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2017年高考数学基础突破——集合与函数 7．对数与对数函数（学生版，后附教师版）

【知识梳理】 1．对数的概念

如果a x ＝N(a>0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．

2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M

N ＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝nlog a M (n ∈R)；④log am M n ＝n

m log a M(m ，n ∈R ，且m≠0)．

(2)对数的性质

①a

log a N

＝ N ；②log a a N ＝ N (a>0且a≠1)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1

log b a

，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d ． 3．对数函数的图象与性质

4．反函数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．

【基础考点突破】

考点1．对数式的运算

【例1】 (1)化简对数式1log 53＋log 31

15

得到的值为( )

A ．1

B ．2

C ．－1

D ．－1

3

(2)[2014·重庆卷] 函数f(x)＝log 2 x ·log 2(2x)的最小值为________．

变式训练1． (1)若xlog 34＝1，则4x ＋4－

x ＝________．

(2)计算：lg 27＋lg 8－lg 1000lg 1.2＝________．

（3）【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=5

2

，a b =b a ，则a= ，b= . 考点2．对数函数的图像及应用

【例2】(1)[2013·温州三模] 若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )

A ．0

B ．0

C ．1

D ．a ≥2

(2) 若函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )

A B C

D

变式训练2．(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a (x≥0)，g(x)＝log a x 的图像可能是( )

(2)若不等式log a x ≥(x －1)2恰有2个整数解，则a 的取值范围是________．

考点3．对数函数的性质及应用 命题点1．比较对数值的大小

【例3】设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )

A ．c>b>a

B ．b>c>a

C ．a>c>b

D ．a>b>c

命题点2．解对数方程或不等式

【例4】【2016高考上海理数改编】已知a R ∈，函数21

()log ()f x a x

=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；

（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；

变式训练3. 若log a (a 2＋1)

A ．(0,1)

B ．(0，12)

C ．(1

2，1)

D ．(0,1)∪(1，＋∞) 命题点3．和对数函数有关的复合函数 【例5】已知函数f(x)＝log a (3－ax)．

(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

【归纳总结】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．

变式训练4．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )

A ．a>c>b

B ．b>c>a

C ．c>b>a

D ．c>a>b

(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)

D ．[2，＋∞)

(3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 2

x ，x>0，log 1

2 －x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1)

【基础练习】

1．设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是( )

A ．奇函数，且在(0，2)上是增函数

B ．奇函数，且在(0，2)上是减函数

C ．偶函数，且在(0，2)上是增函数

D ．偶函数，且在(0，2)上是减函数 2．已知a ＝31

2

，b ＝log 13

12，c ＝log 21

3

，则( )

A ．a>b>c

B ．b>c>a

C ．c>b>a

D ．b>a>c

3．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )

A ．d ＝ac

B ．a ＝cd

C ．c ＝ad

D ．d ＝a ＋c

4．(2015·四川卷)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必

要条件

5．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎝⎛⎭⎫12x x≥4 ，f x ＋1 x<4 ，

则f(log 23)等于( )

A ．16

B ．112

C ．124

D ．1

3

6．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(

)