2019高三数学文二轮复习查漏补缺课时练习(三十)第30讲等比数列及其前n项和含答案解析

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2019届高三数学(理)一轮课件：第30讲-等比数列及其前n项和(含答案)

又��1��
-2=-13≠0,∴数列
1 ��
-2
是首项为-13,公比为13的等
课堂考点探究
[总结反思] 判定一个数列为等比数列的常见方
(1)定义法:若�� +1=q(d
��
是常数),则数列
��
是等
(2)等比中项法:若��2 =anan+2(n∈N*),则数列
a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= ( )
[解
A.21
B.42
C.63
D.84
所
教学参考
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.[2013·全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的前 n 项 [答
和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1= [解
()
A.1
B.-1
S3
教学参考
4.[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足
解:(1)证因为数列因为 an+
a3=
.
课堂考点探究
探究点一等比数
例 1 (1)[2017·揭阳二模] 已知等比数列 �� 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a5= ( )
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)A
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意有
4
11
课堂考点探究
[总结反思] (1)等比数列的通项公式与前 n 项和个就能求另外两个(简称“知三求二”). (2)运用等比数列的前 n 项和公式时,注意对 q=

2019届高考理科数学一轮复习学案：第30讲等比数列及其前n项和

第30讲等比数列及其前n 项和课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,前n 项和为S n ,则等比数列定义式(n ≥2,q ≠0且q 为常数)等比中项=(G 是a 与b 的等比中项)通项公式或前n 项和公式当q=1时,S n =;当q ≠1时,S n ==2.等比数列的性质已知{a n }是等比数列,S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m a n =.(2)若q ≠-1,或q=-1且m 为奇数,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成数列,其公比为.3.等比数列与函数的关系(1)等比数列的通项公式可以写成a n =q n(q ≠1),前n 项和公式可以写成S n =q n -(q ≠1).(2)①满足或时,{a n }是递增数列;②满足或时,{a n }是递减数列;③当q=1时,数列{a n }是常数列;④当q<0时,数列{a n }为摆动数列.常用结论1.若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),,{},{a n ·b n },仍是等比数列.2.在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n+k ,a n+2k ,a n+3k ,…为等比数列,公比为q k.3.一个等比数列各项的k 次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k 次幂.4.{a n }为等比数列,若a 1·a 2·…·a n =T n ,则T n ,,,…成等比数列.5.当q ≠0,q ≠1时,S n =k-k ·q n(k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件,此时k=.6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.题组一常识题1.[教材改编]已知数列是递增的等比数列,若a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=.2.[教材改编]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=8a 3,S 3=2,则S 6=.3.在和4之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积．为.题组二常错题◆索引:“G 2=ab ”是“a ,G ,b 成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前n 项和公式时,忽略q=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.4.在等比数列{a n }中,a 3=4,a 7=16,则a 3与a 7的等比中项为.5.数列{a n }的通项公式是a n =a n(a ≠0),则其前n 项和为S n =.6.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=.7.在等比数列{a n }中,a n >0,a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,则a 3=.课堂考点探究1(1)[2017·揭阳二模]已知等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 5=()A .1B .C .D .4(2)[2017·山西三区八校二模]设等比数列的前n 项和为S n ,若a 3=3,且a 2016+a 2017=0,则S 101等于()A .3B .303C .-3D .-303[总结反思](1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时,注意对q=1和q ≠1的分类讨论.式题(1)在等比数列{a n }中,公比q=2,若a 2与2a 3的等差中项为5,则a 1=()A .3B .2C .1D .-1(2)[2017·洛阳三模]已知等比数列满足a 1=,a 2a 8=2a 5+3,则a 9=()A .-B .C .648D .18(3)[2017·四川师范大学附属中学三模]已知数列为各项均为正数的等比数列且满足a 6-a 2=30,a 3-a 1=3,则数列的前5项和S 5=()A .15B .31C .40D .1212(1)在等比数列中,a 6+a 8=4,则a 8(a 4+2a 6+a 8)的值为()A .2B .4C .8D .16(2)[2017·吉林大学附属中学摸底]等比数列的前5项的和S 5=10,前10项的和S 10=50,则它的前20项的和S 20=()A .160B .210C .640D .850[总结反思](1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n 项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m a n =a p a q ”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…也成等比数列,公比为q k(q ≠-1).式题(1)在等比数列中,a 3,a 15是方程x 2-6x+8=0的根,则=()A .2B .2C .1D .-2(2)设正项等比数列的前n 项和为S n ,若S 3=3,S 9-S 6=12,则S 6=.探究点三等比数列的判定与证明3[2017·重庆调研]已知数列的首项a 1=,a n+1=,n ∈N *.(1)求证:数列为等比数列;(2)记S n =++…+,若S n <100,求n 的最大值.[总结反思]判定一个数列为等比数列的常见方法:(1)定义法:若=q (d 是常数),则数列是等比数列;(2)等比中项法:若=a n a n+2(n ∈N *),则数列是等比数列;(3)通项公式法:若a n =Aq n(p ,q 为常数),则数列是等比数列.式题[2017·北京海淀区模拟]在数列中,+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2,且a 1=2,a 2=5.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n 项和S n .。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习20 等比数列及其前n项和

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识20 等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．设甲：0q >．乙：{}n S 是递增数列，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】11,2a q =-=时，{}n S 是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；{}n S 是递增数列，可以推出110n n n a S S ++=->，可以推出0q >，甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2021年甲卷文科第9题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若24S =，46S =，则6S = A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】A【解析】由题意可知，124a a +=，342a a +=，因为{}n a 是等比数列，所以561a a +=，从而64217S =++=．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【解析】设等比数列{}n a 首项1a ，公比q由题意，1232516842a a a a a ++=⎧⎨-=⎩，即2131(1)168(1)42a q q a q q ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩，即2121(1)168(1)(1)42a q q a q q q q ⎧++=⎪⎨-++=⎪⎩ 解得，12q =，196a =，所以5613a a q == 4．（2021年上海第8题）已知等比数列123,n n a b a ==，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为________．【答案】185【解析】因为n a 的各项和为9，13a =，所以191a q =-，解得23q =，所以12492n n n b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅即数列的各项和为1221841519b S q ===--5.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证．（2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个．1．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n 项和时，易忽略q ＝1这一特殊情形．1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝－2，S 3＝－6，且公比q ≠1，则a 3＝( )A ．－2B ．2C ．－8D ．－2或－8 【答案】C【解析】依题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝－2，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得q ＝－2(q ＝1舍去)，故a 3＝a 1q 2＝－2×(－2)2＝－8 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7n 33A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【答案】Cn n 24A ．5 B ．4C ．3 D ．2 【答案】D【解析】因为S 2＝3，S 4＝15，S 4－S 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q 2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q ＝2，故选D.5.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－2C.2D ．－2或 2n n 24234A ．S n ＝2n －1－1 B ．a n ＝2n C ．S n ＋1－S n ＝2n ＋1D ．S n ＝2n －1因此只有选项D 正确，故选D.7．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．{log 2a 2n }C ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2} 8．(多选)已知数列{a n }是正项等比数列，且2a 3＋3a 7＝6，则a 5的值可能是( )A ．2B ．4C.85D.839.已知数列{a n }是等比数列，a 2＝1，a 5＝－18，若S k ＝－118，则k ＝________．n 1231n 【答案】3n －1【解析】设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.11．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 10＝16，则a 2和a 10的等比中项为________．【答案】±8【解析】设a 2与a 10的等比中项为G ，因为a 2＝4，a 10＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8. 12．在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________．【答案】32【解析】因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4.又a 4＝8，所以q ＝±2. 所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32.13.在等比数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12－a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝66，求m . 14.在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．求证：数列{b n }是等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若a ，b ，c ，d 成等比数列，则下列三个数列：①,,a b b c c d +++；②,,ab bc cd ；③,,a b b c c d ---，必成等比数列的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1--，则,,a b b c c d +++不为等比数列，①不符合；由a ，b ，c ，d 必非零且公比为q ，则,,ab bc cd 也非零且公比为2q ，②符合；若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1，则,,a b b c c d ---不为等比数列，③不符合；故选：B2．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.2 2.07≈，51.2 2.49≈）A ．83B ．60C ．50D ．44 【答案】BA ．ABC 中，:p AB >，:sin sin q A B > B ．2:p b ac =，:,,q a b c 成等比数列C ．n S 是数列{}n a 的前n 项和，p ：数列{}n a 为等比数列，q ：数列m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列D ．α∈R ，:tan 2p α=，3:cos 25q α=-，ABC 中由正弦定理，反之也成立，成等比数列则的必要不充分条件；()1n=-时{4．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列n a 的前项和为n S ，19a =，31a =．记()121,2,n n T a a a n ==，下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的公比为13-B ．272n S ≥C ．n T 存在最大值，但无最小值D．()234n n n n T a -++=2132132=3333nn na -+++-⨯⨯==⨯3n ≤，由指数函数单调性可知0<存在最大值，但无最小值，故C 正确；225363322333n nn n n n-+-+++--⨯===5．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列3中不超过正整数n 的项的个数为n a ，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则3k S ()+∈N k 等于（）A ．1323⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭k k k B ．13322⎛⎫-⋅++⎪⎝⎭kk kC ．333722⎛⎫-⋅+-⎪⎝⎭kk k D ．37322⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭k k82,,2,=a a 1+，所以(3++-k S k 1231-++⋅++k k k ，21323-⨯++⋅k k ，323k k ++⋅，121232323k -+⨯+⨯++⨯233kk k -⋅，12+，所以3132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭k k S k 6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列{n n n a 满足()*111112233411111112334n n n n n n n n n n n b a b c c a a c c n S n T n b b bb a a a n+++====-=⋅∈=+++≥=+++≥---N ，，，（），（），则下列有可能成立的是（）A ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b > B ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T <C ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b < D ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T >13524123n n n nb c c c c b c c c c ++⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 211111n n n n c d c c d c c ++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 23344511111111111n nn d b d c c c c c c c c +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111n d d d c d+⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭，()()()1112211,n n n n n n n a a a a a a a a a a +---=-=-+-++-+，1n a n ++-n n S T <恒成立，正确，D 错误7．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列{}n a 的公比为q ，且20221a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列说法正确的是（）A ．当01q <<时，{}n S 递减B ．当0q >时，40434043S ≥C ．当1q >时，2022n T T ≥D ．当10q -<<时，2022n T T ≥8．（2022·湖北武汉·二模）数列n 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M …，有10k M k a a +-+=，且当2M n …时，12n n a =.记{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的有（）A ．若10231024n S …，则20M … B ．{}n a 中可能出现连续五项构成等差数列C ．对任意小于M 的正整数,p q ，存在正整数,i j ，使得i j p q a a S S +=-D ．对{}n a 中任意一项r a ，必存在(),s t a a s t ≠，使得,,r s t a a a 按照一定顺序排列可以构成等差数列1,,,16--；当2Mn >时，由对称性，也成立，9．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……10．（2021·四川成都·三模（理））已知等比数列n a 的前项和n S 满足2n S m =-，数列n b 满足2log n n b a =，其中*n ∈N ，给出以下命题： ①1m =；②若4n n ta b >-对*n ∈N 恒成立，则132t >； ③设36()n nf n a a =+，*n ∈N ，则()f n 的最小值为12； ④设21,4,4n n n n b b n c a n λ⎧-+≤=⎨>⎩，*n ∈N 若数列{}n c 单调递增，则实数λ的取值范围为15,34⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中所有正确的命题的序号为________．11．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列n 的前项和为n S ，等比数列n b 的前项和13n n T k -=-，数列{}n c 满足12c =，23c =，33c b =，且1n n n c c a +=+；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①3k =；②222211n n n n a b a b +++>+；③221n n n S S S ++<；④121111n n c c c n +++≥+.()()121323n n c c n -++-=++++-11111111112231n c n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：③④.．（2022·全国·长郡中学模拟预测）公比为q 的等比数列{n 满足：910，记123n n T a a a a =⋯⋯，则当q 最小时，使1n T ≥成立的最小n 值是___________910ln a a =)99ln ln q a q =+ ，，()'1x f x x-=，当0< ，∴在x =1时，，由题意即819e e n n --=()17876923e ?e ?eeen n n n a -----==≥的最小值是17. 故答案为：17.13．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列n 为递增数列，11a =，12a +是2a 与3的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若项数为n 的数列{}n b 满足：1i n i b b +-=（1i =，2，3，…，n ）我们称其为n 项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列{}n c 为()212k k -≥项的“对称数列”，其中1c ，2c ，3c ，…，n c 是公差为2的等差数列，数列{}n c 的最大项等于4a .记数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，若2132k S -=，求k .14．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知数列n a 满足11n n a a +-=，其前5项和为15；数列{}n b 是等比数列，且12b =，24b ，32b ，4b 成等差数列． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()2*212N n n n n S S S b n +++⋅=-∈；(3)比较11n i n i i a b +-=∑和()211211n i i i a --=-∑的大小()*N n ∈．【答案】(1)n a n =，2nn b =；(2)证明见解析(3)()21121111n n i i n i i i i a b a --+-==>-∑∑【解析】(1)因为11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列，1．（2020全国Ⅰ文10）设{}n a 是等比数列，且1232341,+2a a a a a a ++=+=，则678a a a ++=（） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ∴++=++=++==，故选D ．2．（2020全国Ⅱ文6）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若,24,124635=-=-a a a a 则=nna S （） A ．12-n B ．n --122C ．122--n D ．121--n【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， ∴1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-，故选B ．3．（2020全国Ⅱ理6）数列}{n a 中，21=a ，n m n m a a a =+，若515102122-=++++++k k k a a a ，则=k （）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】在等式m nm n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．4．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选C ． 5．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯() A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】设塔顶的1a 盏灯，由题意{}n a 是公比为2的等比数列，717(12)38112a S -∴==-，解得13a =，故选B ．6．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357(a a a ++=) A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】13a =，13521a a a ++=，∴241(1)21a q q ++=，4217q q ∴++=，4260q q ∴+-=，22q ∴=，2463571()3(248)42a a a a q q q ∴++=++=⨯++=，故选B ．7．（2015新课标Ⅱ，文9）已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（）A.2B.11C.21D.8【答案】C【解析】由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒= ，故2112a a q ==8．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A B C ．D ．【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．9．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a > 【答案】B【解析】因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．10．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列． 11．（2019•新课标Ⅰ，理14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S =．【答案】1213【解析】在等比数列中，由246a a =，得625110q a q a =>，即0q >，3q =，则551(13)1213133S -==-． 12．（2019•新课标Ⅰ，文14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S =．【答案】58【解析】等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，334S =，1q ∴≠，31314q q -=-，整理可得，2104q q ++=，解可得，12q =-，则4411151611812q S q --===-+． 13．（2015新课标Ⅰ，文13）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =．【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6．． 14．（2017•新课标Ⅲ，理14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，121a a +=-，133a a -=-，1(1)1a q ∴+=-，21(1)3a q -=-，解得11a =，2q =-，则34(2)8a =-=-．15．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =．【答案】32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==．16．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____．【答案】1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 17．（2017•新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=．（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =-，11b =，222a b +=，335a b +=，可得12d q -++=，2125d q -++=，解得1d =，2q =或3d =，0q =（舍去），则{}n b 的通项公式为12n n b -=，*n N ∈；（2）11b =，321T =，可得2121q q ++=，解得4q =或5-，当4q =时，24b =，2242a =-=-，2(1)1d =---=-，31236S =---=-；当5q =-时，25b =-，22(5)7a =--=，7(1)8d =--=，3171521S =-++=． 18．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．4214(1)q q ∴⨯=⨯⨯，解得2q =±，当2q =时，12n n a -=，当2q =-时，1(2)n n a -=-，{}n a ∴的通项公式为，12n n a -=，或1(2)n n a -=-．（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．当11a =，2q =-时，1(1)1(2)1(2)11(2)3n n nn a q S q -----===---，由63m S =，得1(2)633mm S --==，m N ∈，无解；当11a =，2q =时，1(1)1221112n nn n a q S q --===---，由63m S =，得2163m m S =-=，m N ∈，解得6m =．。

2019年高中数学·第一轮复习第30讲等比数列及其前n项和

第30讲等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54解析：选C ．由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝⎛⎭⎫325＝812.故选C ．(教材习题改编)设等比数列{an }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C ．由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C ．在单调递减的等比数列{an }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________．解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：4在数列{an }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．解析：由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.答案：6(教材习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81等比数列基本量的运算[典例引领](1)(2017·高考江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝21，求S 3.【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3得q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.故填32.(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ) ①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)和(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.②由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5，q ＝4. 当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2018·武汉调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23解析：选B ．由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.故选B ．2．(2018·东北四市模拟)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________．解析：由题意得，2(a 1＋a 2＋a 3)＝8a 1＋3a 2，所以2a 3－a 2－6a 1＝0.设{a n }的公比为q (q >0)，则2a 1q 2－a 1q －6a 1＝0，即2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32(舍去)．因为a 4＝16，所以a 1＝2，则S 4＝2(1－24)1－2＝30.答案：30等比数列的判定与证明[典例引领]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，所以当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，所以a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．① 所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.所以－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，所以S n ＋2＝2(S n －1＋2)．因为S 1＋2＝4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．等比数列的4种常用判定方法择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[通关练习]设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78. (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是每年高考的重点，多与等比数列基本量的计算综合考查，难度适中，既有选择、填空题，也有解答题，主要命题角度有：(1)等比数列项的性质；(2)等比数列前n 项和的性质．[典例引领]角度一等比数列项的性质(1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________．【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31.【答案】 (1)50 (2)31角度二等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式为a n ＝________．【解析】 (1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，①a 1(1－q2n)1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝⎛⎭⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.【答案】 (1)63 (2)12×⎝⎛⎭⎫13n －1等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[注意] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[通关练习]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18解析：选C ．法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C ．2．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B ．由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选B ．3．已知等比数列{a n }的首项a 1＝－1，其前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12等比数列基本量的计算方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．判定等比数列的方法要证明一个数列是等比数列，最终需归结到定义上，即证a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数)．具体方法见本讲[例2]的[规律方法]．求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想：如求等比数列中的基本量．(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论．等比数列中的4个易误点(1)特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B ．由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q 3－23a 1(1－q 2)1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3(q 3－q 2)1－q ＝q 3－q 2，即－31－q＝1，所以q ＝4.2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( )A ．12B ．18C ．36D ．24解析：选B ．a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B ．3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B ．每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3，选择B ．4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．3＋52解析：选A ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12，故选A ．5．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选C ．因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解之得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.6．在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________．解析：因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4.又a 4＝8，所以q ＝±2. 所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32. 答案：327．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：2n －18．(2018·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.答案：289．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.10．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．1．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A ．因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3.故选A ．2．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0.又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0解析：选A ．设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.故选A ．3．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－24．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.答案：935．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ①，所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，所以a 1＝12，a 1－1＝－12，所以a n ＋1－1a n －1＝12，又c n ＝a n －1，所以{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n.又b 1＝a 1＝12也符合上式，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.。

2019届高三数学一轮复习：第30讲等比数列及其前n项和

.
[答案] ±8
[解析] 设 a3 与 a7 的等比中项为 G,因为 a3=4,a7=16, 所以 G2=4×16=64,所以 G=±8.
2019年7月10日
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课前双基巩固
5.数列{an}的通项公式是 an=an(a≠0),则其前 n
项和为 Sn=
.
[答案]
��,�� = 1,
.
[答案] 2
��1�� = 2, [解析] 由条件知 ��1��3-��1��2 = 4,
�� > 1,
可得 q=2.
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课前双基巩固
2.[教材改编] 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
6.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间
项的平方.
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课前双基巩固
对点演练
题组一常识题
1.[教材改编] 已知数列 �� 是递增的等比数列,若
a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=
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教学参考
5.[2016·全国卷Ⅰ] 设等比数列{an}满足
a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2…an 的最大值
为
.
[答案] 64
[解析] 设该等比数列的公比为 q,则
q=��2 +��4 =1 ,可得

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习36---等比数列及其前n项和

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第36讲等比数列及其前n项和考点知识：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列．数学语言表达式：a nan－1＝q(n≥2，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．那么Ga＝bG，即G2＝ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q.3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 也是等比数列． 2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．三个数成等比数列，通常设为xq ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q3，xq，xq ，xq 3. 诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列． (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列．2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12答案 D解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________. 答案－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.4．(2021·兰州诊断)设等比数列{a n }的前6项和为6，且a 1＝a ，a 2＝2a ，则a ＝( )A.221B．17C．421D．521答案 A解析由题意得公比q＝a2a1＝2，则S6＝a1(1－26)1－2＝63a＝6，解得a＝221.5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )A.32f B．322f C．1225f D．1227f答案 D解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，设此数列为{a n}，则a8＝1227f，即第八个单音的频率为1227f.6．(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.答案5 8解析设等比数列{a n}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝3 4，解得q＝－12，所以a4＝a1q3＝－18，故S4＝S3＋a4＝34－18＝58.考点一等比数列基本量的运算1．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2022·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n ＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 所以S n a n ＝a 1(1－2n )1－2a 12n －1＝2n －12n －1＝2－21－n. 3．(2022·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 (1)设{a n }的公比为q (q >1)，且a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8消去a 1，得q ＋1q ＝52，则q ＝2，或q ＝12(舍)．因此q ＝2，a 1＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)易知(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1·22n ＋1，则数列{(－1)n －122n ＋1}公比为－4. 故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－4)n ]1＋4＝85[1－(－4)n ]＝85－(－1)n·22n ＋35.感悟升华 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． 2．等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .考点二等比数列的判定与证明【例1】S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列．感悟升华 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证．【训练1】(2021·石家庄质量评估)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(1)证明：数列{a 2n －1}和数列{a 2n }都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项．(1)证明由a n a n ＋1＝12n ，得a n ＋1a n ＋2＝12n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n ＝12因为a 1＝1，a 1·a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121，所以a 2＝12，所以{a 2n －1}是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列，{a 2n }是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列．(2)解因为T 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ，所以b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)＝3n (n ＋1)2n. 则b n ＋1b n ＝3(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1·2n 3n (n ＋1)＝n ＋22n . 当n <2时，n ＋22n>1，即b 2>b 1＝3；当n ＝2时，n ＋22n ＝1，即b 2＝b 3＝92；当n >2时，n ＋22n <1，即b n ＋1<b n .故数列{b n }的最大项是b 2或b 3，为92.考点三等比数列的性质及应用【例2】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32(2)(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10 答案 (1)D (2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32. (2)在正项等比数列{a n }中，S n >0，因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4，易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，所以S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号)因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.感悟升华 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．【训练2】(1)(2021·广州调研)正项等比数列{a n}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是( )A．1 B．12C．13D．14(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝________.答案(1)C (2)7 3解析(1)设{a n}的公比为q，且a2a4＝1，∴a23＝1，易知q>0，a3＝1.由S3＝a1＋a2＋a3＝1＋1q＋1q2＝13.则12q2－q－1＝0，解得q＝1 3 .(2)法一由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以S9S6＝73.法二因为{a n}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a,2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a3a＝73.等比数列前n项和性质的延伸在等比数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，{a n}的公比为q，1．当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *)． 2．S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，特别地S 2n ＝S 奇＋qS 奇．【典例】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为________．答案 (1)2 (2)3116解析 (1)由题设，S 偶＝S 奇－80，S 2n ＝－240. ∴⎩⎨⎧S 奇＋qS 奇＝－240，qS 奇＝S 奇－80，∴⎩⎨⎧S 奇＝－80，q ＝2.(2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.思维升华 1.等比数列前n 项和的性质，体现了整体思想在数列中的应用．2．在运用性质1时，要注意条件S n ≠0；在性质2中，回避讨论公比q ＝1是否成立，优化了解题过程．【训练】已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，又S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝4＋8＋16＝28.因此S12＝28＋32＝60.A级基础巩固一、选择题1．(2022·皖北名校联考)设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，则( )A．{a n}是等比数列B．{a n}是等差数列C．当b＝－1时，{a n}是等比数列D．当b≠－1时，{a n}是等比数列答案 C解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2，a n＝S n－S n－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合a n＝2·3n－1，{a n}为等比数列．当b≠－1时，a1不适合a n＝2·3n－1，{a n}不是等比数列．2．已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为( )A．2 B．4 C．92D．6答案 B解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2021·长春检测)数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝( ) A.283 B ．12 C ．383D ．13 答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q .由题意得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＝4，a 1q 2＋3a 1q 3＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝13，∴S 3＝9⎝⎛⎭⎪⎫1－1331－13＝13.4．在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．254 答案 D解析数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1(1－27)1－2＝28－2＝254.5．(2021·西安调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( )A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3答案 C解析∵{a n}是等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，由S6∶S3＝1∶2，令S3＝x(x≠0)，则S6＝12x.∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，则S9－S6＝x 4，从而S9＝x2＋x4＝3x4，故S9∶S3＝3∶4.6．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑完了1 000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A.105－1900米 B．105－990米C.104－9900米 D．104－190米答案 D解析由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n}，且a1＝100，q＝110，a n＝0.1.∴乌龟爬行的总距离为S n＝100－0.1×1101－110＝104－190.二、填空题7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 答案 1解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1. 8．(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.9．若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 答案 5 050解析由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100(1＋100)2＝5 050. 三、解答题10．(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.11．(2022·南昌调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S 3，a 17，S m 成等比数列，求S 3m .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18，∴⎩⎨⎧S 7＝7a 4＝49，a 2＋a 8＝2a 5＝18⇒⎩⎨⎧a 4＝7，a 5＝9，则d ＝2.∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －1. (2)由(1)知：S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.∵S 3，a 17，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a 217，即9m 2＝332，解得m ＝11.故S 3m ＝S 33＝332＝1 089.B 级能力提升12．数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B ．2716 C ．32D ．2 答案 B解析由条件可知：3a n ＋S n ＝4,3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2)．相减，得a n ＝34a n －1.又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1.则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎨⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716. 13．(2021·太原检测)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5＝________. 答案 121解析设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得a 2a 5＝a 3a 4＝3a 3，又a 3≠0，所以a 4＝3，即a 1q 3＝3 ①.因为a 4与9a 7的等差中项为2，所以a 4＋9a 7＝a 4(1＋9q 3)＝4 ②，联立①②解得q ＝13，a 1＝81.所以S 5＝81×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1351－13＝121.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1，则S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0.∵a n >0，知S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0，故S n ＋1＝2S n ＋λ.(2)解由(1)知，S n ＋1＝2S n ＋λ，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋λ，两式相减，a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1. 因此a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，(λ＋1)·2n －2，n ≥2.若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列.。

第03讲等比数列及其前n项和 (练)(含答案解析)

第03讲等比数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等比数列及其前n 项和（精练）A 夯实基础一、单选题（2022·全国·高二课时练习）1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（）A ．860个B ．1730个C ．3072个D ．3900个（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）2．方程2540x x -+=的两根的等比中项是（）A ．2-和2B ．1和4C ．2和4D ．2和1（2022·辽宁·大连市一0三中学高二期中）3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（）A ．4B ．8C ．32D ．64（2022·全国·高三专题练习（理））4．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末（2022·全国·高二课时练习）5．在各项均为正数的等比数列中{}n a ，32a =，51a =，则1526372a a a a a a ++=（）A ．1B ．9C ．7D ．9（2022·全国·高三专题练习）6．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·福建龙岩·模拟预测）7．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（）(lg 20.3010)≈A ．30010B ．30110C ．30810D ．31010（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3二、多选题（2022·全国·高二单元测试）9．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则1r =-D ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列（2022·吉林·长春十一高高二期末）10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，下列结论一定成立的是（）A ．若30a >，则20210a >B ．若40a >，则20210a <C ．若30a >，则20210S >D ．若40a >，则20210S >（2022·全国·高三专题练习）11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT的最大值三、填空题（2022·湖北十堰·高二阶段练习）12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，919S =，则6S ，9S 的等差中项为__________.四、解答题（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）13．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．（2022·江苏·高二课时练习）14．如图，正三角形ABC 的边长为20cm ，取BC 边的中点E ，作正三角形BDE ；取DE 边的中点G ，作正三角形DFG ……如此继续下去，可得到一列三角形ABC ，BDE △，DFG …，求前20个正三角形的面积和.B 能力提升（2022·河南·模拟预测（文））15．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，下列结论正确的是（）A ．202320211a a >B ．202220211S S ->C ．数列{}n S 存在最大值D ．2021T 是数列{}n T 中的最大值（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）16．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2022·全国·高三专题练习）17．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()0n n S a n λλ=≠-.若数列{}1n a +为摆动数列（从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项），则实数λ的取值范围为_________.（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）19．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)（2022·浙江·高二阶段练习）20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．C 综合素养（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）21．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·全国·高三阶段练习）22．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法正确的是（）．A ．插入的第8B ．插入的第5个数是插入的第1倍C ．3M >D ．7N <（2022·全国·高三专题练习）23．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅（4C 称为“中央C ”）.将每个“八度”（如4C 与5C 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz ）的音可以是此时的钢琴发出的音（）（参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=）A ．110B ．233C ．505D ．1244（2022·全国·高二单元测试）24．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为___________.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（2022·全国·高三专题练习）25．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪()19061967-也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，()1223,n n n n a a n *--≥=+∈N ，则10a =_______．参考答案：1．C【分析】根据题意和等比数列的概念可知该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，进而得出首项和公比，即可求出11a .【详解】由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且13a =，公比2q =．由()263460--=，60106=，得1011323072a =⨯=．故选：C ．2．A【分析】先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知方程2540x x -+=的两根之积为4，又因为()242=±，故方程2540x x -+=的两根的等比中项是2±．故选：A 3．D【分析】依题意5a ，34a ，42a -成等差数列，可求出公比q ，进而由212a =求出4a ，根据等比中项求出17a a 的值.【详解】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．A【分析】由题意可知每小时末的细菌数构成了等比数列，求出其通项公式，列出相应的不等式，求得答案.【详解】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102nm m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭,由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.5．B【解析】利用等比数列的性质：若m n p q r r +=+=+，则m n p q r r a a a a a a == 可解.【详解】因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =-51a =，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++===+故选：B【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6．D【分析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．C【分析】根据题意可知第n 行第i 个数2n i k -的指数为二项式系数，第n 行数字的指数之和为二项式系数之和等于12n -，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=，利用对数运算进行计算估计．【详解】根据题意可得，“数字塔”中第n 行第i 个数均为2n i k -的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积()()()()11212210110210101011021010112122......222....22..22kk k k k k k k k k k k------------+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=根据指数运算可知，则n i k -按原位置排列即构成杨辉三角，可得n i k -为二项式系数，则第n 行数字的和为二项式系数之和等于12n -∴前10层的所有数字之和0191022..221+++=-该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=()102110lg lg 221lg 2308T -==-≈，则30810T ≈故选：C．8．C【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，L 成等比数列求解.【详解】解：因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则62mS =，则632m S S -=-，故633S S S -=966312S S S S -=--，所以964m S S -=，得到934S m =，所以9334S S =.故选：C.9．AD【分析】利用等比数列的定义可判断A ；利用等比数列的通项公式可判断B ；利用等比数列的前n 项和公式可判断C ；由123a a a <<，求出1q >可判断D.【详解】由数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，则222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭是常数，故A 正确；由32a =，732a =，则47316a q a ==，即22q =，所以253248a a q ==⨯=，故B 错误；若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，123,,a a a 成等比数列，2213a a a ∴=，即()461r =+，解得13r =-，故C 错误；若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故D 正确.故选：AD 10．AC【分析】利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出正误即可．【详解】解：A 、若2310a a q =>，则10a >，所以2020202110a a q=>，故本选项正确；B 、3410a a q =>，则无法判定1a 的正负，所以202020211a a q=的正负也无法判定，故本选项错误；C 、2310a a q =>，则10a >，若1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)01a q S q -=>-，故本选项正确；D 、若3410a a q =>，若10a >，1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)1a q S q -=-，当1q <-时，则10a <，所以20210S <，故本选项错误.故选：AC.11．BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =，所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误；B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确；C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，，有12789101a a a a a a >>>>=>>> ，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<，所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>> ，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确.故选：BD 12．292##14.5【分析】利用等比数列部分和的性质求出6S ，然后利用等差中项求解答案.【详解】设6S x =，因为{}n a 为等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列.因为34S =，919S =，所以()()24194x x -=-，解得10x =或6x =-（舍去）.所以6S ，9S 的等差中项为292.故答案为：292.13．(1)26n a n =-(2)6m =【分析】（1）由11252102a d a +=+=，求得14a =-，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知26n a n =-，求得25n S n n =-，912a =，1524a =，根据m S ，9a ，15a 成等比数列，列出方程，即可求解.(1)解：因为252a a +=且2d =，可得11252102a d a +=+=，解得14a =-，所以数列{}n a 的通项公式为4(1)226n a n n =-+-⨯=-.(2)解：由（1）知26n a n =-，可得2(4265)2n S n n n n -+-=-=，912a =，1524a =，因为m S ，9a ，15a 成等比数列，所以2915m a S a =，整理得2560m m --=，解得6m =或1m =-，又因为m N *∈，所以6m =.142201)cm 4-.【分析】由题意可知面积成等比数列，则可求总面积．【详解】设第n 个三角形边长为a ，则第n +1个三角形边长为2a，设第n 个三角形面积为n a ，则24n a =，2214216n a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵114n n a a +=，2120ABC a S === ，所以这些三角形面积成等比数列，且公比14q =，首项1a =所以前20个正三角形的面积和为：20220201)14)cm 1414S -==--．15．D【分析】根据题意可得20211a >，202201a <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，所以20211a >，202201a <<，所以01q <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.对于A ：因为22023202120221a a a =<，所以202320211a a <，故A 不正确；对于B ：()2022202120220,1S S a -=∈，故B 不正确；对于C ：根据上面的分析，等比数列{}n a 中每一项都为正值，所以n S 无最大值，所以数列{}n S 无最大值，故C 不正确；对于D ：因为在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0，所以2021T 是数列{}n T 中的最大值，故D 正确.故选：D.16．D【分析】在等差数列中，由10k k d a a +=->可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比1k ka q a +=知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.【详解】对于①，由10k k a a +>>知：公差10k k d a a +=->，∴自第k 项起，数列{}n a 为递增数列，又0k a >，∴对于任意自然数n k >，都有0n a >，①正确；对于②，由0k a <，10k a +<知：公比10k ka q a +=>，∴数列{}n a 各项符号相同，即对于任意n N *∈，都有0n a <，②正确；对于③，若等差数列{}n a 中，21a =-，33a =-，则公差2d =-，110a ∴=>，③错误；对于④，由10k k a a +⋅<知：公比10k ka q a +=<，∴等比数列{}n a 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，∴对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<，④正确；综上所述：正确的命题的个数为3个.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.17．B【详解】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅所以81333r r +=∴=-，故选B.18．()0,1【分析】由退位相减法求得1()1n n n a a a λ-=--，化简整理后得1111n n a a λλ-+=+-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，要是摆动数列，则有公比小于0，求解即可.【详解】由n n S a n λ=-①，得111(2)n n S a n n λ--=+≥-②，①－②得1()1n n n a a a λ-=--，即()111n n a a λλ--=+，整理得()()()1111n n a a λλ--+=+，当1λ=时，不合题意，当1λ≠且0λ≠时，1111n n a a λλ-+=+-，且1n =时，111S a λ=-，111a λ=-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，若数列{}1n a +为摆动数列，则有01λλ<-，解得01λ<<.故答案为：()0,1.19．6【分析】根据给定条件，分别计算前面每次操作去掉的区间长度和，进而求出第n 次操作去掉的区间长度和n a ，再求数列{}n a 前n 项和，列不等式求解作答.【详解】设n a 为第n 次操作去掉的区间长度和，113a =，第1次操作后剩下两个长度为13的闭区间，则第2次操作去掉的区间长度和222122()33a =⋅=，第2次操作后剩下4个长度为213的闭区间，则第3次操作去掉的区间长度和3231144333a =⋅⋅=，如此下去，第1(2,N )n n n *-≥∈次操作后剩下12n -个长度为113n -的闭区间，则第n 次操作去掉的区间长度和1111122333n n n n n a ---=⋅⋅=，显然，数列{}n a 是等比数列，首项113a =，公式23q =，其前n 项和12[1()]2331()2313n nn S -==--，由910n S ≥得：21()310n ≤，11 5.6786lg 3lg 20.47710.3010n ≥≈≈--，而N n *∈，则min 6n =，所以需要操作的次数n 的最小值为6.故答案为：620．(1)1(1)2n n a n -=+⋅；(2)不存在，证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”变形，构造数列{}nS n即可求解作答.（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n 的单调性推理作答.【详解】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)-⋅-=+⋅n n n n S S n S ，即121-=⋅-n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n nn S S n -=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22-+⋅==+⋅n nn n S a n n.（2）记231=-+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321-=-⋅+=-+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232-=-+-n n m m p p，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=-∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++-≥-p p n n ，因此()1123232323232++-=-+-≥-+-n n m m p p m m n n ，即332n m m -≥-，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项．21．A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A 22．BC【分析】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，根据题意11a =，132a =，即可求出122q =，再根据等比数列的性质和等比数列前n 项和公式，逐项判断，即可得到结果.【详解】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，则11a =，132a =，故121312a q a ==，所以8128912a a q ===A 错误；因为462a q a ==B 正确；()112111212112112111111212a q M q----====-----，要证3M >，即证11211312-->-，即证1121421>-，即证112524>，即证12524⎛⎫> ⎪⎝⎭，而()1265 1.524⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故C 正确；而3N M =+，因()()12636 1.4 1.925⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，所以112625>，1121521>-，所以11211412-->-即4M >,所以7N >，D 错误.故选：BC ．23．ABD 【分析】A.由244042110==可得答案；对于BCD ，通过524C C =⋅求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.【详解】∵A 4=440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确.设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3=220，A 4=440，A 5=880，112233 1.0592220q ===，B 正确；155051.1482440n q ==≠（n ∈N *），C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确.故选：ABD.24．8【分析】根据题设可得第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，则有12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再根据指对数关系及对数运算性质求n 的最大值.【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意知，12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则21330n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则2lg lg 301lg 33n -=--≥，∴()lg 2lg 31lg 3n -≥--，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010≈，lg30.4771≈，可得8n ≤，故最大值为8.故答案为：8.25．682【分析】利用累加法可求得10a 的值.【详解】当3n ≥且n N *∈时，122n n n a a ---=，所以，()()()()()535791024264861082142222268214a a a a a a a a a a -=+-+-+-+-=++++==-.故答案为：682.。

2019版高考数学一轮复习第五章数列课时达标30等比数列及其前n项和201805072242

第30讲等比数列及其前n 项和[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13 B ．－13C ．12D ．－12解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2018·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5＝( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝2n －1，故选D ．5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是__4__. 解析设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.解析由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.9．(2018·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__2__；前n 项和S n ＝__2n ＋1－2__.解析由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 1＋q 2＝20，a 1q 21＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3(舍去)，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2018·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 11－q 41－q＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 11－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2018·湖北华师一附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n]．两式相减得－2S n ＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋…＋3n －(3n －2)×3n] ＝2[(7－6n )·3n－7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n.。

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2019-2020学年高三数学等比数列及其前n 项和复习学案【复习目标】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．【课前学习】（一）基础知识梳理；1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an ＝am·________ (n ，m ∈N*)．￥(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N*)，则__________________________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a2n }，{an·bn}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧ a1>0，q>1或⎩⎪⎨⎪⎧ a1<00<q<1⇔{an}是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧ a1>0，0<q<1或⎩⎪⎨⎪⎧a1<0q>1⇔{an}是________数列；q ＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n 项和为Sn ，当q ＝1时，Sn ＝na1；当q≠1时，Sn ＝a11－qn 1－q ＝a1qn －1q －1＝a1qn q －1－a1q －1. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，则Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为______．—(二) 练习1．“b ＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n 项和Sn ＝3n －a ，数列{an}为等比数列，则实数a 的值是 ( )A ．3B ．1C ．0D ．－1( 3．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N*)，则f(n)等于 ( )(8n －1) (8n ＋1－1)(8n ＋2－1) (8n ＋3－1)4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则an 等于 ( )A ．8·⎝⎛⎭⎫32n B ．8·⎝⎛⎭⎫23n C ．8·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．8·⎝⎛⎭⎫23n －1 5．设{an}是公比为q 的等比数列，|q|>1，令bn ＝an ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【例题与变式】）例题：已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an 和前n 项和Sn.变式：在等比数列{an}中，a1＋an ＝66，a2·an －1＝128，Sn ＝126，求n 和q.;例题：已知数列{an}的首项a1＝5，前n 项和为Sn ，且Sn ＋1＝2Sn ＋n ＋5，n ∈N*.(1)证明数列{an ＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.）变式：设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n －1)Sn ＋2n(n ∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn ＋2}是等比数列．【目标检测】:另附页|【小结】【课后巩固】：见步步高217页练出高分A 组目标检测:1．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )2．(2010·浙江)设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于 ( ) A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于() A ．33 B ．72 C ．84 D ．189。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解30---子数列问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第30讲子数列问题子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．考点一奇数项、偶数项例1(2022·淄博模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数，n ∈N *.设b n ＝a 2n －1.(1)证明：数列{b n ＋2}为等比数列，并求出{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前2n 项和． (1)证明由题意可知b 1＝a 1＝1， b n ＋1＝a 2n ＋1＝2a 2n ＝2(a 2n －1＋1) ＝2a 2n －1＋2＝2b n ＋2，故b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，即b n ＋1＋2b n ＋2＝2，故{b n ＋2}是以b 1＋2＝3为首项，以q ＝2为公比的等比数列，所以b n ＋2＝3×2n －1，n ∈N *，故b n ＝3×2n －1－2，n ∈N *.(2)解由(1)知，b n ＝3×2n －1－2，n ∈N *，即a 2n －1＝3×2n －1－2，n ∈N *，由题意知a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n ＝2k －1，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，故a 2n ＝a 2n －1＋1，n ∈N *，故数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋n ＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n －1)－2n ]＋n＝6×1－2n1－2－3n ＝6(2n －1)－3n .规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))； ②含有(－1)n 的类型； ③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .跟踪演练1 (2022·山东学期联考)已知数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n －a n ＋1(n ≥2)，且a 1＝1，a 7＝13；数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n －12.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，由a 7＝a 1＋6d ＝13，解得d ＝2， ∴a n ＝2n －1，在数列{b n }中，当n ＝1时，b 1＝S 1＝1，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝3n －12－3n －1－12＝3n －1，当n ＝1时，满足上式，∴b n ＝3n －1.(2)因为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，则当n 为偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1＋5＋…＋2n －3＋3＋…＋3n －1＝n2(1＋2n －3)2＋3－3n ＋11－9＝n 2－n 2＋3n ＋1－38，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋c n ＝n 2＋n 2＋3n －38(n >2)，当n ＝1时，上式也成立．综上，T n＝⎩⎨⎧n 2－n 2＋3n ＋1－38，n 为偶数，n 2＋n 2＋3n－38，n 为奇数.考点二两数列的公共项例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋n2，{b n }的前n 项之积T n ＝()122n n +(n ∈N *)．(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)把数列{a n }和{b n }的公共项由小到大排成的数列记为{c n }，求c 1＋c 2＋…＋c 20的值．解 (1)由S n ＝3n 2＋n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝3n －1，由T n ＝()122n n +，当n ＝1时，b 1＝T 1＝2，当n ≥2时，b n ＝T nT n －1＝2n ，当n ＝1时，上式也成立，所以b n ＝2n .(2)数列{a n }和{b n }的公共项依次为21，23，25，27，…，∴21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴c n ＝2×4n －1，则c 1＋c 2＋…＋c 20＝2×(1－420)1－4＝2(420－1)3.规律方法两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．跟踪演练2 (2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．答案 3n 2－2n解析方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法)令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数．令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1,2,3，…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5. 以下同方法一．考点三分段数列例3 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍)，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)方法一由题意知，2n ≤m ，即n ≤log 2m ，当m ＝1时，b 1＝0.当m ∈[2k ，2k ＋1－1)时，b m ＝k ，k ∈N *，则S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋…＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100) ＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37 ＝480.方法二由题意知b m ＝k ，m ∈[2k ，2k ＋1)，因此，当m ＝1时，b 1＝0；当m ∈[2,4)时，b m ＝1；当m ∈[4,8)时，b m ＝2；当m ∈[8,16)时，b m ＝3；当m ∈[16,32)时，b m ＝4；当m ∈[32,64)时，b m ＝5；当m ∈[64,128)时，b m ＝6.所以S 100＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 100＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋...＋(6＋6＋ (6)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37 ＝480.所以数列{b n }的前100项和S 100＝480.规律方法解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段．常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等．跟踪演练3 (2022·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝13(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ·sin n π2，求数列{b n }的前100项的和T 100.解 (1)由S n ＝13(a n －1)，得S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝13(a 1－1)，解得a 1＝－12，所以{a n }是以－12为首项，－12为公比的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n . (2)由(1)可知b n＝a n·sin n π2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n，n ＝4k ＋1，0，n ＝4k ＋2，－a n，n ＝4k ＋3，0，n ＝4k ＋4，k ∈N ，所以b 1，b 3，b 5，b 7，…，b 97，b 99是首项为－12，公比为－14的等比数列，共有50项，所以T 100＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋…＋a 97－a 99 ＝－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－14501－⎝⎛⎭⎫－14＝－25＋15×1299.专题强化练1．(2022·青岛模拟)已知{a n }为等比数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列，{b n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝b 3－2b 1，S 7＝7a 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝[lg b n ]，其中[x ]是高斯函数(表示不超过x 的最大整数)，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{c n }的前100项的和T 100.解 (1)由题意知a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，所以等比数列{a n }的公比q ＝2，a n ＝a 1q n －1＝2n ，设等差数列{b n }的公差为d ，则2＝b 3－2b 1＝2d －b 1， S 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7a 3，所以b 4＝8＝b 1＋3d ，所以b 1＝2，d ＝2，b n ＝2n .(2)由(1)知c n ＝[lg (2n )]，则T 100＝c 1＋c 2＋…＋c 100＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.2．(2022·济宁模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，求数列{b n }的前100项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝9，S 7＝7a 1＋7×6d 2＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，所以数列{b n }的前100项和为(b 1＋b 2＋…＋b 10)＋(b 11＋b 12＋…＋b 20)＋(b 21＋b 22＋…＋b 30)＋…＋(b 91＋b 92＋…＋b 100) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋22(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋…＋29(a 1＋a 2＋…＋a 10) ＝(1＋2＋22＋…＋29)(a 1＋a 2＋…＋a 10) ＝1－2101－2×10×(1＋19)2＝102 300.3．已知等比数列{b n }和递增的等差数列{a n }满足a 1＝12，b 1＝1，a 2＝5b 2，a 3＝2b 3. (1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)数列{a n }和数列{b n }中的所有项分别构成集合A 和B ，将A ∪B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的前63项和S 63.解 (1)设等比数列{b n }和递增的等差数列{a n }的公比和公差分别为q ，d (d >0)，故由a 1＝12，b 1＝1，a 2＝5b 2，a 3＝2b 3，可得⎩⎪⎨⎪⎧12＋d ＝5q ，12＋2d ＝2q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，q ＝2(舍去)，故a n ＝12＋3(n －1)＝3n ＋9，b n ＝3n －1.(2)b 1＝1，b 2＝3，b 3＝9，b 4＝27，b 5＝81，b 6＝243， ∴b 4＝a 6，b 5＝a 24，b 6＝a 78， ∴b 4，b 5是公共项，∴S 63＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)＋(a 1＋…＋a 60)－(b 4＋b 5) ＝1＋3＋9＋12×60＋60×592×3＝6 043.4．(2022·山东联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝ka n (k ≠1)，n ∈N *，a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求k 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ，n 为奇数，log 2a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列，所以2(a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，得a 5－a 3＝a 4－a 2，得(k －1)a 2＝(k －1)a 3，因为k ≠1，所以a 2＝a 3＝2，所以k ＝a 3a 1＝2，得a n ＝1222,2n n n n -⎧⎪⎨⎪.⎩，，为奇数为偶数(2)由(1)知，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，n 2，n 为偶数，当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，可得S n ＝S 2k ＝b 1＋b 3＋…＋b 2k －1＋b 2＋b 4＋…＋b 2k ＝20＋22＋…＋22k －2＋12(2＋4＋…＋2k )＝1－4k 1－4＋12×(2＋2k )k 2＝4k －13＋(k ＋1)k 2，即S n ＝2n －13＋n 2＋2n8；当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，可得S n ＝S 2k －1＝b 1＋b 3＋…＋b 2k －1＋b 2＋b 4＋…＋b 2k －2 ＝20＋22＋…＋22k －2＋12(2＋4＋…＋2k －2)＝1－4k 1－4＋12×(2＋2k －2)(k －1)2＝4k －13＋k (k －1)2，即S n ＝2n ＋1－13＋n 2－18.综上所述，S n＝⎩⎨⎧2n －13＋n 2＋2n8，n 为偶数，2n ＋1－13＋n 2－18，n 为奇数.。

2019版高考数学复习数列第30讲等比数列及其前n项和课件

解析由等比数列的性质知 S3， S6－S3， S9－S6 仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3· (S9 1 S9 3 －S6)，将 S6＝ S3 代入得＝ . 2 S3 4
51 －4 4．在等比数列 an 中，已知 a1＝－1， a4＝64，则 q＝__________ ， S4＝__________.
2
a11－q9 21－29 10 ∴q＝2，a1＝2，∴S9＝＝＝2 －2＝1 022. 1－q 1－2 (3)∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．又∵Sn 21－2n ＝126，∴ ＝126，∴n＝6. 1－2
二等比数列的性质及应用
【例 1】 (1)已知等比数列 an 满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7＝( B ) A．21 C．63 B．42 D．84

(2)(2018· 河南开封模拟)正项等比数列 an 中，a2＝4，a4＝16，则数列 an 的前 9 项
第五章数列
第30讲等比数列及其前n项和
考纲要求 1.理解等比数列的概念．
考情分析
命题趋势
2016·全国卷Ⅲ，17 1.利用公式求等比数列
2．掌握等比数列的通项公式与前n项
和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
2016·湖南卷，14
2016·四川卷，19 2016·天津卷，5 分值：5～7分
1 1 1 n 所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．所以 bn＝ 2 . 2 2
n (2)由(1)，得 nbn＝ n， 2 n－1 n 1 2 3 4 所以 Tn＝＋ 2＋ 3＋ 4＋„＋ n－1 ＋ n，① 2 2 2 2 2 2 n－1 2 3 4 n 2Tn＝1＋＋ 2＋ 3＋„＋ n－2 ＋ n－1，② 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②－①，得 Tn＝1＋＋ 2＋„＋ n－1－ n， 2 2 2 2 n＋2 n 即 Tn＝－＝2－ n . 1 2n 2 1－ 2

等比数列前n项和引例

等比数列前n项和引例等比数列前n项和，听着是不是有点高大上的样子？别紧张，这个东西一听就懂，玩得转！你要知道，很多数学概念一开始听着都让人头大，像是“等比数列”这种词儿，怎么听都像是哪个高冷学霸的专利。

但一旦你搞懂了它，就会觉得，哎呀，这不就是生活中的一些简单规律嘛，真的没那么复杂。

说白了，等比数列就是一种数列，每一项和前一项的比值都一样。

就是这么简单。

你试着回忆一下小时候数数的钱，假如你每次都拿相同的钱数，那是不是每一次都在原来的基础上乘个固定的数？比如你拿5块钱，然后每次都加倍，5块、10块、20块、40块……是不是越来越多了？这就是等比数列的感觉！等比数列的“前n项和”呢，基本上就是求前面若干项加起来是多少。

比如你要知道前10项加起来是什么，那你就得把1、2、4、8、16……这些加起来，像打水漂一样，一项一项往上加，最后看加起来的总和是多少。

哎呀，光是想想这些数是不是觉得有点心跳加速？不过不用怕，咱们有公式，公式就像魔法一样，一下子帮你搞定这些乱七八糟的加法问题。

你知道吗，其实这个公式长得挺简单的，只要你记住了，你就可以在考试中一秒钟变身数学高手，分分钟让人刮目相看。

公式就是：S_n = a * (1 r^n) / (1 r)，其中S_n是前n项的和，a是等比数列的第一项，r是公比，n是项数。

听起来是不是有点拗口？别慌，咱们慢慢来。

a就是你起步的那个数，比如5块钱的那5，记住这个。

然后，r是你每次加倍的那个数，也就是倍数。

至于n嘛，就是你想要的总项数。

如果你想算前10项和，那n就是10。

把这些数代进去，按照公式一算，答案就出来了！是不是很神奇？但背这个公式没啥了不起，最重要的还是要理解它的背后含义。

咱们生活中随处可见这种等比数列。

比如说，你最近是不是常常看到有朋友在做投资，买基金、股票啥的，结果一年后收益翻了倍？你是不是觉得好神奇，怎么突然一下就赚了那么多？其实这就是等比增长的一个例子——每年收益都成倍增长。

2019版高考数学文一轮复习教师用书：第五章第三节等

第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k .1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4. 又∵a 5＝a 3q 2>0，∴a 5＝4.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：选C 由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2＝9，所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19.4．已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( ) A ．32 B ．64 C ．128D ．256解析：选C ∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，① 又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q＋a 3＝7，②联立①②，得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝2，∴a 8＝a 3·q 5＝27＝128.5．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3； b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：16．设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得q 4＝16，解得q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：127考点一等比数列的基本运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q ＝4.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则q ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116q 6＝4⎝⎛⎭⎫14q 3－1， ∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2. 答案：2考法(二) 求通项公式或特定项3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以2×2(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝3a 2⇒q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.答案：3n －14．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n}的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考法(三) 求等比数列的前n 项和5．(2018·东北四市高考模拟)已知等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.解析：由题意得，2(a 1＋a 2＋a 3)＝8a 1＋3a 2，所以2a 3－a 2－6a 1＝0. 设{a n }的公比为q (q >0)，则2a 1q 2－a 1q －6a 1＝0，即2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32(舍去)．因为a 4＝16，所以a 1＝2，则S 4＝2(1－24)1－2＝30.答案：306．(2017·全国卷Ⅰ节选)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n .解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. [怎样快解·准解]1．等比数列基本运算中的2种常用数学思想(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a 1，n ，q ，a n ，S n 的“知三求二”问题．考点二等比数列的判定与证明 (重点保分型考点——师生共研)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[解题师说]1．掌握等比数列的4种常用判定方法(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n}不是等比数列，只需要说明前三项满足a22≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a2m＋1≠a m·a m＋2即可．[冲关演练]1．(2018·湖南五市十校高三联考)已知数列{a n}的前n项和S n＝Aq n＋B(q≠0)，则“A ＝－B”是“数列{a n}是等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若A＝B＝0，则S n＝0，故数列{a n}不是等比数列；若数列{a n}是等比数列，则a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由a3a2＝a2a1，得A＝－B.2．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋S n＝n，c n＝a n－1.求证：数列{c n}是等比数列．证明：当n＝1时，a1＝S1.由a n＋S n＝n，①得a1＋S1＝1，即2a1＝1，解得a1＝1 2.又a n＋1＋S n＋1＝n＋1，②②－①得a n＋1－a n＋(S n＋1－S n)＝1，即2a n＋1－a n＝1，③因为c n＝a n－1，所以a n＝c n＋1，a n＋1＝c n＋1＋1，代入③式，得2(c n＋1＋1)－(c n＋1)＝1，整理得2c n＋1＝c n，故c n ＋1c n ＝12(常数)．所以数列{c n }是一个首项c 1＝a 1－1＝－12，公比为12的等比数列．考点三等比数列的性质 (重点保分型考点——师生共研)1．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.2．(2018·石家庄模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________. 解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53. 答案：－53[解题师说]1．掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m (q 为公比)． [冲关演练]1．(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.2．已知各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝( )A ．150B ．140C ．130D ．120解析：选A 在等比数列{a n }中，由S 10＝10，S 30＝70可知q ≠－1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成公比为q ′的等比数列．所以(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10·(70－S 20)，解得S 20＝30(负值舍去)．因为S 20－S 10S 10＝30－1010＝2＝q ′，所以S 40－S 30＝2(S 30－S 20)＝80，S 40＝S 30＋80＝150.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n－1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.答案：14(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 9－S 6＝16，S 6＝12，S 12－S 9＝32，S 12＝32＋16＋12＝60.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D.12解析：选A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.4．(2018·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－a 272＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )A ．25B ．16C ．8D ．4解析：选B 由a 3－a 272＋a 11＝0，得2a 7－a 272＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，所以S na n ＝1－q n(1－q )q n －1＝1－12n12n＝2n －1.6．(2018·漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1.∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝19，得q 3＝8，∴q ＝2， ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33. 7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3， ①a 10＝a 1q 9＝384， ② ②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.答案：3×2n －38．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·邢台摸底)若正项数列{a n }满足a 2＝12，a 6＝132，且a n ＋1a n＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则log 2a 4＝________.解析：由a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列，所以a 24＝a 2a 6＝164，又a 4>0，则a 4＝18，故log 2a 4＝log 218＝－3.答案：－310．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝2n. 答案：2nB 级——中档题目练通抓牢1．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.2．(2018·福建模拟)已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增的等比数列， ∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， ∴－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n∈(0,1)， ∴a 1<0,0<q <1.故选A.3．(2018·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a na n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n －1.4．在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：∵a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1) 两式相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．∴a 3＝1×22＝4. 答案：45．(2018·海口调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2. 答案：43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋26．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝4a n －p ，其中p 为非零常数． (1)求证：数列{a n }为等比数列； (2)若a 2＝43，求{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＝4a 1－p ，得a 1＝p3≠0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4a n －p )－(4a n －1－p )＝4a n －4a n －1，得3a n ＝4a n －1，即a n a n －1＝43，所以数列{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝p 3×⎝⎛⎭⎫43n －1，又a 2＝43，可知p ＝3，于是a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1. C 级——重难题目自主选做(2018·黄冈调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n·a n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a nn，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)由(1)知b n ＝a n 4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．36解析：选B a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.2.(2018·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D.12解析：选A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.4．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 9－S 6＝16，S 6＝12，S 12－S 9＝32，S 12＝32＋16＋12＝60.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，所以S na n＝1－q n(1－q )q n －1＝1－12n12n＝2n －1. 6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3， ①a 10＝a 1q 9＝384， ②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.答案：3×2n －37．在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________. 解析：∵a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1) 两式相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．∴a 3＝1×22＝4. 答案：48.(2018·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×(1－29)1－2＝210－2＝1 022.答案：1 0229．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10.(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6. ②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6. B 级——拔高题目稳做准做1.(2018·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：选B 因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29·q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B.2.(2018·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 3．(2018·海口调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2. 答案：43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋24.等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝________.解析：由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n .∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)·a n ] ＝log 22n (2n－1)＝n (2n －1)＝2n 2－n .答案：2n 2－n5.(2018·广州综合测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＝2×2n －1＝2n (n ≥2)．又n ＝1时也符合上式，所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)由(1)，知S n ＝2a n －2＝2n ＋1－2，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝4×(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .6．(2018·黄冈调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a nn，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)b n ＝a n 4n －a n＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.。

【精编】高考数学一轮复习课时规范练30等比数列及其前n项和

课时规范练30 等比数列及其前n项和一、基础巩固组1.已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在正项等比数列{a n}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A. B.9 C.±9 D.353.(2017安徽黄山市二模,理3)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n5.(2017全国Ⅲ,理9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.86.(2017辽宁鞍山一模,理4)已知数列{a n}满足=a n-1·a n+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=()A.84B.63C.42D.21 〚导学号21500732〛7.设数列{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.8.(2017北京,理10)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= .9.(2017江苏,9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8= .10.(2017安徽池州模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.二、综合提升组11.(2017四川广元二诊,理6)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n都有a n=S n+2成立.若b n=log2a n,则b1 008=()A.2 017B.2 016C.2 015D.2 01412.(2018河南南阳期末,理5)已知各项均为正数的等比数列{a n},a3·a5=2,若f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a7),则f'(0)=()A.8B.-8C.128D.-12813.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.三、创新应用组14.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+(-1)n.(1)求数列{a n}的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列为等比数列,并求出{a n}的通项公式.〚导学号21500733〛课时规范练30等比数列及其前n项和1.C∵a3a5=4(a4-1),=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=2.B∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==93.D∵a n+1=S n+1(n∈N*),∴S n+1-S n=S n+1(n∈N*),∴S n+1+1=2(S n+1)(n∈N*),∴数列{S n+1}是首项为3,公比为2的等比数列.则S5+1=3×24,解得S5=47.4.D S n==3-2a n,故选D.5.A设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+(-2)=-24,故选A.6.C=a n-1·a n+1(n≥2),∴数列{a n}是等比数列,设其公比为q,∵a2=3,a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21,即q4+q2-6=0,解得q2=2或q2=-3(舍去),∴a4+a6+a8=a2q2+a4q2+a6q2=2(a2+a4+a6)=42,故选C.7.-由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-8.1设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.9.32设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=27=32.10.解 (1)∵S1=a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列,∴S n=2n-1,又当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2(2-1)=2n-2.当n=1时,a1=1,不适合上式.∴a n=(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1=∴a1+a3+…+a2n+1=1+11.A在a n=S n+2中,令n=1得a1=8,∵a n=S n+2成立,∴a n+1=S n+1+2成立,两式相减得a n+1-a n=a n+1,∴a n+1=4a n,又a1≠0,∴数列{a n}为等比数列,∴a n=8·4n-1=22n+1,∴b n=log2a n=2n+1,∴b1 008=2 017,故选A.12.B13.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n,得b n+1=,因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.记{b n}的前n项和为S n,则S n=14.(1)解在S n=2a n+(-1)n中分别令n=1,2,3,得解得(2)证明由S n=2a n+(-1)n(n∈N*)得S n-1=2a n-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减,得a n=2a n-1-2(-1)n(n≥2).∴a n=2a n-1-(-1)n-(-1)n=2a n-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),∴a n+(-1)n=2(n≥2).∴数列是以a1-为首项,以2为公比的等比数列.∴a n+(-1)n=2n-1.∴a n=(-1)n.。

高三数学二轮复习查漏补缺课时练习：(三十) 第30讲等比数列及其前n项和

课时作业(三十)第30讲等比数列及其前n项和时间/45分钟分值/100分基础热身1.设{a n}是公比q≠1的等比数列,且a2=9,a3+a4=18,则q等于()A.2B.12C.-2D.-122.已知{a n},{b n}都是等比数列,则下列说法正确的是()A.{a n+b n},{a n·b n}都一定是等比数列B.{a n+b n}一定是等比数列,但{a n·b n}不一定是等比数列C.{a n+b n}不一定是等比数列,但{a n·b n}一定是等比数列D.{a n+b n},{a n·b n}都不一定是等比数列3.在等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则a6=()A.14B.28C.32D.644.[2018·沈阳东北育才学校模拟]已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S n=2a n+1,则S n=.5.[2018·宁夏石嘴一模]在正项等比数列{a n}中,若a1,12a3,2a2成等差数列,则a5a3=.能力提升6.[2018·长沙长郡中学月考]设{a n}是公比为q>1的等比数列,若a2010和a2011是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2012+a2013=()A.18B.10C.25D.97.[2018·成都石室中学二诊]在等比数列{a n}中,a2>0,则“a2<a5”是“a3<a5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程.则该问题的计算结果为()A.12里B.24里C.96里D.48里9.[2018·杭州二中月考]在各项都是正数的等比数列{a n}中,若a2,12a3,a1成等差数列,则a3+a4a4+a5的值为()A.√5+12B.√5-12C.1−√52D.√5+12或1−√5210.[2018·四川4月联考]在等比数列{a n}中,a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1<k恒成立,则k的取值范围是()A.[12,23]B.[12,+∞)C.[12,23)D.[23,+∞)11.[2018·合肥三模]若正项等比数列{a n}满足a n a n+1=22n(n∈N*),则a6-a5的值是()A.√2B.-16√2C.2D.16√212.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=-18,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{a n}的前4项和S4=.13.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若S7-S5=3(a4+a5),则4a3+9a7的最小值为.14.(10分)[2018·咸阳二模]已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{a n}的通项公式.15.(10分)[2018·南昌二模]已知各项均为正数且递减的等比数列{a n}满足a3,32a4,2a5成等差数列,前5项和S5=31.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若等差数列{b n}满足b1=a4-1,b2=a3-1,求数列{a bn}的前n项和.16.(15分)[2018·唐山三模]已知数列{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n={a n,n为奇数,b n,n为偶数,求数列{c n}的前2n项和S2n.课时作业(三十)1.C [解析] ∵a 2=9,a 3+a 4=18,∴a 1·q=9,a 1·q 2+a 1·q 3=18,∴q (1+q )=2,解得q=-2或q=1(舍去),故选C .2.C [解析] 两个等比数列的积仍是一个等比数列,但两个等比数列的和不一定是一个等比数列,故选C .3.C [解析] 因为q 3=a5a 2=8,所以q=2,所以a 6=a 5q=32.故选C . 4.(32)n -1[解析] 由题意知S n =2S n+1-2S n ,所以S n+1=32S n ,又S 1=1,所以{S n }是首项为1,公比为32的等比数列,所以S n =(32)n -1.5.3+2√2 [解析] 设数列{a n }的公比为q ,由于a 1,12a 3,2a 2成等差数列,所以a 3=a 1+2a 2,即a 1·q 2=a 1+2a 1q ,又a 1≠0,所以q 2-2q-1=0,解得q=√2+1(负值舍去).故a 5a 3=q 2=3+2√2.6.A [解析] 设数列{a n }的公比为q ,由题意可得a 2010=12,a 2011=32,∴q=3,∴a 2012+a 2013=92+272=18. 7.A [解析] 设数列{a n }的公比为q ,当a 2<a 5时,可得q 3>1,则q>1,所以a 3>0,所以a 5=a 3q 2>a 3,充分性成立;当a 3<a 5,即a 3<a 3q 2时,若a 3<0,则q 2<1,又a 2>0,所以-1<q<0,所以a 2>a 2q 3,即a 2>a 5,必要性不成立.故选A .8.C [解析] 设第i 天走了a i 里,其中i=1,2,3,4,5,6,由题意可知a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6成等比数列,其公比q=12,且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=a 1(1−126)1−12=378,解得a 1=192,所以a 2=192×12=96,故选C .9.B [解析] 设{a n }的公比为q (q>0且q ≠1),根据题意可知a 3=a 2+a 1,即q 2-q-1=0,解得q=√5+12(负值舍去),故a 3+a 4a 4+a 5=1q =√5-12,故选B .10.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 4a 1=18,解得q=12,所以a n =12n -1,所以a n a n+1=12n -1×12n =122n -1,所以数列{a n a n+1}是首项为12,公比为14的等比数列,所以a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=12(1−14n )1−14=231-14n<23,所以k≥23.故k 的取值范围是23,+∞,故选D .11.D [解析] 设正项等比数列{a n }的公比为q>0,由a n a n+1=22n (n ∈N *),可得a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1)22n =4=q 2,解得q=2,∴a n 2×2=22n ,又a n >0,∴a n =22n -12,则a 6-a 5=2112-292=16√2,故选D .12.58[解析] 设数列{a n }的公比为q ,因为a 1a 2a 3=-18,所以a 23=-18,解得a 2=-12,所以a 3=-12q ,a 4=-12q 2,又a 2,a 4,a 3成等差数列,故2a 4=a 2+a 3,解得q=-12或q=1(舍),则a 1=1,故S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=58.13.4 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,∵S 7-S 5=a 7+a 6=3(a 4+a 5),∴a 7+a 6a 5+a 4=q 2=3,∴4a 3+9a 7=4a 3+9a 3q 4=4a 3+1a 3≥2√4a 3·1a 3=4,当且仅当4a 3=1a 3,即a 3=12时等号成立,∴4a 3+9a 7的最小值为4. 14.解:(1)当n=1时,S 1=2a 1-1=a 1,解得a 1=1; 当n=2时,S 2=2a 2-1,即a 1+a 2=2a 2-1,得a 2=2; 当n=3时,S 3=2a 3-1,即a 1+a 2+a 3=2a 3-1,得a 3=4. 综上可知a 1=1,a 2=2,a 3=4.(2)由(1)知,当n=1时,a 1=1.因为S n =2a n -1,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-1, 两式相减,得a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2), 整理得a n =2a n-1(n ≥2),故数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,故a n =2n-1.15.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,由a 3,32a 4,2a 5成等差数列,得3a 4=a 3+2a 5,则2q 2-3q+1=0,解得q=12或q=1(舍去),所以S 5=a 1(1−125)1−12=31,解得a 1=16,所以数列{a n }的通项公式为a n =16·(12)n -1=(12)n -5. (2)设等差数列{b n }的公差为d ,由b 1=a 4-1,b 2=a 3-1,得b 1=1,d=a 3-a 4=4-2=2, 所以b n =2n-1,所以a b n =(12)2n -6, 则数列{a b n }的前n 项和T n =(12)-4+(12)-2+…+(12)2n -6=16(1−14n )1−14=6431-(14)n.16.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q , 则依题意有{1+d +2q =7,1+2d +2q 2=13,解得{d =2,q =2, 故a n =2n-1,b n =2n .(2)由已知得c 2n-1=a 2n-1=4n-3,c 2n =b 2n =4n , 所以数列{c n }的前2n 项和S 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n )=n(1+4n -3)2+4(1−4n )1−4=2n 2-n+43(4n -1).。

新高考数学一轮复习课时规范练30 等比数列及其前n项和新人教A版高三全册数学试题

课时规范练30 等比数列及其前n项和基础巩固组1.(2019河南郑州三模,6)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=()A.81B.24C.-81D.-242.等比数列{a n}中,a n a n+1=4n-1,则数列{a n}的公比为()A.2或-2B.4C.2D.√23.(2019江西省临川一中模拟)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且7S2=4S4,则公比q的值为()A.1B.1或12C.√32D.±√324.在公比为正数的等比数列{a n}中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.1705.(2019河南八市联考二,3)《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、马、羊的主人分别应偿还x 斗、y 斗、z 斗,则下列判断正确的是( )A.y 2=xz 且x=57B.y 2=xz 且x=207C.2y=x+z 且x=57D.2y=x+z 且x=2076.(2019山西晋城二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6=( )A.63B.62C.61D.607.(2019湖南六校联考,5)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1=1,且a 2,a 4-2,a 6成等比数列,若正整数m ,n 满足m-n=10,则a m -a n =( )A.30B.20C.10D.5或408.(2019四川绵阳期中)已知数列{a n }是正项等比数列,且a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,则a 5=( )A.2B.4C.8D.169.(2019北京通州三模)设数列{a n }是等比数列,且a 2a 4=a 5,a 4=27,则{a n }的通项公式为 .10.(2017江苏,9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= .11.(2019山东东营一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n+1=4a n +2(n ∈N *),若b n =a n+1-2a n .(1)求证:{b n}是等比数列.(2)略.综合提升组=()12.(2019广东深圳一模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=a·3n-1+b,则aaA.-3B.-1C.1D.313.(多选)下列命题中正确的是()A.若数列{a n}是等差数列,且a m+a n=a s+a t(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+tB.若S n是等差数列{a n}的前n项的和,则S n,S2n-S n,S3n-S2n成等差数列C.若S n是等比数列{a n}的前n项的和,则S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列D.若S n是等比数列{a n}的前n项的和,且S n=Aq n+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),则A+B为零14.(2019陕西宝鸡中学模拟,4)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是( )A.24里B.36里C.48里D.60里15.数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n -1,则a n = ,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S n = .创新应用组16.(2019山东德州二模,16)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=2S n -S n+1+3,记b n =log 2a 2n-1+log 2a 2n ,则b n = .17.(2019江苏启东中学模拟)已知数列{a n }满足a n+1=3a a2a a+1(n ∈N *),且a 1=23. (1)求证:{1a a-1}是等比数列,并求出{a n }的通项公式;(2)求数列{1a a}的前n 项和T n .参考答案课时规范练30 等比数列及其前n 项和1.C 设等比数列{a n }的公比为q ,已知S 2n =4(a 1+a 3+…+a 2n-1)(n ∈N *),令n=1,则S 2=4a 1,可得a 2=3a 1,q=3.∵a 1a 2a 3=-27,∴a 23=-27,解得a 2=-3,∴a 1=-1,则a 5=-34=-81.2.C 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n a n+1=4n-1>0,∴a n+1a n+2=4n且q>0,两式相除可得a a +1·a a +2a a ·a a +1=4a 4a -1=4,即q 2=4,∴q=2,故选C .3.C 因为7S 2=4S 4,所以3(a 1+a 2)=4(S 4-S 2)=4(a 3+a 4),故q 2=34,因为数列{a n }为正项的等比数列,故q>0,所以q=√32,故选C .4.D (方法一)S 8=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+(a 5+a 6)+(a 7+a 8)=2+8+32+128=170.(方法二)q 2=a 3+a4a 1+a 2=4,又q>0,∴q=2,∴a 1(1+q )=a 1(1+2)=2,∴a 1=23,∴S 8=23×(28-1)2-1=170.5.B 由题意可知x ,y ,z 依次成公比为12的等比数列,则x+y+z=x+12x+14x=5,解得x=207,由等比数列的性质可得y 2=xz.故选B .6.A 由等比数列的性质可知S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,即3,12,S 6-15成等比数列,所以S 6-15=12×4,解得S 6=63.7.A 由题知(a 4-2)2=a 2a 6,因为{a n }为等差数列,所以(3d-1)2=(1+d )(1+5d ),因为d ≠0,解得d=3,从而a m -a n =(m-n )d=30,故选A .8.C 设正项等比数列{a n }的公比为q ,且q>0.∵a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,∴a 12q 7=4a 1q 4,a 4+2a 6=36,即a 1(q 3+2q 5)=36,解得a 1=12,q=2,则a 5=a 1q 4=8.故选C .9.a n =3n-1(n ∈N *) 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 2a 4=a 5,a 4=27,∴a 5=27a 2,∴q 3=27,∴q=3,∴a 1=a 4a 3=2727=1,则a n =3n-1(n ∈N *).10.32 设该等比数列的公比为q ,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74.由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=74,a 1=14,∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.11.(1)证明因为a n+2=S n+2-S n+1=4a n+1+2-4a n -2=4a n+1-4a n ,所以a a +1a a=a a +2-2a a +1a a +1-2a a=4a a +1-4a a -2a a +1a a +1-2a a=2a a +1-4a aa a +1-2a a=2.因为S 2=a 1+a 2=4a 1+2,所以a 2=5.所以b 1=a 2-2a 1=3.所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列.12.A 等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3n-1+b ,∴a 1=S 1=a+b ,a 2=S 2-S 1=3a+b-a-b=2a ,a 3=S 3-S 2=9a+b-3a-b=6a.由等比数列的性质可得,a 22=a 1a 3,∴(2a )2=(a+b )×6a ,解得aa =-3.故选A .13.BD 对于A,取数列{a n }为常数列,对任意m ,n ,s ,t ∈N *,都有a m +a n =a s +a t ,故错;对于B,设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则S n =a 1+a 2+…+a n ,S 2n -S n =a n+1+a n+2+…+a 2n =a 1+nd+a 2+nd+…+a n +nd=S n +n 2d ,同理,S 3n -S 2n =a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n =a n+1+a n+2+…+a 2n +n 2d=S 2n -S n +n 2d ,∴2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ),∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 是等差数列,故正确;对于C,设a n =(-1)n,则S 2=0,S 4-S 2=0,S 6-S 4=0,∴此数列不是等比数列,故错;对于D,∵a n =S n -S n-1=(Aq n +B )-(Aq n-1+B )=Aq n -Aq n-1=A (q-1)×q n-1,∴此数列为首项是A (q-1),公比为q 的等比数列,则S n =a (a -1)(1-a a )1-a,∴S n =Aq n-A , ∴A+B=0,故正确.故选BD .14.B 记每天走的路程里数为{a n },可知{a n }是公比q=12的等比数列,由S 6=378,得S 6=a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,∴a 4+a 5=192×(12)3+192×(12)4=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了24+12=36里,故选B .15.2n-1+1 2n+n-1 因为a n+1=2a n -1,所以a n+1-1=2(a n -1),即a a +1-1a a -1=2.所以{a n -1}是首项为a 1-1=2-1=1,公比为2的等比数列.所以a n -1=2n-1,即a n =2n-1+1.S n =1+1+21+1+22+1+23+1+…+2n-1+1=1+21+22+23+…+2n-1+(1+1+…+1)=1-2a1-2+n=2n +n-1.16.2n-1 ∵a 1=1,a 2=2,且a n+2=2S n -S n+1+3,∴当n=1时,a 3=2-3+3=2,∵a n+2=2S n -S n+1+3,∴n ≥2时,a n+1=2S n-1-S n +3,两式相减可得,a n+2-a n+1=2(S n -S n-1)-(S n+1-S n )(n ≥2),即n ≥2时,a n+2-a n+1=2a n -a n+1,即a n+2=2a n .∵a 3=2a 1,∴数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,∴a 2n =2×2n-1=2n ,a 2n-1=1×2n-1=2n-1,∴b n =log 2a 2n-1+log 2a 2n =n-1+n=2n-1.17.(1)证明记b n =1a a -1,则a a +1aa=1a a +1-11a a-1=2a a +13a a -11a a-1=2a a +1-3a a3-3a a =1-a a 3(1-a a)=13,又b 1=1a 1-1=32-1=12,所以{1a a-1}是首项为12,公比为13的等比数列.所以1a a-1=12·(13)a -1,即a n =2·3a -11+2·3a -1.所以数列{a n }的通项公式为a n =2·3a -11+2·3a -1.(2)解由(1)知,1a a-1=12·(13)a -1,即1a a=12·(13)a -1+1.所以数列{1a a}的前n 项和T n =12(1-13a )1-13+n=34(1-13a )+n.。