泛函分析——武大精品课2-4

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泛函分析答案

举例习题 2.3.12 .........................................72 举例习题 2.3.13 .........................................76 举例习题 2.3.14 .........................................77 举例习题 2.3.3 ...........................................46 举例习题 2.3.4 ...........................................47 举例习题 2.3.5 ...........................................51 举例习题 2.3.6 ...........................................53 举例习题 2.3.7 ...........................................55 举例习题 2.3.8 ...........................................56 推论 2.3.13 (等价范数定理 ).....................23
定理2.3.8(开映象定理) 设 X ,Y
都是 B 空间, T L( X ,Y ) 满
射,则 T 是开映象.

泛函分析知识总结

泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函

数的性质。在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

1.线性空间与拓扑空间：

泛函分析的基础是线性空间的理论。线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。泛函分析还引入了拓扑空间的概念，

拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一

些性质。

2.范数与内积：

范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。范数是定义在线性空间上

的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。范数可以用

来度量向量的大小。内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对

称性、线性性和正定性。

3.完备性和紧性：

完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。完备性是

一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定

义距离的空间。紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。紧

性常用于分析序列在空间内的收敛性。

4.泛函空间和对偶空间：

泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条

件的函数构成的空间。常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。

函数空间还可以定义内积、范数等结构。对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。

5.泛函的连续性和收敛性：

泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。

《应用泛函分析》习题解答

优质.参考.资料

的。由以上两个方面可知，A 是紧算子。最后来说明A 是连续的。设D x k ⊂}{，且0x x k →，只要能说明0Ax Ax k →即可。

0>∀ε，由),(u t f 在]1,0[]1,0[⨯上连续知：0>∃δ，当]1,0[,,∈'u u t ，且

δ<'-u u 时，

有δ<'-),(),(u t f u t f 。由0x x k →⇒00>∃N ，当0N k >时，有δ<-x x k 。由此

可知：0>∀ε，00>∃N ，当0N k >，有ε<-))(,())(,(t x t f t x t f k 。则

ε<-≤-=

-⎰⎰

))(,())(,())(,())(,())(())((s x s f s x s f s x s f s x s f t Ax t Ax k t

k k 。

所以0Ax Ax k →，这表明A 是连续的。

综上所述，由Leray-Schauder 不动点原理可知：积分方程在]1,0[上必有连续解。

泛函分析讲义

第三章赋范空间

. 范数的概念

“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。

为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢

向量的长度

为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图三维欧氏空间中向量的大小和方向

矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x L 的如下三种长度（称为“范数”）：

2-范数（也称为欧氏范数）：221n k k x x =

∑； 1-

范数：11

n k k x x ==∑；

∞-范数：1max k k n

x x ∞≤≤=。

图三种向量范数对应的“单位圆” 图 “单位圆”集合的艺术形式

《泛函分析》教学大纲

一、课程概述

《泛函分析》是数学专业的研究生核心课程之一，主要介绍泛函空间中线性算子、拓扑空间、紧算子、测度及积分、特征值问题等内容。本课程的学习目标是让学生掌握泛函分析的基本理论和方法，培养学生独立分析和解决问题的能力。

二、教学目标

1.掌握泛函空间的基本概念及性质；

2.熟悉线性算子的定义、性质和范数；

3.熟练运用拓扑空间的知识进行分析；

4.理解紧算子的定义、性质和应用；

5.熟悉测度及积分的基本概念和性质；

6.能够解决特征值问题并应用于实际问题。

三、教学内容及课时安排

1.泛函空间的基本概念与性质（3课时）

1.1线性空间的定义和基本性质

1.2赋范线性空间的定义和范数

1.3内积空间的定义和内积

2.线性算子的定义、性质和范数（3课时）

2.1线性算子的定义和性质

2.2算子的闭图像定理

2.3范数的定义和性质

3.拓扑空间及其性质（4课时）

3.1拓扑空间的概念和性质

3.2开集、闭集和邻域的定义

3.3连通性、紧性与局部紧性

4.紧算子的定义、性质和应用（4课时）4.1紧算子的定义和性质

4.2 Arzelà-Ascoli定理

4.3 Fredholm算子的性质和应用

5.测度及积分的基本概念和性质（4课时）5.1测度的定义和性质

5.2积分的定义和性质

5.3可测函数的性质和分解

6.特征值问题及其应用（4课时）

6.1特征值问题的定义和基本性质

6.2特征值问题的解法

6.3特征值问题在物理和工程学中的应用

四、教学方法

1.讲授与讨论相结合，理论和实例相结合，拓展学生的思维；

2.通过实例分析和讲解提高学生的应用能力；

“泛函分析”课程学习指南

本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。

绪论

1.知识要点

泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景

2.重点难点

从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。

3.学习要求

从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。

第一章距离空间

1.知识要点

距离空间的定义；收敛性；开集；闭集；连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理

2.重点难点

一些具体的距离空间（如：[,],,,,

p p

C a b L l S s）的完备性，可分性及收敛的具体含义。

3.学习要求

(1)掌握距离空间的定义及例；

(2)掌握距离空间中点集的拓扑概念；

(3)清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；

(4)掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。

泛函分析知识点总结

1.Baire定理

定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。

解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。

注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。这个经常被⽤来证明。例如，开映射定理、闭图像定理等。

2. 闭包和导集的区别

根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。

3.闭集

在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

4.不动点定理

压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：

d(Tx,Ty)<θd(x,y)

则称T是X上的⼀个压缩映射。

不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。

5.施密特正交化

将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。

e1=

x1 ||x1||

e2=

x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||

e j+1=

x j+1−

∑

k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−

∑

k=1<x j+1,e k>e k||

注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。然后再除以对应范数，进⾏单位化。

泛函分析讲义第二版课后答案

第一章函数的概念

1.定义函数：

函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个自变量映射到一个或多个因变量。它可以用来描述物理现象、经济关系、社会现象等。

2.定义函数的基本要素：

函数的基本要素包括：自变量、因变量、函数表达式、函数图像。

3.定义函数的基本性质：

函数的基本性质包括：单调性、可导性、可积性、可级数展开性、可积分性、可极限性、可微分性、可反函数性。

4.定义函数的基本概念：

函数的基本概念包括：定义域、值域、增函数、减函数、奇

函数、偶函数、有界函数、无界函数、连续函数、间断函数、有

穷函数、无穷函数、可积函数、不可积函数、可微分函数、不可

微分函数、可反函数函数、不可反函数函数。

第二章函数的极限

1.定义极限：

极限是指当自变量的值趋近于某一特定值时，函数的值趋近

于某一特定值。

2.定义极限的基本性质：

极限的基本性质包括：极限的存在性、极限的结合性、极限

的分配性、极限的交换性、极限的绝对值性质、极限的恒等性、

极限的连续性。

3.定义极限的基本概念：

极限的基本概念包括：极限的定义、极限的计算、极限的应用、极限的性质、极限的极限点、极限的极限线、极限的极限面、极限的极限空间。

第三章函数的微分

1.定义微分：

微分是指求函数的导数，即求函数在某一点处的切线斜率。

2.定义微分的基本性质：

微分的基本性质包括：微分的存在性、微分的结合性、微分

的分配性、微分的交换性、微分的绝对值性质、微分的恒等性、

微分的连续性。

3.定义微分的基本概念：

微分的基本概念包括：微分的定义、微分的计算、微分的应用、微分的性质、微分的微分点、微分的微分线、微分的微分面、微分的微分空间。

泛函分析(变分法)

答案。
到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求
解一个二阶常微分方程
d2 y
dy
a 1 ( )2
dx2
dx y(0) y0
y(0) 0
2021/4/11
n
J i 1
n
ti2 xi2 (t) i 1 tb ta
1
xi 2 ti
(t
2
)
ti
1
dx dt
2
dt
Δxi
B(t b,x b)
x(t)
A(ta,x a)
Δti
t
图2－1
2021/4/11
北京师范大学网络教育-云南学习中心
11
第二章变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.3 函数的不定积分
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而
3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全体所构成的函数空间。

泛函分析

数学夏令营1：泛函分析Syan Mukherjee ＋ Alessandro Verri

关于该初级读本

目标简要的复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念*。主要介绍了下面的一些概念

1.函数空间

2.度量空间

3.收敛

4.测度

5.稠子集

*定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“Introductory Real Analysis”（强烈推荐）

6.可分离空间

7.完备度量空间

8.紧致度量空间

9.线性空间

10.线性泛函

11.线性空间的范数和半范数

12.收敛性回顾

13.Euclidean空间

14.正交性和基

15.Hilbert空间

16.Delta函数

17.傅立叶变换

18.泛函导数

19.期望

20.大数定律

函数空间

函数空间是一个由函数构成的空间。在该空间中的每一个函数可以被看作是一个点。例如： 1.[,]C a b ，在区间[,]a b 中的所有实值连续函数的集合。 2.1[,]L a b ，在区间[,]a b 绝对值可积的所有实值函数的集合。 3.2[,]L a b ，在区间[,]a b 平方可积的所有实值函数的集合。注意在2和3中的函数并不一定是连续的！

度量空间

度量空间意味着包含一个空间X 和一个距离ρ的对(,)X ρ，对于所有的,x y X ∈所定义的单值、非负的实函数具有如下的三个特性： 1.(,)0x y ρ=当且仅当x y =； 2.(,)(,)x y y x ρρ=

；

3.三角不等式：(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+

例子1.距离为

的所有实数的集合是度量空间。

泛函分析答案

泛函分析答案：

1、所有元素均为0的n ×n 矩阵

2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λ

x ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ

和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：

（1）非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：

设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }

d 2(x,y)=(

||n

i x y

=-∑)1/2

d 1(x,y)=1

||n

i i i x y =-∑

d p (x,y) = (

||n

p i

i x y

=-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n

x y ≤≤-

6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)→0(n →∞)，这时记作

[数学]泛函分析

1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．

证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A⊆X，A是X的闭子集．

若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列．

因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x．

而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中．

因此，{x n}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A, ρ)是完备的．

(2) 设(X, ρ)是度量空间，B⊆X，B是X的完备子空间．

若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X．

则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列．

由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列．

若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y．

由极限的唯一性，x∈y．故x∈B．所以B是X中的闭子集．

1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．

证明：设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足

ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y) (∀x, y∈X )

的压缩映射．

若{x n}是X中收敛于x的点列，则ρ(x n, x)→ 0．

而ρ(Tx n, Tx) ≤α·ρ(x n, x)，故有ρ(Tx n, Tx) → 0．

因此T连续．

1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n∈N+)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．

证明：(1) 设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足

泛函分析整理笔记

《泛函分析》读书笔记

课程题目：泛函分析

任课教师：高云兰博士

学生姓名：***

学生学号：********

2008年12月10日

《泛函分析》读书笔记

Reading Notes about Functional Analysis

崔继峰

所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。

泛函分析课程简介

《泛函分析》课程简介

06120360 泛函分析 3

Functional Analysis 3-0

预修课程：数学分析、实变函数

面向对象：数学系本科生

泛函分析是一门极其重要的基础数学课程。对绝大多数现代数学研究领域都是必不可少的修养之一，对诸多应用科学也有广泛的影响。本课程的主要内容包括距离空间，拓扑空间，赋范线性空间，内积空间，及其上的有界线性泛函与有界线性算子的理论。结合p

L空间，C空间等常用的例子，重点介绍一些前沿科学中的分析方法。

推荐教材或主要参考书：

《实变函数与泛函分析概要》郑维行，王声望，高等教育出版社

《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1992。《Functional Analysis》， Yosida，Springer，1995。

《泛函分析》教学大纲

06120360 泛函分析 3

Functional Analysis 3-0

预修课程：数学分析、实变函数

面向对象：数学系本科生

一、教学目的和基本要求：

泛函分析是一门极其重要的基础数学课程。对绝大多数现代数学研究领域都是必不可少的修养之一，对诸多应用科学也有广泛的影响。本课程的主要内容包括距离空间，拓扑空间，赋范线性空间，内积空间，及其上的有界线性泛函与有界线性算子的理论。结合p L空间，C空间等常用的例子，重点介绍一些前沿科学中的分析方法。

二、主要内容及学时分配：

每周3学时，共16周。

1．距离空间与拓扑空间（10学时）

距离空间基本概念，稠密性，可分性，完备性，距离空间的完备化；拓扑空间，Hausdorff空间；紧集，列紧集，Arzela-Ascoli定理；不动点定理。2．赋范线性空间（11学时）

91国优教材：泛函分析讲义

泛函分析讲义

一、泛函分析的基本概念

1、定义

泛函分析又称为泛函相似性。它是一种数学的技术，可以在极端情况下精准地求解和分析复杂的函数关系。

2、概念

向量空间，空间中所有向量的集合；泛函，一个函数的集合，可以表述成 f: 某特定的n 向量变量集合→某特定的m 向量变量值集合，其中 n,m>0；泛函分析，对于给定的一个泛函 f 和泛函中多个变量空间 Xi (i=1,2,3,..m)，求解 f 中部分变量取特定值下另外部分变量的取值范围。

3、性质

（1）泛函分析属于泛函理论的应用，它可以求解复杂的函数关系。

（2）泛函分析可以帮助我们对于复杂系统中的变量进行有针对性的分析。

（3）泛函分析可以有效地提高系统的分析效率和精确度。

二、泛函分析法的特点

1、函数可以没有限制地拓展

泛函分析法不仅可以求解多元函数，还可以求解多项式函数，甚至是非常大的函数。当有不同复杂度函数相互连接时，也可以采用泛函分析方法。

2、精确度较高

泛函分析的结果能接近实际的变量取值情况。

3、适用范围广泛

泛函分析可以应用到许多不同领域，比如机械、电子、建筑等等。

1、应用于元件分析

泛函分析可以用于分析电路元件及其特性参数，以便精确地计算出所需要的结果。

2、应用于系统模拟

泛函分析可以用来模拟系统的特性参数，预测系统性能，以优化系统的整体结构和设计。

3、用于参数估算

泛函分析可以用于分析复杂的系统结构，在给定的参数的情况下，估算出系统的性能状态。

4、用于控制设计

泛函分析可以帮助设计及优化某一系统的控制算法，便于提高系统的应用性能。

泛函分析讲义(中文版-武汉大学)-4a786423a5e9856a5612604e

Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 ∀x, y ∈ E ，
0 ≤ r ≤ 1 ， rx + (1 − r ) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记
n n co E = ∑ ri xi : xi ∈ E , ri ≥ 0, ∑ ri = 1, n = 1, 2, i =1 i =1
（Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 ∀x, y ∈ X ，存在 u ∈ X ，称 u 为 x 与 y 之和：
u = x + y ．满足
（1）（2）（3）（4）
x+ y = y + x．
( x + y) + z = x + ( y + z) ．存在 0 ∈ X 使得任意的 x ∈ X ， x + 0 = x ．对于每个 x ∈ X ，存在 x′ ∈ X 使得 x + x′ = 0 ．记 x′ = − x ，称 x′ 是 x 的负元．
线性空间 X 中的元素 x1 ,
, xn 称为是线性无关的，若 ∀a1 , a1 x1 + + an xn = 0
, an ∈Φ ，当
时 a1 =
= an = 0 ． X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无