高二寒假—02—空间中的直线与平面1—教师

空间中的直线与平面1例题解析1、直线与平面平行（默认）【例1】判断真假：（1）平行于同一直线的两直线平行（）；（2）平行于同一直线的两平面平行（）；（3）平行于同一平面的两直线平行（）；（4）平行于同一平面的两平面平行（）；（5）垂直于同一平面的两直线平行（）；（6）垂直于同一平面的两平面平行（）；（7）垂直于同一直线的两直线平行（）；（8）垂直于同一直线的两平面平行（）；（9）一个平面上不共线的三点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行（）；（10）与同一条直线成等角的两个平面平行（）．【难度】★★【答案】1．√ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．√ 6．╳ 7．╳ 8．√ 9．╳ 10．╳【例2】判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则α与β平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．【难度】★★【答案】不正确，不正确，不正确，正确，不正确（默认）【例3】在正方体1111D C B A ABCD -中，M F E ,,分别是棱1CC 、1DD 、1AA 的中点． 求证：（1）直线ABEF M D 平面//1；（2）直线ABEF M C 平面//1．【难度】★ 【答案】略【例4】E ，F 分别是空间四边形ABCD 的AC ，BD 的中点，过E ，F 且平行于AD 的平面分别交AB ，CD 于G ，H ．求证：BC //平面EGFH ．【难度】★★ 【答案】略【例5】ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，并且AC //面EFGH ，BD //面EFGH ，,AC m BD n ==当EFGH 是菱形时，:AE EB =____________________．【难度】★ 【答案】mn【例6】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ． 【难度】★★ 【答案】略【例7】已知：线段AB 、CD 异面，CD Þ平面α，AB ∥α，M 、N 分别是线段AC 和BD 中点．求证：MN ∥平面α． 【难度】★★ 【答案】略CB DA B 1C 1A 1D 1E FM【例8】如图，正方体ABCD A B C D ''''-中，E 为DD '的中点，试判断BD '与平面AEC 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★ 【答案】略（默认）【例9】在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1．【难度】★★ 【答案】略【例10】如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】：要证直线MN ∥平面PBC ，只需证明MN ∥平面PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面∥平面PBC .证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意得NRNR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意有AB BM =PD PN =DCNR，∴=MB ，BR1ACC 'A=+MN +NR=MN.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.【说明】 1：要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用.2．找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质.3．鼓励学生一题多解,【说明】本题重点考查直线与平面平行的性质.α =c，则直线c（）【例11】两条异面直线a、b分别在平面α、β内，且βA．一定与a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．一定与a，b都不相交【难度】★★【答案】B【例12】如图，在正方形ABCD外有一点S到A、B、C、D四点距离相等，底面ABCD的边长为a，SA=SB=SC=SD=2a，P、Q分别在BD和SC上，且BP : PD=1 : 2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长．Array【难度】★★★【巩固训练】（默认）1．如果平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则这条直线与平面关系是________．【难度】★【答案】平行，相交l平面M，则直线l与平面M内的直线的位置关系是．2．若直线//【难度】★【答案】平行、异面3．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直 【难度】★ 【答案】D4．正方体1111D C B A ABCD -中，点N M ,分别是正方形1111,D DCC ADD A 的中心． （1）直线MN 平面AC 的位置关系是；（2）直线MN 与BD 所成的角为；（3）平面MN D 1与平面B C A 11的位置关系是． 【难度】★【答案】平行，2π，平行（默认）5．直线a 与平面α平行的充要条件是 （ ）A ．直线a 与平面α内的一条直线平行B ．直线a 与平面α内的两条直线不相交C ．直线a 与平面α内的无数条直线平行D ．直线a 与平面α内的任意直线都不相交 【难度】★ 【答案】D6．如果直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上情况都有可能 【难度】★ 【答案】A7．已知直线//,a b a Ü平面α，则直线b 与平面α的位置关系是__________。

【难度】★【答案】//b α或b αÜ8．若直线l //平面α，则下列命题中正确的是 （ ）A ．l 平行于α内所有直线B ．l 平行于过l 的平面与α的交线C ．l 平行于α内的任一直线D ．l 平行于α内唯一确定的直线 【难度】★★ 【答案】B9．已知直线,a b 和平面α，那么//a b 的一个必要不充分条件是 （ ）A ．//,//a b ααB ．,a b αα⊥⊥C ．,//b a ααÞD ．,a b 与α成等角【难度】★★ 【答案】D10．,αβ表示两个平面，,a b 表示两条直线，则//a α的一个充分条件是 （ ）A ．,a αββ⊥⊥B ．,//b a b αβ=C ．//,//a b b αD ．//,a αββÞ【难度】★★ 【答案】D11．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE ． 【难度】★★ 【答案】略（默认）12．设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与AB 交于点P ，求证：P 是MN 的中点． 【难度】★★ 【答案】略2、直线与平面垂直（默认）【例13】判断正误：（1）若直线l 垂直于平面α内两条直线，则α⊥l ； （ ） （2）过一定点O 与已知平面垂直的直线有无数条； （ ） （3）过一定点O 与已知直线垂直的直线都在同一平面内； （ ） （4）若直线α⊥1l ，α⊥2l ，则21//l l ； （ ） （5）若α⊥l ，⊥l 直线m ，则α//m ；（）（6）若α//l ，α∈∈O l A ,，且l AO ⊥，则线段AO 的长度是直线l 与平面α的距离．（ ）【难度】★★【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．√ 5．╳ 6．╳（默认）【例14】已知Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PC 于E ，求证：AE ⊥平面PBC ．【难度】★★ 【答案】略【解析】【例15】 P 是△ABC 所在平面外的一点，P 在平面ABC 内的射影是O ，①若PA=PB=PC ，则O 是△ABC 的外心；②若P 到△ABC 的三边所在直线的距离相等，且O 在△ABC 内，则O 是△ABC 的内心；③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的垂心；④若PA=PB=PC ，且O 在边AB 上，则△ABC 是直角三角形。

正确的命题是． 【难度】★★ 【答案】①②③④【例16】直角梯形ABCD 中,︒=∠=∠90D A ，AD AB =，AB CD 2=，⊥SD 平面ABCD ．求证：(1)AB SA ⊥；(2)BC SB ⊥． 【难度】★★ 【答案】略（默认）【例17】如图，在四面体ABCD 中，CD ⊥BD ，CD ⊥AD ，过△ABC 内一点P 画一直线与CD 垂直，应如何画？说明理由．ABCE P⇒⎭⎬⎫⊂⊥ABC BC ABC PA 平面平面⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥A AC PA ACBC BCPA ⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAC AE PAC BC 平面平面⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥C PC BC PC AE AE BC PBCAE 平面⊥S【难度】★★ 【答案】略【例18】在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是． 【难度】★★ 【答案】6【例19】已知：AB α⊥，CD α⊥，B 、D 是垂足，AC β⊥，αβ =MN ，求证：MN ⊥BD ． 【难度】★ 【答案】略【例20】已知PD 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AD 、PB 的中点（如图），求证：MN ⊥AD ．【难度】★★【答案】略【例21】已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，O 、A 为垂足．求证：a ∥b ． 【难度】★ 【答案】略【例22】已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC于点E ，求证：AE ⊥平面PBC ． 【难度】★★ 【答案】略【例23】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥平面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ，求证：BD ⊥平面AEF ．【难度】★★ 【答案】略【例24】正方形ABCD 的边长是a ，O 为其中心．平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是a ，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且::PM MA BN ND =；求证：（1）PO ⊥平面ABCD ；（2）//MN 平面PBC ．【难度】★★ 【答案】略（默认）【例25】如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．【难度】★★★ 【答案】略【例26】如图2，在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，Ｅ为垂足，作AH BE ⊥于H ．求证：AH BCD ⊥平面．【难度】★★★ 【答案】略【例27】如图：斜边为AB 的,,Rt ABC A AP ABC AE PB ∆⊥⊥过作平面，与PB 交于Ｅ，,.AF PC PC F ⊥与交于求证：PB ⊥平面AEF ．【难度】★★★ 【答案】略【例28】下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）【难度】★★★ 【答案】①④【巩固训练】PF ECAB13．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的_______条件． 【难度】★ 【答案】必要非充分（默认）14．若直线a 与平面α不垂直, 那么平面α内与直线a 垂直的直线有_________条． 【难度】★ 【答案】无数15．直线a 与平面α斜交，那么在α内与a 垂直的直线 （ ）A ．没有B ．有一条C ．有无数条D ．有n 条（n 为大于１的整数） 【难度】★ 【答案】C16．如果直线a ⊥平面α，直线//b α，直线a 与b 的位置关系是 （ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．,a b 一定异面D ．,a b 一定相交 【难度】★ 【答案】B（默认）17．（1）如图7，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，判断下列结论是否正确：①AC ⊥面CDD 1C 1②A A 1⊥面A 1B 1C 1D 1 ③AC ⊥面BDD 1B 1④EF ⊥面BDD 1B 1 ⑤AC ⊥BD 1（2）将（1）中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？ 【难度】★★ 【答案】18．若⊥PA 平面ABC ，ABC ∆中，AC BC ⊥，则PBC ∆的形状是． 【难度】★【答案】直角三角形CA 1 EF19．直线l 垂直于平面α内的两条直线，则直线l 与平面α的关系是 （ ）A ．垂直B ．平行C ．相交D ．都有可能【难度】★ 【答案】D20．直线l 不垂直于平面α，则α内与l 垂直的直线共有 （ ）A ．0条B ．1条C ．无数条D ．α内所有直线【难度】★ 【答案】C21．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，AC BD O = ，连接11,,,A D A B DF BF ，求证:1BD A F ⊥．【难度】★★ 【答案】略（默认）22．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心,F 为CC 1的中点,求证:BDF O A 平面⊥1．【难度】★★ 【答案】略23．如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S ，Ｔ分别为棱111,AA A B 上的点，如果90TSC ∠=，那么TSB ∠是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都有可能【难度】★★ 【答案】BA BD 1A1B1C 1DＴＳABCD 1A 1B 1C 1D OF24．如图：P 是∆ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ．若O 和Q 分别是∆ABC 和∆PBC 的垂心．求证：OQ ⊥平面PBC ．【难度】★★★ 【答案】略1．判断正误：（1）若直线b a //，b βÜ，则β//a ；（ ）（2）若直线α//a ，b αÜ，且b a ,都在平面β内，则b a //；（ ） （3）若直线b a //，α平面//a ，则直线α平面//b ；（ ） （4）若平面βα//，直线,a b αβ苘，则直线b a //；（ ） （5）直线α平面//a ，平面βα//，则直线β平面//a ；（ ） （6）平面βα//，平面b a ==βγαγ ,，则直线b a //；（ ）（7）若平面=βα 直线a ，直线b βÜ，且b 和a 没有公共点，则α//b ．（ ） 【难度】★【答案】1．╳ 2．√ 3．╳ 4．╳ 5．╳ 6．√ 7．√2．如果直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若//m α，则m l ⊥；④若//m l ，则m α⊥．上述判断正确的是： （ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④ 【难度】★★ 【答案】B3．关于直线l b a 、、以及平面N M 、，下列说法正确的是 （ ） A ．若M b M a //,//，则b a //课后练习P A C QM F OB ．若a b M a ⊥,//，则M b ⊥C ．若,a M bM 苘，且B l a l ⊥⊥,，则M l ⊥D ．若N a M a //,⊥，则N M ⊥ 【难度】★★ 【答案】D4．点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC 与BD 的交点，且P A =PC ，PB =PD . 求证：PO ⊥平面ABCD ． 【难度】★★ 【答案】略5．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ． 【难度】★★【解析】(1) ∵M 、N 是AB 、BC 的中点，∴MN ∥AC ，MN ＝21AC ． ∵P 、Q 是CD 、DA 的中点，∴PQ ∥CA ，PQ ＝21CA ． ∴MN ∥QP ，MN ＝QP ，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN ．记平面MNP (即平面MNPQ )为α．显然AC ⊄α． 否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α；由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α，则A 、B 、C 、D ∈α， 与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾． 又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，又AC ⊄α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP ． 同理可证BD ∥平面MNP ．BA DC P NQM。