全国通用版2019版高考数学大一轮复习第七章立体几何课时达标40直线平面垂直的判定及其性质201805083105

第40讲直线、平面垂直的判定及其性质[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．

一、选择题

1．若α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的( B) A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析由面面垂直判定定理，得m⊥β⇒α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．

2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( D)

A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β

解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立．故选D．

3．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( D) A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥n

C．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α

解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．

4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( A)

A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部

解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题

正确的是( D)

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.

6．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B 的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( D)

A．MN∥AB B．MN与BC所成的角为45°

C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC

解析对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D项正确．

二、填空题

7．已知不同直线m，n与不同平面α，β，给出下列三个命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

其中真命题的个数是__2__.

解析①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误．②根据线面垂直的性质可知②正确．③根据面面垂直的性质和判定定理可知③正确，所以真命题的个数是2.

8．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确说法的序号)．

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.

解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC.①正确．

②取AE的中点O，易证NO⊥AE，MO⊥AE.故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN.②正确．

③∵D∉平面ABC，∴N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC.

∴MN与AB异面．③错误．

9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面

ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM

解析∵DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2 2.

三、解答题

10．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．

(1)求证：DD1⊥平面ABCD；

(2)求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1；

(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．

解析(1)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.

(2)证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1.因为AD∩DD1＝D，所以BE⊥平面ADD1A1，又因为BE⊂平面