2018年高中数学-第2章平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件6 苏教版必修2

合集下载

2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直

2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3，且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1，且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t，所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1，所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角，所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形，综上可知，四边形OPQR 是矩形．。

2018年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件12 苏教版必修2

43 4 2
1 6
C
3
●
所以 kAB kCD ，从而 AB CD，
o -4
2
5x
又因为
kBC
3 ( 7) 2
25
13 6
,
kDA
3 4 2 (4)
7 6
-3
●
A
●B
所以 kBC kDA ，从而 BC与 DA 不平行，
因此四边形 ABCD 是梯形.
跟踪练习
根据下列各点的坐标，分别判断各组中直线 AB与 CD 是否平行：
l1 l2 k1 k2 (k1, k2均存在)
（2）当两条直线的斜率都不存在时，那么它们都与x轴垂直，故两条直线互相平行.
例1
求证：顺次连结 A(2, 3), B(5, 7),C(2,3), D(4, 4)
2
四点所得到的四边形是梯形.
y
证明：因为
D●
k AB
7 (3) 2 52
1 6
, kCD
(1) A(1, 2), B(2,1),C(3, 4), D(1, 1).
kAB 1
kCD
5 4
(2) A(2,3), B(2, 1), C(1, 4), D(1,1);
kAB , kCD 均不存在
(3) A(3, 1), B(1,1),C(3,5), D(5,1); 检验两条直线
1 kAB 2
4x y 11 0
求过点 A(2, 3)且与直线l : x 5 0平行的直线 l1方程.
x20
求过点 A(2, 3)且与直线l : y 6 0 平行的直线 l1方程.
y30
思考：所求的直线方程与已知直线方程形式上有什么关系？

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_1_3第2课时两条直线的垂直学案苏教版必修2

- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时两条直线的垂直学习目标 1. 理解并掌握两条直线垂直的条件.2. 能依据已知条件判断两条直线垂直.3. 会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断思虑 1两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系？思虑 2假如两条直线垂直，那么斜率必定互为负倒数吗？梳理图示l 1的斜率不存在，l2的斜率为0?对应关系l 1⊥ l 2(两直线斜率都存在) ? __________种类一两条直线垂直关系的判断例 1判断以下各组中的直线l 1与 l 2能否垂直：(1)l 1经过点 A(－1，－2)， B(1,2)， l 2经过点 M(－2，－1)， N(2,1)；(2)l 1的斜率为－10， l 2经过点 A(10,2)， B(20,3)；(3)l 1经过点 A(3,4)， B(3,100)，l 2经过点 M(－10,40)， N(10,40).- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式： l 1：A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0，l 2：A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0. 则 l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.追踪训练 1 以下各组中直线l 1与 l 2 垂直是 ________.( 填序号 )① l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3x ＋ 2y ＋ 4＝ 0；②l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3y － 2x ＋ 4＝ 0；③l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2：－ 4x ＋ 6y － 8＝ 0；④ l 1： ( － a －1) x ＋ y ＝5 和 l 2： 2x ＋(2 a ＋ 2) y ＋ 4＝ 0.种类二由两直线垂直求参数或直线方程命题角度 1 由两直线垂直求参数的值例 2 三条直线 3 x ＋2 ＋6＝0,2x － 32＋ 18＝ 0 和 2 －3 ＋ 12＝0 围成直角三角形，务实y my mx y数 m 的值 .反省与感悟此类问题常依照两直线垂直的条件列对于参数的方程或方程组求解 .追踪训练 2已知直线 l 1 经过点 A (3 ，a ) ， B ( a － 2，－ 3) ，直线 l 2 经过点 C (2,3) ，D ( － 1，a－ 2) ，假如 l 1⊥ l 2，则 a 的值为 ________.命题角度 2由垂直关系求直线方程例 3 求与直线 4 x － 3 ＋ 5＝ 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为 10 的直线方程 .y AOB- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟(1) 若直线 l 的斜率存在且不为 0，与已知直线 y ＝ kx ＋ b 垂直，则可设直线 l1的方程为 y ＝－ k x ＋ m ( k ≠0) ，而后利用待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .(2) 若直线 l 与已知直线＋＋＝ 0 垂直，则可设 l 的方程为－＋＝ 0，而后利用Ax By CBx Ay m待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .追踪训练 3 已知点 A (2,2) 和直线 l ：3x ＋ 4y －20＝ 0，求过点 A 且与直线 l 垂直的直线 l 1 的方程 .种类三垂直与平行的综合应用例 4 已知四边形 ABCD 的极点 B (6 ，－ 1) ，C (5,2)，D (1,2). 若四边形 ABCD 为直角梯形，求A 点坐标 .反省与感悟相关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是依据已知条件列方程 ( 组 ) 求解 .假如波及到相关四边形已知三个极点求此外一个极点，注意判断图形能否唯一，以防漏解.追踪训练 4 已知矩形 ABCD 的三个极点的坐标分别为 A (0,1) ， B (1,0) ， C (3,2) ，求第四个极点 D 的坐标 .1. 以下直线中，与直线：＝ 3 ＋ 1 垂直的是 __________.( 填序号 )- 让每一个人同等地提高自我①y ＝－ 3x ＋ 1；② y ＝3x － 1；11③y ＝ 3x － 1;④ y ＝－ 3x － 1.2. 已知3. 直线4. 直线A (1,2) ，B ( m,1) ，直线 AB 与直线 y ＝0 垂直，则 m 的值为 ________.l ，l 2 －3x － 1＝0 的两个根，则 l 与 l 的地点关系是 ________.2 的斜率分别是方程 x1 21 x ＋＝0 和直线 x － ay ＝0 相互垂直，则＝ ________.ya5. 过点 (3 ，－ 1) 与直线 3x ＋ 4y － 12＝ 0 垂直的直线方程为 __________.1. 两条直线垂直与斜率的关系图形表示l 1 ，l 2 的斜率都存在，分别为 l 1 与 l 2 中的一条斜率不存在，另一条对应 k 1， k 2，l 1 与 l 2 的地点关系是关系则 l 1⊥ l 2? k 1· k 2＝－ 1斜率为零，则 l 1⊥ l 22. l 1： A 1x ＋ B 1y ＋C 1＝ 0， l 2： A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0，l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝0.3. 与 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂直的直线可设为 Bx － Ay ＋ C 1＝ 0.- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑 1两条直线的倾斜角相差 90°.思虑 2假如两条直线垂直，当斜率都存在时互为负倒数，当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.梳理k 1· k 2＝－ 1 l 1⊥ l 2题型研究例 1 (1) l 1 与 l 2 不垂直．(2) l 1⊥ l 2.(3) l 1⊥ l 2.追踪训练 1 ①④例 2 解 ①当直线 3 ＋ 2 y ＋ 6＝0 与直线 2 － 3 2 ＋18＝ 0 垂直时，有 6－6 2＝ 0，∴ ＝ 1x x my m m或 m ＝－ 1.当 m ＝ 1 时，直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 也与直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝0 垂直，因此不可以组成三角形，故m ＝ 1 应舍去．∴m ＝－ 1.②当直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝ 0 与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 6m － 6＝ 0，得 m ＝ 1( 舍 ) ．③当直线 2与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 22x － 3my ＋ 18＝ 0 4m ＋ 9m ＝ 0，4∴m ＝ 0 或 m ＝－ 9. 经查验，这两种情况均知足题意．4综上所述，所求的结果为m ＝－ 1 或 0 或－ 9.追踪训练 2 5或－6例 3解设所求直线方程为 3x ＋ 4y ＋ b ＝ 0.bb 令 x ＝ 0，得 y ＝－ 4，即 A 0，－ 4 ；bb令 y ＝ 0，得 x ＝－ 3，即 B － 3， 0 .又∵三角形周长为10，即 OA ＋ OB ＋ AB ＝ 10，bb∴ －4＋－3＋b 2 b 2－4＋－3＝10，解得 b＝±10，故所求直线方程为3x＋ 4y＋ 10＝ 0 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0.追踪训练 3 解由于 k l· k1＝－1，41＝3，因此 k4故直线 l 1的方程为 y－2＝3( x－2)，即 4x－ 3y－ 2＝ 0.例 4 解①若∠ A＝∠ D＝90°，如图(1)，由已知 AB∥ DC，AD⊥ AB，而 k ＝0，故 A(1，－CD1)．②若∠ A＝∠ B＝90°，如图(2)．b － 2设 A ( a ， b ) ，则 k BC ＝－ 3， k AD ＝ a － 1，b ＋ 1k AB ＝ a － 6.b － 2 由 AD ∥ BC ? k AD ＝k BC ，即＝－ 3；①a － 1由 AB ⊥ BC ? k AB ·k BC ＝－ 1，b ＋ 1即a － 6·( － 3) ＝－ 1. ②12a ＝ 5 ，1211解①②得＝－ 11 ，故 A ( 5，－ 5)．b 51211综上所述： A 点坐标为 (1 ，－ 1) 或 5 ，－ 5 .追踪训练 4解设第四个极点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，由于 AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ，因此 k AD · k CD＝－1，且 k AD ＝ k BC .y － 1 y －2× ＝－ 1，x ＝ 2， x － 0 x －3因此2－ 0解得y － 1 y ＝ 3.x － 0＝ 3－ 1，因此第四个极点 D 的坐标为 (2,3) ．当堂训练1．④3. 垂直5． 4x － 3y － 15＝ 0。

2018年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件8 苏教版必修2

【数学理论】
求与已知直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平行的直线方程时,可以设所求的直线方程为
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ’＝０ (C≠C’)
（待定系数法）
【课堂练习2】
分别求满足下列条件的直线方程
1.过点A(3，2)且与直线 4x y 2 0 平行的直线
2.过点C（2，-3）且平行于过两点 M(1,2),N(-1,-6)的直线
因此，四边形ＡＢＣＤ是梯形．
【课堂练习2】
已知A(-1,3)，B(3,-2),C(6,-1),D(2,4) 求证：四边形ABCD为平行四边形
【数学应用】例2
求过点A(2，-3),且与直线2x y 5 0
平行的直线方程
【分析】例2
y
2x y 5 0
O
x
P(2,-3)
【思考】
观察下列直线有什么特点 1.2x+y-5=0 2.2x+y+2=0 3.4x+2y+6=0
【导学探疑】
Hale Waihona Puke 画出下列直线：1.x y 1 0, x y 2 0
2.x 2, x 4
3, y 1, y 2
观察两条直线有什么特点？
【数学理论】
1 若两直线 l1,l2 不重合，且斜率 k1, k2 都存在，
则 l1 || l2 k1 k2
2 若两直线l1,l2 不重合，且斜率都不存在，则l1,l2 平行.
【课堂练习1】
分析判断下列直线AB与CD是否平行.
（1）A(3,1), B(1,1),C(3,5), D(5,1) 是
（2）AB : x 2y 1 0,CD : 2x 4y 3 0 是
【数学应用】例1
求证：顺次连结

2018学年高中数学必修2课件第2章2.1-2.1.3两条直线的平行与垂直精品

规律总结利用直线的位置关系求参数的思路
对于已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形．此外，求解垂直问题时，还需注意斜率是否为零．
[变式训练] 3．已知直线 l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a ＝0，求满足下列条件的 a 的值： (1)l1∥l2；(2)l1⊥l2. 解：由题可知 A1＝a，B1＝3，C1＝1；A2＝1，B2＝a
(3)由题意知，k1＝tan 30°＝ 33，k2＝02－－13＝－ 3，因为 k1k2＝－1，所以两条直线垂直． (4)由题意知，k1＝4－3（－－21）＝5，k2＝10－－25＝15，因为 k1k2≠－1，所以两条直线不垂直．
规律总结判定两条直线垂直的方法
在两条直线斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注意当一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行时，两直线也垂直．
解：因为四边形 ABCD 的各顶点的坐标分别为 A(－
4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，
5－3 1
5－3 1
所以 kAB＝2－（－4）＝3，kBC＝2－6＝－2，
kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－3－0（－－3 4）＝－3.
所以 kAB＝kCD，kBC≠kAD，即 AB∥CD，BC 不平行 AD，
[变式训练]
2．判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否垂直． (1)l1 经过点 A(－1，－2)、B(1，2)，l2 经过点 M(－2，－1)，N(2，1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10，2)，B(20，3)； (3)l1 经过点 A(3，4)，B(3，10)，l2 经过点 M(－10， 40)，N(10，40)； (4)l1，l2 的斜率是方程 x2－2014x－1＝0 的两根．

高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2

2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下：如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0，则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________．垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学业分层测评苏教版必修2

2.1.3 两条直线的平行与垂直(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为________．【解析】直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x3＝－1，∴x ＝6.【答案】 62．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是________三角形．【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】直角3．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________．【解析】∵l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，不妨设斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.【答案】垂直4．若点A (0,1)，B (3，4)在直线l 1上，直线l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为________.【导学号：41292083】【解析】由题意可知k AB ＝4－13－0＝ 3.又l 1⊥l 2，从而l 2的斜率为－33. 由tan α＝－33，得α＝150°. 【答案】 150°5．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________.【解析】l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－－3－a＝1，得a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，即b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.【答案】－26．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，有下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的结论是________．【解析】由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35， k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，PR ⊥QS . 而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行．故结论正确的为①②④. 【答案】①②④7．△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a >0)，边AC ，BC 所在直线的斜率之积等于k .①若k ＝－1，则△ABC 是直角三角形； ②若k ＝1，则△ABC 是直角三角形； ③若k ＝－2，则△ABC 是锐角三角形； ④若k ＝2，则△ABC 是锐角三角形．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】由k AC ·k BC ＝k ＝－1，知AC ⊥BC ，∠C ＝π2，①正确，②不正确．由k AC ·k BC ＝k ＝－2，知∠C 为锐角，k AC 与k BC 符号相反，③正确，④不正确．【答案】①③8．过点(m ，n )且与直线nx －my ＋mn ＝0平行的直线一定恒过点__________.【导学号：41292084】【解析】过点(m ，n )且与直线nx －my ＋mn ＝0平行的直线方程为m (y －n )＝n (x －m )，即nx －my ＝0，此直线恒过定点(0,0)．【答案】 (0,0) 二、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线． (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．【解】 (1)由k AB ＝m －32m2。

2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课件6苏教版必修2

结论：与直线Ax By C 0( A, B不全为0)平行的直线可设为Ax By m 0 (m C )
变式练习 (1)若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且在两坐标轴截距之和为6，求直线l的方程． (2)若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标轴围成的三角形面积为9，求直线l的方程．
y
●
●
D
A
3
-4
o
-3
2
5
x
●
C
B
●
例3 求过点 A(2, 3), 且与直线 2 x y 5 0 平行的直线方程. 变式:求过点 A(0, 3), 且与直线 2 x y 5 0 平行的直线方程.
思考：你求的结果 2 x y 1 0
2 x y 3 0与已知直线 2 x y 5 0有什么相同点？
l1
0
l2 : x 1 1 l2 : y x 1 2 l2 : y x 2 l2 : y 2 x 1
y y y
y l2
x
0
l1
l1
l2
0
l2
l2
2)
x
x
l1
0
x
1)
3)
4)
y
l1

y l2
l2
k

l1
0
o
x
2 1
O
4 2

x
结论：l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
1
b1
y l 1
l2
k1 k 2 l1 / / l2 b1 b2

2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课件7苏教版必修2

△ABC∽△DEF
BAC EDF
l1 // l2
结论：如果l1与l2不重合，那么
l1 // l2 k1 k 2 (k1, k 2均存在)
注意
两条直线平行的条件是在斜率存在且不重合的情况下得到的，所以“斜率存在”和“不重合” 缺一不可.
思考：
刚才我们看的两组图形中直线的斜率都是存在的,那如果两条直线的斜率都不存在会是什么情况?
l1 y
l2
l1 x轴，l2 x轴，故l1 // l2
o
x
例题讲解:
例1：已知两条直线
l1：x 2 y 1 0 l2： 2x 4 y 7 0
求证：l1 // l2
探究: 1.两直线平行,要满足几个条件?
2.要求斜率，在直线的几种形式中哪个能体现斜率的？ 3.是否重合怎么确定？
x
BC EF k1 k2 AC DF
l1 // l2
反之：
k1 k 2
△ABC∽△DEF
△ABC∽△DEF
BAC EDF
l1 // l2
l1
y
B
C
l2
A
E
D
右图中是否仍有斜率相等?
k1 BC AC EF DF
o
反之：
k1 k 2
F
x
k2
k1 k2
作业 P84 1. (1)(3); 5 补充
1、若直线2 x 2ay 1 和 x 2ay 1 平行，求实数 a 的取值范围. 2、求与直线 3x 4 y 9 0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成三角形面积是24的直线方程.
2.1.3 两条直线的平行
问题1：在平面中两条直线的位置关系有哪几种？平行相交重合

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学案苏教版必修2201707221107

2.1.3 两条直线的平行与垂直1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两条直线平行阅读教材P 89，完成下列问题．若直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2(k 1，k 2均存在)．【拓展】设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2.(×)(2)若直线l 1∥l 2(两条直线的斜率分别为k 1，k 2)，则k 1＝k 2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝________. 【解析】 k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.【答案】 3教材整理2 两条直线垂直阅读教材P 90例2～P 91思考以上部分内容，完成下列问题．两条直线垂直与斜率的关系(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1(k 1，k 2均存在)．(2)如图2－1－7②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．① ②图2－1－71．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______.【解析】直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.【答案】 22．过点(0,1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________.【导学号：41292081】【解析】直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0.【答案】 x ＋2y －2＝0[小组合作型]两直线平行的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；(2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5,5)； (3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)，D (2,0)．【精彩点拨】依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．【自主解答】 (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2. (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－－＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法[再练一题]1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)．【解】 (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－－8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．两直线垂直的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否垂直． (1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 【精彩点拨】利用两直线垂直的斜率关系判定．【自主解答】 (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2．直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．[再练一题]2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10,40)．【解】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－1－－＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－－＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究如图2－1－8，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？图2－1－8【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．【精彩点拨】利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．【自主解答】法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求． (2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0，则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2，∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．[再练一题]3．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．【解】 (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－－－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．【解析】 ①中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；④错误．只有③正确．【答案】 ③2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为________.【导学号：41292082】【解析】过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．【答案】垂直3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.【解析】由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.【答案】 24．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．【解析】由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.【答案】135°5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．【解】直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.。

高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直9高一数学

(2)若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且(bìngqiě)在两坐
标轴截距之和为6，求直线l的方程．
(3)已知两条直线：(3＋m)x＋4y＝5－3m 与 2x＋(5＋m)y＝8，m为何值时，两直线平行．
第十二页，共十四页。
课堂小结
1．利用两直线的斜率关系(guān xì)判断两直线的平行关系(guān xì)．
No 么它们都与x轴垂直，从而l1//l2。变式3、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0。（1）与直线l1:y=kx+b平行的直线系
方程可设为。注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论(tǎolùn)．。3．利用直线系解题．
Image
12/8/2021
第十四页，共十四页。
（1）与直线(zhíxiàn)l1:y=kx+b平行的直线系方程可设为 y=kx+b (b≠b )
（2）与直线l1:Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为 Ax＋By＋C＝0(C ≠C) ．
第十一页，共十四页。
巩固新知 (gǒnggù)
(1)求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行(píngxíng) 的直线的方程．
第五页，共十四页。
数学应用 (shùxué)
例1、求证：顺次(shùncì)连A 结(2 , 3 )， B (5 ,7 2)， C (2 ,3 )， D ( 4 ,4 ) 所得(suǒ dé)的四边形是梯形．
y
D
3
C
x
-4
2
5
-3
A B
第六页，共十四页。
数学应用 (shùxué)
变式、已知A（0,0），B（2，-1），C（4,2），试求一点(yī diǎn)D，使四边形ABCD为平行四边形.

高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直高一数学

第二十七页，共三十九页。
[解] 以点 B 为原点，BC、BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示直角坐标系．由 AD＝5，AB＝3 可得 C(5,0)，D(5，3)，A(0,3)．法一：直线 AC 的方程为x5＋3y＝1，即 3x＋5y－15＝0.
12/8/2021
第二十八页，共三十九页。
第2章平面(píngmiàn)解析几何初
步
2．1.3 两条直线(zhíxiàn)的平行与垂直
12/8/2021
第一页，共三十九页。
学习(xuéxí)导航
第2章平面(píngmiàn)解析几何初步
1.了解两条直线平行与垂直的几何表示．
学习目标
2.理解两条直线平行与垂直的判定条件及其推导过程．(难点) 3.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法．
第二十页，共三十九页。
平行与垂直的综合(zōnghé)应用
已知 A(0,3) ， B( － 1,0) ， C(3,0) ，求 D 点的坐标，使四边形 ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向(fāngxiàng)排列)． (链接教材P93练习T2)
12/8/2021
第二十一页，共三十九页。
3．与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，并且在 x 轴上的截距为－2 的直线方程是_____4_x_－__3_y_＋_8_＝__0______．解析：∵与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线斜率为43，并且在 x 轴上的截距为－2，∴直线过点(－2,0)．由点斜式得方程为 y－0＝43(x＋2)，即 4x－3y＋8＝0
(重点)
学法指导
通过把两条直线的平行与垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合，共三十九页。

2018年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件13 苏教版必修2

x
b1,l2
:
y

k2
x
b2
l1
试探求l1∥l2 的条件
2.若两直线方程均为一般式时, 我们又如何判定两直线平行呢?
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1，B1不全为零、A2，B2也不全为零）
试探求l1∥l2 的条件？
重要结论
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1全不为零、A2与B2全不为零）
l ∥ 1
2
A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
三：合作探究
例 1.求证：顺次连结（ A2 ， 3 ）、 B （ 5 ， -7 ）、 C （ 2 ， 3 ） 2
D （ 4 ， 4 ）四点所得的四边形是梯形。
y
D●
C
3
●
-4 o
x 2
5
-3
●
A
●
B
例2: 求过点A(1，-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程.
重要方法
与直线 AxByc平0行的直线方程可设为 AxBym0(c m)
练习:
过点（
1 2
，2 ）且与求
x2y5平0行的直线方程
例3．已知两条直线： l1：ax＋3y+1=0与， l2： 2x＋(a+1)y+1=0互相平行，求实数a 的值
四：课堂小结
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系． ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且截距不等； ②斜率都不存在．注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．