初一：“相交线与平行线”解题方法与技巧

精锐教育名师大讲堂讲义
初一数学 “相交线与平行线”解题方法与技巧
● 学习要求
1．理解对顶角和邻补角的概念，理解邻补角与补角的区别和联系；掌握对顶角的性质． 2．知道垂线的概念和基本性质，会画已知直线的垂线，会用尺规画线段的垂直平分线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；知道垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离．
3．通过观察两条直线和第三条直线相交所成角的特征，归纳并理解同位角、内错角、同旁内角的概念。

4．了解平行线的概念，掌握平行线的判定方法及平行线的性质，会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离，知道两条平行线之间的距离是描述这两条平行线相对位置的量。

5．会运用平行线的判定和性质及有关基本事实进行说理，初步养成言必有据的习惯，初步感知形式推理的规则和过程。

● 方法点拨 ●
考点1：邻补交、对顶角的概念性质
1. 如图1，直线AB 、CD 相交于点O ，过点O 作射线OE ，则图中的邻补角一共有（ ）
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6对
2．如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O ，则AOB DOC ∠+∠= _________ ．
3．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m 对，交于不同三点时，对顶角有n 对，则m 与n 的关系是（ ）
A ．m = n ；
B ．m ＞n ；
C ．m ＜n ；
D ．m + n = 10．
4．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
12
1
2
1
2
1
2
考点2：垂线与斜线概念性质 1．下列说法中正确的是（ ）
A ．有且只有一条直线垂直于已知直线；
B ．互相垂直的两条直线一定相交；
C ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm ，则
A C
D
(图1) (图2)
点A 到直线c 的距离是3cm ． 2．点到直线的距离是指（ ）
A ．从直线外一点到这条直线的垂线；
B ．从直线外一点到这条直线的垂线段；
C ．从直线外一点到这条直线的垂线的长度；
D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
3．a 、b 、c 是平面上任意三条直线，交点可能有（ ）．
Ａ．1个或2个； Ｂ．1个或2个或3个；
Ｃ．0个或1个或2个或3个；Ｄ．以上都不对．
考点3：同位角、内错角、同旁内角的意义
1．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（ ） A ．40° B ．140° C ．40°或140° D ．不确定
2．下图3中，用数字表示的∠ 1、∠2、 ∠3、∠4各角中，错误的判断是（ ） A ．若将AC 作为第三条直线，则∠ 1和∠3是同位角 ； B ．若将AC 作为第三条直线，则∠ 2和∠4是内错角 ； C ．若将BD 作为第三条直线，则∠ 2和∠4是内错角 ； D ．若将CD 作为第三条直线，则∠ 3和∠4是同旁内角 ． 3．如图4，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.
考点4：平行线的判定与性质
1．如图5，若AB ∥CD ，则图中相等的内错角是（ ）
A ．∠1与∠5，∠2与∠6；
B ．∠3与∠7，∠4与∠8；
C ．∠2与∠6，∠3与∠7；
D ．∠1与∠5，∠4与∠8．
2．如图6，把矩形ABCD 沿EF 对折，若150∠=，则AEF ∠等于（ ） Ａ．115； Ｂ．130；
Ｃ．120；Ｄ．65．
3．如图7，直线AE CD ∥，135EBF ∠=，60BFD ∠=，则D ∠等于（ ）
Ａ．75； Ｂ．45 ； Ｃ．30 ；Ｄ．15． 4．如图8，是跷跷板示意图，横板AB 绕中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得OAC α=∠，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（ ）
Ａ．α；
Ｂ．2α ； Ｃ．90α- ； Ｄ．90α+．
A B C
D E
F 1
Ｂ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｆ
O
A C
B
(图3) (图5)
(图6)
(图7)
(图8)
(图4)
5．如图9，直线a 与直线b 互相平行，则x y -的值是（ ） Ａ．20；
Ｂ．80；
Ｃ．120 ；
Ｄ．180．
6．如图10，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） Ａ．同位角相等，两直线平行； Ｂ．内错角相等，两直线平行； Ｃ．同旁内角互补，两直线平行； Ｄ．两直线平行，同位角相等． 7．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图11所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡 发出的两束光线OB OC 、经灯碗反射以后平行射出．如果图11中ABO DCO αβ∠=∠=，，则BOC ∠的度数为 ( )
A ．180αβ-- ；
B ．αβ+；
C ．
1
()2
αβ+； D ．90()βα+-． 8．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°；
B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°；
C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°；
D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°．
9．如图12，已知AB CD ∥，55A =∠，20C =∠，则P =∠___________．
10．如图13，AB CD EF ∥，分别交AB CD 、于50M N EMB ∠=、，， MG 平分
BMF MG CD G ∠，交于，则1∠的度数是___________．
11．如图14，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，
140∠=，则2∠的度数是____________．
12．说理填空 :
已知：如图15，DG ⊥BC AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2.求证：CD ⊥AB 证明：∵DG ⊥BC,AC ⊥BC(___________)
x
30
3y a
b
A D
O B
C
Ａ Ｍ Ｅ
Ｂ
Ｄ Ｇ Ｎ Ｆ Ｃ １ 50 A E
1 C
G F D
B
2 (图9)
(图10) (图11)
(图12) (图13)
(图14)
中小学1对1课外辅导专家 ∴∠DGB=∠ACB=90º(垂直的定义) ∴DG ∥AC （_____________________） ∴∠2=_____(_____________________) ∵∠1=∠2(__________________)
∴∠1=∠__________(等量代换) ∴EF ∥CD(______________________)
∴∠AEF=∠________________(____________________) ∵EF ⊥AB (________________)
∴∠AEF=90º (_________________________) ∴∠ADC=90º (___________________), ∴CD ⊥AB(__________________________)
13．如图16，AB ⊥BF 于B ，CD ⊥BF 于D ，∠1＝∠2， 试说明∠3＝∠E ．
14．如图17，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。

当动点P 落在某个部分时，连结PA 、PB ，构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角。

(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD ；
(2)当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？
(3)当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论。

选择其中一种结论加以证明。

A B
① ② ③ ④
A B
① ② ③ ④
A B
① ② ③ ④
P (图17)
C D
C D
C D
D
1 A
E
F
B
G C
2
(图15)
(图16)。