《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】2.2.1习题课

习题课

一、基础过关

1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则下列结论正确的是________．

①a ≤12 ②ab ≥12

③a 2＋b 2≥2 ④a 2＋b 2≤3

2．下面四个不等式：

①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；

②a (1－a )≤14

； ③b a ＋a b

≥2； ④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.

其中恒成立的有________个．

3．若实数a ，b 满足0

①12

②2ab ③a 2＋b 2 ④a 4．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．

5．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .

求证：AF ⊥SC .

证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．

二、能力提升

6．命题甲：(14

)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的________条件．

7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2

)，则P 、Q 、R 的大小关系为________． 8．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．

9．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋b a >a ＋b .

10．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a

－2. 11．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c

－1)≥8. 12．已知函数f (x )＝x 2＋2x

＋a ln x (x >0)，对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明：当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)． 三、探究与拓展

13．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：

ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)

答案

1．③

2．3

3．③

4．a >b >c

5．EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC

6．充要

7．P

8．①③⇒②

9．证明 方法一 用综合法

a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab

＝(a －b )(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab

>0， ∴a b ＋b a

>a ＋b . 方法二 用分析法

要证a b ＋b a >a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2

a

＋2ab >a ＋b ＋2ab ， 即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，

只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，

即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，

只需证(a －b )2>0，

因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立， 所以a b ＋b a

>a ＋b 成立． 10．证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a

－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a

＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a

＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a

2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a

2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝

⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a

2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 11．证明 方法一 (分析法)

要证(1a －1)(1b －1)(1c

－1)≥8成立， 只需证1－a a ·1－b b ·1－c c

≥8成立． 因为a ＋b ＋c ＝1，

所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c

≥8成立， 即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c

≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c

＝8成立． ∴(1a －1)(1b －1)(1c

－1)≥8成立． 方法二 (综合法)

(1a －1)(1b －1)(1c

－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c

－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c

＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc

≥2bc ·2ac ·2ab abc

＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．

12．证明 由f (x )＝x 2＋2x

＋a ln x ， 得f (x 1)＋f (x 2)2＝12(x 21＋x 22)＋(1x 1＋1x 2)＋a 2

(ln x 1＋ln x 2) ＝12(x 21＋x 22)＋x 1＋x 2x 1x 2

＋a ln x 1x 2. f (x 1＋x 22)＝(x 1＋x 22)2＋4x 1＋x 2

＋a ln x 1＋x 22， ∵x 1≠x 2且都为正数，

有12(x 21＋x 22)>14[(x 21＋x 22)＋2x 1x 2]＝(x 1＋x 22

)2.① 又(x 1＋x 2)2＝(x 21＋x 22)＋2x 1x 2>4x 1x 2，

∴x 1＋x 2x 1x 2>4x 1＋x 2

.② ∵x 1x 2

. ∵a ≤0，∴a ln x 1x 2>a ln x 1＋x 22

.③ 由①、②、③得f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22

)． 13．证明 方法一 (用分析法)

①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．

②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证