罗尔定理与拉格朗日中值定理的练习
同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题
同济版高等数学在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一个重要的数学定理，它可以有效地帮助我们解决微分方程和积分方程等问题，并且在多个领域有广泛的应用，尤其是在计算机科学领域。
在拉格朗日中值定理的证明中，利用罗尔定理（Rolle Theorem）是一种有效的方法。
因此，利用同济版高等数学证明拉格朗日中值定理成为一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理定义了一个函数在某段区间上的行为，它认为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{}(c)$，即拉格朗日中值定理成立。
然后，我们介绍一下罗尔定理。
罗尔定理的定义为：如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$点上可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c)=0$。
罗尔定理可以用来证明拉格朗日中值定理。
将罗尔定理和拉格朗日中值定理联系起来，可以得到证明拉格朗日中值定理的结论：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在$a,b$处可导，那么一定存在一个点$c$，使得$f^{}(c) =frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，即拉格朗日中值定理成立。
接下来，我们来看看如何利用同济版高等数学进行拉格朗日中值定理的证明。
首先，我们需要用罗尔定理证明函数$f(x)$在$[a,b]$上连续、可导，存在一个点$c$使得$f^{}(c)=0$，即：函数$f(x)$在$[a,c]$上单调递增，在$[c,b]$上单调递减。
在此基础上，我们继续做出下列的假设：设$f^{}(x)$在$[a,b]$上连续可积，当$f^{}(x)$在$[a,c]$上单调递增时，$f(x)$的积分是一单调递增函数，当$f^{}(x)$在$[c,b]$上单调递减时，$f(x)$的积分是一单调递减函数。
中值定理的证明题
第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理)，并会应用这些性质。
2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理)，了解并会用柯西中值定理。
掌握这三个定理的简单应用(经济)。
3、了解定积分中值定理。
二、内容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1)介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.(2)零点定理设f (x)在［a、b］连续，且f (a) f (b) <0,则至少存在一点,ce (a、b),使得f (c)=02、罗尔定理若函数/(兀)满足：(1)加在嗣上连续(2)几力)在@上)内可导(3)f(a)= f(b)则一定存在弘(。
劝使得m=o3、拉格朗日中值定理若函数于(力满足：(1)/⑴在［。
，切上连续(2)/(X)在仗上)内可导则一定存在§ E,使得f(b) - f(a) = a)4、柯西中值定理若函数/(x),g(x)满足：(1)在［“］上连续(2)在(°上)内可导(3)g©)H°则至少有一点歹w(Q，b)使得g(b)-gS) g'(§)5、泰勒公式如果函数/(X)在含有兀的某个开区间内具有直到n + 1阶导数，则当兀在(G上)内时，/(X)可以表示为兀-九的一个〃次多项式与一个余项KO)之和，即/ 3) = /(兀)+广(兀)3-兀)+寺厂(Xo)(X-X°)，+…+十严(兀。
)0-兀)” +恥)恥)=:偌箸(x-xo)"+i其中S+1)! &介于X。
与兀之间).6、积分中值定理若f(x)在［a、b］上连续，则至少存在一点cC［a、b］,使得「f (x) dx二f(c) (b~a)J a三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在回使/(G = 0或方程f(x)=0有根) 方法：大多用介值定理f(x)满足：在［a, b］上连续；f(a)f(b)<0.思路：1)直接法2)间接法或辅助函数法例］、设/（X）在［a,b］上连续,a<x t<x2 < -<x n <b, c.> 0（i = 1,2,-- ,n）,证明存在^E［a,b］,使得广（訂=仃/（“）+3（七）+ +“m”）5+6 +…+ c“例2、设b> a>Q,f(x)在［a, b］上连续、单调递增，且/(x) > 0,证明存在使得a2f(b)+b2f(a) = 2 鬥(§)例3、设/(X)在［a, b］上连续且/(x) > 0,证明存在G (a,b)使得例4、设/(x),g(x)在［a, b］上连续,证明存在^e(a,b)使得g@)打⑴dx =/@)J；g ⑴dx例5、设f(x)在［0,1］上连续，且f(x)<l.证明：2x-^f(t)dt = l在(0,1)内有且仅有一个实根。
中值定理证明练习题
中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。
题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。
解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。
这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。
因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。
接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。
根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。
因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。
第十五讲中值定理习题
第十五讲 中值定理习题一、 选择题1. 1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】A. πB. 2πC. 3πD. 4π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB. x ln lnC. xln 1 D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】 A. 0 B.12 C. 52 D. 2 6. 函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B.12 C. 1 D. 27. 函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B.12 C. 1 D. 2 13. 方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2)14. 函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D. 12 15. 已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.B. C. - D. 13± 二、证明题1. 证明：当+∞<≤x 0时，x x ≤arctan 。
罗尔定理常见题型
罗尔定理常见题型罗尔定理常见题型如下：证：F(0)=0³·f(0)=0，F(1)=1³·f(1)=0由罗尔中值定理得：在(0，1)内至少有一点ξ1，使得F'(ξ1)=[F(1)-F(0)]/(1-0)=0F'(x)=3x²f(x)+x³·f'(x)F'(0)=3·0²·f(0)+0³·f'(0)=0由罗尔中值定理得：在(0，ξ1)内至少有一点ξ2，使得F''(ξ2)=[F'(ξ1)-F'(0)]/(ξ1-0)=0F''(x)=6xf(x)+3x²f'(x)+3x²f'(x)+x³·f''(x)F''(0)=6·0·f(x)+3·0²·f'(x)+3·0²·f'(x)+0³·f''(x)=0由罗尔中值定理得：在(0，ξ2)内至少有一点ξ，使得F'''(ξ)=[F''(ξ2)-F''(0)]/(ξ2-0)=0(0，ξ2)⊂(0，1)即：在(0，1)内至少有一点ξ，使F'''(ξ)=0罗尔定理介绍：罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：如果R 上的函数f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
罗尔定理推拉格朗日中值定理
罗尔定理推拉格朗日中值定理罗尔定理可知。
fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。
开始证明拉格朗日。
假设一函数fx。
目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。
此时就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→f′e=(fb-fa)/(b-a)→f′e(b-a)=(fb-fa)。
扩展资料证明过程证明：因为函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，分两种情况讨论：1. 若M=m，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b) 使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x) 在开区间(a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。
几何意义若连续曲线y=f(x) 在区间[a,b] 上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且在弧的两个端点A,B 处的纵坐标相等，则在弧AB 上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x 轴。
中值定理练习题
中值定理练习题一、基本概念题1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：若函数f(x)在[a, b]上连续，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
若函数f(x)在[a, b]上可导，且f'(x) = 0，则f(x)在[a, b]上恒为常数。
2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。
二、应用题1. 利用罗尔定理证明下列等式：sinπ = sin2πe^a = e^b，其中a = b2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = 0，f(b) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 1/(b a)。
3. 设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 1。
三、综合题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = f'(η)，其中η∈(a, b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≤ 0。
证明至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(ba)。
四、拓展题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0。
罗尔定理练习题
罗尔定理练习题罗尔定理练习题在微积分学中，罗尔定理是一项重要的定理，它与函数的导数和函数的零点有关。
罗尔定理是法国数学家米歇尔·罗尔在17世纪中叶提出的，它为我们解决一些函数问题提供了有力的工具。
在本文中，我们将通过一些练习题来更好地理解和应用罗尔定理。
首先，让我们回顾一下罗尔定理的表述。
罗尔定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，并且在a和b两点的函数值相等，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c处等于零。
现在，我们来看几个练习题，以更好地理解和应用罗尔定理。
练习题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 1]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点c的值。
解答：首先，我们检查函数f(x)在闭区间[-1, 1]上是否连续。
由于多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)在[-1, 1]上连续。
接下来，我们检查函数f(x)在开区间(-1, 1)上是否可导。
计算f'(x) = 3x^2 - 3，我们可以看到f'(x)在整个实数域上都是可导的，因此在(-1, 1)上也是可导的。
最后，我们检查函数f(x)在a和b两点的函数值是否相等。
计算f(-1) = -2和f(1) = -2，我们可以看到f(-1) = f(1)。
因此，根据罗尔定理，存在一个点c在(-1, 1)上，使得f'(c) = 0。
我们来解方程f'(c) = 0，得到3c^2 - 3 = 0，进一步化简得到c^2 = 1，解得c = ±1。
所以，满足罗尔定理的点c的值为c = ±1。
练习题2：证明函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, π]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点c的值。
解答：首先，我们检查函数f(x)在闭区间[0, π]上是否连续。
由于正弦函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)在[0, π]上连续。
微分中值定理与导数的应用练习题
题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等）三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题 二．选择题 三．解答题4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。
3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。
4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。
5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→xxx 3cos 5cos lim2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 9.)tan 11(lim 20x x x x -→=31 10.0lim(sin )xx x +→=1 二． 选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）．A .x e x f =)( B.||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→nnnn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ． x nx e x +∞→lim综合题：三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
第三章中值定理习题参考答案
习题3-1(A)5, 提示：令F(x)二ax 4 bx 3 • ex 2-(a b c)x ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理. 6, 提示: 令 F (x) =aresin x areeosx ,证明 F (x)在［-1,1］上为常数.27, 提示：令F(x)=x n ,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理. 8, 提示：令F(x)=lnx,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理.9, 提示：令F(x)二sinx,分别在［x 1, x 2］, ［x 2,x 3］上应用拉格朗日中值定 理,再利用cosx在(0,二)上的单调递减性.10, 提示：用零点定理证明f (x)在(0,1)内有根\ ,在(―,1)内有根、，再用罗尔定理2 2证明f (X )在(「J (0,1)内有根. 习题3-1(B)1, 提示：令F(x)二a °x • ^x 2 •…•亚x n ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.2naa2,提示：令 F(x^a 1 sinx 2 sin3x ：：；…汕 nsin(2n - 1)x ,3 (2n —1)验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.3, 提示：由罗尔定理存在 「(a,b)使f ( J =0,存在 厂(1,b)使f ”( 2) =0,以此类推.4,提示：由拉格朗日中值定理可 证明存在\(a,c)有f ( J P,存在；(c,b)有f (；) 9再对f (x)在［\, 2］上利用拉格朗日中值.定5,提示：由罗尔定理存在 「(0,1)使G(1)=：0，又因为G(0)=0,对G\x)在［0,勺］上验证罗尔定理1,=4 32,6, 设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，且f(0) = f(1)=0,证明：在［0,1］内分别存在，使得(1)f 小L ⑵f“()=f()提示：(1)设F(x) =(1 —x)f (x),由罗尔定理存在「(0,1)使「(1)=0,所以存在一 (1,1) = (0,1)使F ()在二0.(2) 设F(x) =(1 —x)f (x),在［0,1］上二次应用罗尔定理.7,提示：用零点定理证明F(x)=x 5 ・2ax 3 3bx 4c在(-：：,•：：)上有根，再证明F (x)在(-：：,；)上无零点8, 提示：因为(c, f (c))在直线AB 上，所以由拉格朗日中 值定理存在 1 (a,c), 2 (c,b)使得 f ( J = f ©一 f(a) = f(b) - f (c)二 f ( 2)， c —ab — c再对f (x)在(1, 2)(a,b)上利用罗尔定理9, 提示：考虑「(x)二甲，先证明(x)为常数.e10, 提示：令F(x)二f(x)-x,用零点定理证明F(x)在(0,1)内有根，并证明F(x)单调. 11，提示：对f(x)在@8-丄回)上用拉格朗日中值公式 可证明f a -丄®0.kI k 丿12,提示：令F(x) =3,G (X ) J,利用柯西中值定理.xx习题3-2 (A)1 111 1 亠1, (1)- (2) -- (3)3 (4)1 (5)(6)：： (7) (8) (9)1 (10)e 3 (11)e (12)1 3 82 2 32 .1 2 .1x sin x sin 12,简答：lim ------------- =lim ------------ =lim xs in- =0,但若用洛必达法则sin x x t x习题3-2 (B)⑷一-e (5)-2 (6)0 (7)- (82@a .2e2,362xs in cos limx —01因为x 驴0s1不存在'所以不能用洛必达法则2 .1x sinlim -x >0 sinx11,(1)4 ⑵ 1 1283, 简答：lim f(x) = limT40 一x 50 0 1 ■xlim x 「0 01 1一[-ln(1x)」] e x x limln(1丁 公二 ex_011 lim匸 二ex 0 0 2x4, 5, 6, 1lim _ =exJ 02(1x)21=e 2 = f (0).lim x _°半 简答：题设二lim e f (x)lnx =e T 书f (a)(1)a=g (0) In x1 f(x)f 2(x)lim——:—_ e x —00 xf (x)f (0) limx _0f 2(x) xf (0) lim _2 f (x) f (x) =e x■0”x[g (x) +si ix] —[g(x) —co%] ⑵ f (x)=<x 21 2【g (0) 1] (3)处处连续. 习题3-3 1, f (x) - -56 21(x -4) 37(x -4)2 11(x -4)3(x-4)42, 6 5 4 3 2f(x) =x -9x 30x - 45x 30 x -9x1 3, 13tan x = x —x3 sin(r x)[sin 2(vx)2] 45x ,3cos 5 (vx) (0 ：：： v ::: 4) 4, — 1x =2 (x -4)46>4)2A )315(x-4)4 4!16[4 r(x -4)](0 ：：： —： 1)5, 3x 2xxe x x 21+…+ x n(n —1)!O(x n )(0 心：：1)6, e ： 1.6457, (1) 3 30 3.10724; (1)32习题3-4 (A) 1, 单调减少 2, 单调增加8, R 3 ：：1.8810^⑶三 (2) sin180 0.3090; R < 1.3 10*3, (1)在(宀2)内单调上升；在(；；)内单调下降.(2)在(0,2］内单调减少在;［2,；)内单调增力口⑶在(_：：,--•)内单调增加—1 1 —⑷在(-：：,)内单调减少在;(一，；)内单调增加2 2⑸在［0, n］上单调上升E;［n「：)内单调下降1 J __4, (1)提示：令f(x) =1 x - 1 • x，利用函数的单调性证明2⑵提示：令f (x) =1 x ln(x • ；1 - x2)-“;'1 - x2，利用函数的单调性证明1 3⑶提示：令f(x) =tanx -X --X3，利用函数的单调性证明•3⑷提示：令f(x) =2x -x2，利用函数的单调性证明.5,提示：令f(x) =x-cosx，用零点定理证明f(x)有根，用单调性证明其根唯一6, 提示：求出f ”(x),用f ”(x)的符号来说明7，(1)凸(2)凹 (3)在(-：：,0］内凹，在［0,；)内凸(4)凹8，(1)在(」：,2］内凸，在［2,；)内凹，拐点(2, - 8)——2⑵在(-：：,2］内凸，在2,；)内凹，拐绥，2) e⑶在(V, •：：)内凹，无拐点(4) 在(-：：，-1］,［1, •：：)内凸，在-1,1］内凹，拐点-1,1 n2);(1,l n2)—1 1 1(5) 在(-：：，一］内凹，在［_,二)内凸，拐点(_, e arctan3)2 2 2⑹在(-：：，-1］、0,1］凸，在［-1,0卜［1,：：)凹，拐点(0,0)9b =210, a=3, b= -9, c=811, a=1, b= -3, c=-24, d=16f V x) — f 7 x )12, 简答：设lim 0 k( = 0),则无论k • 0或k：：：0,由极限的保号性可知^0 x _X09,f (x)在x0左右异号.习题3-4 (B)1 11, (1)在(-：：,0)、0,—)、1,：：)内单调减少；在(―,1)内单调增加.2 2⑵在［k,k］内单调上玳;［色,k］内单调下降2 2 3 2 3 2 2—2 2(3) 在(-：：, a］、［a, •二)内单调上玳;［a, a］内单调下.降2 31 1 12, (1)a •-时无实根(2)0：：：a 时有两个实根(3) a 是有一个实根.e e e3，在(0,3)内只有一个实根.4，(1)提示：令f (x) =sinx - tanx -2x，利用函数的单调性证明.1(2) 提示：令f (x) =1 n(1 x) In x -In 2，证明f⑴是极小值.2(3) 提示：令f (x) =e x-1-(1 - x) ln(1 - x),利用函数的单调性证明.证明中可利用f (x) 0 来证明f (x).1 H(4) 提示：令f (x)二arctanx ,利用函数的单调性证明.证明中注意f(；) = 0.x 2xd(5) 提示：令f (x) =2x—1 — x2 2 ,利用函数的单调性证明.(6) 证明：令f (x) =e x - (x2 -2ax 1), f (x) = e x 2(a - x), f (x) = e x一2.由 f (x)=0可得x=ln2.从表中可见In 2是f (x)的极小值，所以当x=ln2 时 f (x) • f (In2)=2［a・(1-ln 2)］• 0.即 f (x)单调递增,从而f(x) f(0) =0,题设得证._ f (x)(x-a) -f(x) _ f (x)(x-a)-[f(x) -f(a)](x—a)2(x—a)25,证明: (x)f (x)(x -a) - f ( )(x - a)(x -a)2f (x)-f ()x -a0( (a, x)).6,提示：用5,题的方法证明7, 提示:根据(x —c) f (x) _0证明f (c)是f (x)在［a,b ］上的极小值.8, 当5及^1 293时’方程有且仅有一个实根. 9,(Y ,b ］凹，在［b,：：)凹，拐点(b, a 2)10，略 11，略 12， k =8习题3-5 (A) 1，(1)极大值 y(0)=5,极小值 y(2) =1.(2) 极大值y(2) =4e = 极小值y(0) =0. (3) 极大值 y(4) =1,极小值 y(16) =25.⑷极大值y(^) J .2055103 5(5) 极大值y(—).4 4 (6) 极小值/(0) =0. (7) 没有极值.1(8) 极大值y(e) =e e . (9) 极大值 y(1) =3.(10) 极大值 丫(丄)=81318,极小值 y(-1)=y(5) =0.2 82，(1)最大值 y(3) =11,最小值 y(2)=-14.1 厂(2) 最大值 y(1)=2e 飞=最小值 y(-Tn2)=2-2.1(3) 最大值 y(1) =0,最小值 y(—) = Tn2.43,提示：可导函数的极值点必为驻点， 所以可证明y 在题设条件下无驻点4，最大值 y(1) = -29. 5，最小值 y(-3) =27.2 —6， a =2, f ( ) = . 3为极大值.3217, a = -2, b28, 长为100m ，宽为5m.v J v9, 「刑 27，h 叫药d ：h=1:1.10, 圆的周长为—，正方形周长为 -. 3 +兀4 +兀11, 锥体的高为h = 4a 时，最小体积为8二a 3.312, 应在公路右方6,7公里处.时间为1.22小时.13,⑴ x=1000 (2)x^6000.14, 定价为3.75元，进货量为600件，每天最大利润为 15, p =101,利润 167080.习题3-5 (B)1 3 1, a , b , c = 0, d =14 42, x=1为极小点，y(1)=1为极小值3, 当 c=1 时，a=0,b= -3，当 c= -1 时，a=4,b=5 324, P(x) =x 3_6x 29x 215, (1) f(x)在x=0处连续；(2)当x时,f(x)取极小值；当e16,当x 0 时，三角形面积最小v37,（1）y -飞—r （x-x 。
罗尔定理练习题
罗尔定理练习题一、选择题1. 下列函数在区间[1, 1]上满足罗尔定理的条件的是（）A. f(x) = x^2 1B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^3 3xA. 存在ξ∈(0, 2)，使得f'(ξ) = 0B. 存在ξ∈[0, 2]，使得f'(ξ) = 0C. f'(x)在(0, 2)内恒为0D. f(x)在[0, 2]上为常数二、填空题1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间________内可导，且f(a) = f(b)，则至少存在一个ξ∈________，使得f'(ξ) =________。
2. 若函数f(x)满足罗尔定理，且f'(x)在区间(0, 1)内单调递增，则f'(0) ≤ f'(ξ) ≤ f'(1)，其中ξ为________。
三、解答题1. 设函数f(x) = x^3 3x在区间[1, 2]上，求证：存在ξ∈(1,2)，使得f'(ξ) = 0。
2. 已知函数f(x)在区间[0, π]上连续，在区间(0, π)内可导，且f(0) = f(π)。
证明：存在ξ∈(0, π)，使得f'(ξ) + f(ξ) = 0。
3. 设函数f(x)在区间[1, e]上连续，在区间(1, e)内可导，且f(e) = 0。
证明：存在ξ∈(1, e)，使得f'(ξ) = f(ξ)/ξ。
4. 已知函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在区间(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明：存在ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 1/ξ。
5. 设函数f(x)在区间[1, 2]上连续，在区间(1, 2)内可导，且f(1) = f(2)。
证明：存在ξ∈(1, 2)，使得f'(ξ) = f'(1 + ξ)。
四、应用题1. 设函数f(x) = x^4 4x^2 + 4在区间[2, 2]上，利用罗尔定理证明：存在ξ∈(2, 2)，使得f'(ξ) = 0。
罗尔定理练习题
罗尔定理练习题1. 判断下列函数是否满足罗尔定理的条件，并说明理由：- f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 在区间 [1, 2] 上。
- g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 3 在区间 [0, 3] 上连续，在开区间 (0, 3) 内可导，且 f(0) = f(3)。
求f'(ξ) 的值，其中ξ ∈ (0, 3)。
3. 计算下列函数在给定区间的导数，并判断是否存在罗尔定理的条件： - h(x) = sin(x) + 2cos(x) 在区间 [-π, π] 上。
- j(x) = e^x - x^2 在区间 [0, 1] 上。
4. 利用罗尔定理证明：若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b)，则至少存在一点c ∈ (a, b)使得 f'(c) = 0。
5. 已知函数 f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2x + 1，求证在区间 [0, 2] 上存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
6. 假设函数 f(x) 在区间 [1, 4] 上满足f(x) ≥ 0，且 f(1) =f(4) = 0。
利用罗尔定理证明存在一个点ξ ∈ (1, 4) 使得f'(ξ) = 0。
7. 给出一个函数 f(x) = x^5 - 5x^3 + 3x，判断它在区间 [1, 2]上是否满足罗尔定理的条件，并求出满足条件的点ξ。
8. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在区间 [1, 3] 上连续，且 f(1) = f(3)。
求证存在一个点ξ ∈ (1, 3) 使得f'(ξ) = 0。
9. 证明：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可导，并且f'(x) ≥ 0（或f'(x) ≤ 0）在该区间上恒成立，则函数 f(x) 在 [a, b] 上是单调递增（或单调递减）的。
拉格朗日中值定理与罗尔定理的证明
拉格朗日中值定理与罗尔定理的理解
首先说明拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系：罗尔定理可理解为特殊形式的拉格朗日中值定理，即f （a ）=f （b ），而拉格朗日中值定理中二者并不一定相等。
因此，证明拉格朗日中值定理后，罗尔定理也得以证明。
下面我将先对拉格朗日中值定理进行证明。
)(x f 满足：
设函数o a b a f a f a b n n +-++=-⇒-1)())((n 1......)(')()()(！即
)('))((n 1......))((''21)('111)(ξf o a b a f a b a f a f n n =+-++-+-！！！①
到此，我们知道了f’(ξ)用泰勒展开式表示时的大小，即证明了f’(ξ)在泰勒展开式中值的存在。
那么ξ是否在（a ，b ）区间内？我们知道泰勒公式的意义是利用已知点的函数值不断逼近所求点的函数值，所以只需知道在由a 点向b 点逼近的过程中是否遇到了ξ点，即ξ
点与b 点间是否存在余项。
用泰勒公式求解:
o x x x f x x x f x f x f n n +-++-+=-100)(000))((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！②将x=b ,x 0=a 代入上式，得：
o a b a f a b a f a f b f n n +-++-+=
-1)())((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！③
)1()3(-得：。
拉格朗日中值定理的应用例题
拉格朗日中值定理的应用例题设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a,b)，使得f(c)>0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使f”(ξ)<0.【分析】：判断ξ的二阶导数的符号性质，我们往往需要在已知区间上，再找一个子区间，这个子区间的两个端点，就是一阶导数符合拉格朗日中值定理的两个点。
因此又要在已知区间上取一个点，使原区间划分成两个区间。
这是一个逆向思维的过程。
按顺序就是，先在a到b的区间上找一个点，这个点通常是任意取的，因此就取题目中所给的c点，这样原区间就被分成两个区间，一个是区间[a,c]，一个是区间[c,b]，然后分别在这两个区间上应用拉格朗日中值定理，找到两个符合拉朗日中值定理的点，记为ξ1和ξ2，那么区间[ξ1,ξ2]就是[a,b]子区间。
在这个子区间上再运用一次拉格朗日中值定理，一共应用了三次拉格朗日中值定理，结合题目中其它量的符号性质，就可以得到题目要求的结果了。
前提是拉格朗日中值定理的条件都要满足。
由于f在闭区间上二阶可导，所以原函数和一阶导数在这个区间上都连续且可导，因此都符合拉格朗日中值定理。
所以在(a,c)上，可以找到符合拉格朗日中值定理的点ξ1，使得f(c)-f(a)=f’(ξ1)(c-a)。
而f(a)=0,所以f(c)-f(a)=f(c)>0，从而f’(ξ1)(c-a)>0..同理，在(c,b)上，也可以找到一个符合拉格朗日中值定理的点ξ2，使得f(b)-f(c)=f’(ξ2)(b-c)，其中f(b)=0，所以f(b)-f(c)=-f(c)<0，所以f’(ξ2)(b-c)<0。
又c-a>0, b-c>0，所以f’(ξ1)>0，f’(ξ2)<0，从而有f’(ξ2)-f’(ξ1)<0。
另一方面，ξ2-ξ1>0，这两个条件是下面要用到的。
再次运用拉格朗日中值定理，可以知道在(ξ1,ξ2)上，存在一个点ξ，使得ξ的导数的导数，即二阶导数等于(f’(ξ2)-f’(ξ1))/(ξ2-ξ1)。
拉格朗日中值定理证明题
拉格朗日中值定理证明题拉格朗日中值定理，又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
该定理于1797年由法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》的第六章提出，因此得名。
定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
该定理的应用十分广泛，可以用于证明函数的增减性、求函数的极值、证明不等式等方面。
在证明题中，拉格朗日中值定理常常作为解决问题的关键步骤出现。
通过应用该定理，可以将一些看似复杂的问题转化为较为简单的形式，从而更容易地得出结论。
需要注意的是，在使用拉格朗日中值定理时，必须满足定理的前提条件，即函数在闭区间上连续且在开区间上可导。
此外，还需要注意定理中的“至少存在一点”这一表述，意味着可能存在多个满足条件的点。
因此，在具体应用时需要根据问题的具体情况进行分析和判断。
除了基本的拉格朗日中值定理，还有一些相关的定理和推论，它们可以进一步扩展和应用拉格朗日中值定理的思想。
其中一个重要的推论是柯西中值定理，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且它们的导数之比在某个开子区间上不等于零，则在这个开子区间内至少存在一点，使得这两个函数在该点的导数之比等于它们在区间端点的函数值之比。
这个推论可以用于解决一些涉及两个函数之间关系的问题。
另一个与拉格朗日中值定理相关的重要定理是泰勒中值定理。
泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的高阶形式，它可以用来近似表示一个函数在某个点附近的行为。
该定理表明，如果一个函数在闭区间上有n+1阶导数，则在该区间内至少存在一点，使得函数在该点的n 阶导数等于函数在区间端点的n阶差商。
这个定理可以用于推导泰勒级数，从而用多项式近似表示一个函数。
罗尔定理练习题
罗尔定理练习题一、选择题1. 罗尔定理适用于以下哪种函数？A. 连续函数B. 可导函数C. 可积函数D. 有界函数2. 根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上满足以下哪些条件，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0？A. f(a) = f(b)B. f(a) ≠ f(b)C. f(x)在[a,b]上单调递增D. f(x)在[a,b]上单调递减3. 罗尔定理是以下哪位数学家提出的？A. 牛顿B. 莱布尼茨C. 伯努利D. 罗尔二、填空题1. 若函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) = f(1)，则根据罗尔定理，至少存在一点____，使得f'(c) = 0。
2. 若函数f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且f(-1) =f(1)，则根据罗尔定理，至少存在一点c∈(-1,1)，使得f'(c) =______。
三、判断题1. 罗尔定理只适用于在闭区间上连续，在开区间上可导的函数。
（）2. 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且f(a) = f(b)，则根据罗尔定理，一定存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c) = 0。
（）3. 罗尔定理不能用于证明函数在某个区间内是否存在极值点。
（）四、简答题1. 解释罗尔定理的条件和结论是什么？2. 举例说明罗尔定理在实际问题中的应用。
五、计算题1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求证在区间[1,2]上存在至少一点c，使得f'(c) = 0。
2. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，判断在区间[0,π]上是否存在满足罗尔定理的点，并求出该点的坐标。
六、证明题1. 证明罗尔定理。
2. 利用罗尔定理证明：如果函数h(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且h(0) = h(1)，则至少存在一点c∈(0,1)，使得h'(c) = 0。