九年级数学上册 圆 几何综合单元综合测试(Word版 含答案)

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九年级数学上册 圆 几何综合单元综合测试(Word 版 含答案)

一、初三数学 圆易错题压轴题(难)

1.如图①,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,AB =10,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作⊙O ,过C 作CE 切⊙O 于E ,交AB 于F .

(1)若⊙O 半径为2,求线段CE 的长;

(2)若AF =BF ,求⊙O 的半径;

(3)如图②,若CE =CB ,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离.

【答案】(1)CE =42;(2)⊙O 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6

【解析】

【分析】

(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得;

(2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到

OE OC BC BA =,即8610r r -= 解得即可;

(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,GB GE AB AC

=,即12108

GE =,解得即可. 【详解】

解:(1)如图①,连接OE ,

∵CE 切⊙O 于E ,

∴∠OEC =90°,

∵AC=8,⊙O的半径为2,

∴OC=6,OE=2,

∴CE=2242

OC OE

-=;

(2)设⊙O的半径为r,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,∴BC=22

AB A C

-=6,

∵AF=BF,

∴AF=CF=BF,

∴∠ACF=∠CAF,

∵CE切⊙O于E,

∴∠OEC=90°,

∴∠OEC=∠ACB,

∴△OEC∽△BCA,

∴OE OC

BC BA

=,即

8

610

r r

-

=

解得r=3,

∴⊙O的半径为3;

(3)如图②,连接BG,OE,设EG交AC于点M,

由对称性可知,CB=CG,

∵CE=CG,

∴∠EGC=∠GEC,

∵CE切⊙O于E,

∴∠GEC+∠OEG=90°,

∵∠EGC+∠GMC=90°,

∴∠OEG=∠GMC,

∵∠GMC=∠OME,

∴∠OEG=∠OME,

∴OM=OE,

∴点M和点D重合,

∴G、D、E三点在同一直线上,

连接AE、BE,

∵AD是直径,

∴∠AED=90°,即∠AEG=90°,

又CE=CB=CG,

∴∠BEG=90°,

∴∠AEB=∠AEG+∠BEG=180°,

∴A、E、B三点在同一条直线上,∴E、F两点重合,

∵∠GEB=∠ACB=90°,∠B=∠B,∴△GBE∽△ABC,

∴GB GE

AB AC

=,即

12

108

GE

=

∴GE=9.6,

故G、E两点之间的距离为9.6.

【点睛】

本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关

2.如图,△ABC内接于⊙O,点D在AB边上,CD与OB交于点E,∠ACD=∠OBC;

(1)如图1,求证:CD⊥AB;

(2)如图2,当∠BAC=∠OBC+∠BCD时,求证:BO平分∠ABC;

(3)如图3,在(2)的条件下,作OF⊥BC于点F,交CD于点G,作OH⊥CD于点H,连接FH并延长,交OB于点P,交AB边于点M.若OF=3,MH=5,求AC边的长.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AC=48 5

【解析】

【分析】

(1)根据直径所对的圆周角是直角,得出∠FCB=90°,再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F,再根据已知条件得∠3=90°,得CD⊥AB;

(2)延长BO交AC于K,由已知可得∠A=∠5,由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°,根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC;

(3)延长BO交AC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN,由条件可得CH=NH,BF=CF,从而HF是△CBN的中位线,HF∥BN,得出∠OEH=∠EHM又由

∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5,在Rt△OBF中,根据勾股定理可得

BF=4,解出BC=8,sin∠OBC=3

5

,所以可得AC=2CK,CK=BC•sin∠OBC=

24

5

AC=48 5

.

【详解】

解:(1)如图1,令∠OBC=∠1,∠ACD=∠2

延长BO交⊙O于F,连接CF.

∵BF是⊙O的直径,∴∠FCB=90°

∴∠1+∠F=90°,

∵弧BC=弧BC,

∴∠A=∠F

又∵∠1=∠2,

∴∠2+∠A=90°,

∴∠3=90°,

∴CD⊥AB

(2)如图2,令∠OBC=∠1,∠BCD=∠4

延长BO交AC于K

∵∠A=∠1+∠4,∠5=∠1+∠4,

∴∠A=∠5,

∵∠A+∠2=90°,

∴∠5+∠2=90°,

∴∠6=90°

∵∠7=180°﹣∠3=90°,

∴∠6=∠7,

又∵∠5=∠8,∴∠9=∠2

∵∠2=∠1,∴∠9=∠1,

∴BO平分∠ABC

(3)如图3,延长BO交AC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN

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