中考数学压轴题专题复习：将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

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中考数学专题复习学案“将军饮马”类题型大全含部分答案

中考数学专题复习学案“将军饮马”类题型大全含部分答案Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M ＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA ＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽，白球E距AD边，距CD边，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝，E’N＝＋＝2m，NF’＝NC＋CF’＝＋＝，则Rt△E’NF’中，E’F’＝，即白球运动路线的总长度为．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，?∵∠BAE＝136°，?∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°? ? 由对称性知，? ? ∠MAA′＝∠MA′A，? ? ∠NAA″＝∠NA″A，? ?∠AMN＋∠ANM?＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。

中考数学专题利用”将军饮马“解决线段最值问题

解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋BN的最小值．通过平移构造平行四边形将线段AM转化为A′N，此时问题转化为直线同侧求两条线段和的最小值问题．
针对训练 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，且E、F为边OA上的两个动点，且 EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
在平面直角坐标系中矩形oacb的顶点o为坐标原点顶点ab分别在x轴y轴轴的正半轴上oa3ob4d为边ob的中点且ef为边oa上的两个动点且ef2当四边形cdef的周长最小时求点ef的坐标
微专题利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一 “一线两点”型(一个动点＋两个定点) (1)异侧线段和最小值问题模型分析
5. 如图，抛物线的顶点D(-1，4)，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)．已知点E(0，-3)，点F为抛物线对称轴上一动点，当△CEF的周长取得最小值时，点F的坐标为___________．
第5题图
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大．解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．
第1题图

中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)

最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2．【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆）定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。

专题09 最值模型-将军饮马(解析版)

专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．mABPmAB mABPmAB【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，22EC =∴PQ +QC 22【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，3BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，43BC =⊥3tan 43AB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形， ⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】8 5【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是⊥DCM的平分线，⊥点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，⊥MN+NP=MN+NP′≤MF，⊥MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，⊥AD=CD=2，DE=1，⊥CE22125⊥12CE×DO=12CD×DE，⊥DO25⊥EO5⊥MF⊥CD，⊥EDC=90°，⊥DE⊥MF，⊥⊥EDO=⊥GMO，⊥CE为线段DM的垂直平分线，⊥DO=OM，⊥DOE=⊥MOG=90°，⊥⊥DOE⊥⊥MOG，⊥DE=GM，⊥四边形DEMG为平行四边形，⊥⊥MOG=90°，⊥四边形DEMG为菱形，⊥EG=2OE25GM= DE=1，⊥CG35，⊥DE⊥MF，即DE⊥GF，⊥⊥CFG⊥⊥CDE，⊥FG CG DE CE =，即35515FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=，故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC AB BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆ ⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。

将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

化同侧为异侧——轴对称变换 1.知识方面：化折线为直线——“两点之间、线段最短”
轴对称变换
两点之间线段最短轴对称变换平移变换平移变换
“引圆”法解决最值问题。
2.数学思想： “转化”思想、“数形结合”思想。
图9
图10
2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时， △MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线两点之间线段最短2
将军饮马问题 ----两线段和最小值专题
L/O/G/O
1、平移
2、旋转
3、轴对称
L/O/G/O 三种变换的本质相同：
都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？
10
6
8 图3
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？
图1
（“过桥问题”—北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编.）如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）转化思想

2024成都中考数学二轮复习专题：将军饮马求最小值1-对称【含答案】

将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1（舍弃），∴C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，∴C′（﹣1，5），∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．∴S△BDE练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣∴S△FBC2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）∵S△PEF2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y 轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标（2，﹣）．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+m+3），则Q（m，m﹣2），M（m，﹣m2+m+），由（1）可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2（﹣m2+m+﹣m+2）+2（2﹣m）÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（﹣，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M（，），N（﹣，），∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标（0，），∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标（2，）．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，故点P（，﹣），当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2（P在H的右边），当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0）当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D（﹣1，），当x＝﹣5时，y＝，即E（﹣5，﹣）＝S△AOE+S△AOD＝•AD•（y D﹣y E）＝×4×（）＝16；∴S四边形AEOD（2）如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝（）＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时y Q＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴x Q＝＝，即Q（，）．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．则＝，则Q′（，），C′（2，4），y Q′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，所以当P（，）时，|PQ﹣HC|取得最大值；练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0），B（1，0）令x＝0，得y＝，∴C（0，）设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线AC解析式为y＝x+，∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），∵点P在点E的上方，∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，∴AM＝BM|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，∵AP＝＝＝4∴|BM﹣PM|的最大值＝4；设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得解得：∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，∴M（﹣，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解方程得：x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0），又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，又顶点C（2，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：，解得：，∴y＝﹣x+6；（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，∴此时，E′（3，）F′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；。

初中数学函数压轴题：将军饮马问题---- 最短路径最小值问题专题训练

--------- 最短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。

问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。

事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。

古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。

我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。

另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。

看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。

这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。

下面我就几个例题来具体分析解决。

【典例探究】（•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，∴D（0，﹣4），∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，∴联立①②解得，（舍）或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直线AC解析式为y=﹣x+4，∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴﹣，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为y=x﹣4，∵直线AC解析式为y=﹣x+4，∴直线DF和直线AC的交点E（，），（3）∵BD=，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×5=＞BD，∴∠BED不可能是直角，∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，∵△BDE为直角三角形，∴①∠BDE=90°，∴BE⊥BD交AC于B，∴直线BE解析式为y=x+，∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，∴E（3，1），②∠BDE=90°，∴BE⊥BD交AC于D，∴直线BE的解析式为y=x﹣4，∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，﹣），∴E（，﹣），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，﹣）．【学以致用】1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC 的最小值是________.2.如图,牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一饮水,饮水的地点选在何处,牧童所走的路程最短?3.如图,点P为马厩,AB为草地边缘(下方为草地),CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.4.（•贺州）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得AD的长；（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．5.如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；（3）已知E（1，﹣1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．【分析】（1）由A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，得到D点坐标为（2，0），则OC=OD，而点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），根据角平分线的性质有∠COP=∠DOP=45°，再根据三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD，则PC=PD；（2）过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M点，OP 交BC于H点，易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，△PHB是也等腰直角三角形，得到PM垂直平分BH，而CH=CO=2，则BH=2，得到PM=BH=1，于是有ON=PN=1+2=3，根据坐标的表示方法即可得到P点坐标；（3）连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，由OC=OD，OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD，则PC=PD，得到PD+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段确定此时△PDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=﹣3x+2，根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为（，），再利用勾股定理分别计算出CE==，DE==，即可得到此时△PDE的周长．【解答】（1）证明：∵A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，∴D点坐标为（2，0），∴OC=OD，又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），∴∠COP=∠DOP=45°，∴△POC≌△POD，∴PC=PD，即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）解：过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M 点，OP交BC于H点，如图，∵OP平分∠AOC，∴∠COP=∠NOP=45°，∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，∴△PHB是等腰直角三角形，∴PM垂直平分BH，∴CH=CO=2，∴BH=4﹣2=2，∴PM=BH=1，∴ON=PN=1+2=3，∴P点坐标为（3，3）；（3）解：连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，如图，∵OC=OD，OP平分直角AOC，∴OP垂直平分CD，∴PC=PD，∴PD+PE=PC+PE=CE，此时△PDE的周长最小，设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），把C（0，2）、E（1，﹣1）分别代入得，b=2，k+b=﹣1，解得k=﹣3，b=2，∴直线CE的解析式为y=﹣3x+2，而P点的横纵坐标相等，设P（a，a），把P点坐标代入y=﹣3x+2得，a=﹣3a+2，解得a=，∴P点坐标为（，），∵CE==，DE==，∴此时△PDE的周长=+．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．。

初中数学函数压轴题：将军饮马问题----最短路径最小值问题专题训练(20201003030903)

（ 3）∵ BD= ，由（ 2）有，点 B 到线段 AC的距离为 BG= BF= ×５ =
∴∠ BED不可能是直角， ∵ B（﹣ 1， 0）， D（ 0，﹣ 4）， ∴直线 BD解析式为 y=﹣4x+4， ∵△ BDE为直角三角形， ∴①∠ BDE=90° ， ∴ BE⊥ BD交 AC于 B， ∴直线 BE解析式为 y= x+ ，
O 重合），
（ 2）解：过 B 作 BP 垂直∠ AOC的平分线于 P 点，过 P 点作 PN⊥x 轴于 N，交 BC于 M 点， OP交 BC于 H点，如图， ∵ OP平分∠ AOC， ∴∠ COP=∠ NOP=4°5 ， ∴△ PHM、△ COH和△ PON都是等腰直角三角形， ∴△ PHB是等腰直角三角形， ∴ PM垂直平分 BH， ∴ CH=CO=，2 ∴ BH=4﹣2=2， ∴ PM= BH=1，
5. 如图，在矩形 OABC中，已知 A，C 两点的坐标分别为 A（ 4， 0）， C（ 0， 2）， D 为 OA的中点．设点 P 是∠ AOC平分线上的一个动点（不与点 O重合）．（ 1）试证明：无论点 P 运动到何处， PC总与 PD相等；（ 2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，求 P 的坐标；（ 3）已知 E（ 1，﹣ 1），当点 P 运动到何处时，△ PDE的周长最小？求出此时点 P 的坐标和△ PDE的周长．
【分析】（1）由 A（4， 0），C（ 0， 2）， D 为 OA的中点，得到 D 点坐标为（ 2， 0），则 OC=OD，而点 P 是∠ AOC平分线上的一个动点（不与点 O重合），根据角平分线的性质有 ∠ COP=∠DOP=4°5 ，再根据三角形全等的判定方法易得△ POC≌△ POD，则 PC=PD；（ 2）过 B 作 BP垂直∠ AOC的平分线于 P 点，过 P 点作 PN⊥ x 轴于 N，交 BC于 M点， OP 交 BC于 H点，易得△ PHM、△ COH和△ PON都是等腰直角三角形，△ PHB是也等腰直角三角形，得到 PM垂直平分 BH，而 CH=CO=，2 则 BH=2，得到 PM= BH=1，于是有

专题02 将军饮马(一)-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

A
N
M
B
D
C
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值．
A
N M
B
D
C
过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7．
A
N
H
M
B
D
C
【隐身的等边三角形】如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN ， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
y A
C P
A． (2, 2)
O
B．(5 ， 5) 22
D
Bx
C．(8 ， 8) 33
D． (3, 3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
y D'
A
P
C
也可以作点 C 的对称：
O
D
Bx
y C' A
C P
O
D
Bx
【隐身的正方形】（2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，
A ． 2 13
B ． 2 10
C．3 5
D． 41
D
C
P
A
B
【分析】由 SPAB
1 3 S矩形ABCD
可作出 P
点轨迹为直线
M N（A M =B N =2），作点
B
关于
MN 的对称点 B’，
化折线 PA+PB 为 PA+PB’．

专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)

题型二：一定两动模型
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小.
分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
试卷第 7页，共 11页
12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（）
试卷第 10页，共 11页
试卷第 11页，共 11页
参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值．【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E

中考数学最值压轴题专题复习：将军饮马模型---线段和最小值问题专题练习

将军饮马模型专题练习——线段和最小值问题【基本模型】直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线..BA .【模型应用】1.如图，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.2.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上.30AMN,B为弧AN的中点，P是直径MN上—动点，求PA + PB的最小值.3.如图, AB,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦， AB=8，CD=6, MN 是直径，AB 丄MN 于点E,CD 丄 MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，求PA+PC 的最小值.4.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为)3,3(，点C 的坐标为，点P 为斜边OB 上的一个动点，求PA+PC 的最小值.5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC ：与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线c bx ax y 2过点A,C ，且与x 轴的另一交点为B ，又点P 是抛物线的对称轴l 上一动点.若△PAC 周长的最小值为41210，求抛物线的解析式.834x y )0,21(6.如图,在 Rt △ABC 中，60,90ABC C ，D 是BC 边上的点，CD = 1,将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，求△PEB 周长的最小值.【基本模型】A 和C 两地在一条河的两岸，将军想要在河上造一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到C 的路线AMNC 最短？请作出这条最短路线.（假设河两岸平行，桥MN 与河岸垂直.）A ..C【模型应用】7.如图，已知直线a ∥b,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302.试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a ，求 AM+MN+NB 的最小值.。

2025中考数学二次函数压轴题专题练习23 将军饮马模型(学生版+解析版)

专题23将军饮马模型一、知识导航通过全国中考试题分析来看，将军饮马的才莫型多出现在中考二次函数压轴题笫二问中出现，难度不大，但需要，主意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点．考法主要有以下几种：1．求取最小值时动点坐标2．求最小值．3．求三角形或四边形周长最小值．模型一：两定点一动点！如图，A,B力定点，P为［上动点，求AP+BP最小值:8解析．作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB二1,“8p，，当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短），,.BA端点，＇，、，，／,、、,,、，、，l,ll ,＇，p折点;;＇模型二：如图，P为定点，M、N分别为O A和OB上的动点，求6.P MN周长最小值A A。

声N8。

，，P`、/＼\PB解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则t::.PM N的周长为PM+MN+NP=P'M+M N+NP",当P'、M、N、P“共线时，t:i.P MN周长最小模型三：两定点两动点如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQ M N的最小值A A。

声B。

NQp\“出飞｀＼8解析：. P Q是条定线段，只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，分别作点P、Q关于OA、OB对称，PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。

AA。

渗NBp ．、一p ·伈1:、}NB解析：作点P关于OA对称的点P',PM+MN=P'M+MN,过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN 赦小值（点到直线的连线中，垂线段最短）模型五：将军饮马有距离例一、如图，A、D 为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？• D．ABc解析．BC力定值，只需求AB+CD枭小即可，平移AB至CE ，则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A、D 为定点，B、C 力直线l i 、h 上两动点，BC ..L h ，求AB +BC+CD 最小值？．Al1c/2• D解析．B C力定值，只需求AB+CD赦小即可，平移CD至BE,则变成求AB+BE枭小，基本将军饮马．-例一：如图l （注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A(l ,O)、8(5,0)、C(0,4)三点．x图1(I)求抛物线的解析式和对称轴，图2(2)p是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；【分析）（1)将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：y =a（儿－1)(x -5)=a(x 2-6x +5)，即可求解；(2)连接B 、C 交对称轴千点P ,此时PA+PC 的值为最小，即可求解；【解答】解：（1)将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：y = a (x-l)(x-5) = a (.:r2 -6x+ 5), 则5a =4,解得：a ==,4抛物线的表达式为：4勹（4 24y =�(x 2 -6x+5) =�x 2-—x +4,函数的对称轴为：x =3,顶点坐标为(3,＿竺）；5 5 5(2)连接B 、C 交对称轴千点P ,此时PA +PC 的值为最小，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式I y =kx +b 得I{0 = S k +b b=4y解得Ilk =-5,4b=4-O直线BC 的表达式为： 4y =--:-x +4,5:：：：：：,'，'亡，＇．：·-：：：：宁，．1．、．图当x =3时，．8-5＝y8故点P(3，一）；5例二：如图，直线y =-.,\,＋3与x 轴、x 轴另一交点为A,顶点为D.y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B 、C ,与(I)求抛物线的解析式；(2)在入轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；yx备用图【分析】（1)直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交千B 、将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、（0,3),(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C'，连接C D'交x 轴千点E ,则此时EC +ED 为最小，即可求解1【解答】解：（1）直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、（0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：｛-9+3b+c=O，解得：b=2c = 3 {c=3'故函数的表达式为：y=-x 2+2x +3,令y =O ，则x =-l 或3，故点A(-1,0)1(2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C'，连接CI Y 交x 轴于点E ,则此时E C +E D 为最小，函数顶点D 坐标为(1,4),点C'(0,-3),将C'、D 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：y =?x -3, 当y =O 时，， 3一7＝ x 3故点E(-，0)，7;．:：月y、3.• 「E,＇,＇则EC +ED 的最小值为DC'=[可工言了＝5丘；图1I三、中考真题演练I.(2023宁夏中考真题）如图，抛物线y=ax 2 +bx+3(G 汪0)与X 轴交千A,知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=I.yB两点，与Y轴交千点C.已X X备用胆(I)直接写出点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN乒轴，垂足为N,连接BC交MN千点Q 依题意补全图形，当MQ ＋石CQ 的值最大时，求点M 的坐标2.(2023黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与探究如图，抛物线y=-x 2+bx+c 上的点A,C 坐标分别为(0,2),(4,0)，抛物线与x 轴负半轴交千点B,点M 为y 轴负半轴上一点，且OM=2,连接AC,CM.yyx x(l)求点M的坐标及抛物线的解析式；(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平移过程中，当MA'+M C的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA '+M C 的最小值为3.(2023湖南张家界中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与过由交千点A(-2,0)和点B(6,0)两点，与y 轴交千点C(0,6)点D 为线段BC 上的一动点．y yXX图1(I)求二次函数的表达式；(2)如图l ，求t::.AOD周长的最小值；图24.(2023山东枣庄中考真题）如图，抛物线y= -x2 +bx+c经过A（一1,0),C(0,3)两点，并交x轴千另一点B,点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交千点D.x x备用图(J)求该抛物线的表达式：(2)若点H是．x轴上一动点，分别连接MH,DH,求1\1H+DH的最小值；5.如图，已知抛物线y=ax2+bx-6与x轴的交点A(-3, 0), B (I., 0)，与y轴的交点是点C.yxA(I)求抛物线的解析式：(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标：(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M,N,使得LCMN=90且以点C,M, N为顶点的三角形与．OAC相似？若存在，求出点M和点N的坐标：若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--产＋bx+c经过点A(4,0)、B(0,4)、 C.其对称轴l交x 轴千点D,交直线AB千点F,交抛物线千点E.(I)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求ti.PBC周长的最小值；(3)点N为四线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．7 已知，抛物线y=x2+2x-3,与x轴交千A B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,抛物线的顶点为点D.(I)求AB的长度和点D的坐标；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,求出PB+PC的值最小时P点的坐标；(3)点M是第三象限抛物线上一点，当s MAC．最大时，求点M的坐标，并求出s MAC的最大值．专题23将军饮马模型、知识导航通过全国中考试题分析来看，将军饮马的枝型多出现在中考二次函数压轴题笫二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点．考法主要有以下几种：l．求取最小值时动点坐标2．求最小值．3．求三角形或四边形周长最小值模型一：两定点一动点如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值二B解析·作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+P B/lll¥ABpII当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短）/重BA端点平了模型二：如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求6.PMN周长最小值A A。

中考专题系列之最值——将军饮马

中考专题系列之最值——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

中考数学二次函数压轴题突破最值问题之将军饮马

O
N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N
所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、
N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．
形 PMNQ 的周长最小。
【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
A
A
P'
M P
M
P
O
N
B
ON
B
此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为 P’M+MN ，即过点 P’作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
二次中物函理数压轴题突破 ——最值问题之将军饮马
中物理
将军饮马(一)
1 一、什么是将军饮马？
【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，

中考专题02 将军饮马(一)-最新中考数学二次函数压轴题核心考点突破

将军 A
B 军营
河
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“ 点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
A
N
M
B
D
C
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值．
A
N M
B
D
C
过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7．
A
N
H
M
B
D
C
【隐身的等边三角形】如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN ， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
A
C
E
B
D
O
x
【分析】点 E 为折点，E 是 y 轴上一点，作点 D 关于 y 轴的对称点 D’，连接 AD，与 y 轴交点即为所求 E 点．
y
A
C
E
B
D
O D' x
【折点与面积】
（2019
西藏）如图，在矩形
ABCD
中，AB =6，AD=3，动点
P
满足
SPAB
1 3 S矩形ABCD

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题6.1二次函数综合之“将军饮马”

本专题包括两线段之和最小（三角形周长最小）、三线段之和最小（四边形周长最下）几何最值问题——“将军饮马”基础知识：1.线段公理两点之间所有连线中，线段最短。

简单地说，两点之间线段最短。

两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

①A和B两点之间，线段AB最短.①如图，两点A、B在直线l异侧，在直线上求作一点P，使PA+PB最小．①AB=a，BC=b（a＞b），则当点C在D点时，AC min=AB-AC=a-b，当点C在点E 时，AC max=AB+AC=a+b.圆外一点A到圆O的最大距离与最小距离，连接圆外一点与圆心，与圆的交点为点D，那么线段AD的长为最小距离；延长AB交圆O于点E，那么线段AE的长为最大距离。

2.垂线公理直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。

直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。

如图，线段AB外一点C与线段上各点的连线中，垂线段CD最短.3.三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边将军饮马问题①两定一动模型（线段之和最小）如图，两点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.方法：过点B作直线l的对称点B'，连接AB'与直线l的交点为点P.①两动一定模型如图，点P是①MON内的一点，分别在OM，ON上作点A、B，使①PAB的周长最小.方法：过点P作直线OM的对称点P1，作直线ON的对称点P2，连接P1、P2与直线OM的交点为点A，与直线ON的交点为点B.①两动两定模型如图，点P，Q为①MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形PAQB 的周长最小.方法：过点P 作直线OM 的对称点P'，过点Q 作直线ON 的对称点Q'，连接P'、Q'与直线OM 的交点为点A ，与直线ON 的交点为点B①最大值模型如图，A 、B 两点在直线l 同侧，在直线l 上求作点P ，使PB -PA 最大.方法：连接BA 并延长，与直线l 的交点为点P.如图，A 、B 两点在直线l 异侧，在直线l 上求作一点P ，使PB -PA 最大.方法：作点A 关于直线l 的对称点A'，连接B A'，与直线l 的交点为点P. 造桥选址模型已知l 1①l 2，l 1，l 2之间的距离为d ，在l 1，l 2在上分别找M 、N 两点，使得MN①l 1，且AM+MN+NB 最小.方法1：将点A 向下平移d 个单位长度得到A'，连接A'B 与直线l 2的交点为点N ，过点N 作l 1的垂线，与直线l 1的交点为点M.A 、D 为定点，B 、C 为直线l 1，l 2上的动点，BC①l 1，使得AB+BC+CD 最小.方法2：BC 为定值，只需求AB ＋CD 最小即可，平移CD 至BE ，则变成求AB ＋BE 最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.类型一：两线段之和【经典例题1】如图，抛物线)03(322<<-+--=x x x y ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PA+PC 有最小值，①PAC 的周长有最小值，最小值分别是多少？若存在，求出P 点的坐标并求出；若不存在，请说明理由.步骤一：作点C （或点A ）关于对称轴的对称点C'，连接点A 与点C'，直线AC'与对称轴的交点即为点P ；步骤二：写出各点坐标，A(1，0)，C(0，3)，C'(-2，3)，利用待定系数法求出直线AC'表达式y ＝－x ＋1，①求交点坐标，代入轴所在的横坐标x =-1即可；P(-1，2)①求线段之和最小则利用两点间坐标公式求“另一点与对称点”的长度即可；两点之间的距离A （x 1，y 1），B （x 1，y 1）d = 所以AC'=22)30())2(1(-+--=23①求①PAC 的周长最小值，即AC'+AC=23+10备注：动点P 所在直线即为轴。