中南大学研究生入学考试试题高等代数

中南大学
2002年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注：以下2R 表示n 维实列向量空间，n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体，T A 表示矩阵A 的转置，()Tr A 表示矩阵A 的迹。

一、（20分）设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量，,0k R k ∈≠，定义变换
00(,),Tx x k x x x x V =+∈
1．验证T 是线性变换； 2．设0x 在V 的标准正交基12,,
,n e e e 下的坐标为()12,,
,n ξξξ，
求在该基下的矩阵；
3．证明T 为对称变换，即(,)(,)Tx y x Ty =，,x y V ∀∈； 4．证明：T 为正交变换的充要条件是2
2k x =-。

二、（16分）设n n A R ⨯∈，记
(){:,}.n n C A B AB BA B R ⨯==∈
1．证明：()C A 是n n R ⨯的子空间； 2．当A I =时，求()C A ； 3．当
1
00002000
A n ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
时，求()C A 的维数和一组基。

三、（16分）设12(,,
,)T n b b b b =为n 维非零列向量，求矩阵
00H b A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的特征值和特征向量，其中H b 表示列向量b 的共轭转置。

四、（14分）设,,n n n A R b x R ⨯∈∈，证明线性方程组
T T A Ax A b =
必有解。

五、（12分）设,A B 为n 阶实矩阵，证明
0.A B B
A
≥-
六、（12分）求证：A 为幂零阵（即存在正整数m ，使得0m A =）的充要条件是：对任一自然数r ，有()0.r Tr A =
七、（10分）设,A B 是n 阶实对称矩阵，0A ≠，证明：A 为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B ，恒有()0.Tr AB >
中南大学
2003年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
一、填空题：（每小题6分，共30分）
1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=，1234(,,,)B βααα=，其中1234,,,,ααααβ为4维列向量，若||1,||2A B ==，则||()A B +=。

2、设六阶方阵A 的秩等于4，则A 的伴随矩阵*A 的秩等于()。

3、设三阶方阵A 的行列式1
||2
A =
，1A -为A 的逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*11
|()|()2
A A --=。

4、设A 为n 阶可逆矩阵，如果交换A 的第i 行与第j 行得到B ，则1()BA -=。

5、设A 为n 阶方阵，若3A E ≠，秩(3)A E -+秩(5)A E n +=，则数()λ=必为A 的特征值。

二、（本题满分20分）设()f x 是数域P 上的一个n 次多项式，这里1n >，且设
()f x 的一阶微商可以整除()f x 。

证明()()n f x a x b =-，这里,,0a b P a ∈≠。

三、（本题满分20分）解方程组
12312322221231
x x x ax bx cx d
a x
b x
c x d
⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相同的常数。

四、（本题满分25分）设P 是一个数域A 是n n P ⨯中的一个矩阵，令
(){()|()[]}.F A f A f x P x =∈
证明：（1）()F A 是n n P ⨯的一个线性子空间； （2）可以找到非负整数m ，使
2,,,
,m E A A A
是()F A 的一组基；
（3）()F A 的维数等于A 的最小多项式的次数。

五、（本题满分25分）设2R 是实数域R 上的2维向量空间，
22:T R R → 1221(,)(,)x x x x →-
是线性变换。

（1） 求T 在基12(1,2),(1,1)αα==-下的矩阵；
（2） 证明对于每个实数C ，线性变化T CE -是可逆变换，这里E 是2R 上的恒
等变换；
（3） 设T 在2
R 的某一基下的矩阵为11122122a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
证明乘积1221a a ⨯不等于零。

六、（本题满分20分）设,A B 为n n ⨯矩阵。

证明：如果0AB =，那么 秩()A +秩()B n ≤。

七、（本题满分10分）设,,n n
A B C R
⨯∈，若矩阵T A B B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
是正定的，证明
1T C BA B --也正定。

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2004年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
下面的E 均为n 阶单位矩阵。

一、填空。

（5分×5=25分）
1、当k =______时，向量(1,,5)k β=能由向量1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示。

2、假设n 阶方阵A 满足2320A A E -+=，则A 的特征值为______。

3、已知n 阶方阵A 满足2230A A E +-=，则1(4)A E -+=______。

4、设A 是n 阶方阵，满足T AA E =（T A 是A 的转置矩阵），||0A <，则
||A E +=______。

5、设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1,2,,n ，则当满足______时，tE A -为
正定矩阵。

二、计算n 阶行列式。

（15分）
1
2
22212
2221212
1
11n
n
n n n n n
n n n
x x x x x x D x x x x x x ---=
三、证明方程组121232343454
515
x x a x x a x x a x x a
x x a -=⎧⎪-=⎪⎪
-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩有解的充要条件是510i i a ==∑，在有解的情况下求出它
的一切解。

（15分） 四、证明，若方程30x px q ++=的两个跟α和β有关系式0αβαβ++=，则
2()q p q -=-。

（15分）
五、（20分） 1、证明：向量12(1,1,
,1,1),(1,1,
,1,0),
,(1,0,
,0)n ααα===是n 维向量空间
的一组基。

2、求向量12(,,
,)n a a a α=在此基下的坐标。

六、设100101010A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，证明当3n ≥时，有22n n A A A E -=+-，并求100A （E 为3
阶单位矩阵）。

（20分）
七、设实二次型122121()n s
i i i n i f a x a x a x ==++
∑，证明：f 的秩等于矩阵
111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
的秩。

（20分） 八、设A 、B 分别为n 阶正定矩阵和半正定矩阵，证明||||||A B A B +≤+，且仅
当0B =时取等号。

（20分）
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2005年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1．（10分）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位阵），0A <，求：A E +. 2．（12分）求证：下列齐次线性方程组的可解性：
1221221
20,2220,
0.
n n
n n n x x x x x x nx n x n x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩ 3．(12分)设()f x 和()g x 是数域p 上的多项式,n 为正整数.证明:如果()|()n n f x g x ,则()|()f x g x .
4．(15分)设1(1,2,3)α=,2(3,1,2)α=-,3(2,3,)t α=.求解:
(1) t 为何值时，123,,ααα线性无关？ (2) 选取t ，将3α表示成12,αα的线性组合。

5．(15分) 设二次型
222
123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+
问t 取何值时，该二次型为正定型？ 6．（12分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称矩阵，且AB BA =。

证明A B +必是非奇异的。

7．（20分）设矩阵A 的一个特征值为3，
10010000010
012A a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
（1）求a ； （2）求矩阵P ，使()T AP AP 为对角矩阵。

8．（12分）设A 与B 是n 阶矩阵，证明AB 与BA 有相同的特征值。

9．（20分）设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换，满足：2A A =。

证明：
（1）A 的核(){|}Ker A A V ξξξ=-∈；
（2）V 等于A 的核与值域的直和：()Im()V Ker A A =⊕。

10．（25分）设η是欧氏空间V 中的单位向量，定义2(,)A ααηαη=-。

证明： （1）A 是正交变换。

这样的正交变换称为镜面反射。

（2）A 是第二类的正交变换。

（3）如果在n 维欧氏空间中，正交变换B 以1作为一个特征值，且属于1的特征子空间1V 是1n -维的，那么B 是镜面反射。

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2006年研究生入学考试试题
试题类型：高等代数
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、若二次型22212312
3121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定的，则t 的取值范围为（ ）
2、设A 为五阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若秩()A +秩*()5A =，则秩()A =（ ）
3、设A 为四阶矩阵，且1A =，B 为交换A 的两列得到的矩阵，则2B 的值为（ ）
4、设T 是向量空间，2P 的线性变换，22
1221:(,)
(,)T P P x x x x →-则T 在基
12(1,2),(1,1)αα==-下的矩阵为（ ） 5、设125,,,ααα线性无关，且125,,
,ααα可以由向量组12,,
,t βββ线性表出，
而12,,
,t βββ可以由向量组128,,,γγγ线性表出，则t 的取值范围为（ ）
二、（本题满分15分）求证：21x x ++整除32313m n p x x x ++++，这里,,m n p 是正
整数.
三、（本题满分15分）设,A B 都是n 阶矩阵，则证明AB 与BA 有相同的特征多项式.
四、（本题满分15分）计算n 级行列式
11
1222
2
12
1
111
11
211000110
01
11
n n n n n n n
n n
n
C x C C x
D C C C x C C C x ------=
五、（本题满分20分）设1α为线性变换T 的特征向量，1()0T E λα-=，这里E
为恒等变换，且向量组12,,
,r ααα满足1(),1,2,
, 1.i i T E i r λαα+-==-证
明：向量12,,,r ααα线性无关.
六、（本题满分20分）设12,,
,r ααα是欧氏空间V 的一标准正交向量组，证明：
V β∀∈有2
21,.r
i i βαβ=<>≤∑
七、（本题满分20分）设T 是n 维向量空间V 的线性变换，且20.T =证明
2dim(Im()),T n ≤这里0表示零变换，dim(Im())T 表示象空间的维数.
八、（本题满分20分）设A 为m n ⨯实矩阵，秩()A n =，证明： （1）（15分）'A A 是正定矩阵；
（2）（5分）方程组0AX =只有零解，这里123n x x X x x ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
中南大学
2007年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
一、填空题（每小题5分，共25分）
1．设4322()441,()1,f x x x x x g x x x =--++=--((),())f x g x =（ ） 2．设1234(2,4,2),(1,2,1),(3,5,4),(1,4,1)αααα==---==-，则秩1234(,,,)αααα=（ ）
3．设R 是实数域，{(,)|}W a a a R =∈，试写出2R 中W 的正交补（ ） 4．设σ是向量空间2F 上的线性变换，221221:(,)
(,).F F x x x x σ→-向量
(1,2)ξ=，则()σξ在基12(1,2),(1,1)αα==-下的坐标为（ ）
5．t 取何值时，222
12312
3121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定二次型？ （ ）
二、（本题满分15分）设,m n 为正整数，证明1m x -整除1n x -的充要条件是m 整
除.n
三、（本题满分15分）设,A B 都是n 阶矩阵，且1.ABA B -= 证明： 秩()E AB -+秩().E AB n +=
四、（本题满分15分）设n F 表示数域F 上向量空间，ϕ是按如下方法定义的线
性变换：:,n n F F A ϕα
α→
这里，12310
1000001000
0000,0000100
0n n a a a A a a α-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭
求线性变换ϕ的核()Ker ϕ和像Im()ϕ以及2Im().ϕ
五、（本题满分20分）设A 是非零实方阵，*A 是A 的伴随矩阵，'A 是A 的转置
矩阵，'*.A A = 1．（10分）证明0A ≠；
2．（10分）若λ是A 的特征值，则2
.A λ=
六、（本题满分20分）求下列矩阵的特征值和特征向量：
000100002000030000112310n n n A n n n -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭
七、（本题满分20分）设B 是正定矩阵，A B -是半正定矩阵，证明： 1．（10分）0A B λ-=的所有根1λ≤； 2．（10分）.A B ≥
八、（本题满分20分）设V 和W 都是数域F 上向量空间，()L V 和()L W 分别是V
和W 的线性变换组成的向量空间，f 是V 到W 的同构映射。

1．（5分） 证明：()L W σ∀∈，有1()f f L V σ-∈； 2．（15分）证明：()()L W L V ≅，这里≅表示同构。

2008年
一、填空题（5分，共25分）
1、 设1α=(2,4,2) ,2α=(1-,2-,1-), 3α=(3,5,4), 4α=(1,4, 1-),1β,2β3β,4β可以由
1α,2α3α,4α线性表出，则t =秩（1β,2β3β,4β）的取值范围是
2、 ()1
121111,,...,,,...,,0|,0,0k n k k n i i i i i k W x x x x x x R x x -+-==+⎧⎫
=∈==⎨⎬⎩⎭
∑∑是n R 的子空间，则W
的正交补的维数是
3、 设σ是向量空间2F 上的线性变换，σ：22F F → 1211(,)(,)x x x x →-，则线性变换σ
的核（零度）()Ker σ和像（值域）Im()σ分别为 4、 t 取何值时，实矩阵
1112125t A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与100020003B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
合同？
5、设A 是(2)n n ≥阶可逆矩阵，*
A 是A 伴随矩阵，则**
()A 与A 的关系是
二、（15分）设,b c 是实数，3
()f x x bx c =++，证明：()f x 有重根的充要条件是
324270b c +=
三、（15分）设()f x 是一个次数大于零的多项式，且(0)0f ≠，A 是n 阶矩阵且()0f A =，证明：A 是可逆矩阵 四、（15分）证明：任一n 阶可逆实矩阵A 均可分解为一正交矩阵U 和一实上三角矩阵R 的乘积，即A =UR
五、（20分）设2
()2f x x x a =-+
1、证明：存在0a >，使得对任一n 阶实对称矩阵A ，()f A 都正定
2、设122224242A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，若()f A 正定，试确定a 的取值范围
六、（20分）设a ,b 是实数，求矩阵2
1 (1)
...1.....................1b
b b b b b A a b
b b b
b b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的最大特征根
七、（20分）设A 是n 阶实方阵，A '是A 的转置矩阵，B 和X 是n 维列向量。

证明：方程组A AX A B ''=一定有解
八、（20分）设V 是欧式空间，σ是V 上的线性变换，τ是V 上的变换，且对任意,V αβ∈有(),,()σαβατβ<>=<>。

证明： 1、τ是V 上的线性变换
2、σ的核（零度）()Ker σ等于τ的像（值域）Im()τ的正交补。