中职数学 二次函数的图象和性质
中职教育数学《二次函数图像和性质复习》课件 (2)
(h,k)
(
b
4acb2
,
)
2a
4a
直线 x h 直线 x h
直线 x b
2a
x h时 x h时 y 最小 0 y 最小 k
x2ba时y， 最小 4a4cab2
x h时 y 最大 0
x h时 y 最大 k
xb时y， 最大 4acb2
2a
4a
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
增 减
二次函数复习
作自我介绍
1
知识整理
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
2.二次函数的表达式：
（1 ）二次函数的一般形式:函数y＝ax2＋bx＋c
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
• 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.
例5 当x取何值时，二次函数 y2x28x1有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
y2x28x12x24x 12x24x441
2x2277
所以当x＝2时，y最小值＝－7。
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y2x28x1有最低点， 所以y有最小值，
因为 － b 8 2 ,4 a c b 2 4 2 1 8 2 7
2 a 2 2 4 a
y
O
x
二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
中职数学 二次函数的图像与性质
二次函数
一、定义 形如 y ax2 bx c(a 0) 的函数叫二次函数 解析式： y = a x2 + b x + c ( a ≠ 0 ) “数” 图象：
抛物线
“形”
结 合
性质？
探究
问题1：
1 2 f ( x) x 4x 6 2
我们怎样得到它的最值和顶点的
顶点： (-4,2)
1 2 1 2 f ( x) = x + 4 x + 6 = ( x + 4) - 2 2 2
y
问题2：只有最值和顶点，是否就能方便地画出此二次函数对应的抛物线？
列表描点： x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 5 2
-5 -7 -6
-4 -3
x
-2 -1 o
1 2 配方： f ( x) = ( x + 8 x) + 6 2 1 [( x 4) 2 - 16] 6 2
1 ( x 4) 2 - 2 2 1 对任意实数x，都有 （x + 4) 2 ≥0 2 ∴f (x) ≥- 2 ，当且仅当x = - 4 时取等号。
x 最值：
y - 4 时， min 2
[1,+∞) (-∞,1] 1 间＿＿＿，单调递减区间＿＿＿，当x＝＿＿时，ymin ___ . -4
-1 2.设二次函数y 2ax2 (a 1) x 3是偶函数, 则a ＿。 3.如果抛物线y = x 2 + 6 x + c的顶点在x轴上，那么c 9 的值为＿＿。
4.如果二次函数y 3 x 2 mx 6在区间 ,1上是减 函数，在区间[ 1,∞ 上是增函数，则m ____。 ) -6
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
中职数学 二次函数的图象和性质
二次函数的图象与性质学案学习目标1、解决二次函数问题的方法----配方法2、处理二次函数问题的思想----数形结合思想3、如何更准确的画二次函数的图象4.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。
概念探究定义：函数y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数其中a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，例1求作函数 的图像问题1：我们怎样得到它的最值和顶点的？同学们试一试！问题2：怎样列表才能准确的画出此二次函数对应的抛物线？例2画出二次函数 的图象6421)(2++=x x x f 34)(2++-=x x x f归纳总结：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 通过配方可化为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,图形关于_______对称；（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 为偶函数的充要条件是例3、求函数322++-=x x y 的顶点坐标，对称轴以及函数的单调区间.【课堂检测】1．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）2．若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象只可能是（ ）3、函数)0(1232≥++=x x x y 的最小值为___________________.4、二次函数],2[,86)(2a x x x x f ∈+-=且)(x f 的最小值为)(a f ，则a 的取值范围是____________________________.5、已知函数43321)(2--=x x x f ，求函数的顶点坐标、对称轴方程和最值.。
二次函数的解析式与图像性质
二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。
解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。
首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。
最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。
2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。
当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。
二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。
顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。
当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。
除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。
当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。
根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。
当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。
二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。
这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。
3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
二次函数的图象、解析式和性质
二次函数的系数与图象的关系
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为系数 a的符号决定了抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下 a的绝对值决定了抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小 b和c决定了抛物线的位置，b和c的值越大，抛物线越往y轴正方向移动
二次函数的开口大小与二次项系数的关系
XX
二次函数的图象、解析式和性质
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目录
01
单击添加目录项标题
02
03
二次函数的解析式
04
二次函数的图象 二次函数的性质
01
添加章节标题
02
二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c 二次函数的标准形式是y=ax^2+c，其中a和c是常数，且a≠0 二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下 二次函数的顶点坐标为(0,c)，对称轴为y轴
b和c决定了抛物线的位置，其中 b和c的值可以根据具体的函数表 达式来确定。
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a的符号决定了抛物线的开口方向， 当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标可以通过配 方的方法求得，顶点的横坐标为 x=-b/2a，纵坐标为y=(4acb^2)/4a。
感谢观看
汇报人：XX
二次函数的开口方向
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a决定了开口方向 当a>0时，开口向上 当a<0时，开口向下 开口方向与函数的极值和最值有关
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是中学数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。
本文将围绕二次函数的图像与性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x = -b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特点（1）开口方向：根据a的正负值可以判断二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
（2）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条特殊直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分。
（3）顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入计算得到。
（4）零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即函数值为0的点。
零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
3. 二次函数的平移通过对二次函数进行平移，可以改变其图像的位置。
平移的方式有两种：平移横坐标和平移纵坐标。
（1）平移横坐标：将二次函数的横坐标都加上一个常数h，可以使得图像向左平移h个单位；将横坐标都减去一个常数h，可以使得图像向右平移h个单位。
（2）平移纵坐标：将二次函数的纵坐标都加上一个常数k，可以使得图像向上平移k个单位；将纵坐标都减去一个常数k，可以使得图像向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，最大值对应开口向下的二次函数，最小值对应开口向上的二次函数。
最值可以通过求解二次函数的顶点坐标得到。
5. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，因此可以应用于物体的抛射运动问题；二次函数也可以用于建模和预测，如根据历史数据拟合二次函数，预测未来的趋势。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
((完整版))二次函数图像与性质完整归纳,推荐文档
b 2a
，
4ac 4a
b2
．当
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时，
2a
2a
2a
y 有最大值 4ac b2 ． 4a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式： y a(x x1)(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以
0． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值
0．
2. y ax2 c 的性质：
上加下减。
a 的符号 a0
a0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
0， c y 轴
向下
0， c y 轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值
y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
三、二次函数 y ax h2 k 与 y ax2 bx c 的比较
从解析式上看， y ax h2 k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过
配方可以得到前者，即
1.
当
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。
在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。
一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。
当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。
2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。
这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。
3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。
对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。
4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。
首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。
例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。
例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。
3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。
例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。
4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。
总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。
而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。
通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质
汇报人：XX
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CONTENTS
01 添加目录标题
02 二次函数的图象
03 二次函数的性质
04 二次函数的应用
添加章节标题
二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一 般形式为
y=ax^2+bx+ c
二次函数的标 准形式是
y=ax^2+c， 其中a和c是常
数，且a≠0
二次函数的对称性
二次函数图像的 对称轴是直线 x=-b/2a
二次函数图像的 顶点坐标为(b/2a, f(-b/2a))
二次函数图像的对 称性取决于系数a 的符号，当a>0时， 图像开口向上，具 有最小值；当a<0 时，图像开口向下， 具有最大值
二次函数图像的 对称性可以通二次函数的开 口方向：向上 或向下决定了 函数的最大值
或最小值
二次函数的顶 点：顶点的横 坐标为对称轴， 纵坐标为最大
值或最小值
二次函数的开口 大小：开口大小 决定了函数在最 大值或最小值附
近的波动幅度
二次函数的系数： 系数的大小决定 了函数在最大值 或最小值附近的
波动频率
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
经济中的成本 与收益分析
生活中的最优 化问题
科学实验的数 据分析
利用二次函数解决实际问题的方法和步骤
建立数学模型：根据实际问题，将问题抽象为二次函数模型。 求解函数：利用二次函数的性质和公式，求解函数的最值或零点。 实际应用：将求解的结果应用到实际问题中，解决实际问题。 验证结果：对求解的结果进行验证，确保其在实际问题中的可行性和正确性。
常见二次函数问题的解题思路
二次函数的图像和性质PPT课件
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的图像与性质
在数学其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用，例如最优化问题、供需关系等。 二次函数在物理学中的应用，例如抛物线运动、弹簧振动等。 二次函数在计算机科学中的应用，例如算法设计、数据拟合等。 二次函数在工程学中的应用，例如建筑设计、机械运动等。
在物理和工程中的应用
抛物线运动：描述 物体在垂直方向上 的运动轨迹
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
调递增
添加标题
应用：二次函数在 数学、物理等领域 有广泛的应用，如 求最值、解决实际 问题等；反比例函 数在物理、工程等 领域也有应用，如 计算电容量、电流
等
添加标题
与指数函数的比较
表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，指数函数的一般形式为y=a*x^n，其中n>0且 n≠1
图像：二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一条单调递增或递减的曲线
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
3.5高职二次函数的图像和性质
课题：二次函数的图像和性质（第一课时）【知识链接】(复习是为了更好地开始)1.前面我们研究了函数的系列性质，请判断下列函数的单调性和奇偶性：（1）12+=x y (2)2x y -=2.函数的性质有有哪些？3.写出画函数图像的步骤。
【学习目标】（学习如果没有目标，就如航海时没有灯塔，很容易迷失了方向。
）1.掌握一元二次函数的定义。
2.会画一元二次函数的图像。
3.初步掌握一元二次函数的性质。
【探究过程】（我参与、我快乐、我自信、我成功）任务1：找出一元二次函数的定义写在下面：任务2：探究例1，解决下列问题：（1）如何求出的函数3422--=x x y 的最小值？（2）以1=x 为中间值对称取值，对应的函数值有何关系？（3）该函数的图像是轴对称图形，对称轴的方程是什么？（4）画出函数的图像：5.观察图像，看图像都有哪些特征？对应的性质有哪些？任务3：探究例2，画出相应的图像，从中找出函数的对称轴、顶点、单调区间、奇偶性和最值。
任务4：比较两例图像，归纳a,b,c 所起的作用。
【本节课收获】【当堂检测】1.判断下列函数不是二次函数（ ）(1) y=3(x-1)²+1 (2) s=3-2t² (3)y=(x+3)²-x² (4)y=2²+2x2.已知二次函数y=f(x)，满足)1()1(x f x f -=+,则函数图像的对称轴是（ ）A x=-1B x=1C x=0D x=22.已知函数)0(2≠+-=a c bx ax y ，当a_____0时，图像开口向上；当a_____0时，图像开口向下；当b_____0时，函数是偶函数；当b_____0时，函数是非奇非偶函数；当c____0时，图像与y 轴正向有交点；当c____0时，图像与y 轴负向有交点。
3.已知函数12)(2-+-=x x x f ，画出函数的图像，写出函数的对称轴、顶点、单调区间、奇偶性和最值。
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二次函数的图象与性质学案
学习目标
1、解决二次函数问题的方法----配方法
2、处理二次函数问题的思想----数形结合思想
3、如何更准确的画二次函数的图象
4.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。
概念探究
定义：函数y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数
其中a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，
例1求作函数 的图像
问题1：我们怎样得到它的最值和顶点的？同学们试一试！
问题2：怎样列表才能准确的画出此二次函数对应的抛物线？
例2画出二次函数 的图象
6421)(2++=x x x f 3
4)(2++-=x x x f
归纳总结：
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 通过配方可化为
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,图形关于_______对称；
（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.
（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 为偶函数的充要条件是
例3、求函数322++-=x x y 的顶点坐标，对称轴以及函数的单调区间.
【课堂检测】
1．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3）
2．若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象只可能是（ ）
3、函数)0(1232≥++=x x x y 的最小值为___________________.
4、二次函数],2[,86)(2a x x x x f ∈+-=且)(x f 的最小值为)(a f ，则a 的取值范围是____________________________.
5、已知函数4
3321)(2--=x x x f ，求函数的顶点坐标、对称轴方程和最值.。