材料力学+-+第四章

第四章
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4
弯曲内力
工程实际中的弯曲问题 剪力和弯矩、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 剪力、弯矩及分布载荷集度间的关系

一、弯曲变形特点 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁

平面弯曲
平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该 平面曲线仍与外力共面。

F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。

二、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分—— 有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

三、梁、荷载及支座的简化 （1）简化的原则：便于计算，且符合实际要求。 （2）梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。 （3）荷载的简化： 集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。 分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（4）支座的简化：
1、固定端 三个约束反力。
FAX FAY
2、固定铰支座 二个约束反力。
MA
FAY FAX

3、可动铰支座 一个约束反力。 FAY

（5）静定梁的三种基本形式：
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁：
M —集中力偶
q — 均布力
F — 集中力
L （L称为梁的跨长）
L

（6）静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。

§4-2 剪力和弯矩
∑F
M FAy FN M FS FS FN
x
=0
=0 =0
⇒ FN = 0
⇒ FS = FAy − F1
⇒ M = FAy x − F1 ( x − a )
∑F ∑M
y
c
横截面的内力合力 截面的内力系的合 力偶矩
FS剪力，平行于
M 弯矩，垂直于横
FBy

M FAy FS
FN
FN
M FS FBy
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为 正；反之为负。
+ _
_
左上右下为正；反之为负
+
左顺右逆为正；反之为负

例题 解：1. 确定支反力 ∑ Fy = 0 FAy + FBy = 2 F
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
FBy ⋅ 3a + Fa = 2 F ⋅ a F 5F FBy = FAy = 3 3 5F F ∑ Fy = 0 2 F + FSE = 3 FSE = − 3 a 5 F 3a M = 0 2 F M ⋅ + = ⋅ ∑ O E 2 3 2 3Fa ME = 2
FBy
∑M
A
=0

FSE O FAy ME FSE O FBy ME FBy
FBy =
F 5F FAy = 3 3
分析右段得到：
F FSE = − FBy = − 3 3a ∑ M o = 0 M E = FBy ⋅ 2 + Fa 3Fa ME = 2
∑F
y
=0
FSE + FBy = 0

F FBy = 3
5F FAy = 3
FAy FSE FAy 2F FSE
FBy
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE = − 2F = − 3 3

F FBy = 3
5F FAy = 3
FAy ME FAy 2F ME
FBy
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 − 2F ⋅ ME = ⋅ = Fa 2 3 2 2

§4-3 剪力图和弯矩图
一、剪力方程、弯矩方程： 把剪力、弯矩表达为截面位置x的函数式。 Fs=Fs(x）————剪力方程 M=M(x) ————弯矩方程 q
Fs ( x) = − qx
B
(0 ≤ x < l )
A x
L
1 2 M ( x) = − qx (0 ≤ x < l ) 2

二、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。 三、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图、弯矩图。 1、建立直角坐标系， 2、取比例尺， 3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。 Fs X M X

四、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。 2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。 3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。 4、确定最大的剪力值、弯矩值。

q x q x
FS l
例题
M (x )
悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。 解：任选一截面x ，写出剪 力和弯矩方程
ql
FS (x )＝qx M ( x )＝qx 2 / 2
2
FS ( x )
(+ )
x
(0 ≤ x < l ) (0 ≤ x < l )
M
ql 2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为 (+ ) F ＝ql M ＝ql 2 / 2
x
S max
max