第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析1
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
(3-5)
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式(3)是不等式,故 y 3 * =0,然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0,故对偶问题约束方程式(3)、(4)是等式约束,即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行,则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划(3-5)与(3-6)的可行解,且使 CX = bT Y T ,
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
(2)弱对偶性:设 X和 分Y 别是问题(P)和(D)的
可行解,则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制(无约束)(i 1,2,, m)
例: 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论:
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
(D)
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3:在一对对偶问题(P)和(D)中,若一个可行 (如P),而另一个不可行,(如D),则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么:对同一事物(或问题),从不同 的角度(或立场)提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内,矩形的面积与其周长之间的关系, 有两种不同的表述方法。 (1)周长一定,面积最大的矩形是正方形。 (2)面积一定,周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容:1、对偶问题及其性质;2、 对偶单纯形法;3、 灵敏度分析。
重点与难点:对偶问题与原问题的对应关系,对偶问题的基本性质,对偶单纯形法的求解步骤,灵敏度分析的方 法。
要求:理解线性规划对偶问题的性质,熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧,能够用这些数学方法解决实际问题。
§ 1对偶问题的对称形式一、对偶问题弓侧,某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品,已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗,该工厂每生产一件产品甲可获利 2元,每生产一件产品乙可获利 3元,问应如何安排计划才能使该工厂获利最多?解:设X i 、X 2分别为甲、乙两种产品的产量作一比较:若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲,可获利 2元,那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2同理,将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即:2力 4y 33将工厂所有设备台时和资源都出租和出让,其收入为则目标函数maxz 二2x 「3x 2x 「2x 2 岂8i4x 1 - 16 i4x 2 兰12约束条件-x 1,x^ 0(1)不再生产甲、乙产品,而将其出租或出售 3分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料这时要考虑每种资源的定价问题,设A 、B 的附加额。
时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即:。
=8y 〔+ 16y 2 + 12y 3对工厂来说,••越大越好;但对接受者来说,支付的愈少愈好,所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小,才能实现其愿望。
为此,得到如下模型:min =8y 1 16y 212y 3"+4丫2工 2< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例:常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工,加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表,请问:充分利用设备机台时,工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润?试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1,x2 , x3 0 解:该问题的对偶问题: min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1,y2 0
第一节 对偶问题的提出
例:写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解:化为对称形式。 令 x2 x2,x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 (j = 1,2,…,n)
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
第三章 对偶理论及灵敏度分析
灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 = 400
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C B D
(斜率为0) x2 = 250
x1 + x2 = 300
(斜率为-1)
A
| E | | | 100 200 300 400
x1
对 偶 问 题
分析资源系数b的改变产生的影响
Max Z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 310 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1、 x 2 ≥ 0
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对 偶 问 题
► 问题:
上页 下页 返回
当这些系数中的一个或多个发生变化 时,原最优解会怎样变化? 当这些系数在什么范围内变化时,原 最优解仍保持不变? 若最优解发生变化,如何用最简单的 方法找到现行的最优解?
► 研究内容:
对 偶 问 题
研究线性规划中, aij , bi , c j 的 变化对最优解的影响。
上页 下页 返回
1
min w = 15 y + 24 y + 5 y
2
3
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润( 利润(元) 0 6 1 2
Ⅱ 5 2 1 1
D 15时 时 24时 时 5时 时
对 偶 问 题
原 问 题
m z = 2x1 + x2 ax s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
设备A 设:设备A —— 设备B 设备B –––– 调试工序 ––––
y1元/时 y2元/时 y3元/时
付出的代价最小, 付出的代价最小, 且对方能接受。 且对方能接受。
第三章对偶理论
目标函数系数与右边项 目标函数各变量系数对应 的对应关系 约束条件右边项的系数 变量个数与约束条件个 变量个数 n 数的对应关系 约束条件个数 m
原问题变量类型与对偶 问题约束条件类型的对 变量类型 应关系
原问题约束条件类型与 对偶问题变量类型的对 约束条件类型 应关系
原始问题有4个变量,3个约束,对偶问题应该有3个变量, 4个约束。根据定义,对偶问题为:
x1 x2 x3 x4
非对称形式的对偶—原始问题有“=”约束
max z=2x1+3x2-x3
s.t. x1+2x2+x3=6 2x1-3x2+2x3≤9
x1, x2, x3≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2 ≥ 2 2y1- 3y2 ≥ 3 y1+2y2 ≥ -1 y1:Free y2≥0
y1=w2-w1,y1:Free,y2=w3
如果原始问题中一个约束是等号约束,则对偶问题中相应的变 量没有符号限制
非对称形式的对偶—原始问题有“≥”约束
max z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3 ≥ 6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 max z=2x1+3x2-x3
s.t. -x1-2x2-x3≤-6 2x1-3x2+2x3≤9 x1, x2, x3≥0 min w=-6y1’+9y2 s.t. -y’1+2y2≥2 -2y’1 -3y2≥3 -y’1+2y2≥-1 y’1, y2≥0
min w=6y1+9y2 s.t. y1+2y2≥2 2y1- 3y2≥3 y1+2y2≥-1 y1≤0, y2≥0
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间,我 们可以扩展问题的可行域,如图3-3所示。可 行域变大了,现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出,极点 S=527.5,D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元,比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此,利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式(3-2)中,我们计算出只要满足 下列条件,极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元,同时使CD降低到8美 元,新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限,因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13,CD =8代入,可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围,我们得出结论,无论是
(3-2) 为了计算标准袋利润最优的范围,我们 假设高级袋的利润CD=9,代入式(3-2), 我们得到: 从左边的不等式,我们得到
因此
从右边的不等式,我们得到
因此, 综合标准袋利润CS的极限,标准袋利润最优 范围为:
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中,标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者:在其他系数不变的情况下,只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间,540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是,即使产量不变,总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如,管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到,当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时,模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋,那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降,最优产量会怎 样变化。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1.对偶问题和对偶变量的经济意义是什么?2.简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么?3.什么是资源的影子价格?它和相应的市场价格之间有什么区别?4.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系,找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系?5.利用对偶单纯形法计算时,如何判断原问题有最优解或无可行解?6.在线性规划的最优单纯形表中,松弛变量(或剩余变量)0>+k n x ,其经济意 义是什么?7.在线性规划的最优单纯形表中,松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ(标准形为求最小值),其经济意义是什么?8.将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中,表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化?有多少种不同情况?如何去处理? 二、判断下列说法是否正确1.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3.若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解,则最优解一定相等。
4.对于线性规划的原问题和其对偶问题,若其中一个有最优解,另一个也一定 有最优解。
5.若线性规划的原问题有无穷多个最优解时,其对偶问题也有无穷多个最优解。
6.已知在线性规划的对偶问题的最优解中,对偶变量0>*i y ,说明在最优生产计 划中,第i 种资源已经完全用尽。
7.已知在线性规划的对偶问题的最优解中,对偶变量0=*i y ,说明在最优生产计 划中,第i 种资源一定还有剩余。
8.对于i j ji bc a ,,来说,每一个都有有限的变化范围,当其改变超出了这个范围 之后,线性规划的最优解就会发生变化。
9.若某种资源的影子价格为u ,则在其它资源数量不变的情况下,该资源增加k 个单位,相应的目标函数值增加 u k 。
10.应用对偶单纯形法计算时,若单纯形表中某一基变量0<i x ,且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零,则其对偶问题具有无界解。
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法,广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中,对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题在线性规划中,对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题,以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息,并且在某些情况下,对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数,将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子,从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题,对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息,还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化,对解决方案的影响有多大,并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中,常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化,以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时,我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如,参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”,而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量,则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性,判断解决方案的可行性和稳定性,以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中,灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险,做出更加准确和可靠的决策。
线性规划问题的对偶与灵敏度分析
最大化的线性规划问题
某企业有A B C 三种资源,用来生产甲 乙两种 产品,产品的生产成本与利润如下表:
甲
A B C 单位产品利
润
乙
1 2 0
50
资源限制 (公斤)
1
300
1
400
1
250
100
• 问题:如何安排生产可使企业获得最大利润?
分析:目标函数最大化的问题
( y3 , y4 , y5 )(x1 , x2 , x3 )T 0
( y1 , y2 )(x4 , x5 )T 0
A=(B,N),X=(XB,XN)T,C=(CB,CN)
• AX + IXs =(B, N, I)(XB, XN, Xs)T=BXB +NXN +IXs
因为AX + IXs =b,所以BXB +NXN +IXs=b 即 XB=B-1b - B-1NXN - B-1Xs(用松弛变量与非
基变量表示基变量)
意义:如果原问题是极大化问题,那么它的可行解对应的目 标函数值不大于其对偶问题的任意可行解对应的目标函数 值。
证明:∵ X(0)、 Y(0)分别是原问题和对偶问题的可行解,∴ AX(0) ≤b, X(0) ≥0; Y(0) A≥C, Y(0) ≥0
∴ Y(0) A X(0) ≤ Y(0) b, Y(0) A X(0) ≥C X(0) 有C X(0) ≤ Y(0) b 证毕。
第二节 对偶理论
• 对于线性规划问题:max z =CX AX ≤b X≥0,插 入松弛变量Xs=(xn+1,xn+2,…,xn+m)T,将其标准 化为:
Max z =CX+0Xs AX+IXs =b X ≥0, Xs ≥0 其中I为m×m阶的单位阵。
线性规划的对偶理论与灵敏度分析
yi(i 1,,m)是对偶问题的可 ,则 行恒 解有 :
n
m
cjxj biyi
j1
i1
n
nm
mn
证 cj xj ( aij yi )xj
aijxj yi
j 1
j1 i1
i1 j1
m
mn
mn
bi yi ( aijxj )yi
x*1=1,x*5=1
原问题的最优解为:X*=(1,0,0,0,1)T;w*=5
cj-zj
-1/3 0
….
…..
x2
x3
x1
cj-zj
4
0
0
0
x3
x4
x5
x6
0 1/3 0
0
5 -2/3 1
0
4 -2/3 0
1
4 -5/3 0
0
…
…
15/41 8/41 -10/41
-6/41 5/41 4/41
-2/41 -12/41 15/41
二 对偶问题的基本性质
1.弱对偶。性如果xj(j 1,,n)是原问题的可,行解
一定有xˆsi yˆi 0
证:由弱对偶性知
n
mn
m
cjx ˆj a ix ˆ jjy ˆi b iy ˆi
(2 .2)1
j 1
i 1j 1
i 1
n
m
又根据最优c性 jxˆj bi yˆi,
j1
i1
故(2.21)式中应全为。等由式式右端等式得
mn
[ a ix ˆ jj b i]y ˆi0
4.互补松驰性。在线性规划问题的最优解中, 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非 零,则该约束条件取严格等式;反之如果 约束条件取严格不等式,则其对应的以偶 变量一定为零。也即:
线性规划问题的对偶与灵敏度分析
s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3
-2x1+x2-3x3+x5= -4
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
29
2.对偶单纯形法
表格对偶单纯形法
CI
-2 -3
CB XB
b
X1
X2
0 X4 -3 -1 -2
0 X5 -4 [-2] 1
σj
-2 -3
-4 0 0 X3 X4 X5 -1 1 0 -3 0 1 -4 0 0
9
1.线性规划对偶问题
(3)若原规划的某个变量的值没有非负限 制,则在对偶问题中与此变量对应的那个 约束为等式。
下面对关系(2)作一说明。对于关系(3) 可以给出类似的解释。
设原规划中第一个约束为等式:
a11x1 + … + a1nxn = b1
那么,这个等式与下面两个不等式等价
10
1.线性规划对偶问题
a12 y1 'a12 y1 ' ' am2 ym c2
a1n y1 'a1n y1 ' ' amn ym cn
y1 ', y1 ' ', y2 ,, ym 0, y1没有非负限制
这里,把 y1 看作是 y1 = y1’ - y1’’,
于是 y1 没有非负限制,关系(2)的说明
完毕。
12
1.线性规划对偶问题
例3.1 写出下面线性规划的对偶规划 模型
maxZ x1 x2 5x3 7x4
x1 3x2 2x3 x4 25
2x1 7x3
2x4 60
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第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容:1、对偶问题及其性质; 2、对偶单纯形法;3、灵敏度分析。
重点与难点:对偶问题与原问题的对应关系,对偶问题的基本性质,对偶单纯形法的求解步骤,灵敏度分析的方法。
要 求:理解线性规划对偶问题的性质,熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧,能够用这些数学方法解决实际问题。
§1 对偶问题的对称形式一、对偶问题引例,某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品,已知生产单位产品所需要的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗,该工厂每生产一件产品甲可获利2元,每生产一件产品乙可获利3元,问应如何安排计划才能使该工厂获利最多?解:设1x 、2x 分别为甲、乙两种产品的产量则目标函数2132m a x x x z +=约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x(1)假设该工厂决定不再生产甲、乙产品,而将其出租或出售。
这时要考虑每种资源的定价问题,设321,,y y y 分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A 、B 的附加额。
作一比较:若用一个单位台时和4个单位原材料A 生产一件产品甲,可获利2元,那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即:2421≥+y y同理,将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即:34231≥+y y将工厂所有设备台时和资源都出租和出让,其收入为32112168y y y ++=ω对工厂来说,ω越大越好;但对接受者来说,支付的愈少愈好,所以工厂只能在满足≥所有产品的利润前提下,使其总收入尽可能小,才能实现其愿望。
为此,得到如下模型:32112168min y y y ++=ω⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,0342243121j y y y y y j(2)我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。
一般地,设原问题为n n x c x c x c z +++= 2211max ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++nj x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j mn mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111则其对偶问题为:n n y b y b y b +++= 2211min ω⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++mi y cy a y a y a c y a y a y a c y a y a y a i nm mn n n m m m m ,,2,1,022112222211211221111矩阵形式:原问题 对偶问题cX z =max Yb =ωmin⎩⎨⎧≥≤0XAX ⎩⎨⎧≥≥≥0)(y C y A C YA T T T 实际为二、原问题与对偶问题的关系例1 求下列问题的对偶问题4321532min x x x x z +-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=++≤-+≥+-+无约束43214324314321,0,,0642253x x x x x x x x x x x x x x解:321645max y y y ++=ω ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥=+--≤++-≤+≥+无约束3213213213121,0,01523322y y y y y y y y y y y y y§2 对偶问题的基本性质一、对称性:对偶问题的对偶是原问题。
证:设原问题为cX z =max⎩⎨⎧≥≤0X b AX 则其对偶问题为:Yb =ωmin⎩⎨⎧≥≥0y C YA 对上式两边取负号,得Yb -=-ωmin⎩⎨⎧≥-≤-0y CYAYbw-=-∴=--)max(min )max(ωω ⎩⎨⎧≥-≤-0Y CYA上式的对偶问题为CXv -=-)min(⎩⎨⎧≥-≥-0X b AX (两边同取负号) z CX v v v max max max )min(==∴=--⎩⎨⎧≥≤0X bAX 二、弱对偶性:若)0(X是原问题的可行解,)0(Y是对偶问题的可行解,则存在b Y cX)0()0(≤。
证: )0(X 是原问题的可行解∴有b AX≤)0(已知)0(Y是对偶问题的可行解,用)0(Y左乘上式得b Y AX Y )0()0()0(≤同理c A Y≥)0(,用)0(X 右乘之得)0()0()0(CX AX Y ≥∴b Y AX Y CX)0()0()0()0(≤≤,故b Y CX )0()0(≤三、无界性:若原问题(对偶问题)为无界解,则其对偶问题(原问题)无可行解。
注意:此性质不可逆。
四、可行解是最优解时的性质最优性:设)0(X是原问题的可行解,)0(Y是对偶问题的可行解,当b Y CX )0()0(=时,)0(X、)0(Y是最优解。
五、对偶定理(强对偶性):若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且目标函数值相等。
反之,若其一无最优解,则另一也无最优解。
六、互补松弛性:若)0(X、)0(Y 分别是原问题和对偶问题的可行解,那么0)0(=s X Y和0)0(=X Y S ,当且仅当)0(X 、)0(Y 为最优解。
证:设原问题和对偶问题的标准型是CXz =maxYb =ωmin⎩⎨⎧≥=+0,s s X X b X AX⎩⎨⎧≥=-0,ss Y Y CY YA 将s s X AX b Y YA C +=-=,分别代入原问题和对偶问题目标函数得s Y YAX z -=,s YX YAX +=ω若0,0)0()0(==s s X YXY ;则)0()0()0()0(CX AX Y b Y ==由性质4知,)0(X、)0(Y为最优解。
又如果)0(X 、)0(Y 为原问题和对偶问题的最优解,由性质4有b Y AX Y CX )0()0()0()0(==即s s X Y AX Y AX Y X Y AX Y )0()0()0()0()0()0()0()0(+==-∴必有0,0)0()0(==s s X YXY例2 已知线性规划问题21max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-0,,122321321321x x x x x x x x x 试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证:原问题存在可行解,如TX )0,0,0(=上述问题的对偶问题为212min y y +=ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≥--0,011221212121y y y y y y y y 由第一个约束条件知,对偶问题无可行解,所以,由对偶定理知,原问题无最优解。
七、对偶问题的经济解释----影子价格由对偶定理可知,当达到最优解时,原问题和对偶问题的目标函数值相等,即有m m by b y b y b Y cXz )0(2)0(21)0(1)0()0(+++===求z 对b 的偏导数得:)0(2)0(21)0(1mm b z y b z y b z y∂∂=∂∂=∂∂=,,, 即i i b z y ∂∂=**其经济学意义是:在其它条件不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。
i y 的值代表对第i 种资源的估价,这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格,称它为“影子价格”。
影子价格随具体情况而异,在完全市场经济条件下,当某种资源的市场价格低于影子价格时,企业应买进该资源用于扩大生产;而当某种资源的市场价格高于企业影子价格时,则企业应把已有的资源卖掉。
可见,影子价格对市场有调节作用。
§3 对偶单纯形法一、基本思路对偶单纯形法是运用对偶原理求解原问题的一种方法,而不是求解对偶问题的单纯形法。
首先讨论这样一个问题:设原问题:0,;max ≥≤=X b AX cX z则其对偶问题:0;;min ≥≥=Y c YA Yb ω化为标准型:0,;;max ≥=+=s s X X b X AX cX z0,;;min ≥=-=s s Y Y c Y YA Yb ω设B 是原问题的一个可行基,于是A=(B|N),原问题可改写为:N N B B X C X C z +=max⎩⎨⎧≥=++0,,S N BS N B X X X b X NX BX 相应地对偶问题可以表示为minYb=ωmin⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-0,,)2()1(2121S S N S N B S B Y Y Y C Y Y C Y Y这里),(21S S S Y Y Y =1S Y ----对应原问题中基变量BX的剩余变量2S Y ----对应原问题中非变量NX的剩余变量当求得原问题的一个基解b B X B1-=,其相应的检验数为N B C C B N 1--与1--BC B 。
现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系:令1-=B C Y B代入(1)、(2)得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-N B C C Y Y B N S S 1210 由此可得出:原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解,其对应关系如下:说明:在单纯形表中若在b 列中得到的是原问题的基可行解,而在检验数行得到的是对偶问题的基解,当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时,根据性质知,已知到最优解,即原问题与对偶问题是最优解。
根据对偶问题的对称性,可这样考虑:若保持对偶问题的解是基可行解,即0!≤--j B j p B C C ,而原问题在非可行解的基础上,逐步迭代达到基可行解,这样也得到了最优解。
方法是:设原问题 CX z =max⎩⎨⎧≥=0X bAX 设B 是一个基,令),,,(21m p p p B =,它对应的变量为T m B x x x X ),,,(21 =当非基变量都为零时,可以得到b B X B 1-=,若在b B 1-中至少有一个负分量,设0)(1<-i b B ,并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为负值,即对偶问题保持可行解,它的各分量是:1.对应基变量m x x x ,,,21 的检验数是m i p B C c i B i i ,,2,1,01 ==-=-σ2.对应非基变量n m m x x x ,,,21 ++的检验数是:n m m j p B C c j B j j ,,2,1,01 ++=≤-=-σ每次迭代是将基变量中的负分量l x 取出,去替换非基变量中的k x ,经基变换,所有检验数仍保持负值,原问题逐步由非可行解向可行解靠近,当原问题得到可行解时,便得到了最优解。
二.计算步骤(1)列出初始单纯形表,若所有0≥b ,0≤j σ,则停止计算,已得到最优解。
若b 中含有负元素,则需继续计算。
(2)确定换出变量l i i ib B b B b B )(}0)(){(min 111---=<,基变量lx 为换出变量。