陕师大附中高2013届第一次模拟考试数学试题及答案(理科)

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陕西省师大附中2013届高三第一次模拟考试数学文试题(WORD解析版)

陕西省师大附中2013届高三数学一模试题（文科）第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 【答案】C【解析】因为复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，所以2230,310x x x x ⎧+-==-⎨-≠⎩解得，因此选C 。

2．已知,αβ为不重合的两个平面，直线m 在平面α内，则“m β⊥”是“αβ⊥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线m 在平面α内，m β⊥，所以面面垂直的判断定理得αβ⊥；若αβ⊥，则m β⊥不一定成立，只有直线m 垂直于平面,αβ的交线时，才能得到m β⊥。

3．已知集合{12}A x x =-<，{}B x x m =≥，且A B A = ，则实数m 的取值范围是 A ．3m ≥B ．3m ≤C ．1m ≤-D ．1m ≥-【答案】C【解析】集合{12}A x x =-< {}|13x x =-<<，又{}B x x m =≥，且A B A = ，所以A B ⊆，所以1m ≤-，因此选C 。

4．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．23【答案】A 【解析】因为1598a a a π++=，所以55838,3a a ππ==即，所以285161cos()cos 2coscos 332a a a ππ+===-=-，因此选A 。

5．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．52C ．72D ．2【答案】B【解析】因为若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2214b a =，所以双曲线12222=-bx a y 的离心率为222551,42b e e a =+==所以。

2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1）若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4）综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1）令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1）选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2）选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3）选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1）即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为（） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2）令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示：由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1）选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1）又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2）又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1）由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2）则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3）由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1）当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1）又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2）又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6）即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]，设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。

2013年陕西卷数学试题及答案(理)

2013·陕西卷(理科数学)1．设全集为，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故∁M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*x Elsey ＝25＋0.6*(x －50) End If 输出y .A ．25B ．30C ．31D ．612．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x >50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.3．，设，为向量，则“|＝是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos 〈，〉|＝1，故|＝||cos 〈a ，b 〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．144．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.5．如图1－1，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )图1－1A ．1－π4 B.π2－1C ．2－π2 D.π45．A [解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P ＝2－π22＝1－π4.6．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．D [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈)，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ＝0⇒a ＝c ，b ＝d ，故A 正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 正确．又z 21＝(a 2－b 2)＋2ab i ，z 22＝(c 2－d 2)＋2cd i ，由a 2＋b 2＝c 2＋d 2不能推出z 21＝z 22成立，故D 错． 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．B [解析] 结合已知b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理代入可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ⇒sin(B ＋C )＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．8．，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．158．A [解析] 由已知表达式可得：f [f (x )]＝1x －x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 61x6－r (－x )r ＝C r 6·(－1)r ·x r －3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.9．在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图1－2A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]9．C [解析] 如下图，可知△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x .又xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x ≤30.10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x ]＝[－3.5]＝－4，－[x ]＝－[3.5]＝－3，故A 错．[2x ]＝[7]＝7，2[x ]＝2[3.5]＝6，故B 错．再取y ＝3.8，则[x ＋y ]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C 错．只有D 正确．11．双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 [解析] 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 12．某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．图1－312.π3 [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V ＝12×13×π×12×2＝π3. 13．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．13．－4 [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A (－1，2)时，z 取最小值为－4.14．观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2. 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 [解析] 利用已知可得，∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PEP A ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则P A ＝3，则PE 2＝P A ·PD ＝6，PE ＝ 6. C ．(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P (x ，y )，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0⇒x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP ·cos θ，y ＝OP ·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 16．，已知向量＝cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数f (x )＝(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 16．解：f (x )＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在0，π2上最大值是1，最小值是－12.17．设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，即a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，即a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．18．，如图1－6，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．图1－118．解：(1)方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易知B 1(－1，1，1)． ∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)， BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2， ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又 BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1. ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量＝(x ，y ，z )．∵OC →＝(－1，0，0)，OB 1→＝(－1，1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取＝(0，1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1，0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415.或P (AB )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”．则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475.P (X ＝1)＝P (AB C )＋P (ABC )＋P (A BC ) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.20．，已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42.化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2.② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1. 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0)．21．已知函数f (x )＝e x ，x ∈(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数；(3)设a <b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e 2. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 的公共点个数．令φ(x )＝e xx 2，则φ′(x )＝e x （x －2）x 3，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0，2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24. 当0<m <e 24时，曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 恰有一个公共点；当m >e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝1m，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m ，由φ(x )的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 恰有两个公共点．综上所述，x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)方法一：可以证明f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.事实上， f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e a b －a ⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a 2>1－2e a e b ＋ea ⇔b －a 2>1－2e b －a ＋1(b >a )．(*) 令φ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)，则φ′(x )＝12－2e x（e x ＋1）2＝（e x ＋1）2－4e x 2（e x ＋1）2＝（e x －1）22（e x ＋1）2≥0(仅当x ＝0时等号成立)． ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x >0时，φ(x )>φ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．方法二：f （a ）＋f （b ）2－f （b ）－f （a ）b －a＝e b ＋e a 2－e b －e ab －a＝b e b ＋b e a －a e b －a e a －2e b ＋2e a2（b －a ）＝e a 2（b －a ）[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]．设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x >0时，u ′(x )>u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x >0时，u (x )>u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2>0，∴e b ＋e a 2－e b －e ab －a>0，因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.。

2013年高考理科数学陕西卷及答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ,函数x f （M ,则M R ð为（）A .[]1,1-B .1,1(-)C .][11∞-∞(-,，+)D .11∞-∞(-,)(,+)2.根据下列算法语句,当输入x 为60时,输出y 的值为（）A .25B .30C .31D .61 3.设a ,b 为向量,则“||||||=a b a b ”是“a b ∥”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间481,[720]的人数为（）A .11B .12C .13D .145.如图,在矩形区域ABCD 的A ,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是（）A .π14-B .π12- C .π22-D .π46.设1z ,2z 是复数,则下列命题中的假命题是（）A .若12|0|z z =-,则12z z =B .若12z z =,则12z z =C .若12||||z z =,则1122=z z z zD .若12||||z z =,则2212=z z7.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若=bcosC ccosB asinA +,则ABC △的形状为（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定8.设函数61(),0,()=0,x x x f x x ⎧-⎪⎨⎪⎩＜≥则当0x ＞时,[]f f x ()表达式的展开式中常数项为（）A .20-B .20C .15-D .159.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分）,则其边长x （单位：m ）的取值范围是（）A .[15,20]B .[12,25]C .[10,30]D .[20,30]10.设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数x ,y ,有（）A .[][]x x =--B .]2[]2[x x =C .[][][]x y x y ++≤D .[][][]x y x y --≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.双曲线22=116x y m -的离心率为54,则m 等于________.12.某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.13.若点,x y ()位于曲线=|1|y x -与=2y 所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为________. 14.观察下列等式21=12212=3-- 222123=6-+ 22221234=10-+--……照此规律,第n 个等式可为________.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) A .（不等式选讲）已知a ,b ,m ,n 均为正数,且=1a b +,=2mn ,则am bn bm an (+)(+)的最小值为________.B .（几何证明选讲）如图,弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知22PD DA ==,则PE =________.C .（坐标系与参数方程）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆220x y x +-=的参数方程为________.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量a 1(cos ,)2x =-,b ,)2sinx cos x =,x ∈R ,设函数()=f x a b .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在π[0,]2上的最大值和最小值.17.(本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1q ≠,证明数列{1}n a +不是等比数列.18.(本小题满分12分)如图,四棱柱1111ABCD A B C D －的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,1AO ⊥平面ABCD,1AB AA =（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.19.(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列及数学期望.20.(本小题满分13分)已知动圆过定点4,0A (),且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)B -,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ,Q ,若x 轴是PBQ ∠的角平分线,证明直线l 过定点.21.(本小题满分14分) 已知函数()e x f x =,x ∈R .（Ⅰ）若直线1y kx =+与f x （）的反函数的图象相切,求实数k 的值；（Ⅱ）设0x >,讨论曲线()y f x =与曲线20y mx m >=()公共点的个数；（Ⅲ）设a b <,比较()2f a f b +()与f b f a b a()-()-的大小,并说明理由.2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学答案解析（理科）C【解析】若||||||a b a b =若a ，b 中有零向量，显然a b ∥；若a ，b 中均不为零向量，则|||||||cos ,|||||a b a b a b a b ==cos ,1,πa b a b =⇒=∴或0，a b ∴∥，即||||||a b a b a b =⇒∥若a b ∥，则,a b |||||||cos ,|||||a b a b a b a b ==，其中若a ，b 中有零向量也成立，即||||||a b a b a b ⇒=∥；综上知：“||||||a b a b =|”是“a b ∥”的充分必要条件．【提示】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解【考点】平面向量的数量积运算，充分、必要条件1)20，1l ≤36≤.满足条件的481720共240【考点】系统抽样 1222z z z =，真命题；，满足12||||z z =，而【提示】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断】c o s b C +)sin B C +=直角三角形6322661(1)C (1)C r rrr r r r r xx x x ---⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，3r =，此时4()1320T -==-61⎛⎫． 300xy ≥，(40)300x x -，解得1030x ≤≤，故选C ．。

陕西师大附中2013届高三一模理科数学试题(含答案)

陕西师大附中2013届高三一模理科数学试题第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．233．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为ABCD ．24．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到xx g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位5．设p ∶210||2x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．新学期开始，学校接受6名师大学生生到校实习，学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为A ．18B ．15C ．12D ．97．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A ．2BC ．2或2-D8.2a <<，则函数()2f x x =-的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49. 在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是A. (-2,-9)B. (0,-5)C. (2,-9)D. (1,-6)10．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x=-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f =A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11. 右图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则h = cm1223＝4….8 （,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t的值，则a t +＝ .13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率为 .14．在二项式)n x +的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则n 的值为 .15.不等式3642x x x --->的解集为．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分12分)已知函数2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++为偶函数，且[]πα,0∈（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值. 17．（本小题满分12分）甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y . （Ⅰ）求2y =的概率；（Ⅱ）设随机变量y x X -=，求随机变量X 的分布列及数学期望.18．（本题满分12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， AD =PA =2，CD E 、F 分别是AB 、PD 的中点.（Ⅰ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求四面体PEFC 的体积．19．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；EPDCBAF(Ⅱ)设21n nb a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n T n >+. 20．（本小题共13分）已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=,(20)M ，满足=,点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅．（Ⅰ）求ABC ∆外接圆的方程；（Ⅱ）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程；（Ⅲ）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅> ，求k 的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数2()2x k f x e x x =--. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.数学一模（理科）参考答案11．4 12. 71 13. 31014. 5 15. 1|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭三、解答题：16．解：（Ⅰ）2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++sin(2))2sin(2)3x x x πααα=++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（Ⅱ）由()1f x = 得 1cos 22x =又 x 为三角形内角，(0,)x π∈566x x ππ∴==或 17．解：（Ⅰ）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=1231145454=⨯+⨯= （Ⅱ）随机变量X 可取的值为0，1，2，3当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =121212122(0)454545455P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯= 当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =1111111111113(1)45454545454510P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=同理可得11(2);(3)510P X P X ====01231510510EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=18. 解（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥ PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PA AD A CD PAD AF PAD AF CDPD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥=∴⊥⊆∴⊥=∴⊥∴⊥⊆∴⊥ ，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//1212213PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积 19.解：（Ⅰ）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+，解得1a =1, ∴n a n =.(*N n ∈) (Ⅱ) 解：由（1）可知 21n b n = 21111(1)1n n n n n >=-++11111(1)()()22311n nT n n n ∴>-+-++-=++20．解：（Ⅰ） 0=⋅AB AT AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-．所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，得点A 的坐标为(02)-，，(2,0)BM MC M Rt ABC =∴∆ 为外接圆的圆心又r AM ===所以ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=．（Ⅱ）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC ∆外接圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -= 故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为2c =的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<． (Ⅲ)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=< 222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪⎪-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪∴+=<⎨-⎪⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩解得：1k <<- 故k的取值范围为(1)-21．解：（Ⅰ）0k =时，()x f x e x =-，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加故()f x 的最小值为(0)1f =（Ⅱ）'()1x f x e kx =--，()x f x e k ''=-当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增，而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增，而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . 当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减，而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.。

陕西省师大附中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

陕西师大附中2012—2013学年度第一学期期中考试高三数学(理科）试题一、选择题（本大题共10题,每小题5分,共50分）1．复数2341i i i i++=-（） A ．1122i -- B ．1122i -+C ．1122i - D 1122i +．2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin(2)6y x π=+的图像（）A 。

向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D 。

向右平移2π个长度单位3．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩, 则关于x 不等式()2f x ≤的解集是（）A. []1,2- B 。

[]0,2 C. [1,)+∞ D. [0,)+∞4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ )A ．18 B.24 C.30 D.36 5．已知等差数列{}na 的前项和为nS ，且424SS =，则64S S =（）A ．94B ．32C ．53D ．46．已知点P 是曲线41xy e =+上的任意一点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（） A 。

0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．分别在区间]6,1[，]4,1[内各任取一个实数依次为n m ,，则n m >的概率是（ )A ．0。

3B ．0。

667C ．0.7D ．0。

714 8．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ )A ．12B ．32C ．1D ．139．若双曲线E 的中心在原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F的直线l 与E 交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)--,则E 的方程为（）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=10．已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =++++,则'(0)f =（）A.2nC B 。

陕西省师范大学附属中学2013_2014学年高二数学上学期期末考试试题理

陕西师大附中2013—2014学年度第一学期期末考试高二年级数学(理科)试题一、选择题（10×5′＝50′）1.从甲地到乙地有3条路可选择，从乙地到丙地有2条路可选择，从丙地到丁地有5条路可选择，那么从甲地经过乙、再过丙、最后到丁地可选择的旅行方式的不同种数为【】. A.10 B.16 C.30 D.312.若随机变量),(~p n B ξ,且300=ξE ,200=ξD ,则=p 【】. A.41 B.31 C.21D.323.经过抛物线22y x =的焦点,且倾斜角为135︒的直线方程为【】.A.2210x y +-=B.4410x y +-=C.8810x y +-=D.161610x y +-=4.设回归直线方程为ˆ2 1.5yx =-,则当变量x 增加一个单位时,【】. A.y 平均增加2个单位 B.y 平均增加5.1个单位 C.y 平均减少2个单位 D.y 平均减少5.1个单位5.若),0(πθ∈,且51cos sin =+θθ,则曲线1cos sin 22=-θθy x 是【】. A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线6.已知在100件产品中,有3件是次品.若从中任意抽取5件产品,则其中至少有2件次品的取法种数为【】.A.2332397397C C +C CB.5510097C C -C.514100397C C C - D.23397C C7.在6的展开式中,含2x 项的系数为【】. A.192 B.192- C.180 D.120- 8.与双曲线3322=-y x 的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为【】.A.1322=+y x B.1322=+y x C.1161222=+y x D.1121622=+y x 9.从9,,2,1 这九个数中随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是【】.A.95 B.94 C.2111 D.2110 10.某考察团对全国10大城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行统计调查知:y 与x 具有相关关系,其回归方程为562.166.0ˆ+=x y.若某城市居民人均消费水平约为675.7千元,则该城市消费额占人均工资收入的百分比约为【】. A.%66 B.%72 C.%77 D.%83 二、填空题（5×5′＝25′）11.1234992345100C C C C C +++++=___________.12.张先生将三张编号为001、002、003的世博会入园门票全送给甲、乙两位朋友,每人至少一张,但甲不要连号票,则张先生送给他们门票的方法有_________种.13.若过点(5,2)P -的双曲线的两条渐近线方程为20x y -=和20x y +=,则该双曲线的实轴长为___________. 14.五个人站成前后两排,前排站两人、后排站三人的站法种数为___________. 15.关于曲线C ：11122=+y x 的下列说法正确的有___________. ①关于原点对称；②关于直线0=+y x 对称；③是封闭图形,面积大于π2；④不是封闭图形,与圆222=+y x 无公共点；⑤与曲线D :22=+y x 有且只有四个公共点.陕西师大附中2013—2014学年度第一学期期末考试高二年级数学(理科)答题纸一、选择题（10×5′＝50′）二、填空题（5×5′＝25′）11._________ 12._________ 13._________ 14._________ 15._________ 三、解答题（45′）16.(本题10分) 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min . (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ(min )的分布列及期望.17.(本题10分) 已知O 为坐标原点,过点)2,0(P 的直线l 与椭圆2222=+y x 相交于不同的点B A ,,求OAB ∆面积S 的最大值.18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.(本题13分) 已知中心在坐标原点的椭圆 C 的一个顶点为(0,1),一个焦点为)0,2(F ． (1)求椭圆 C 的方程；(2)过点F 的直线 l 交椭圆 C 于,A B ,交 y 轴于M ,若1λ=,且2λ=, 求证: 21λλ+ 为定值．陕西师大附中2013—2014学年度第一学期期末考试高二年级数学(理科)参考答案一、选择题(10×5′＝50′)二、填空题(5×5′＝25′)11.5049 12.4 13.6 14.120 15.①②④⑤三、解答题(45′)16.解:(1)设该学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因事件A 等于事件“该学生在第一和第二个路口没遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,故事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意,可得ξ可能取的值为8,6,4,2,0(单位:min ).事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”)4,3,2,1,0(=k ,∴kkkC k P -==44)32()31()2(ξ)4,3,2,1,0(=k ,即ξ的分布列是∴ξ的期望是0246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.解:由题意可设直线l 的方程为2+=kx y ,以及点),(11y x A ,),(22y x B ,则21,x x 是方程组⎩⎨⎧=++=22222y x kx y 消去y 所得方程068)12(22=+++kx x k 的两个不等实数根.故有)32(8)12(24)8(222-=+-=∆k k k ,且128221+-=+k k x x ,126221+=k x x .由题意可知OAB∆面积|||||||||||21||||21|||2121x x x OP x OP S S S OPB OPA -=⋅-⋅=-=∆∆. 由0126221>+=k x x 知2122121214)(||||||||x x x x x x x x S -+=-=-=,从而可得:2223241221232421264)128(2222222=-+⋅+≤+-⋅⋅=+⋅-+-=k k k k k k k S . 当且仅当4322=-k (此时的实数214±=k 满足0)32(82>-=∆k )时,S 取得最大值22. 18.解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为12,X X ,则1X 取值分别为3,2,1；2X 取值分别为3,2,1,0,故12421361(1)5C C P X C ===,21421363(2)5C C P X C ===,30421361(3)5C C P X C ===. ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为11311232555EX =⨯+⨯+⨯=.∵2(0)P X ==271)321(303=-C ,同理:26(1)27P X ==,212(2)27P X ==,28(3)27P X ==.∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:2161280123227272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)∵22211312(21)(22)(23)5555DX =-⨯+-⨯+-⨯=,22222161282(20)(21)(22)(23)272727273DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.∴12DX DX <. ∵131(2)0.855P X ≥=+=,2128(2)0.742727P X ≥=+≈, ∴12(2)(2)P X P X ≥>≥.从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.19.解:(1)设椭圆 C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则由题知1=b ,2=c ,故52=a ．∴椭圆 C 的方程为1522=+y x ． (2)方法一:设,,A B M 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ,又知F 点为(2,0)． ∵ 1λ=,∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴11112λλ+=x ,1011λ+=y y ．将点A 坐标代到椭圆方程得1)1()12(51210211=+++λλλy ,故0551020121=-++y λλ．同理,由BF MB 2λ=可得:0551020222=-++y λλ．∴ 1λ,2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根, ∴1021-=+λλ．方法二:设,,A B M 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ,又易知F 点的坐标为(2,0)．显然直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是)2(-=x k y ．联立直线 l 与椭圆 C 的方程并消去 y 得052020)51(2222=-+-+k x k x k ．∴22215120k k x x +=+,222151520k k x x +-=． ………………………………………①又 ∵AF MA 1λ=,BF MB 2λ=,将各点坐标代入得1112x x -=λ,2222x x -=λ．故21212121221121)(242)(222x x x x x x x x x x x x ++--+=-+-=+λλ．………………………………②由①②可得1021-=+λλ．。

【解析】陕西省长安一中高新一中交大一中师大附中2013届高三五校第一次模拟考试数学(理)试题

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N= A ．{|3x x -<<1} B ．{|02}x x <<C ．{-3，-2，-1，0,1）D ．{-2，一1，0}【答案】D【解析】因为集合M={x|一3<x<3，x ∈Z}={-2，-1,0,1,2，}，N={x|x<1}，所以M N={-2，一1，0}。

2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是 A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂α B ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥α C ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β【答案】C【解析】A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂α，错误，a 可能在平面α内； B ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥α，错误，a 可能在平面α内； C ．存在一个平面β，a ⊂β，且α//β，正确，此为面面垂直的性质定理；D ．存在一个平面β，α//β且α//β，错误。

3．如果数列321121,,,,,n n a a a a a a a - …是首项为1，公比为的等比数列，则a 5等于A ．32B ．64C ．—32D ．—64【答案】A【解析】因为数列321121,,,,,n n a a a a a a a - …是首项为1，公比为的等比数列，所以3524112341,2,4a a a aa a a a a =====，以上几式相乘得：532a =。

4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是A ．24y x =B ．28y x =C ．22y x =D ．26y x =【答案】A【解析】由抛物线的定义知：1212||4,2,2PQ x x p x x p =++=+==又所以，所以抛物线的方程是24y x =。

(完整版)2013年高考理科数学陕西卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)注意事项：1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题．2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息．3．所有解答必须填写在答题卡上指定区域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )＝21x -的定义域为M ，则R M为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：D解析：要使函数f (x )＝21x -有意义，则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．61 答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31. 3．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．14解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )．A ．π14-B ．π12- C ．π22- D ．π4答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z 1－z 2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅ D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )． A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y-=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]答案：D解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．答案：9解析：由双曲线方程知a＝4.又54cea==，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-≥⎧⎨-+<⎩及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为__________．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)．B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于e O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是»BD，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )cos x sin x －12cos 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1.(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B u u u u r ＝AB u u u r ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC u u u r ＝(－1,0，－1)，BD u u u r ＝(0，－2,0)， 1BB u u u r＝(－1,0,1)，∴1AC u u u r ·BD u u u r ＝0，1AC u u u r ·1BB u u u r ＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC u u u r ＝(－1,0,0)，1OB u u u r ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC u u u r＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC u u u r 〉|＝12=. 又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A ==化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y y x x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e x y x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x xϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x=与y ＝m 恰有一个公共点；当2e4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔ e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b ab b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]，设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。

陕西省师大附中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

陕西师大附中2012—2013学年度第一学期期中考试高三数学（理科）试题一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1．复数2341i i i i ++=-（） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D 1122i +．2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin(2)6y x π=+的图像（）A. 向左平移4π个长度单位B. 向右平移4π个长度单位C. 向左平移2π个长度单位D. 向右平移2π个长度单位3．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则关于x 不等式()2f x ≤的解集是（）A. []1,2-B. []0,2C. [1,)+∞D. [0,)+∞4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A ．18 B.24 C.30 D.36 5．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且424S S =,则64S S =（） A ．94B ．32 C ．53 D ．4 6．已知点P 是曲线41x y e =+上的任意一点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. 0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．分别在区间]6,1[,]4,1[内各任取一个实数依次为n m ,,则n m >的概率是（） A ．0.3 B ．0.667 C ．0.7 D ．0.7148．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（）A ．12 B ．32 C ．1 D ．139．若双曲线E 的中心在原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)--，则E 的方程为（）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -= 10．已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =++++，则'(0)f =（）A.2n CB.21n C +C.2n AD.21n A +二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．二项式(n x 的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含3x 项的系数是 .12．一个总体分为,A B 两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是 .13．某算法流程图如图所示，则输出的结果是 . 14．由曲线y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为 . 15．关于x 不等式22|log ||log |x x x x -<+的解集是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分） 16．（本题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，锐角B 满足sin B =。

数学_2013年陕西省西安市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2013年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若向量BA →=(2,3)，向量CA →=(4,7)，则BC →=( )A (−2, −4)B (3, 4)C (6, 10)D (−6, −10)2. 设集合A ={x|−3≤2x −1≤3}，集合B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∩B =( )A (1, 2)B [1, 2]C [1, 2)D (1, 2]3. 复数z 满足：(z −i)(1−i)＝2，则z ＝（）A −1−2iB −1+2iC 1−2iD 1+2i 4. 图是一个算法的流程图，最后输出的W =( )A 12B 18C 22D 265. 设函数D(x)={1,x 0,x，则下列结论错误的是（） A D(x)的值域为{0, 1} B D(x)是偶函数 C D(x)不是周期函数 D D(x)不是单调函数6. 若直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点，则实数a 取值范围是( )A [−3, −1]B [−1, 3]C [−3, 1]D (−∞, −3]∪[1, +∞)7. 函数y =a x −1a (a >0, a ≠1)的图象可能是( ) A B C D8. 设φ∈R ，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x +φ)(x ∈R)为偶函数”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A 48B 32+8√17C 48+8√17D 8010. 定义在R 上的偶函数，f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0](x 1≠x 2)，有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0，则当n ∈N ∗时，有（）A f(−n)<f(n −1)<f(n +1)B f(n −1)<f(−n)<f(n +1)C f(n +1)<f(−n)<f(n −1)D f(n +1)<f(n −1)<f(−n)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）11. 设不等式组{0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．12. (x 2+2)(1x 2−1)5的展开式的常数项是________．13. 已知函数f(x)={2x ，x ≥2(x −1)3，x <2若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．14. 在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60∘．则△OAF 的面积为________．本题有15、16、17三个选答题，每小题5分，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【不等式选讲选做题】15. 若不等式|kx −4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k =________．【坐标系与参数方程选做题】16. 在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=π6(ρ∈R)的距离是________．【几何证明选讲选做题】17. 如图∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ．以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．下面的结论正确的是________．①CE ⋅CB =AD ⋅DB ；②CE ⋅CB =AD ⋅AB ；③AD ⋅AB =CD 2．三、解答题（本题6小题，共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）18. 函数f(x)=6cos 2ωx 2+√3sinωx −3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =a n+1−2n+1+1，n ∈N ∗，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =3，AC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE // BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到A 1DE 的位置，使A 2C ⊥CD ，如图2．（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√23，且椭圆C 上的点到点Q(0, 2)的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M(m, n)，使得直线l:mx +ny =1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．22. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．求X=n+2的概率；设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）.23. 已知a>0，b∈R，函数f(x)=4ax3−2bx−a+b．当0≤x≤1时，证明：（1）函数f(x)的最大值力|2a−b|+a；（2）f(x)+|2a−b|+a≥0．2013年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. D3. D4. C5. C6. C7. D8. A9. C10. B11. 4−π412. 313. (0, 1)14. √315. 216. √317. ①18. 解：(1)由已知可得，f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3)，由于△ABC为正三角形，∴ △ABC的高为2√3，从而BC=4，∴ 函数f(x)的最小正周期T=4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x0)=8√35，由(1)得f(x 0)=2√3sin(π4x 0+π3)=8√35，即sin(π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos(π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin(π4x 0+π4+π3)=2√3sin[(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin(π4x 0+π3)cos π4+cos(π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 19. 解：(1)在2S n =a n+1−2n+l +1中，令n =1得：2S 1=a 2−22+1，即a 2=2a 1+3 ①，令n =2得：2S 2=a 3−23+1，即a 3=6a 1+13 ②，又2(a 2+5)=a 1+a 3 ③，联立①②③得：a 1=1；(2)由2S n =a n+1−2n+l +1，得：2S n+1=a n+2−2n+2+1，两式作差得a n+2=3a n+1+2n+1，又a 1=1，a 2=5满足a 2=3a 1+21，∴ a n+1=3a n +2n 对n ∈N ∗成立，∴ a n+1+2n+1=3(a n +2n )，∴ a n +2n =3n ．则a n =3n −2n ．20. （1）证明：∵ CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，∴ DE ⊥平面A 1CD ，又∵ A 1C ⊂平面A 1CD ，∴ A 1C ⊥DE ，∵ A 1C ⊥CD ，∴ A 1C ⊥平面BCDE ．（2）解：以C 为原点，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(−2, 0, 0)，A 1(0, 0, 2√3)，B(0, 3, 0)，E(−2, 2, 0)，A 1B →=(0, 3, −2√3)，BE →=(−2, −1, 0)，设平面A 1BE 的法向量n →=(x, y, z)，则{BE →⋅n →=−2x −y =0˙，取x =−1，得n →=(−1, 2, √3)，M(−1, 0, √3)，CM →=(−1,0,√3)，cosθ=|CM →|⋅|n →|˙=2⋅2√2=√22， ∴ CM 与平面A 1BE 所成角为45∘．21. 由e =√23得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2 椭圆上的点到点Q 的距离d =√x 2+(y −2)2=√3b 2−3y 2+(y −2)2=√−2y 2−4y +4+3b 2(−b ≤y ≤b)①当−b ≤−1时，即b ≥1，d max =√6+3b 2=3得b =1②当−b >−1时，即b <1，d max =√b 2+4b +4=3得b =1（舍）∴ b =1 ∴ 椭圆方程为x 23+y 2=1假设M(m, n)存在，则有m 2+n 2>1∵ |AB|=2√1−1m 2+n 2，点O 到直线l 距离d =√m 2+n 2 ∴ S △AOB =12×2√1−1m 2+n 2√m 2+n 2=√1m 2+n 2(1−1m 2+n 2) ∵ m 2+n 2>1 ∴ 0<1m 2+n 2<1，∴ 1−1m 2+n 2>0当且仅当1m 2+n 2=1−1m 2+n 2，即m 2+n 2=2>1时，S △AOB 取最大值12，又∵ m 23+n 2=1解得：m 2=32,n 2=12所以点M 的坐标为(√62,√22)或(−√62,√22)或(√62,−√22)或(−√62,−√22)，△AOB 的面积为12． 22. 解以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2.P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n m+n ⋅n+1m+n+2=n (n+1)(m+n )(m+n+2)．以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2.X 的可能取值为n ，n +1，n +2．P (X =n )=P (A 1¯ A 2¯)=n n+n ⋅n n+n =14，P (X =n +1)=P (A 1A 2¯)+P (A 1¯A 2) =n n+n ⋅n+1n+n+2+n n+n ⋅n n+n =12，P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n n+n ⋅n+1n+n+2=14，从而X 的分布列是EX =n ×14+(n +1)×12+(n +2)×14=n +1． 23. 证明：（1）：f′(x)=12ax 2−2b ，当b ≤0时，f′(x)>0，在0≤x ≤1上恒成立，此时最大值为：f(1)=|2a −b|﹢a ；当b >0时，在0≤x ≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f(x)max =max{f(0), f(1)}={b −a,b ≥2a 3a −b,b <2a=|2a −b|﹢a ；综上所述：函数在0≤x ≤1上的最大值为|2a −b|﹢a ；（2）要证f(x)+|2a −b|+a ≥0，即证g(x)=−f(x)≤|2a −b|﹢a ．亦即证g(x)在0≤x ≤1上的最大值小于（或等于）|2a −b|﹢a ，∵ g(x)=−4ax 3+2bx +a −b ，∴ 令g′(x)=−12ax 2+2b =0，解得x =√b 6a ；当b ≤0时，g′(x)<0在0≤x ≤1上恒成立，此时g(x)的最大值为：g(0)=a −b <3a −b =|2a −b|﹢a ；当b >0时，g′(x)在0≤x ≤1上的正负性不能判断，∴ g(x)max =max{g(√b 6a ), g(1)}=max{3b 4√b 6a +a −b, b −2a}={3b 4√b6a +a −b ，b ≤6a b −2a,b >6a，∴ g(x)max ≤|2a −b|﹢a ；综上所述：函数g(x)在0≤x ≤1上的最大值小于（或等于）|2a −b|﹢a ．即f(x)+|2a −b|+a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．。

陕西省西安市高三数学第一次质检试题理(含解析)北师大版

陕西省西安市2013届高三第一次质检数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若向量(23),(47),BA CA ==u u u r u u u r，，则BC uuu r = A ．（－2，－4） B ．（3．4）C ．（6，10）D ．（－6．－10）【答案】A【解析】因为(23),(47),BA CA ==u u u r u u u r，，所以()2,4BC BA AC =+=--u u u r u u u r u u u r . 2．设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，则A B =I A ．（1，2）B ．[l ，2]C ．[1．2）D ．（1，2]【答案】D【解析】集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-≤=-≤≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，所以{}|1B x x =>，所以A B =I （1，2]。

3．复数z 满足：（z －i ）（1－i ）=2．则z= A ．一l －2i B ．一1十2i C ．1—2i D ．1+2i【答案】D【解析】设()z a bi a b R =+∈、，因为（z －i ）（1－i ）=2，所以()()(1)1-12a bi i i a b a b i +--=+-++-=，1=21-1=02a b a a b b +-=⎧⎧⎨⎨+-=⎩⎩所以，解得：，所以12z i =+。

4．右图是一个算法的流程图，最后输出的W= A ．12 B ．18C ．22D ．26【答案】C【解析】开始循环：21,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=3；再次循环：28,S T S =-=≥不满足S 10，T=T+2=5；再次循环：217,S T S =-=≥满足S 10，此时输出的=17+5=22W S T =+，因此选C 。

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及解析

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.设、是两个非空的有限集，全集U=A ∪B ，且|U |=m .若|(C U A )∪(C U B )|=n ，则|A ∩B |=______.2.在ΔABC 中，已知三个内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足asinA⋅sinB +bcos 2A =√2a .则ba =______.3.在直角坐标系xOy 中，已知三点A (a,1)，B (2,b )，C (3,4).若OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影相同，则3a −4b =______.4.在正三棱锥P −ABC 中，已知侧棱与底面所成的角为45°.则相邻两侧面所成角的余弦值为______.5.已知三个互不相等的整数x 、y 、z 之和介于40与44之间.若x 、y 、z 依次构成公差为d 的等差数列，x +y 、y +z 、z +x 依次构成公比为q 的等比数列，则dq =______.6.设点P 、Q 分别在直线3x −y +5=0和3x −y −13=0上运动，线段PQ 的中点为M (x 0,y 0)，且x 0+y 0≥4.则y0x 0的取值范围是______.7.在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为______. 8.设M=14+24+⋅⋅⋅+20134.则M 的个位数字为______.9.若对任意的x ∈(−12,1)，有x1+x−2x 2=∑a k x k ∞k=0，①则a 3+a 4=______.10.若0≤x i ≤1(i =1,2,⋅⋅⋅,5)，则M =x 1−x 23+x 2−x 33+x 3−x 43+x 4−x 53+x 5−x 13的最大值是______.二、解答题11.已知函数f (x )=4(sin 2x −cos 2x +√3)−√32sin 2(x −π4)(x ∈R ).求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f(x)的单调递增区间.12.设不经过坐标原点O的直线l与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q.若直线PQ的斜率是直线OP和OQ斜率的等比中项，求ΔPOQ面积S的取值范围.13.如图，AB是半圆⊙O的直径，C是半圆弧的中点，P是AB延长线上一点，PD与半圆⊙O切于点D，∠APD的角平分线分别与AC、C交于点E、F证明：线段AE、BF、EF 可以组成一个直角三角形.14.已知曲线C1：f(x)=12(e x+e−x)，曲线C2：g(x)=12(e x−e−x).直线x=a 与曲线C1、C2分别交于点A、B，曲线C.在点A处的切线为l1，曲线C2在点B处的切线为l2.(1)证明：直线l1与l2必相交，且交点到直线AB的距离为定值；(2)设a<0，直线l1与l2的交点为P，若ΔPAB为钝角三角形，求a的取值范围. 15.设P0,P1,⋅⋅⋅,P n(n∈N+)是平面上的n+1个点，且任意两点间的距离均不小于1.证明：∑1(P0P k+1)4<72nk=1参考答案1.m −n【解析】1.注意到，(C U A )∪(C U B )=C U (A ∩B ).由韦恩图知|A ∩B |=m −n . 2.√2【解析】2.由题设及正弦定理得√2a =asinA ⋅sinB +b (1−sin 2A ) =b +sinA (asinB −bsinA )=b .故b a =√2. 3.2【解析】3.解法1 向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影分别为OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|. 依题意得OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即3a +4=6+4b .故3a −4b =2.解法2因为向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影相同，所以，AB ⊥OC ，即AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0. 故3(2−a )+4(b −1)=0，即3a −4b =2.4.15【解析】4. 如图，设正三棱锥P−ABC 的底面边长为a ，E 为AB 的中点.则∠PCE 为侧棱PC 号底面ABC 所成的角，即∠PCE =45°.过点A 作AF⊥PC 于点F .由对称性知BF ⊥PC .故∠AFB 为侧面PAC 与PBC 所成的角.在等腰RtΔEFC中，EF=√22CE=√64a.故AF=BF=2+EF2=√104a.在ΔAFB中，cos∠AFB=AF 2+BF2−AB22AF⋅BF=15.5.42【解析】5.由x=y−d，z=y+d⇒x+y=2y−d，y+z=2y+d ⇒z+x=2y.又(x+y)(z+x)=(y+z)2⇒2y(2y−d)=(2y+d)2⇒d(d+6y)=0.因为d≠0，所以，d=−6y.又40<x+y+z=3y<44⇒403<y<443⇒y=14⇒d=−6y=−84⇒q=y+zx+y =2y+d2y−d=−12⇒dp=42.6.[1，3）【解析】6.试题设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵点P,Q分别在直线3x−y+5=0和3x−y−13=0上运动，则3x1−y1+5=0……①3x1−y1−13=0……②两式相加得3（x1+x2）−（y1+y2）−8=0．设线段PQ的中点M(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．∴3x0−y0−4=0．即y0=3x0−4，又由题意x0+y0≥4，∴线段PQ的中点M满足{x+y≥4y=3x−4，如图所示．联立{x+y=4y=3x−4，解得M(2,2)，故点M 位于以(2,2)为端点向上的射线上，当M(2,2)时，k OM =1，∴直线OM 斜率y 0x 0的取值范围是[1，3）． 7.14【解析】7.设△ABC 是半径为1的圆的任一内接三角形，且∠A 、∠B 所对的弧长分别为x 、y .则∠C 所对的弧长为2π−x −y .对于△ABC ，有{0<x <2π,0<y <2π,0<2π−(x +y )<2π.该不等式组所表示的区域面积为S 1=2π2.若△ABC 为锐角三角形，则{0<x <π,0<y <π,0<2π−(x +y )<π.该不等式组所表示的区域面积为S 2=π22. 从而，所求的概率为S 2S 1=14. 8.1【解析】8.设a 、b 为正整数.于是，(10a +b )4≡b 4(mod10).则 14+24+⋅⋅⋅+104≡1+6+1+6+5+6+1+6+1+0 ≡3(mod10).故M ≡14+24+34+201×3 ≡1(mod10).9.-2【解析】9.在式①中，令x=0，得a0=0.则11+x−2x2=∑a k x k−1∞k=1.将x=0代入上式得a1=1.则−1+2x1+x−2x2=∑a k x k−2∞k=2.将x=0代入上式得a2=−1.同理，a3=3，a4=−5.故a3+a4=−2.10.4【解析】10.若存在正整数j，使得x j=x j+1(j=1,2,⋅⋅⋅,5,x6=x1)，则M≤4.当x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0时，上式等号成立.若对任意的正整数i，均有x i≠x i+1(i=1,2,⋅⋅⋅,5)，则要么x i−1<x i且x i>x i+1，要么x i−1>x i且x i<x i+1.对以上两种情形均有|x i−1−x i|3+|x i−x i+1|3<|x i−1−x i+1|3≤1.从而，M<1+3=4.综上，M的最大值为4.11.（1）T=π（2）[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)【解析】11.（1）注意到，f(x)=14(√3−cos2x)−√34[1−cos(2x−π2)]=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6).故T=2π2=π.（2）由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，知函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z). 12.(0,12)【解析】12.设l PQ：y=kx+b(k≠0,b≠0)，代入x2+y2=1，得(k2+1)x2+2kbx+b2−1=0.由Δ=4k2b2−4(k2+1)(b2−1)>0⇒b2<k2+1.设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)(x 1x 2≠0).则x 1+x 2=−2kbk 2+1，x 1x 2=b 2−1k 2+1.故k OP k OQ =y 1x 1⋅y 2x 2=(kx 1+b )(kx 2+b )x 1x 2=k 2+kb (x 1+x 2)+b 2x 1x 2.因为k OP k OQ =k 2，所以，kb (x 1+x 2)+b 2=0 ⇒x 1+x 2=−bk=−2kb k +1.解得k=±1.又圆心O 到直线PQ 的距离为d=√k 2=2，所以，|PQ |=2√1−d2=2√1−b 22.故S =12d |PQ |=√2√1−b 22=√b 22(1−b 22) ≤b 22+(1−b 22)2=12.又x 1x 2=b 2−1k 2+1，故b ≠1.因此，式①等号不成立.故ΔPOQ 面积S 的取值范围是(0,12).13.见解析【解析】13.如图，联结AD 、BD 分别与PE 交于点K 、L ，联结DE 、DF .则∠PDB =∠BAD ，∠KDL =90°.由∠DKL=∠PAK +∠APK =∠PDB +12∠APD∠PDL +∠DPL =∠DLK ，故∠DKL =∠DLK =45°=∠ABC ⇒∠PFB +∠DBC =∠BAD +∠DAC ⇒∠PDB =∠PFB .所以，P 、D 、F 、B 四点共圆. 以下同证法1.14.（1）见解析（2）(−∞,12ln (√5−2))【解析】14.（1）注意到，f ′(x )=12(e x −e −x )=g (x )，g ′(x )=12(e x +e −x )=f (x )，则k l 1=12(e a −e −a )，k l 2=12(e a +e −a ). 由e −a>0，知k l 1≠k l 2，所以，直线l 1与l 2必相交.又l 1：y=f (a )=g (a )(x −a )，l 2：y −g (a )=f (a )(x −a )，联立求得交点坐标为P (a +1,e a ).故点P 到直线l AB ：x=a 的距离为d =1（定值）.（2）由（1）知A (a,12(e a +e −a ))B (a,12(e a −e −a ))，P (a +1,e a ).则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−e −a )， AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,12(e a −e −a ))，BP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,12(e a +e −a )). 故AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(e −2a −1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(e −2a +1)， PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1+14(e 2a −e −2a ). 因为a<0，所以，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >0，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >0. 于是，∠A 、∠B 均为锐角. 从而，∠P 为钝角. 由1+14(e 2a −e −2a )<0，得e 2a <√5−2.则a<12ln(√5−2).故a 的取值范围为(−∞,12ln (√5−2)). 15.见解析【解析】15.S k ={P m |k <|P 0P m |≤k +1 }(k =1,2,⋅⋅⋅)设max 1≤m≤n{|P 0P m |}=M .则当k ≥[M ]时，|S k |=0，其中，[M ]表示不超过实数M 的最大整数.若P m∈S k ，则以点P m 为圆心的圆盘{Q ||P m Q |<12} 互不相交，且均包含在以点P 0为圆心的圆环{Q |k −12<|P 0Q |<k +32 } 内.因此，|S k |⋅π(12)2<π[(k +32)2−(k −12)2]，即|S k |<8(2k +1).所以，当n≥2时，有∑1(|P 0P k |+1)4nk=1≤∑|S k |(k+1)[M ]k=1 <8∑2k+1(k+1)[M ]k=1=8[316+∑2k+1(k+1)4[M ]k=2] <8[316+∑2k+1k 2(k+1)2[M ]k=2] =8{316+∑[1k2−[M ]k=21(k+1)2]}=8{316+[12−1([M ]+1)]} <8(316+14)=72.当n=1时，1(|P 0P 1|+1)4≤1(1+1)4=116<72，不等式也成立. 综上，对任意的n∈N +，均有∑1(|P 0P k |+1)4[M ]k=1<72.。

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【沃圣卷】陕西省2013年高考全真预测试题（一）理科数学-教师版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟)=UQ (1x-或x >3}x ={0,1,2,3})=UQ ∩({0}．已知i 为虚数单位，则复数121-=+iz i在复平面内对应的点在．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限∴+=a b =4．设函数22log (1),0()3(1),0xx x f x t x ⎧+<=⎨-⎩，且(1)12=f ，则((=f f A ．12 B ．48 C ．252 D ．2【答案】B【名师解析】∵(1)3(1)12f t =⨯-=，即5t =，又∵222(log [(1]log 42f =+==，∴2(((2)3448f f f ==⨯=.5．已知α,β为两个不同的平面，且平面α内的两条不同直线m ，n 与平面β都平行，则m 与n 相交是α∥β的（） 102010y -，则目标函数 6 D ．作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，【名师解析】阴影部分的面积22111ln|2 eeS dx xx===⎰10．若双曲线22221-=x ya b(0,0)>>a b的渐近线和圆22680+-+=x y y相切，则该双曲线的离心率为（）AB．2 C．3 D第四次循环：42013i =<，∴11122a =-=，…，由上可得a 的值周期性变化，其周期为3，又∵20133671=⨯，∴输出的12a =. 13．一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是由一个边长为2的正三角形和半圆组成，则此空间几何体的体积为．则该数表中，从小到大第50个数为．【答案】1040【名师解析】用(,)s t 表示,s t 的取值，三角形表中的数对应的(,)s t 如下：(0,3) (1,3) (2,3)(0,2) (1,2)(01)观察知第n 行共n 个数，由91234945S =++++⋅⋅⋅+=，前9行公用去45个数，所以第sin θ的圆心的极坐标为2(22三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．16．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ，b ，c 已知2=c ，3π=C ．(1)若∆ABC，求a ，b ；(2)若sin sin()2sin 2+-=C B A A ，求∆ABC 的面积．【名师解析】（1）由余弦定理及已知条件，得224a b ab +-=…①，又∵1sin 2ab C =n n （2）211121342212()(2)()n n n n T c a a b a a b a a nb +-=+++++++⋅⋅⋅+++221(2)n n S b b nb =++++⋅⋅⋅……9分令122n A b b nb =++⋅⋅⋅=23222322nn +⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅…①23412222322n A n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅…②①-②得，212222n n A n +-=++⋅⋅⋅+-⋅，所以12(12)212n n A n +-=-+⋅-=11222n n n ++⋅-+………10分又因为2222(1)42n n n a S n +==，所以2112114222n n n T n n +++=++⋅-+=2134(1)2n n n +++-⋅………12分整理得2453670p p -+=，解得13p =或715p = 又因为205p <<，故13p =……6分（2）甲、乙、丙三家公司选择得线路中堵车路线数目ξ的可能取值为0,1,2,3.……7分又（1）知4(1)9P ξ==， (0)()P P ABC ξ===()()()P A P B P C =32214333⨯⨯=(3)()P P ABC ξ===()()()P A P B P C =111143336⨯⨯=则(0,0,0)C ，(1,0,0)A，()E，12P ⎛⎫⎪⎝⎭.……6分 ∴(1,0,0)CA =，(0,2)CE =，12CP ⎛⎫=⎪⎝⎭. 设平面CAE 的法向量为n =(,,)x y z ，由⎧⊥⎪⎨n CA 得0⎧⋅=⎪⎨n CA ，00⋅=⋅=CP CE ，即2,2)-.……10分()2-33若0a <，0x >，∴10x a->，故()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞单调递减．……2分若0a >，()f x 与()f x '的变化如下表综上：0a <，()f x 在(0,)+∞单调递减；0a >，()f x 在(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调 x(1)0f =11xx+，即x．……2C 的焦点均在轴上，且1C 的中心和的顶点均为原点条曲线上取两个点，其坐标如下表所示：且满足⊥OM ON ．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【名师解析】（1）设抛物线2C 的标准方程为22(0)y px p =≠，则有22(0)y p x x=≠．易知只有(1,2)-、(4,4)-两点在抛物线上，进而可求得2C 的标准方程为24y x =……4分设椭圆1C 的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，把(2,0)-、两点代入，得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩4分故椭圆的方程为：221x y +=．……6分 22,)y又OM ON ⊥，即OM 所以不存在满足题设的直线l ．……。

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