专题16 角平分线四大模型(解析版)

中考常考几何模型

专题16 角平分线四大模型

1、角平分线上的点向两边作垂线

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

结论：PB=PA。

2、截取构造对称全等

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：△OPB≌△OPA。

3、角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。

结论：△AOB 是等腰三角形。

4、角平分线+平行线

如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。

模型精练：

1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）

A．40°B．45°C．50°D．60°

【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠F AP，即可得出答案

【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD＝x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，

∴PF＝PM，

∵∠BPC＝40°，

∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，

∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，

∴∠CAF＝100°，

在Rt△PF A和Rt△PMA中，

{PA=PA

PM=PF，

∴Rt△PF A≌Rt△PMA（HL），

∴∠F AP＝∠P AC＝50°．

故选：C．

2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）

A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm

【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解．

【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵BC＝12cm，BD＝8cm，

∴CD＝BC﹣BD＝12﹣8＝4cm，

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，

∴DE＝CD＝4cm，

即点D到直线AB的距离是4cm．

故选：B．

3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）

A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定

【点睛】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．

【解析】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，

∵AD是∠A的外角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，

在△ACP和△AEP中，{AE=AC

∠CAD=∠EAD AP=AP

，

∴△ACP≌△AEP（SAS），

∴PE＝PC，

在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，

∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，

∴m+n＞b+c．

故选：A．

4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为11．

【点睛】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．【解析】解：∵MN∥BC，

∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，

∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，

∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，

∴ME＝BM，EN＝CN，

∵BM+CN＝11，

∴EM+EN＝11，

即MN＝11，

故答案为：11．

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

【点睛】作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF ＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC ≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．

【解析】解：取BF的中点E，连接AE，AD，

∵∠BAC＝90°，

∴AE＝BE＝EF，

∴∠ABD＝∠BAE，

∵CD⊥BD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DAC＝∠DBC，

∵BF 平分∠ABC ，

∴∠ABD ＝∠DBC ，

∴∠DAC ＝∠BAE ，

∴∠EAD ＝90°，

∵AB ＝AC ，

∴∠ABC ＝45°，

∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，

∴∠AED ＝45°，

∴AE ＝AD ，

在△ABE 与△ADC 中，

{∠ABE =∠DAC ∠BAE =∠ACD AE =AD

，

∴△ABE ≌△ADC ，

∴BE ＝CD ，

∴BF ＝2CD ．

6．如图，在△ABC 中，∠ABE ＝2∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD ，垂足为E

（1）若∠C ＝30°，求证：AB ＝2BE ．

（2）若∠C ≠30°，求证：BE =12（AC ﹣AB ）．