绝对值不等式解法问题研究

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《绝对值不等式的解法---说课稿

∴ 1 x ∴ 1 x ≤5;
3
3
⑶当 x ≤ 3 时,原不等式可变形为5 x (2x∴综上所述,原不等式的解集为 (, 7) ( 1 , ) 3
5、课时小结
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用 “零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键． (3)构造函数，结合函数的图象求解．
-2x-6 (x<-2) 由图象知不等式的解集为
x x≥2或x ≤3
-2 1
-3
2 -2
x
方法小结
方法小结:
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。
主要方法有：
⑴ 运用绝对值的几何意义, 数形结合；
⑵ 零点分段法:分类讨论去绝对值符号；
（含两个或两个以上绝对值符号）
①
②
③
x1
ax+b>c 或 ax+b<-c
思考：如何求不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集？
2.探究：怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5
呢? 解绝对值不等式关键是去绝对值符号,
你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
结合近三年来全国卷的高考真题，加以巩固提高，培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力，对培育学生思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的

绝对值不等式的解法及应用

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

探究高中数学中的绝对值与不等式关系

探究高中数学中的绝对值与不等式关系绝对值与不等式关系在高中数学中是一个重要的概念，它们在解决实际问题和推理证明中起着关键的作用。

本文将探究高中数学中的绝对值与不等式关系，介绍其基本概念、性质和应用。

一、绝对值的基本概念绝对值是一个数的非负值，表示该数到0的距离。

对于任意实数a，其绝对值记作|a|，定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

绝对值的定义可以简单地理解为，无论一个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。

例如，|3|=3，|-3|=3。

二、绝对值的性质1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。

这是显然的，因为绝对值是一个数的非负值。

2. 同号性：对于任意实数a，有|a|=a或|a|=-a。

这是绝对值的定义性质，即绝对值要么等于该数本身，要么等于该数的相反数。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

三角不等式是绝对值的重要性质之一，它表示两个数的和的绝对值不大于这两个数的绝对值之和。

例如，对于a=3和b=-2，有|3+(-2)|=|1|=1，而|3|+|-2|=3+2=5，显然1≤5。

三、不等式关系不等式是数学中常见的关系式，它描述了数之间的大小关系。

在高中数学中，不等式关系经常与绝对值相结合，形成绝对值不等式。

1. 绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的一般形式为|f(x)|<a或|f(x)|>a，其中f(x)是一个函数，a是一个正数。

解绝对值不等式的关键是确定f(x)的取值范围。

2. 绝对值不等式的解法解绝对值不等式的一般步骤如下：（1）将绝对值不等式转化为两个不等式：f(x)<a和f(x)>-a；（2）分别解这两个不等式，得到f(x)<a和f(x)>-a的解集；（3）将两个解集合并，得到绝对值不等式的解集。

例如，对于|2x-1|<3，可以将它转化为2x-1<3和2x-1>-3，解得-1<x<2。

绝对值不等式问题的探究

绝对值不等式问题的探究张军华不等式是高考必考内容之一，考查的内容有：不等式的性质；解不等式；不等式的证明（与函数、数列结合）；重要不等式的应用；求最值等。

本文旨在研究高考中含绝对值的不等式问题。

一．解绝对值不等式绝对值不等式，年年都考，江西省以小题的形式进行考查，理科是二选一的选做题，文科是必做题。

其它省市有以小题形式考查的，也有以大题形式考查的（如全国新课标I 、II ）。

还会结合概率、参数、恒成立、存在性等问题进行考查，对绝对值不等式的考查要求，有逐年提高的趋势。

例1(2011年江苏卷)解不等式：|21|3x x +-<，分析将|21|3x x +-<变为：|21|3x x -<-， |21|0x -≥，所以 30x ->，可直接去绝对值符号（无需分类讨论）。

解析原不等式化为：|21|3x x -<-，(3)213x x x --<-<-，解得423x -<<。

所以不等式的解集为4{2}3x x -<<.例2(2012年江西卷理)在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为_______。

分析 ①代数法：分类讨论去绝对值符号。

②几何法：借助绝对值21x x -的几何意义：或构造两个简单的函数，作图求解。

解析法一（分类讨论，）。

当12x >时，原不等式化为46x ≤⇒32x ≤; 当1122x -≤≤时，原不等式化为2≤6，恒成立；当12x <-时，原不等式化为46x -≤32x ⇒≥-，综上知，原不等式的解集为{3322x -≤≤}. 法二（数轴法）。

原不等式可化为：21-x +21+x ≤3,其几何意义为数轴上表示数x 的点，到表示数21-、21的两点的距离之和不超过3的集合。

解方程21-x +21+x =3,得3322x =-或.根据绝对值的几何意义，故满足21-x +21+x ≤3的解集为：{}2323≤≤-x x . 二．与几何概型概率问题相结合以解绝对值不等式为背景，考查几何概型概率，构建概模型。

高中数学论文解绝对值不等式题根探讨推荐

解绝对值不等式题根探讨题根四解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。

在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

绝对值不等式的几何解法

绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是初等代数中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。

除了代数解法外，我们还可以用几何的方法来解决绝对值不等式问题。

本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过几个例子来说明其应用。

我们来回顾一下绝对值的几何意义。

对于一个实数a，其绝对值|a|表示a到原点的距离。

因此，当我们遇到一个绝对值不等式时，可以将其转化为距离的关系，从而用几何的方法来解决。

考虑一个简单的例子：|x| < 2。

我们可以将其转化为距离的关系：x到原点的距离小于2。

根据几何直观，我们可以得到一个解集：-2 < x < 2，即x的取值范围在-2和2之间。

类似地，我们可以考虑一个稍复杂的例子：|x - 3| > 4。

我们可以将其转化为距离的关系：x到3的距离大于4。

根据几何直观，我们可以得到两个解集：x < -1或x > 7，即x的取值范围在负无穷到-1以及7到正无穷之间。

通过上述例子，我们可以发现绝对值不等式的几何解法的基本思路：将不等式转化为距离的关系，然后通过对距离进行适当的判断来得到解集。

接下来，我们通过一些实际问题来说明绝对值不等式的几何解法的应用。

问题一：某学校一次考试的平均分为80分，已知不及格分数线为60分。

求及格学生的分数范围。

解法：设及格学生的分数为x，根据平均分的定义，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 80| < 20。

将其转化为距离的关系：x到80的距离小于20。

根据几何直观，我们可以得到一个解集：60 < x < 100，即及格学生的分数范围在60到100之间。

问题二：某车间生产的零件长度在10cm和12cm之间，要求零件的长度误差不超过0.5cm。

求符合要求的零件长度范围。

解法：设零件的长度为x，根据要求，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 11| < 0.5。

将其转化为距离的关系：x到11的距离小于0.5。

利用不等式组解含绝对值的不等式的方法

利用不等式组解含绝对值的不等式的方法解含绝对值的不等式，需要先将不等式中的绝对值去掉，然后根据去掉绝对值后的不等式的形式，分别讨论不等式的取值范围，最终得出不等式的解集。

不等式组中含有绝对值时，解决的问题是不等式组中未知数的取值范围和条件。

一般情况下，解含绝对值的不等式的方法可以分为以下四个步骤：1. 去掉绝对值，得到不等式的形式；2. 分别讨论不等式的取值范围；3. 根据不等式的取值范围，确定不等式的解；4. 将解代入原不等式中验证，得出最终的解集。

在解含绝对值的不等式时，需要特别注意以下几个问题：1. 去掉绝对值时需要分情况讨论；2. 不等式的取值范围可能会有多个并集，需要进行综合考虑；3. 解集需要验证，以确保解集是符合原不等式的。

为了更好地理解和掌握解含绝对值的不等式的方法，下面将通过具体的例子来详细介绍。

例1：解含绝对值的一元二次不等式考虑一元二次不等式|x^2-4x-5|>0。

首先，我们需要将含有绝对值的一元二次不等式转化为不含绝对值的形式。

一元二次不等式中含有绝对值时，一般可以转化为一个或两个关于未知数的一元二次不等式。

对于不等式|x^2-4x-5|>0，首先我们需要求出使得x^2-4x-5>0和x^2-4x-5<0的情况，分别讨论这两种情况下的不等式的解。

针对x^2-4x-5>0，我们可以使用因式分解或配方法求解。

经过计算和化简，得到x-5>0和x+1<0。

进一步得到x>5和x<-1。

这样，我们就知道在不等式x^2-4x-5>0情况下，x的取值范围是(-∞，-1)并集(5，+∞)。

针对x^2-4x-5<0，我们同样可以使用因式分解或配方法求解。

经过计算和化简，得到-1<x<5。

这样，我们就知道在不等式x^2-4x-5<0情况下，x的取值范围是(-1，5)。

综合以上讨论，当不等式|x^2-4x-5|>0时，x的取值范围是(-∞，-1)并集(5，+∞)并集(-1，5)。

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解2:原不等式 x2 3x 4 (x 1)或x2 3x 4 x 1 x2 2x 3 0或 x2 4x 5 0 (x 1)(x 3) 0,或(x 1)(x 5) 0
1 x 3,或x 1,或x 5, 原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察；法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
例3.解不等式 | x2 3x 4 | x 1.
解
1:原不等式
x x
2 2
3x 3x
4 4
0 x
或 1
x2 3x 4 0
(
x2
3x
4)
x
1
x x
4或x 5或x
1或 1
1 1
x x
4 3
x 1,或x 5，或 1 x 3,
原不等式的解集为{x | x 1,或 1 x 3,或x 5}.
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1

含绝对值的解与不等式求解

含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。

本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。

一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。

下面将介绍两种常用解法。

1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。

考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数。

同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。

解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。

二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。

2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。

解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。

由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。

绝对值不等式的解法同解性探索与证明

图３
。
图４
看了区域图，难理解为什么开头的问题有点不可思不
议，体现了逻辑联结词 “ ” 深层含义．也或的
另外，尝试中发现直接推证Ｉ＜ｂ一ｂ＜ａ＜ｂ在 Ⅱｌ § 铮
下面证明逆命题．ｎ当 ≥０时右边可化为口＞ｂ或一ｏ＞
例１解不等式Ｉ一１『ｘ＞２．
分析只有一个绝对值符号，对值内外都有未知数绝
解法一根据绝对值内的式子分段讨论可化为
这下跳出来，作新的尝试．Ｙ＝（的图像可快速作出再由＿）厂Ｙ＞）区域和Ｙ＜（）区域，于取上边，于取的ｆ的大小
一
定一样 ” 是我搪塞学生总用的话．心里虚，在琢磨着．，但总
６
．
＼
．
尝试一
画图像，这种想法，有不足为奇，因为Ｉ＋Ｉｃ一ｂ＞
ｌ
和Ｉ＋ＩｃＣ０的解法的根源就是几何意义．很快发现，一ｂ＜（＞）但做具体的题可以，难具有一般性，，）图像哪有通性很Ｙ＝（的呀，且还有Ｙｇｘ的图像？搁浅！况：（）
》｛
解法三
．
下边．
解法二根据右边式子分段讨论可化为
证明建立坐标系，画出ｂ＝ｌ的图像，画出先Ｉｎ再Ｉｌ满足的区域（１；作／＞ｂ或。＜一ｂ满足的区ｎ＞ｂ图）再７，

绝对值不等式的解法

(-6)( + 1) < 0
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
2
D. - 3 < < 2
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:可以利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法进行等价转化,
或者利用数形结合法.
方法一:由|3x-2|>4,得 3x-2<-4 或 3x-2>4.
2
即 x<− 3 或x>2.
所以原不等式的解集为 <
2
- 3 或
>2 .
方法二:(数形结合法)
3 3
函数的零点是 − 2 , 2.
3
2
3
2
从图象可知,当 x≤− 或x≥ 时,y≥0,
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为
3
-∞,2
∪
3
,+∞
2
.Байду номын сангаас
题型一
题型二
题型三
题型四
反思|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法:分
区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,

高中卷5不等式的解题方法与技巧

高中卷5不等式的解题方法与技巧不等式是数学中重要的概念之一，也是高中数学中常见的题型。

解决不等式问题需要运用一些常见的方法和技巧。

接下来，我将继续介绍不等式的解题方法和技巧。

1.绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，可以先讨论绝对值内外的两种情况，再进行讨论。

例如：，x-a，<b时，可以讨论x-a<b和-x+a<b两种情况。

2.平方不等式的解法：当不等式中含有平方时，可以利用平方的非负性质来解决问题。

若平方项为非负数，则可以将不等式拆分为两个不等式，其中一个不等式是平方项为0的情况。

例如：x^2-4>0，可以拆分为x^2>4和x^2≠0两个不等式，再求解。

3.乘法原理的运用：乘法原理指的是当两个因子相乘为0时，至少有一个因子为0。

在不等式的求解过程中，可以运用乘法原理来判断不等式的解集。

例如：(x-2)(x+3)>0时，可以得到x-2>0和x+3>0两个不等式，再求解。

4.开方不等式的解法：当不等式中含有开方时，需要注意开方的正负性。

如果开方项是正数，那么开方不会影响不等式的方向；如果开方项是负数，那么开方需要改变不等式的方向。

例如：√(x-1)>2时，可以得到x-1>4和x-1<0两个不等式，再求解。

5.引入辅助变量的解法：有时候，我们可以通过引入一个辅助变量来转化原不等式，使得解题更加方便。

例如：求证a(a-1)(a-2)<0，我们可以引入辅助变量x=a-1，原不等式变为x(x+1)(x-1)<0，再求解。

6.不等式的乘方求解法：对于不等式的乘方，可以利用不等式的性质进行推导。

例如：x^3-3x^2>0时，可以将不等式分解为x^2(x-3)>0，再求解。

7.不等式的递减递增性分析法：不等式的递减递增性是指不等式随自变量增大而增大，或随自变量减小而减小的性质。

通过分析不等式的递减递增性，可以得到不等式的解集。

初中数学教案：绝对值不等式的解法

初中数学教案：绝对值不等式的解法绝对值不等式是初中阶段数学中非常重要的概念之一，不仅在初中数学中，也会涉及到高中数学、甚至是大学数学中的一些想法。

在初中数学教案中，绝对值不等式的解法也是一个非常重要的部分，涉及到了不等式的基本应用和数学知识点的理解。

下面我们将详细探讨初中数学教案中的绝对值不等式的解法。

一、绝对值不等式的定义在初中数学教案中，我们常常说到绝对值不等式，那么什么是绝对值不等式呢？通俗来讲，绝对值不等式就是用来描述数值大小关系的不等式表达式。

其基本形式如下：|f(x)|≤a 或者|f(x)|≥a其中，f(x)是一元函数，a是正数。

二、绝对值不等式的解法1.范围首先在解绝对值不等式时，需要求得变量x的取值范围，然后根据取值范围得出相应的解法。

在求取变量x的取值范围时，需要根据不等式中绝对值符号的正负性情况以及a的取值情况来进行不同情况的讨论。

① |f(x)|≤a如果a>0，则有- a≤f(x)≤a。

因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有0≤f(x)≤a，所以x ∈[b,c]，其中0≤b≤c≤a。

当f(x)＜0时，有-a＜f(x)＜0，所以x∈(d,e)，其中-a<d<e<0。

综合起来，得到x∈[b,c]∪(d,e)。

② |f(x)|≥a如果a≥ 0，则有f(x)≥a或f(x)≤- a。

因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有f(x)≥a，所以x∈[f,g]，其中g≥f≥a。

当f(x)＜0时，有f(x)≤- a，所以x∈(-h,-i]∪[i,h)，其中-i≤h＜i≤-a。

综合起来，得到x∈(-h,-i]∪[f,g]∪[i,h)。

2.常规解法另一种常规的解法是将绝对值符号去掉。

当然，在去掉绝对值符号后需要分别考虑函数f(x)≥0和f(x)＜0两种情况。

如果函数f(x)≥0，则有：f(x)≤a 或f(x)≥-a如果函数f(x)＜0，则有：-f(x)≤a 或-f(x)≥-a通过两种情况的判断，最终得到的解法可以修正前面所得到的结论。

解答绝对值不等式问题的四个“妙招”

一、分类讨论
一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x；若 x 为负数，则
|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值
符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，
往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进
行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零
点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区
方法集锦
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
吴笋
绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对
值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中
解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是
去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值
的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题
的四个“妙招”，以供大家参考.
4
的点，只要将点向右移
1 2
个单位，那么它们的距离之
和就增加了
1
个单位，也就是把点
B(1)
移到点
B1(
3 2
)
的
位置；或者将点
A(-2)
向左移
1 2
个单位，也就是把点
A(-2)
移到点
A1(-
5 2
)
的位置，
由图可以看出，在数轴上位于
B1(
3 2
)
和
A1(-
5 2
)
之
间的点 P(x) 都满足 | x + 2 | + | x - 1| < 4 ，
解（1）得 -2 < x < -1 ，或 3 < x < 4 ，
解（2）得解集为空集，所以原不等式的解集为{x| - 2 < x < - 1或3 < x < 4}.

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。

下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。

利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。

例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。

二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。

这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。

例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。

三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。

具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。

例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。

然后解这个不等式得到x<1或x>7。

四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。

例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。

在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。

在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。

浅谈绝对值不等式的解法

综上所述：原不等式的解集为：｛ｘｌｘ＜｛或ｘ＞妻）
解法－－：和ｊ用绝对值的几何意义求解：
等式常转化为不等式组｛凳：；：；来解。
例３．解不等式ＩＩｘ一１
Ｉ－４１＜２
Ｐ卜Ｐ，１
ｌ
２Ｂ
Ｐ２＿Ｐ‘
５
２
Ａ
解：原不等式甘一２＜Ｉｘ一１Ｉ－４＜２省２＜Ｉｘ－１Ｉ＜６
ｆＩｘ－１Ｉ＞２
车亭｛
２
设数轴上的点Ｐ表示数Ｘ，点Ａ表示数１，点Ｂ表示数２，
所以不等式组的解集即为原不等式的解集：
（３）当。＞２时：原不等式§ｆ。＞２
【ｘ—ｌ＋ｘ－２＞２
ｘｌ一２≤ｘ＜－－１或妻＜；≤要）
反思：仔细观察不等式的特点，含绝对值的双向不
等式的解法，关键是去绝对值符号．其方法是转化为单向不等式组来解。一般地，解形女ｒｌ：ｃ＜ｆ（ｘ）＜ｄ型的不
此时原不等式的解集为：ｆｘＩｘ＞÷｝
线段ＡＢ长为１，如上图所示，先找点Ｐ，使ＰＡ长力ＩＩＰＢ长等
【Ｉｘ－１ｌ＜６
所以不等式组的解集即为原不等式的解集：（ｘｌ一５＜ｘ＜一ｌ或３＜ｘ＜７）反思：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从 “外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．观察不等式的结构特点时，应遵守局部到整体的原则，具体问题具体分析。例４．解不等式１３—２ｘｌ＜ｘ＋４
｛｝ｌｘｌ＜７
①当ａ＞０解集为：（ｘｌｘ＜一ａ或ｘ＞ａ１
②当ａ＝Ｏ，解集为：｛ｘｌｘ＃０１
③当ａ＜Ｏ，解集为：Ｒ３．Ｉａｘ＋ｂＩ≤ｃ（ｃ＞０）与ｌａｘ＋ｂｔ≥Ｃ（ｃ＞０）的解法首先观察Ｘ的系数ａ的正负，如果是负的变负为正，
甘一７＜Ｘ＜７
所以原不等式的解集为：｛ｘＩ一７＜ｘ＜７）

如何求解含绝对值的不等式问题

解题宝典含绝对值的不等式问题属于基础题.解答此类问题的关键在于如何去掉绝对值,将含绝对值的不等式等价转化为常规的不等式.一般需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.下面，我们结合实例来探讨一下几类常见含绝对值不等式问题的解法.一、||f (x )≤a 或||f (x )≥a 型对于形如||f (x )≤a 或||f (x )≥a 的绝对值不等式，我们一般需根据绝对值不等式的性质来建立关系式，即|f (x )|≤a ⇔-a ≤f (x )≤a ；|f (x )|≥a ⇔f (x )≥a 或f (x )≤-a .这样，便将绝对值不等式转化为常规的不等式，从而求得原不等式的解集.例1.解不等式||||||x -22x -12≤0.1.解析：该绝对值不等式中含有分式，可先将分式化简，然后将其转化为－0.1≤f （x ）≤0.1的形式来进行求解.解：||||||x -22x -12=||||||x -22x -12x =||||||-1x ,则-0.1≤-1x≤0.1,解得x ≥10或x ≤-10.二、||f ()x >g ()x 或||f ()x <g ()x 型对于形如||f ()x >g ()x 的绝对值不等式，我们需分情况进行讨论：（1）当f ()x ≥0时，f ()x >g ()x ；（2）当f ()x <0时，-f ()x >g ()x ，即f ()x <-g ()x ，然后解不等式组即可求出x 的解集.对于形如||f ()x <g ()x 的绝对值不等式，可直接根据绝对值不等式的性质将其转化为-g ()x <f ()x <g ()x 的形式进行求解.例2.求不等式||x -||2x +1>1的解集.解：将不等式变形可得x -||2x +1>1或x -||2x +1<-1，即||2x +1<x -1或||2x +1>x +1，则1-x <2x +1<x -1，或2x +1>x +1或2x +1<-x -1，解得x >0或x <-23，即不等式的解集为{}x |x >0或x <-23.该不等式较为复杂，我们需先将||f (x )>a 的形式进行转化，得到两个不等式，然后将其看作||f ()x >g ()x 或||f ()x <g ()x 型绝对值不等式进行求解.三、||f ()x >||g ()x 或||f ()x <||g ()x 型||f ()x >||g ()x 或||f ()x <||g ()x 型绝对值不等式的解法较为简单，我们可以将不等式两边的式子同时平方，利用a 2=||a 2去掉绝对值符号，再解不等式即可得到原不等式的解集.例3.解不等式||x -1<||x .解：将不等式两边平方可得()x -12<x 2,化简得2x >1，解得x >12，即不等式的解集为{}x |x >12.本题如果采用分类讨论法进行求解较为复杂，通过平方，便可去掉绝对值符号，有效地简化了运算.四、||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型的绝对值不等式较为复杂，我们一般采用零点分段法或根据绝对值的几何意义进行求解.运用零点分段法求解的思路是：（1）分别令f (x )=0、g (x )=0，求得和其对应x 的取值，然后以此作为区间的分界点，将实数分为几个区间段，在每个区间段上讨论f (x )、g (x )的正负，进而去掉绝对值符号，将原不等式转化为常规不等式.绝对值||x 的几何意义为：在数轴上表示x 的点到原点的距离.在解||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型不等式时，只需在数轴上找到其对应的点和不等式所对应的区域，取其交集或并集便可求得x 的取值范围.例4.求不等式||x +1+||x -2<3-x 的解集.解：令x +1=0，x -2=0，则x =-1或2，当x <-1时，不等式可转化为-x -1-x +2<3-x ，解得x >-2，所以-2<x <-1；当-1≤x <2时，不等式可转化为x +1-x +2<3-x ，解得x <0，所以-1≤x <0；当x ≥2时，不等式可转化为x +1+x -2<3-x ，解得x <43，所以解集为∅.因此不等式的解集是{}x |-2<x <0.当遇到含有一次多项式的绝对值不等式时，我们一般采用零点分段法进行求解，将实数分为多个区间段进行讨论.上述几类不等式都是常见的绝对值不等式.无论遇到哪种绝对值不等式，为了去掉绝对值符号，我们都需要对绝对值符号内的式子进行分类讨论，只有在其为正数的情况下才能去掉绝对值符号，否则就需取其相反数，才能将不等式等价转化.（作者单位：江苏省泰州实验中学）邓超41。

高中数学中的不等式解题方法与实例分析

高中数学中的不等式解题方法与实例分析不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要我们掌握一些解题方法和技巧。

本文将对高中数学中的不等式解题方法进行分析，并通过实例来进一步说明。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是不等式中常见的一种形式，解决该类问题可以分以下几种情况进行讨论：1. 若|x| < a，则x的取值范围为(-a, a)；例如，若|3x + 2| < 5，则-5 < 3x + 2 < 5，解得-7/3 < x < 1。

2. 若|x| > a，则x的取值范围为(-∞, -a)∪(a, +∞)；例如，若|2x - 1| > 3，则2x - 1 < -3或2x - 1 > 3，解得x < -1 或 x > 2。

二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中最高次项为一次的情况。

解决一次不等式问题的方法如下：1. 将一次不等式化简为数轴上的区间问题，确定不等式的解集和表示方法；例如，若2x - 3 > 5，则解不等式可得x > 4。

2. 注意一次不等式中系数的正负对不等号的影响；例如，若4x + 6 < 10，则解不等式可得x < 1/2。

三、二次及以上次数不等式的解法对于二次及以上次数的不等式，我们通常会进行如下步骤来解决问题：1. 将不等式转化为二次函数的零点问题，求出二次函数的零点。

2. 根据二次函数的图像特点，确定不等式的解集和表示方法。

实例分析：例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

首先，将不等式化简为(x-1)(x-3) > 0。

得到二次函数的两个零点为x=1和x=3。

其次，根据二次函数的图像特点，我们知道当x小于1或大于3时，二次函数的值大于零。

因此，不等式的解集为x < 1 或 x > 3。

综上所述，我们通过绝对值不等式、一次不等式和二次及以上次数不等式的解题方法及实例分析，详细介绍了高中数学中解决不等式问题的技巧与方法。