o s β＝０,即t a n β＝１;再将α＝０分别代入四个选项进行验证,由此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:这里很好地通过三角函数关系式中角的变化以及对应选项中的三角函数值不变的特征,利用两次特殊值的选取,结合选项中的三角函数值进行排除．借助特殊值法处理相关数学问题时,有时一次特殊值的选取不能直接达到目的,可以进行第二次特殊值的选取,直至剩下最后一个选项为止．４确定参数取值范围例４㊀(２０２２年高考数学浙江卷 ９)已知a ,b ɪR ,若对任意x ɪR ,a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,则(㊀㊀)．A．a ɤ１,b ȡ３B ．a ɤ１,b ɤ３C ．a ȡ１,b ȡ３D．a ȡ１,b ɤ３分析:解决此类题的常用思维就是绝对值不等式的函数图象化处理思维㊁参数的分类讨论思维等,过程复杂,讨论繁多．而此题利用特殊值的选取,代入题设的绝对值不等式加以化简,利用含参不等式恒成立的条件确定参数的取值情况,结合各选项中的参数取值范围即可验证与确定．解析:选取特殊值x ＝４,由a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,可得a |４－b |－３ȡ０．显然a ʂ０且b ʂ４,观察各选项可知,只有a ȡ１,b ɤ３符合这个结论．故选择答案:D ．点评:借助含参绝对值不等式中特殊值的选取,简化不等式,减少变量,借助不等式恒成立等相关知识确定相关参数的取值情况,再结合选项合理验证．在具体借助特殊值法确定参数取值范围的问题时,经常不能直接得到对应参数的取值范围,而是借助选项中参数不同取值范围加以验证与判断,合理排除,巧妙确定．５判断不等式成立例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１分析:解决此类题的常用思维就是不等式思维㊁配方思维或换元思维等,利用条件中的二元方程,结合基本不等式㊁完全平方公式或三角换元等方法来处理,解题过程较为繁琐．而此题利用特殊值法,根据满足二元方程条件下的特殊值的两次合理选取,即可正确排除对应的选项来达到正确判断的目的,简单快捷．解析:选取特殊值x ＝y ＝１,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ＋y ＝２ɤ１不成立,故选项A 错误;再选取特殊值x ＝－y ＝３３,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ２＋y ２＝２３ȡ１不成立,故选项D 错误;根据多选题 至少有两个选项是正确 的特征,故选择答案:B C ．点评:利用特殊值法破解一些数学的综合与创新问题时,有一定的 秒杀 效果,但要注意一般 可遇而不可求 ,不具有可推广性与普及性．如果一定要花大量时间去配凑特殊值,往往得不偿失．这里借助二元方程的结构特征,可以快速选取相应的特殊值来验证,综合多选题的特征,当确定其中两个选项为错误时,则另外两个选项肯定是正确答案．巧借特殊值法,可以在很大程度上简化繁杂的逻辑推理过程与复杂的数学运算过程,但也不能盲目任意选取特殊值,要吻合数学问题中特殊与一般思维之间的联系与转化,才能达到正确使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知识复杂层次,弱化基础知识难度,强化数学思想方法,优化数学解题过程,提升数学解题效益,节省宝贵考试时间,真正达到小题小做 小题巧做 小题快做 等良好解题效益．Z４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
特殊值法在高中数学解题中的应用
特殊值法在高中数学解题中的应用作者：高山林来源：《中学生数理化·学研版》2014年第08期摘要：特殊值法又被称为特值法，即在解题过程中将某个未知字母用特殊的数字来代替，然后通过简单的推理、判断、运算就可得到正确答案从而达到简化题目、缩短解题时间的方法.这些方法不仅能够帮助学生快速找到思路、简化解题过程、优化计算步骤，而且有几种方法经常用到并适用于大多数题型.本文正是针对特殊值法在高中数学解题中的应用而展开的论述.关键字：特殊值法；高中数学；简化解答数学题的过程中，难免会遇到一些难题，想从题目的正面入手可能就难以解答，这时不妨先找出题目的特点，找到与其有相似的简单特例，通过解决这些简单特例，最终达到解决这道难题的目的.若问题的选择对象是针对一般情况给出的，则可选择合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验，从而做出正确判断.对于有情况讨论的题目，可以代入相应的特殊值，结合排除法进行.这个特殊值必须满足三个条件：首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量.这种解决数学题目的方法，称为“特殊值法”.特殊值法的解题依据和逻辑基础是：某个结果，如果对一般情况适用，那么对特殊情况也适用；如果对特殊情况适用，那么对一般情况不一定是适用的；如果对特殊情况不适用，那么对一般情况也一定不适用.这是一个非常简单的思维逻辑.现举例说明：例1 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x恒有|x+a|+|2x+b|=|3x+c|，则a∶b∶c所以a∶b∶c=a∶（2a）∶（3a）=1∶2∶3.将所得结果代入题目中的等式是成立的，只要成立就是正确的，这样解题就简化了原题，节约了不少时间.这道题目的解决思路在数学中非常常见，所以在以后的解题中一定要熟练运用特殊值法.我们可以利用这一点来解决很多数学题型，从而达到事半功倍的效果.现在针对一些可运用特殊值法的具体题型进行解析.1.解选择题例2 若a>b>c>0，m>n>0.（m、n为数），则下列各式中成立的是（）.A.ambn>bncm>cnamB.ambn>cnam>bncmam>ambn>bncmD.bncm>cnam>ambn解析：看到这道题时，第一个想到的解题方法就是把四个选项都进行一一比较，最后得出选项，有可能还会存在顾虑，不敢确定得出的是否是正确答案，花费大量时间和精力结果还不一定能得到分数就得不偿失了，那么不如试试用特殊值法解决.因为a>b>c>0.m>n>0（m、n为整数）取特殊值，a=3，b=2，c=1，m=2，n=1，得ambn=32×21=18，bncm=21×12=2，cnam=11×32=9.所以ambn>cnam>bncm.故选B.这样得出的结果便具有较高的准确性.2.确定多项式的系数例3 已知当x是任意实数时，x2-2x+5=a（x+1）2+b（x+1）+c都成立，求a、b、c的值.解析：碰到这种题型好多同学会采用常规方法拆分等式右边的括号，然后建立几个方程式，解方程组，在无形中就增大了解题的难度，若改用特殊值法：当x=-1时，原式为8=c；①当x=0时，原式为5=a+b+c；②当x=1时，原式为4=4a+2b+c. ③由①②③可得a=1，b=-4，c=8.这种解题方法可减少解题步骤，很容易得出正确答案.3.判断命题的真假例4 判断命题“式子a2+（a+1）2+a2（a+1）2=（a2+a-1）2是恒等式”的真假.解析：此题如果按照一般计算法则便是等号两边拆分括号，然后比较未知项的幂次方与常数项是否一致来判断真假，若一致则为真，反之为假.若采用特殊值法，便为当a=1时，原式左边为9，右边为1，因为9≠1，故原命题是假命题.比较两种方法，轻易便可得出第二种方法在解题中的便利之处.数学源自于古希腊语的μθημα，其有学习、学问、科学之意.古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”.另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”.即使在其语源内，其形容词的意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的.数学作为一门艺术，极具奥妙，需要我们去不断地探索，而在探索的道路上，都是从特殊到一般，特殊化策略不仅是解决数学问题的重要手段，而且是发现数学真理的有效工具.古人云：“授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终生受用无穷.”学知识，更要学方法.因此，在数学学习中一定要寻求方法，并有效地运用，掌握了学习方法将会一生受用.。
巧用特殊值法解题
巧用特殊值法解题一、特殊值法1.定义：通过假设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法。
根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊数、特殊点、特殊角、特殊图形等对结论进行计算或者分析，把一般变特殊形式，再进行判断。
2.注意：选取的特殊值要符合条件，且易于计算。
特殊值法一般用来解决选择题和填空题。
二、典例剖析1.若a b >,则下列不等式变形错误的是( ) A.11a b +>+ B.22a b> C.3434a b ->- D.4343a b >-- 2.下列命题正确的是（ ）A ．若a b b c >，<，则a c > ；B ．若a b >，则ac bc >；C ．若a b >，则22ac bc >；D ．若22ac bc >，则a b >3.若234a b c ==，且0abc ≠，则2a bc b+-的值是（ ） A.2B.-2C.3D.-34.如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ，则下列式子中成立的是（ ）A.0a b +<B.a b -<-C.1212a b ->-D.0a b ->5.实数a ,b ,c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ） A.ac bc > B.ab cb > C.a c b c >＋＋ D. a b c b >＋＋Ocba6.如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ,下列结论正确的是（ ） A. a b > B. a b > C. a b -< D. 0a b +<7.化简b a b a b ++-1222，其结果为（ ） A ．b a -1 B ．b a +1 C ． 221b a - D ．22ba a - 8.若a ＜1，化简()112--a =（ ）A.a-2B.2-aC.a D-a.9.已知xy φ0，化简二次根式2x yx -的正确结果为（ ） A.y B.y - C.y - D.y -- 10.把aa 1--中根号外的因式移到根号内的结果是（ ） A.a - B.a - C.a -- D.a11.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元） 每次游泳收费（元）A 类 50 25B 类 200 20C 类40015若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A ．购买A 类会员年卡 B ．购买B 类会员年卡 C ．购买C 类会员年卡 D ．不购买会员年卡12.如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π－32B ．23π－3 C ．π－32D ．π－3（第12题） （第13题） （第14题）13.如图，设k =甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积（0a b >>），则有（）A. 2k >B. 12k <<C.112k << D. 102k << 14.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4， ⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙ D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则OFOE的值为( )． A ．1 B ．4 C ．3D ．2三、填空题15.若21=b a ，则=+bb a __________. 16.当实数0a <时，6______6a a +-（填“＜”或“＞”）.17.如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=2，点D 是AB 的中点， 以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰好在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 。
数学考试技巧附案例习题解题技巧-特殊值法
数学考试技巧附案例习题解题技巧-特殊值法在数学研究中，“从特殊到一般”是重要的思想方法。
数学竞赛题，由于其难度，多少有些研究的性质。
于是对许多竞赛题目，“特殊值法”显得至关重要。
3.1 什么是“特殊值法”特殊值法，又称“和谐法”，就是对题目中所给的表达式，代入特殊值，寻找其规律。
特殊值，就是易于计算、求解的值。
对代数问题，往往是中值（平均值）、边值（最大最小）。
当自变量取特殊值时，函数值往往位于极值点（区间上的最大、最小值）。
对其它问题，就是规模较小，简单的，或具有特殊性质的代入值。
3.2 特殊值法的理论依据若函数f(x)为凸函数，由琴生不等式（导数法证明），有f(a1x1+a2x2+...+a n x n)≤a1 f(x1)+a2 f(x2)+...+a n f(x n). 即：对n个不同变量，他们和的函数与函数的和具有不等关系。
同样，对其他运算，也有类似的不等式存在。
特殊值法的证明，通用方法是导数法。
以3个变量的函数f(x,y,z)为例，设x+y+z=k为常数，x≥y≥z.其中x≥k/3, z≤k/3.先固定x，调整y,z, 即函数f(y,z).又y+z=k-x为常数，则有z=k-x-y,三元函数变为一元函数f(z). 求f(z)含z单项的导数f’(z),可得当z=(k-x)/2时，f’(z)=0; z<(k-x)/2时，f’(z)<0; z>(k-x)/2时，f’(z)>0. 即应用单调性可得，对0<z<k/3, y=z 时f(z)最大。
此时y=z=(k-x)/2. 这次调整使y,z相等。
同理，固定z, 可得x=y. 由此，x=y=z. 这是一种逐步调整的策略。
对于多元函数的情形，可类似的证明。
（详细推导步骤见单墫《利用导数证明不等式》，《中等数学》2006年第2期）由此，我们知道特殊值法的适用范围：当不等式的“一项”为单峰函数（中间值最大或最小）时，可使用特殊值法，此时最值取在均值处，而边值处为另一个最值。
中考数学专题讲义妙用特殊值法
妙用特殊值法、特殊位置法联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论.此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生.一、代数类[8]解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断.例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ）A ．0B .2C .5D .8交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试.技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上.例15－1－2 化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案.例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b>；④11a b <中，正确的有（ ）A .1个B . 2个C . 3个D . 4个交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1.例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ）A . 先涨m ％，再降n ％B . 先涨n ％，再降m ％C .D . 先涨2m n +％，再降2m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40例15－1－5 函数y＝ax－a与ayx=（a≠0）在同一直角坐标中的图像可能是（）A B C D交流分享：设a＝1，把函数变成y＝x－1与1yx=后画出图像，看自己画出的图像哪个选项相符就选取它，如果没有，再设a＝－1再试.例15-1-6如图15－1－1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作0°~90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（）A B C D交流分享: 显然A与D、E重合时S＝0，A从D到E时S由0变大再变小到0，结论就得到了.其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.15－1－1ABDE·O体验与感悟15－11. 若3a 2－a ＝2，则5＋2a －6a 2＝___________.2. 已知x ：y ＝5：2，M ＝222xy x y-，N ＝2222x y x y +-，则M － N ＝____________. 3. 已知0＜a ＜b ＜1，不等式正确的是（ ）A . a ＜a 2B . a 2＞bC . a ＞abD . 11a b< 4. 甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m （m 为正整数）千克米，乙每次买米用去2m 元. 由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元. 那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（ ）A ．甲比乙便宜B . 乙比甲便宜C . 甲与乙相同D . 由m 的值确定5. 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）A B C D6. 已知函数3y x=-图像上的三个点A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）、C （x 3, y 3），且x 1＜0＜x 2＜x 3, 则y 1、y 2、y 3,的大小关系是（ ）A . y 1＜y 2＜y 3B . y 2＜y 3＜y 1C . y 3＜y 2＜y 1D .无法确定7. 把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b ＋2a ＝6, 则直线AB 是（ ）A . y ＝－2x －3B . y ＝－2x ＋3C . y ＝－2x －6D . y ＝－2x ＋68. 如图15－1－2，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A B C D二、几何类[8]解法归一：画出符合题意的特殊位置，如在起点、中点、终点的图形，再来求值或推断. 例15－2－1 如图15－2－1，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC于E ，23AE EC =.则AB AC =( )A .13B . 23C . 25D . 35交流分享：就取AE ＝2，EC ＝3，则DE ＝2，AC ＝5，由相似求得AB 后再求AB ：AC 的值，或通过相似到处AB ：AC ＝DE ：CE 均可.注：在比例问题中特殊值法用的更是广泛.例15－2－2 如图15－2－2，将一个直角三角形纸片减去直角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝_____度交流分享：取两锐角分别是30°、60°即可. 因为既然减法是任意的，又求∠1＋∠2的值，所以它一定是个与剪法无关的定值，否则无法求∠1＋∠2的值.例15－2－3 如图△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E . DF ⊥AC 于点F ，BC ＝2，则DE ＋DF ＝_____.交流分享：当D 在B 时，DE ＝0，DF 就是AC 边上的高；当然D 取在BC 中点或C 点时亦可得结论.因为D 是BC 边上任意一点, DE ＋DF 如果不是定值就没法求了，所以它一定是个定值. 另外通过连接AD 用面积法（或用其他方法）也可证明DE＋DF 是一个定值，与D 的位置无关.Hi ！特殊值法咱早就用过！今天起往后，做选择填空题时咱就常用用它如何？体验与感悟15－21. 若1082x y z ==，则x y z y z ++=+__________. 2. 如图15－2－4，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则（ ）3. A . AD ·DB ＜AC ·CB B . AD ·DB ＝AC ·CB C . AD ·DB ＝AC ·CB D . AD ·DB 与AC ·CB 大小关系不确定3. α为锐角，若tan α＝45，则si n α＝_______, c os α＝_______. 4. 直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ) A . ab ＝h 2 B . a 2＋b 2＝2h 2 C .111a b h += D . 222111a b h += A C BD 图15－2－5. 如图15－2－5将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOC＋∠DOB ＝___.图15-2-5 图15-2-6 图15-2-76. 如图15－2－6，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AC交BD于点O，EM⊥AC于点M, EN⊥BD于点N, 则EM＋EN＝_________.7. 如图15－2－7，在△ABC中，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B. 已知P、Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ, 在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A. 一直增大B. 一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少特殊值法（特殊位置法）不仅仅在解决选择填空题中有用，它对解难题、大题同样有很大帮助，因为它是合情合理推理的一部分.例15－3－1 在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD. 请推断“BE＋CD＝BC”成立与否.交流分享：取∠B＝60°、45°各一次，看两次结论是否相同即可. 如果特殊情况结论不一，结论肯定不成立. 此题也可通过严格证明得结论，但有难度.例15－3－2 如图15－3－1，位于一条大河两侧的A、B两市准备在河上联合修建一座大桥，请你帮忙确定一下桥的位置（要求桥与河岸a、b垂直），使得从A到B的行程最短. 要求：画出图，不写作法.体验与感悟15－31.如图15－3－2，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系：___________.图15-3-2 图15-3-3 图15-3-42.如图15－3－3，在△ABC 中，a , b , c 分别为∠A , ∠B , ∠C 的对边，若∠B ＝60°, 则c a a b c b+=++（ ）A ．12B ．2 A ．1 A 3.如图15－3－4，一个矩形被两条线段分成了四个小矩形，如果图形⑴、⑵、⑶的面积分别是8、6、5，则阴影的面积是_________.3.如图15－3－5，矩形的顶点坐标分别为O （0,0）, A （3,0）, B （0,4）, C （3,4）, D 为边OB 的中点. E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，点E 、F 的坐标分别为__________、__________.5. 如图15－3－6，点P （t , 0）（t ＞0）是抛物线y ＝x 2－tx 与x 轴的交点. 已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1, 0）, B （1,－5）, D （4, 0）, 规定：在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，则t 的取值范围是_______________.提醒：请将一下特殊值法与特殊位置法的妙用吧！仔细体会一下，你会有不少心得.。
第15单元妙用特殊值法中考数学培优
第15单元 妙用特殊值法、特殊位置法联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就 此展开一下联想吧！特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任 意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对） 以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生 一、代数类[8]解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断. 例 15—111 已知 ％—3y =—3,则 5— %+3y =（ ） A . 0 B .2 C .5 D .8 交流分享：取y =0, % =-3带入即可.因为：由四个选项可知，5—%+3y 值为等于0、2、5、 8之一，是一个定数，与%、y 的取值无关，但前提是所选%、y 的取值满足%-3y =-3,所 以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试. 技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上 例15-1-2 化简）% 2 — 4 % + 4D .交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知% =1, y =2.最好选两组使分式有意义的 数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案 — 、a 1 1 1例 15—1—3 若 a <b <0,则下列式子：①a +b <ab :②a +b <b +2；③7 > 1 ；④一< —b a b中，正确的有（）A .1个B . 2个C . 3个D . 4个 交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项.如取a =-2, b =-1.某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0<n <m <100,则调 价后该商品价格最高的方案是（）A .先涨m %，再降n % C .先涨mnn %，再降mnn % 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可.如m =20、n = 10, m = 60、n =40例 15-1-4 B .先涨n %，再降m %再降例15-1-5函数y=ax—a与y = -（a W0）在同一直角坐标中的图像可能是（）xA BCD交流分享：设a=1,把函数变成y=x—1与y =-后画出图像，看自己画出的图像哪个选x交流分享：显然A与D、E重合时S=0, A从D到E时S由0变大再变小到0,结论就得到了.其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.体验与感悟15-11. 若 3a2—a = 2,贝U 5+2a-6a2=.2 xy x 2 + y 22. 已知x：y=5： 2, M = ---- ,N = ------- ，则M—N = ____________ .x 2 —y 2 x 2 —y 23.已知0V a<b<1,不等式正确的是（）1 1A. a < a2B. a2> bC. a > abD.— < —a b4 .甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m （m 为正整数）千克米，乙每次买米用去2m 元.由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别 为每千克1.8元、2.2元、2元.那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价， 结果是（ ）A .甲比乙便宜B ,乙比甲便宜C ,甲与乙相同D .由m 的值确定 5 .函数y =ax +b 和y =ax 2+bx +c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）6 .已知函数y = -X 图像上的三个点 A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3）,且x 1<0<x 2Vx 3,则匕、y 2、y 3,的大小关系是（ ） A . y 1<y 2<y 3 B . y 2<y 3<y 1 C . y 3<y 2<y 1 D .无法确定7 .把直线y =-2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b +2a = 6,则 直线AB 是（ ）A . y =—2x —3B . y =_2x +3C . y =—2x —6D . y =—2x +68 .如图15 —1—2,已知正三角形ABC 的边长为1, E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的 点，且AE =BF =。
巧用特殊值法解题
（） １求直线Ａ 的解析式． Ｂ （ ） 等边 三 角形Ｐ ２求 ＭＮ的边长
（ 的代数式表示 ） 用ｔ ，并求 出当等边
三 角 形 Ｐ 的 顶 点 运 动 到 与 原 点 ＭＮ
因为ｓ 一 ２ ／３ｔ１ 、 了 ，△ 梯 Ｘ－ ＋ ２ ／ ｓ －
当ｌ ｔ２ ．重合 部分 是 一 个五 边 形 ＜＜ 时
Ｏ ＫＧ 如 图 ８ 此 时． 梯 Ｉ Ｎ， ， ｓ 一△ Ｓ晰
单位 的速 度运 动 ，点｜， 在 】 Ⅳ 轴上 ｌ ｆ
（ 点 在点Ⅳ 的左侧 ）以ＰＭ， 为顶 ， 。 Ｎ 点的三角形是 等边三 角形 ，设运动
时 间为 ｔ’ ｓ
般情 形转化 为特殊 问题 ．从而找 到 动静 的关系．
如图２ ，公路删 和公路 在点Ｐｆ 汇 ， ￣交 ＿ 且 Ｑ Ｎ ３ 。点Ａ Ｐ ＝０ ， 处有一所 中学 ， Ｐ Ｉ０ 假设拖拉 Ａ ＝６ ｍ， 机行驶时 ． 围１０ 周 ０ ｍ以内会受噪声
２， 埘 所以ｓ （Ｇ Ｄ ）０ ｌ 、 了￡ ＿ Ｅ ＋ Ⅳ× Ｅ ２／ ＋ － ６ ／ ． ｔｌ ｔ ＝ 、 了 ，如 图７ 、了 ＝ 时Ｓ 女 ８ ／ ．
■
量表达式 ， 再取特殊值代入验证． 因 此易得④ １３ ５ ７ ４：⑤ １３ ５ ７ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋＋ ＋＋
９ ５； 想 １ ３ ５ …＋ ２ 一 ）ｎ ＝ 猜 ＋ ＋ ＋ （ｎ １：
数学填空题只注重结果 ，不需 要解题过程 ，有些题 目按部就班地
３ ０２０ ２ ２１， ６
一
●
■
图１
一
般的计算 题侧重 于考查 同学
鳓
由数选题 案 于学择 答 的
３
们的计算能力和掌握基本运算公式 的能力 ．初 中数学的学 习更注重培
用“特殊值法”妙解“压轴题”
用“特殊值法”妙解“压轴题”作者：来源：《数学金刊·高考版》2014年第09期解数学题时，如果直接解原题难以入手，不妨先考察它的某些简单特例，通过解答特例，最终达到解决原题的目的. 这种思想方法，称为“特殊值法”.特殊值法的逻辑依据是：对于一般性成立的结论，特殊值必然成立，而当特殊值成立时一般性的结果未必成立. 虽然“特殊情形”只是“一般性结论”的必要条件，但若题目要求从若干结论中选取一种时，特殊值法仍然不失为一种有效的方法.基于上述考虑，特殊值法多用于解选择题.有时也可用于填空题，但需要更加慎重——必须首先判断这是一个“一般性的结论”，即与题目所给的参数无关. 运用该法能有效避免“小题大做”.从中也可发现，特殊值法的实质是从满足题目所给条件的众多情形中选择的一种，以最少的代价换取成功. 既然如此，在符合“特殊值法”逻辑依据的前提下，也可将之运用于解答题，尤其是具有一定难度的“压轴题”，从而实现“大题小做”.下面结合实例，探讨“特殊值法”在“压轴题”中的运用.用特殊值法寻找“压轴题”的结论压轴题中经常会这样设计：求某参数的值，求定点、定直线等问题，这些问法有一个共性，即最后的结论唯一，这时我们可以尝试利用一些特殊情形去寻找要求的结论.例1 已知函数f（x）=x3-3ax+1，求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0， ]恒成立.解析：因为f ′（x）=3x2-3a，可得将参数a分a≤0、a≥3、0f（x）在[0， ]上递减，在[ ， ]上递增，所以f（x）在[0， ]上的最小值为f（）=1-2a . 所以f（a）≥-1，f（）≤1，f（0）≤1，即a ≤1，a≥1，所以a=1. 整个解题过程比较烦琐，要完整地解决本题需要考生有较好的数学功底.思考：既然本题要对所有的x∈[0， ]都要成立，可以取某些特殊值代入不等式进行尝试.“特殊值法”：发现x= 时不等式可化为1≤a≤ ，再取x=1得≤a≤1，由此可快速得到结论a=1. 下面只须把a=1代入不等式进行验算即可.例2 已知椭圆C： +y2=1的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，过点S0，- 的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.解析：本题设T（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），在由题意可得 · =0，要得到定点T的坐标，就要使得以上等式和直线方程斜率k无关，从而求出定点T的坐标.思考：对于解析几何的问题思路，我们都能想到，但是中间化简的艰辛又是我们比较害怕的，那么对于这样的问题我们还有其他更好的办法吗？“特殊值法”：读完本题，我们不难发现，我们可以根据直线斜率不存在和直线斜率为0两种特殊的情况将定点（0，1）求出，再对 · =0进行验证，此时我们将较为复杂的解几问题转化为简单的证明问题，这也给大家一个提示，对于求定点、定直线的问题，我们很多时候都可以先通过特殊的几个位置，算出定点、定直线，再进行验证.用特殊值法缩小“压轴题”的探究空间求最值是高考中的一大热点，参数和自变量都在变化，不容易求出最后结果，我们可以利用满足题意的特殊数据将要求的最值范围缩小.例3 已知函数f（x）=lnx-x+a，其中a∈R. 若a∈[0，2]且存在实数k使得对任意的实数x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，求k-a的最大值.解析：f（x）≥kx-xlnx-1恒成立，求k-a的最值问题即取值范围问题，我们常用的一种策略为参数分离，即k≤ +lnx+ ，问题转化为求g（x）= +lnx+ min，g′（x）= ，f（x）max=f （1）=a-1， f（x）min=1-e+a. 可分①0当1令y=2lnx0+ -x0，x0∈（1，e），则y′= - -1=- -1本题讨论情况较多，以上仅列出其中一种情况，此时大部分同学会遇到不同程度的困难，我们对于含参问题存在一定的畏惧感，而对题中所给的k-a的最大值可能会更加棘手，部分考生会觉得本题可能就是“鸡肋”——食之难以下手，弃之感觉可惜. 最后就算给了答案也只能是望题兴叹. 在这样的情况下我们是否能另辟蹊径呢？思考：观察发现，对于任意的实数x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，不妨取x=1，x=e（因为ln1=0，lne=1）代入不等式进行尝试，我们可以得到2+a-ke≥0，k-a≤0，接下来我们仅需要证明存在k=a，若能找到这样的k，a，则解题目标已经达成.“特殊值法”：令g（x）=f（x）-kx+xlnx+1，取x=1有g（1）=-1-k+1+a≥0？圯k-a≤0. 下证存在k，a使k-a=0.此时再取k=a=0，可知g′（x）= +lnx>0在[1，e]上恒成立，故g（x）在[1，e]上单调递增，由g（x）min=g（1）≥0知k-a的最大值为0.用特殊值法猜想“压轴题”的结论压轴题很多时候会涉及存在性问题，恰恰从正面去找存在的值是比较困难的，我们可以根据题意去猜想所要的结论，再证明结论.例4 已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a>0. 设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若 >0在D内恒成立，则称P 为函数y=h（x）的“类对称点”，请你探究当a=4时，函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请求出至少一个“类对称点”的横坐标；若不存在，则说明理由.解析：解决本题关键就是判断φ（x）=f（x）-g（x）的符号情况，我们可以得到φ′（x）= ，接下来我们就可以将x0分成0 ，x0= 三种情况来解决，在每种情况下我们再说明φ（x）的单调性，从而得到我们所要的结果.这样解决这道题，思路方法虽然清晰，但中间的环节难以妥善处理，给解题带来困难.思考：回观本题，既然要求“是否存在这样的点”，不妨尝试先找到这样的特殊点，再进行验证，解题难度将会大大降低. 由题可得f ′（x）=2x-6+ = >0？圯f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，由f（x）的函数图象及在点P（x0，h（x0））的切线方程可知x0∈（1，2），x0的取值范围缩小了，接下来我们去找一些特殊的点，我们发现[f ′（x）]′=0？圯x= ，再根据图形我们就找到了这样的一个类对称点.“特殊值法”：令m（x）=f′（x）=2x-6+ ，则m′（x）=2- =0？圯x= . 猜想x0= 为f（x）的类对称点. 下证明之.令θ（x）=f（x）-g（x）=x2-4 x+4lnx+6-2ln2，θ′（x）=2x+ -4 .①当00，则θ（x）在（0，）上单调递增，θ（x）0恒成立；②当x> 时，θ′（x）>0，则θ（x）在（，+∞）上单调递增，θ（x）>θ（）=0恒成立，故 >0恒成立.综上得：存在类对称点横坐标x= .在压轴题中运用“特殊值法”，通常需要具备特殊的结构、特殊的数据或特殊的命题表述. 尽管“特殊值法”运用的条件限制较多，但这种“巧用”并非只是“雕虫小技”，需要敏锐的观察力，更需要严谨的逻辑判断能力. 一旦可以运用，就可以大大降低压轴题的难度，达到“四两拨千斤”的效果.？摇？摇事实上，就压轴题本身而言，虽然通过一些常规的思路、通用的解法或许也能解决，但往往耗时费力. 在解题过程的某个关键环节中，有时需要打破传统“出奇制胜”，这正是压轴题之为“压轴”的含义所在. 就此而言，“特殊值法”给予我们更大的启示在于：充分挖掘解题信息，打破思维定式，寻求更优秀的解题之道，让思想充满灵气.。
特例法在解选择题中的妙用
高 中 版中。 ？ 擞・ ？ 鞫 麓 圈 豳 ＿
教 学
参谋
解法 探究
２ ０ １ ４年 ３月
三、 巧 选 特 殊数 列
对于某些一般性 数列的选择题 ， 常常 可以将 数列特
一
解 析 ： 选 取 特 殊 角 ＝ 詈 ∈ （ 号 ， 詈 ） ， 验 算 知 Ｐ 在 第
ｙ ） ＋
Ｃ ． Ｑ ＜ Ｐ ＜ Ｒ
．
Ｄ ． Ｐ ＜ Ｒ ＜ Ｑ
） ｔ — ｙ ） （ ， Ｙ∈ Ｒ） ， 贝 ２ ０ １ ０ ） ＝
解 析 ： 取 １ ０ ０ ， ｂ ＝ １ ０ ， 此 时 、 ／ ， Ｑ ＝ 要－ １ ｇ 、 ／ 丽，
Ｒ ＝ ｌ ｇ ５ ５ ＝ ｌ ｇ ￣ ， 比较可知Ｐ ＜ Ｑ ＜ Ｒ， 故 选Ｂ ．
及平 时碰到 的习题就特例法谈一谈 自己的具体做法． 特例法就是用特殊情形 代替题设普遍 条件 ， 得 出特
殊结 论 ， 常用 的特例有 特殊数值 、 特 殊 函数 、 特殊 位置 、 特殊 图形等． 下 面笔者就平 时 的教学 总结几种行 之有效
的方法 ， 欢迎 批评指正．
一
例３ 函数 ） 在定义域上满 ） ） ） ， ） ， 且 有厂 （ 口 ） ＝ １ （ ａ ＞ １ ） ， 若有不等 ） ＋ 厂 （ ３ － ｘ ） ≤ ３ 恒成立 ， 则
２ ０ １ ４ 年 ３ 月
解法探究
学 பைடு நூலகம்
特例法在解选择题中的妙用
◎ 江 苏 省 扬 州 市邗 江 中 学 倪 富 春
历年 各省 的高考题 中选择 题与填 空题 占了近 总分
当然 ， 此法要 注意 ， 所取 的特殊值必 修要 在要 求 的
特殊值法在高考数学解题中的运用
C、sgn[g(x)] sgn[f(x)] D、sgn[g(x)] sgn[f(x)]
传统解法：
(1)当x > 0时, ax x, f (x) f (ax) 0 g(x) f (x) f (ax) 0
sgn(g(x)) 1 A
(2)当x 0时, ax x, f (x) f (ax) 0 g(x) f (x) f (ax) 0 sgn(g(x)) 1
例题1（选自2014湖南卷理第3题）
已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，并且
f(x)-g(x)=x^3+xA^2+1,则f(1)+gD、3
解（特殊取值法）：因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数 和奇函数，不妨令f(x)=x^2+1,g(x)=-x^3,则f(1)=2,g(1)= 1,f(1)+g(1)=1,所以答案为C
1、 特殊值法的定义
解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先 考察它的某些简单的特列，通过解答这些特列，最终 达到原题的目A的，这种解决数学问题的思想方法，通 常称为“特殊值法”
2、特殊值法的理论基础
对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊 值成立时，一般性的结果不一定成立。这是很简单的一 个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的 特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出答案 的方法
90o的两个不动点，则 1 1 等于
OP2 OQ2
A
A、34 B、8
C、8 D、34
15
225
变式训练2
在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c.
a、b、c成等差数列，则 cos A cos C = 1 cos Acos C
应用特殊值解题
故 只 需 取 Ｄ 中 ｍ 一 丢 代 入 ， 即 可 解 得 Ｉ ＂ Ｌ ＝ － ６ ＜ ０ 符 合 题 设 条 件 ． 故 选 Ｄ ．
注： 例１ 中不 能 同 时取 绝对 值 为 １ 的数 ， 否 则选 项 Ｂ 、 Ｄ的值 相 同 ， 难 以
取 舍． 故选 取特 殊值 一 定要考 虑 条件 ， 包括 选项 的 限制．
解： （ １ ） 取ｘ ＝ ｌ ， 则（ ３ ｘ ＋ １ ） ％ａ ｏ Ｘ １ ４ ＋ ａ １ ｘ ｌ ＋ ｔ ｈ ｘ ｌ ２ ＋ ａ ３ ｘ １ ＋ ａ ４ ＝ ． ａ ｏ ＋ ａ ￣ ＋ ， ｈ ＋ ａ ｚ ＋ ａ ４ ＝（ ３ ｘ １ ＋ １ ） ４ ． － ＝ ４ ４ ＝ ２ ５ ６ ．
注： 若把 （ ３ ＋ １ ） 展 开后 来 确 定％、 口 ， 、 ０ ， ２ 、 ， ０ ３ 、 ， ０ ４ 的值 再 求解 将 是十 分 困
难．
仔 细观 察待 求式 的特 点发 现用 整体 思想 取特殊 值 ＝ ｌ ， Ｘ － － － ～ １ 可使 问题
获 解 巧妙．
四、 利 用 图象特 性选 取特 殊值 例５ 方程 ＋ （ ２ ｍ一 １ ） ＋（ ｍ一 ６ ） ： ０ 有 一 根 不大于一 １ ， 另 一根 不 小 于 １ ． 求（ １ ） ｍ的 取 值 范 围； （ ２ ） 方程 两根 平 方和 的最值 ．
ｍ ＋ｎ
）
—
Ａ ． ｍ＜ ｌ
Ｂ ． ｍ＞ ｌ
Ｃ ． ｍ＜ ｌ 或ｍ≥１
Ｄ． 一 １ ＜ ｒ ａ ＜ Ｏ 或ｍ＞ ｌ
解： 取特 殊值 ｍ 一２ ， ￣Ａ ． Ｉ ｍｌ ＝题 设ｎ ＜ ０ 不符 ． 所 以选 项Ａ、 Ｃ 均被 排 除． 在 选 项Ｂ 、 Ｄ中都 含有ｍ＞ ｌ ，
例析特殊值法在中考数学客观题中的应用
习题练习任务． 如“某学校举办了一次象棋比赛，在决赛 前，负责人公布了李某与王某相关成绩资料，即两人交战 记录： 李某 5 胜 6 负，王某 6 胜 5 负； 平时练习较量成绩： 李某 15 胜 3 负，王某 11 胜 5 负． 现假如要推荐一人参加 省级赛事，那么谁比较合适呢？ 为什么？”等． 在具体完成以 上课后习题练习任务过程中，初中生自然而然就可以在生活 元素的引导下进一步打开数学思维，以更加广阔的视野看 待、理解所学数学学科知识，进而在有效解决生活问题的过 程中使自身相关综合应用能力得到科学有效的锻炼．
三、设置生活化课后任务，锻炼学生知识综 合应用能力
在初中 数 学 教 育 教 学 过 程 中，各 任 课 教 师 在 对 自 己 的具体责任 进 行 定 位 时 一 定 要 清 楚 一 点，即 学 生 学 科 考 试成绩提升 固 然 重 要，但 更 要 帮 助 学 生 拥 有 运 用 数 学 知 识解决生活问题的综合能力，促使学生全面成长． 据此， 在平时运用 任 务 驱 动 法 进 行 数 学 学 科 教 学 活 动 时 ，进 入 课后作业布 置 环 节，初 中 数 学 教 师 就 可 以 适 时 为 学 生 们 设置一定的 生 活 化 习 题 作 业，给 予 学 生 充 足 的 锻 炼 提 升 机会，最终促使其数学知识综合应用能力稳步提升．
参考文献：
［1］胡苏姿． 任务驱动法在初中数学教学中的有效应 用研究［J］． 中国校外教育，2018（ 06） ： 139．
特殊值法在数列综合题中的应用
特殊值法在数列综合题中的应用好啦，今天我们来说说“特殊值法”在数列综合题中的应用，听起来是不是有点高大上？其实一点都不复杂。
大家都知道，数学题目看似神秘，实则有套路可循。
今天就来聊聊这个所谓的“特殊值法”，其实它就是通过给数列中某些“特殊”值代入，来让问题变得简单，解起来像是吃饭一样轻松！你得了解一点，数列题有时候就像是玩拼图。
我们手里拿着的“特殊值”，可能是数列中的某个特定的数，或者是你设定一个变量代入进去。
就像你打麻将，总得摸几张“特殊”的牌，才有可能胡牌对吧？在数学中，特殊值法就是通过代入这些数列的“特定值”，让问题变得有了突破口。
这招好像在应试时最常见了——别看平时数学都难如登天，一旦你用上了特殊值法，题目立马就没那么可怕了。
比如说，我们面对一个看起来非常复杂的数列问题，哎，别怕！这时咱们就可以用特殊值法。
比方说，题目给了一个数列的递推公式，可能还要你推导出某个规律。
正常情况下，你可能会觉得脑袋一片空白，哎呀，怎么办？此时，咱们可以尝试给数列中的“n”代个值。
比如从最小的n=1开始，往后推。
你代入一个值，结果可能跟你想象的不一样，算错了也没关系，咱们再试第二个特殊值，这样一试，哎，突然之间，这个问题就迎刃而解了。
这种方法其实挺巧妙的。
你想啊，有时候数列的规律不明晰，题目又不给你很直观的提示。
这个时候，如果你能通过选择合适的特殊值，让方程变得简单，恍如“杀手锏”一样，瞬间就能看出数列的规律。
你看，数学的魅力就在于此，能把一个看似枯燥无味的问题，通过简单的代数技巧给搞定，爽不爽？其实啊，特殊值法就像是在黑暗中开了一盏灯。
你平时做题可能会觉得自己的思路局限死了，做了很久也没头绪。
但只要一用这个方法，眼前豁然开朗。
给个小例子，假如题目给你个二次数列，形式特别复杂，根本不知道从哪下手。
这个时候，你就可以把n从1开始代进去看看，什么？你发现n=1的时候，居然公式能简化出一个很简单的结果！这是不是就一下子让你看到光明了？如果再试n=2、n=3，也许规律就渐渐清晰了。
巧用特殊值法提升解题的效率
解题宝典特殊值法是指借助满足题目条件的特殊值来解答问题的方法.特殊值法是解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答选择题、填空题时运用特殊值法，能巧妙优化解题的方案，简化解题的过程.那么如何运用特殊值法来解题呢？一、巧取特殊的数值有些代数问题较为复杂，且计算量较大，此时我们可以根据题意寻找一些特殊的数值，将其代入到题目当中，从中寻找到一定的规律，然后采用先猜想后验证的方法、归纳法、递归法等来解题.运用特殊值法解题，有助于快速找到解题的突破口，达到化难为易的目的.例1.定义在区间()-∞,+∞的奇函数f ()x 为增函数，偶函数g ()x 在区间[)0，+∞上的图象与函数f ()x 的图象重合.设a >b >0，则下列不等式中正确的是（）.A.f ()b -f ()-a >g ()a -g ()bB.f ()b -f ()-a <g ()a -g ()-bC.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-aD.f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a 解：令f ()x =x ，g ()x =||x ，取a =2,b =1,所以f ()a =f ()2=2，f ()-a =f ()-2=-2，f ()b =f (1)=1,f ()-b =f ()-1=-1,g ()a =g ()2=2,g ()-a =g ()-2=2；g ()b =g ()1=1，g ()-b =g ()-1=1.所以f ()a -f ()-b >g ()b -g ()-a ，故选C .我们首先结合题意找到了两个满足题目条件的两个函数f ()x =x 、g ()x =||x ，然后取特殊值a =2、b =1,将其代入函数解析式中计算，便能快速解题.例2.（Ⅰ）已知在数列{}C n 中，C n =2n +3n ，且数列{}C n -pC n -1是等比数列，求常数p .（Ⅱ）设{}a n ，{}b n 是公比不相等的两个等比数列，且C n =a n +b n，证明数列{}C n 不是等比数列.解：（Ⅰ）由C n =2n +3n得C 1=5、C 2=13、C 3=35、C 4=97，又因为C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3为等比数列，所以()35-13p 2=()13-5p ()97-35p ，解得p =2或3.（Ⅱ）设{}a n 、{}b n 的公比分别为p 、q 且p ≠q ，则它们的前三项为a 1、a 1p 、a 1p 2和b 1、b 1p 、b 1p 2,其中a 1b 1≠0，所以C 1=a 1+b 1、C 2=a 1p +b 1q 、C 3=a 1p 2+b 12q 2，从而C 1C 3=a 12p 12+a 1b 1()p 2+q 2+b 12q 2，C 22=a 12p 12+2a 1b 1pq +b 12q 2.又因为p ≠q ，p 2+q 2>2pq ,所以C 22≠C 1C 3从而{}C n 不是等比数列.对于问题（Ⅰ），主要抓住了{}C n -pC n -1为等比数列的信息，然后取特殊值n =1,2,3,4，得到数列的前三项C 2-pC 1、C 3-pC 2、C 4-pC 3，利用等比数列的性质建立关系式，求得p 的值，最后验证结果即可.解答问题（Ⅱ），需首先结合题意设出两个数列的公比，取数列的前三项，利用等比数列的性质证明结论.二、巧造特殊的图形有些几何问题中的图形为不规则的图形，难以直接运用所学的公式、定理、法则来解题.我们可以将图形特殊化，巧妙构造满足题意的、规则的、特殊的图形，或者直接将已知图形视为某种规则的、特殊的图形.这样会给我们解题带来很大的方便.例3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ,EF =32,EF 与AC的距离为2，则该多面体的体积为（）.A.92B.5C.6D.152解：假设EF ⊥面FBC ,所以V E -FBC =13S ΔFBC ∙EF =13×12×3×2×32=32，而四棱锥E -ABCD 的体积为V E -ABCD =13×3×3×2=6,所以V ABCDEF =V E -ABCD +V E -FBC =152,故选D .题目中的图形呈现不规则状态，需对多面体作特殊化处理，于是假设EF ⊥面FBC ，这样三棱锥E -FBC 就成为直三棱锥，运用直三棱锥的体积公式便能快速得到结果.综上所述，运用特殊值法解题的关键是寻找满足题意的特殊数值、图形，将其代入题中进行求解.运用特殊值法解题，能让问题变得更加简单、直观，有助于培养同学们运用“从特殊到一般”“从一般到特殊”思想解答问题的能力.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）巧用特殊值法提升解题的效率石建春40。
【数学思想系列】妙用特殊值法
【数学思想系列】妙用特殊值法
特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程．但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程．于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一．数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想．
【典型例题】
例7．（12无锡）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF 的长（）．
【解析】
【方法一】
解：连接NE，
设∠PAB＝30°，则∠ACO＝∠PBA＝60°，
∵⊙M的半径为4，圆心为M（﹣5，0），∴AB＝8，A（－9，0），B（－1，0），
由垂径定理得：OE＝OF，OE2＝EN2﹣ON2＝r2﹣x2＝9，即OE ＝OF＝3，
∴EF＝2OE＝6，
故答案为：C．
【总结】使用特殊角度代入求出，或者直接设未知数都可以获得正确答案．
【举一反三】
【解析】
【总结】本题方法多样，根据a、b、c、d都是正实数，可以采用特值法，方便快捷得到正确答案．。
妙 用 特 殊 值
方法技巧妙 用 特 殊 值在解题时，若能灵活地使用特殊值，就可能起到意想不到的效果。
“特殊值法”的应用很广，现就以八年级（课标北师大版）的知识为背景来举例说明。
【☆使用特殊值的一般原则凡是题目中存在字母，并且字母的取值有一定范围时，一般都可以考虑在其范围内取一个特殊值。
☆特殊值的分类⑴数字本身的特殊性。
如-1，0，1等，用这些数会使计算更加简单； ⑵针对具体题目本身的特殊数字。
若-1，0，1是满足字母所给范围之内的数，一般要优先采用。
☆使用特殊值的作用⑴为了使计算简单或给我们一个最初的直观判断；⑵“特殊值”最主要作用是可以排除错误的结论，但一般不能作为解题的依据。
】（以上的“原则·分类 ·作用”是笔者个人的体会，但也望大家能够在以下解题中或以后的解题中慢慢体会） 一、特殊值在选择题中的妙用 1、如果0m n <<，那么下列结论中错误的是（） A.99m n -<- B.m n ->- C.11m n> D.1mn>析：首先由不等式性质知，选项A 、B 是正确的，故先排除。
因0m n <<，不妨设2,1m n =-=-，则C 、D 选项分别是：C.112->- D.21>，显然选项C 错误，故选C 。
2、已知,,a b c 均为实数，如果a b >，那么必有（ ）A.ac bc >B.ac bc <C.22ac bc >D.22ac bc ³ 析：因a b >，不妨设1,0a b ==，则此时四个选项分别为： A.0c > B.0c < C.20c > D.20c ³，显然选项D 是肯定的，故选D 。
3、已知：32x a +=，23x b +=，且2a b >>，则x 的取值范围是（ ）A.1x <B.4x <C.14x <<D.14x x ><或析：本题三个字母互相联系，但字母x 是它们联系的“桥梁”，因而我们对x 取特殊值。
巧妙使用特殊值法解物理选择题
巧妙使用特殊值法解物理选择题
周子润
【期刊名称】《中学生数理化：高考理化》
【年(卷),期】2018(0)4X
【摘要】在求解高中物理中的一类计算型选择题时,如果可以在不违背题意的前提下选择一些能直接反映已知量和未知量数量关系的特殊值,代入有关表达式进行推算,依据结果对选项进行判断,则可以获得事半功倍的效果。
这种方法被称为'特殊值法',其实质是将抽象的、烦琐的一般性问题的推导、计算转化成具体的、简单的特殊性问题来处理,达到迅速、准确完成选择的目的。
【总页数】1页(P73-73)
【关键词】特殊值法;凸透镜;表达式
【作者】周子润
【作者单位】江苏省沭阳高级中学高二302班
【正文语种】中文
【中图分类】G634.7
【相关文献】
1.特别问题，“特殊”对待——例析“特殊值法”在物理选择题中的应用 [J], 王旭
2.用特殊值法巧解初中数学选择题 [J], 杨爱民;
3.特别问题，“特殊”对待——例析“特殊值法”在物理选择题中的应用 [J], 王
旭
4.用特殊值法解选择题 [J], 王旭
5.特殊值法在解高考数学选择题中的运用 [J], 郝晓鑫;韩龙淑
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第15单元 妙用特殊值法、特殊位置法联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论.此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生.一、代数类[8]解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断.例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ）A ．0B .2C .5D .8交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试.技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上.例15－1－2 化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案.例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b>；④11a b <中，正确的有（ ）A .1个B . 2个C . 3个D . 4个交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1.例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ）A . 先涨m ％，再降n ％B . 先涨n ％，再降m ％C .D . 先涨2m n +％，再降2m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40例15－1－5 函数y ＝ax －a 与a y x=（a ≠0）在同一直角坐标中的图像可能是（ ）A B C D交流分享：设a＝1，把函数变成y＝x－1与1yx=后画出图像，看自己画出的图像哪个选项相符就选取它，如果没有，再设a＝－1再试.例15-1-6如图15－1－1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作0°~90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（）A B C D交流分享: 显然A与D、E重合时S＝0，A从D到E时S由0变大再变小到0，结论就得到了.其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.体验与感悟15－11.若3a2－a＝2，则5＋2a－6a2＝___________.2.已知x：y＝5：2，M＝222xyx y-，N＝2222x yx y+-，则M－N＝____________.3.已知0＜a＜b＜1，不等式正确的是（）A. a＜a2B.a2＞bC. a＞abD.11a b<4. 甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元. 由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元. 那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（）15－1－1ABDE·OA ．甲比乙便宜B . 乙比甲便宜C . 甲与乙相同D . 由m 的值确定5. 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）A B C D6. 已知函数3y x=-图像上的三个点A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）、C （x 3, y 3），且x 1＜0＜x 2＜x 3, 则y 1、y 2、y 3,的大小关系是（ ）A . y 1＜y 2＜y 3B . y 2＜y 3＜y 1C . y 3＜y 2＜y 1D .无法确定7. 把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b ＋2a ＝6, 则直线AB 是（ ）A . y ＝－2x －3B . y ＝－2x ＋3C . y ＝－2x －6D . y ＝－2x ＋68. 如图15－1－2，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A B C D二、几何类[8]解法归一：画出符合题意的特殊位置，如在起点、中点、终点的图形，再来求值或推断. 例15－2－1 如图15－2－1，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC于E ，23AE EC =.则AB AC =( )A .13B . 23C . 25D . 35交流分享：就取AE ＝2，EC ＝3，则DE ＝2，AC ＝5，由相似求得AB 后再求AB ：AC 的值，或通过相似到处AB ：AC ＝DE ：CE 均可.注：在比例问题中特殊值法用的更是广泛.例15－2－2 如图15－2－2，将一个直角三角形纸片减去直角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝_____度交流分享：取两锐角分别是30°、60°即可. 因为既然减法是任意的，又求∠1＋∠2的值，所以它一定是个与剪法无关的定值，否则无法求∠1＋∠2的值.例15－2－3 如图△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E . DF ⊥AC 于点F ，BC ＝2，则DE ＋DF ＝_____.交流分享：当D 在B 时，DE ＝0，DF 就是AC 边上的高；当然D 取在BC 中点或C 点时亦可得结论.因为D 是BC 边上任意一点, DE ＋DF 如果不是定值就没法求了，所以它一定是个定值. 另外通过连接AD 用面积法（或用其他方法）也可证明DE＋DF 是一个定值，与D 的位置无关.Hi ！特殊值法咱早就用过！今天起往后，做选择填空题时咱就常用用它如何？体验与感悟15－21. 若1082x y z ==，则x y z y z++=+__________. 2. 如图15－2－4，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则（ ）3. A . AD ·DB ＜AC ·CB B . AD ·DB ＝AC ·CB C . AD ·DB ＝AC ·CB D . AD ·DB 与AC ·CB 大小关系不确定3. α为锐角，若tan α＝45，则si n α＝_______, c os α＝_______. 4. 直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ) A . ab ＝h 2 B . a 2＋b 2＝2h 2 C .111a b h += D . 222111a b h += 5. 如图15－2－5将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则∠AOC ＋∠DOB ＝___.图 15-2-5 图15-2-6 图15-2-76. 如图15－2－6，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，AC 交BD 于点O ，EM ⊥AC 于点M , EN ⊥BD 于点N , 则EM ＋EN ＝_________.7. 如图15－2－7，在△ABC 中，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B . 已知P 、Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ , 在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是（ ）A . 一直增大B . 一直减小C .先减小后增大D .先增大后减少A C BD 图15－2－特殊值法（特殊位置法）不仅仅在解决选择填空题中有用，它对解难题、大题同样有很大帮助，因为它是合情合理推理的一部分.例15－3－1 在锐角△ABC 中，∠BAC ＝60°，BD 、CE 为高，F 是BC 的中点，连接DE 、EF 、FD . 请推断“BE ＋CD ＝BC ”成立与否.交流分享：取∠B ＝60°、45°各一次，看两次结论是否相同即可. 如果特殊情况结论不一，结论肯定不成立. 此题也可通过严格证明得结论，但有难度.例15－3－2 如图15－3－1，位于一条大河两侧的A 、B 两市准备在河上联合修建一座大桥，请你帮忙确定一下桥的位置（要求桥与河岸a 、b 垂直），使得从A 到B 的行程最短. 要求：画出图，不写作法.体验与感悟15－31.如图15－3－2，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系：___________.图15-3-2 图15-3-3 图15-3-42.如图15－3－3，在△ABC 中，a , b , c 分别为∠A , ∠B , ∠C 的对边，若∠B ＝60°, 则c a a b c b+=++（ ）A ．12B ．2A ．1 A 3.如图15－3－4，一个矩形被两条线段分成了四个小矩形，如果图形⑴、⑵、⑶的面积分别是8、6、5，则阴影的面积是_________.3.如图15－3－5，矩形的顶点坐标分别为O （0,0）, A （3,0）, B （0,4）, C （3,4）, D 为边OB 的中点. E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，点E 、F 的坐标分别为__________、__________.5. 如图15－3－6，点P（t, 0）（t＞0）是抛物线y＝x2－tx与x轴的交点. 已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1, 0）, B（1,－5）, D（4, 0）, 规定：在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，则t的取值范围是_______________.提醒：请将一下特殊值法与特殊位置法的妙用吧！仔细体会一下，你会有不少心得.。