知识点240 角的计算(解答)(张松柏)

一．解答题（共144小题）
1．（2006•钦州）附加题：
如图，已知∠1=65°15′，∠2=78°30′，求∠1+∠2和∠3．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：根据∠+∠2+∠3=180°求解．
解答：解：∵∠1=65°15′，∠2=78°30′，
∴∠1+∠2=65°15′+78°30′=143°45′．
∴∠3=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣143°45′=36°15′．
故答案为143°45′、36°15′．
点评：本题主要考查角的比较与运算，利用了平角的概念求解．
2．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=22°，求∠AOC的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义；垂线。

专题：计算题。

分析：由已知中所给的垂直关系，可以求出∠AOB和∠COD的度数，再根据角平分线的性质，求出∠BOD的度数，从而可以求出∠AOC的度数．
解答：解：∵OA丄OB，OC丄OD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵OE为∠BOD的平分线，
∴∠BOD=44°，
∴∠AOC=360°﹣（∠AOB+∠COD+∠BOD），
=360°﹣（90°+90°+44°），
=136°．
点评：本题考查了角的比较与计算，本题解题的关键是利用角平分线的性质，求得∠BOD的度数．
3．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；
（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．
（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
考点：角的计算。

专题：分类讨论。

分析：（1）是角的多解问题，求解时因为位置不同，可分情况讨论．
（2）直线OA、OB将平面分成四个部分，分别考虑射线OC落在这四个部分的情况，
解答：解：（1）当射线OA在∠COB内部时，
因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=120°﹣70°=50°
当射线OA在∠COB外部时，
因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=120°+70°=190°，
而求解的只是小于平角的角，
所以∠AOC=∠=360°﹣190°=170°
所以∠AOC等于70°或170°．
（2）根据题意画出图形得：
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=80°，
解得x=10°
∴∠AOC=30°，∠BOC=50°；
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=280°，
解得x=35°
∴∠AOC=105°，∠BOC=175°．
点评：本题的多解情况可依据不同情况求解，在计算中我们所求的角一般都是小于平角的角．
4．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系：相等，判断的依据是等角的补角相等；
（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角。

专题：计算题。

分析：（1）能够发现要找的两个角都和∠BOC互补，根据等角的补角相等即可说明；
（2）首先根据直角由已知角求得它的余角，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用角的关系求得∠AOC，根据上述结论，即求得了∠BOD．
解答：解：（1）相等，等角的补角相等；
（2）∵∠COE是直角，∠COF=35°
∴∠EOF=55°
又OF平分∠AOE，∴∠AOE=110°
∴∠AOC=20°
∴∠BOD=∠AOC=20°．
故答案为相等、等角的补角相等、20°．
点评：（1）理解邻补角的概念，掌握等角的补角相等的性质；
（2）正确求得一个角的余角，熟练运用角平分线表示角之间的倍分关系，再根据角之间的和差关系进行计算．
5．下面是马小虎解的一道题：
题目：在同一平面上，若∠BOA=70°，BO⊥CO，垂足是O，求∠AOC的度数．
解：根据题意可画出图形（如图）
∵∠AOC=∠BOA+∠BOC
=70°+90°
=160°
∴∠AOC=160°
若你是老师，你怎样评判马小虎的解题过程？适当说明理由．
考点：角的计算。

专题：阅读型；分类讨论。

分析：因为∠AOB与∠BOC的位置不明确，所以∠AOC可以是两角的和，也可以是两角的差，要分情况讨论．解答：解：小虎的解题过程不完整．
理由：要分两种情况讨论，
（1）当∠AOC为两角的和时，即小马虎的解题过程．
（2）当∠AOC为两角的差时，如图
∵∠AOC=∠BOC﹣∠AOB，
=90°﹣70°，
=20°，
∴∠AOC=20°．
故∠AOC的度数为160°或20°．
点评：本题要注意当位置不明确时要分两种情况讨论．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE为直角，OF平分∠AOC，∠EOC=∠AOC，求∠DOF的度数．
考点：角的计算；对顶角、邻补角。

专题：计算题。

分析：可以设∠EOC=2x，∠AOC=7x．再根据邻补角的概念表示出∠BOC，列方程求出x，再进一步计算．
解答：解：设∠EOC=2x，∠AOC=7x，则∠BOC=180°﹣7x．
∵∠BOE为直角，
∴2x+180°﹣7x=90°，
解得x=18°．
∴∠BOC=54°，∠AOC=126°．
∴∠AOF=63°，∠AOD=∠BOC=54°．
∴∠DOF=117°．
点评：注意此题设合适的未知数，根据邻补角的概念表示出需要的角，根据已知的直角列方程进行求解，即可计算出答案．
7．如图，已知直线AB，OC⊥AB，OD⊥OE，若∠COE=∠BOD，则求∠COE，∠BOD，∠AOE的度数．
考点：角的计算；垂线。

专题：计算题。

分析：先根据同角的余角相等求出∠COE=∠AOD，再根据∠AOD与∠BOD是邻补角且∠COE=∠BOD求出
∠BOD；∠AOE等于∠AOC与∠COE的和．
解答：解：∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠DOE=∠AOC=90°，
∵∠COE+∠DOC=∠DOE=90°，
∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°，
∴∠COE=∠AOD，
∵∠BOD=180°﹣∠AOD，
∵∠COE=∠BOD，
∴∠COE=30°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD
=180°﹣∠COE
=180°﹣30°
=150°；
∴∠AOE=∠AOC+∠COE
=90°+30°
=120°．
点评：利用同角的余角相等求出∠COE=∠AOD是解题的关键．
8．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
考点：角的计算。

专题：探究型。

分析：本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE 的度数；根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明．
解答：解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°
∴∠DCB=90°﹣35°=55°
∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°．
（2）∵∠ACB=140°，∠ACD=90°
∴∠DCB=140°﹣90°=50°
∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣50°=40°．
（3）猜想得∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°．
点评：记忆三角板各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差．
9．如左图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这幅三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：（1）①根据角的和的关系解答，②利用周角的定义解答；
（2）①根据同角的余角相等解答，②根据图象，表示出∠AOC整理即可得到原关系仍然成立．
解答：解：（1）①∵∠AOD=90°+∠BOD
∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°
∴∠AOC+∠BOD=180°；
（2）①∵∠AOD=90°﹣∠BOD
∠BOC=90°﹣∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②成立．
∵∠AOC=90°+90°﹣∠BOD
∴∠AOC+∠BOD=180°．
点评：本题主要考查角的和、差关系，理清和或是差是解题的关键．
10．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（2）求∠EON+∠MOF的度数．
考点：角的计算；余角和补角。

分析：（1）根据等角的余角相等即可发现：两个角相等．
（2）要求∠EON+∠MOF的度数和，结合图形发现角之间的和的关系，显然即是两个直角的和．
解答：解：（1）∠EOM=∠FON．
∵∠EOM+∠MOF=90°=∠FON+∠MOF，
∴∠EOM=∠FON；
（2）∵∠EON+∠EOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．
点评：理解余角的概念，掌握等角的余角相等这一性质；能够根据图形正确表示角之间的和的关系．
11．计算下列各题
（1）如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．
（2）如图，C，D是线段AB上的两点，已知AB=10cm，CD=3cm，求以A，C，D，B这四个点为端点的所有线段长度之和．
考点：角的计算；比较线段的长短；角平分线的定义。

专题：计算题。

分析：（1）要求∠EOF，而已知∠AOB=110°，∠COD=70°，所以可求出∠EOA+∠BOF的值；
（2）先列出所有线段，再求其和．
解答：解：（1）∵∠AOB=110°，∠COD=70°，
∴∠AOC+∠BOD=40°，
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，
∴∠EOA+∠BOF=∠AOC+∠BOD=40°，
∴∠EOF=∠EOA+∠AOB+∠BOF=150°；
（2）解法一：所有线段长度和为AC+AD+AB+CD+CB+DB=3AB+CD=33cm；
解法二：设AC=x，则DB=7﹣x，AC+AD+AB+CD+CB+DB=33cm．
点评：（1）此题中角较多，所以一定要仔细读题，找出它们之间的关系，而且做这类题一定要图形结合；
（2）列出所有线段，找出他们和线段AB、CD之间的关系，再代入求解．
12．如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，OE是∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：由OE是∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，可知∠EOD=∠BOE；又由∠COD=90°可得∠COB=90°﹣2∠BOE，又因为∠AOB=90°，所以∠AOC=90°﹣∠COB．
解答：解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOC，∠BOD同是∠BOC的余角，即∠AOC=∠BOD；
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=17°18′，∠BOD=2∠BOE=2×17°18′=34°36′，故∠AOC=34°36′．
点评：本题主要考查角的比较与运算，涉及到余角、角平分线的性质等知识点，找到相应等量关系是解此题的关键．13．如图，∠AOD=∠BOC=90°，∠COD=42°，求∠AOC、∠AOB的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：（1）根据∠AOC=∠AOD+∠COD，代入数据计算即可；
（2）根据∠AOD、∠COD、∠BOC、∠AOB四个角的度数等于圆周角的度数360°解答．
解答：解：如图，（1）∵∠AOD=90°，∠COD=42°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+42°=132°；
（2）∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，
∴∠AOB=360°﹣∠AOD﹣∠COD﹣∠BOC，
=360°﹣90°﹣42°﹣90°，
=138°．
故答案为132°、138°．
点评：本题根据角的和差关系和圆周角等于360°求解，是基础题，关键在于读懂图象．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=∠BOD，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义；垂线。

专题：计算题。

分析：根据题意，易得AB⊥CD，又由OE平分∠BOC，可得∠BOE=45°，进而可得答案．
解答：解：∵∠AOD=∠BOD，∠AOD+∠BO=180°，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=45°，
∴∠DOE=90°+45°=135°．
答：∠DOE=135°．
点评：本题考查角的运算，注意角与角之间的倍数与垂直关系关系即可．
15．如图（甲），将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置．
（1）当∠BOC=60°时，∠AOD=120°；
（2）当∠BOC=70°时，∠AOD=110°；
（3）你知道∠AOC与∠BOD的大小关系吗？请说明理由；
（4）把三角板COD绕点O顺时针旋转到如图（乙）的位置，（3）中的结论还成立吗？为什么？
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：（1）根据图形，可得：∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+∠DOC﹣∠BOC，计算可得答案；（2）由（1）的关系，易得答案；
（3）根据图形，易得∠AOC=90°﹣∠BOC，∠BOD=90°﹣∠BOC，分析可得答案；
（4）由（3）的结论，分析可得答案．
解答：（1）根据图形，可得：∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+∠DOC﹣∠BOC=180°﹣60°=120°；（2）由（1）可得：∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+∠DOC﹣∠BOC=180°﹣70°=110°；
（3）∠AOC=∠BOD理由如下：
因为∠AOC=90°﹣∠BOC
∠BOD=90°﹣∠BOC
所以∠AOC=∠BOD
（4）（3）中的结论成立．理由如下：
因为∠AOC=90°+∠BOC
所以∠AOC=∠BOD．
点评：本题考查角的运算，注意角与角之间的倍数关系即可．
16．下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题．
题目：在同一平面上，若∠AOB=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意画出图形，如图所示，
∵∠AOC=∠AOB﹣∠BOC
=70°﹣15°
=55°
∴∠AOC=55°
若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．
考点：角的计算。

专题：阅读型。

分析：根据题意画图形，应考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部．
解答：解：不能给满分，
他只解答了一种情况，∠BOC在∠AOB的内部，
而忽略了∠BOC在∠AOB的外部，如图所示
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC
=70°+15°
=85°
∴∠AOC=85°，
∴∠AOC=55°或∠AOC=85°．
点评：在题干不配图时，注意考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部．
17．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：根据角平分线的定义∠COD=∠EOD，所以∠COB的度数等于180°﹣∠AOB﹣∠EOD﹣∠COD，然后代入数据计算即可．
解答：解：∵∠EOD=28°46′，OD平分∠COE，
∴∠COD=∠EOD=28°46′，
∵∠AOB=40°，
∴∠COB=180°﹣∠AOB﹣∠EOD﹣∠COD，
=180°﹣40°﹣28°46′﹣28°46′，
=82°28′．
故答案为：82°28′．
点评：本题主要考查角的度数的运算，读懂图形分清角的和差关系比较重要，还要注意角是60进制，这也是同学们容易出错的地方．
18．如图所示，直线AB、CD相交O，OE⊥AB于O，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数．
考点：角的计算；余角和补角；垂线。

专题：计算题。

分析：先根据∠DOE=3∠COE，和平角等于180°，可求出∠DOE，又OE⊥AB，故可得出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．
解答：解：∵∠DOE=3∠COE，∠DOE+∠COE=180°，
∴∠DOE=135°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOD=45°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=135°．
点评：此题主要考查角的计算，注意垂直和平角的灵活运用．
19．如图，已知∠AOC=90°，∠COD比∠DOA大28°，OB是∠AOC的平分线．求∠BOD的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义。

专题：计算题。

分析：先由∠COD﹣∠DOA=28°，∠COD+∠DOA=90°，解方程求出∠COD与∠DOA的度数，再由OB是∠AOC 的平分线，得出∠AOB=∠AOC=45°，则∠BOD=∠AOB﹣∠DOA，求出结果．
解答：解：∵∠COD比∠DOA大28°，
∴∠COD=∠DOA+28°，
∵∠AOC=90°，
∴∠COD+∠DOA=90°，
∴∠DOA+28°+∠DOA=90°，
2∠DOA=62°，所以∠DOA=31°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOD=∠AOB﹣∠DOA=45°﹣31°=14°．
故答案为14°．
点评：本题主要考查了角平分线的定义及利用方程思想求角的大小．
20．在同一平面内，若∠BOA=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数．
考点：角的计算。

专题：分类讨论。

分析：在同一平面内，若∠BOA与∠BOC可能存在两种情况，即当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部．解答：解：当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=55°，
当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=85°，
故∠AOC=55°或85°．
点评：解决本题的关键是意识到在同一平面内，∠BOA与∠BOC可能存在两种情况，即当OC在∠AOB的内部或OC在∠AOB的外部．
21．如图所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=60°，求∠EOC的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：可以设∠BOE为x°，就可以根据条件列方程解决，求出∠BOE．
解答：解：设∠BOE为x°，则∠DOB=60°﹣x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB=2∠DOB，
故有3x+x+2（60﹣x）=180，
解方程得x=30，
故∠EOC=90°．
点评：根据角平分线的性质和已知条件列方程求解．方程思想是解决问题的基本思考方法．
22．如图所示，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，如果∠EOG=∠AOE，求∠EOG，∠DOF和∠AOE的度数．
考点：角的计算；对顶角、邻补角；垂线。

分析：直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，根据对顶角相等以及角平分线的性质，转化相等关系，然后根据已知条件求出∠EOG，∠DOF和∠AOE的度数．
解答：解：∵∠EOG=∠AOE，OG平分∠BOE，
∴∠BOE=∠AOE，
∵∠AOE+∠BOE=∠AOE=180°，
∴∠AOE=100°，
∠BOE=∠AOE=×100°=80°，
∴∠EOG=40°，
∵AB⊥CD，∠EOF=180°，
∴∠DOF=180°﹣∠BOE﹣∠BOD=180°﹣80°﹣90°=10°．
点评：根据邻补角互补以及角平分线的性质，转化相等关系，然后根据已知条件求出角的度数．
23．如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC的度数．
考点：角的计算；余角和补角；垂线。

专题：计算题。

分析：（1）根据角的互补性质，即可得到．
（2）先设出∠AOC=x°，根据互补角的和为180°，解方程即可得出答案．
解答：解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF，
∴与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF．
（2）设∠AOC=x°，则∠EOF=4x°，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE=∠COF=90°；
∴∠COE=90°﹣x°，
∴∠EOF=（90°﹣x°）+90°=180°﹣x°；
又∵∠EOC=4x°，
∴180°﹣x°=4x°；
解得x=36．
即∠AOC=36°．
点评：此题主要考查学生在图形中对角的认识和分析能力及对角的求解问题．
24．如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MON 的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义。

分析：设∠CON=∠BON=x，∠MOC=y，则∠MOB=∠MOC+∠BOC=2x+y=∠AOM，
∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2x+y+y=2（x+y）=80°．而∠MON=∠MOC+∠NOC=x+y，即可求解．
解答：解：∵ON平分∠BOC
∴∠CON=∠BON
设∠CON=∠BON=x，∠MOC=y
则∠MOB=∠MOC+∠BOC=2x+y
又∵OM平分∠AOB
∴∠AOM=∠BOM=2x+y
∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2x+y+y=2（x+y）
∵∠AOC=80°
∴2（x+y）=80°∴x+y=40°
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=x+y=40°
故答案为40°．
点评：此题主要利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．
25．如图所示，∠AOB=90°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，如果∠EOF=60°，求∠BOC的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义。

专题：计算题。

分析：知道∠AOB=90°，OE平分∠AOB，可知∠BOE的大小，由OF平分∠BOC，∠EOF=60°，故能求得∠BOC 的度数．
解答：解：∵∠AOB=90°
OE平分∠AOB
∴∠BOE=45°
又∠EOF=60°
∴∠BOF=15°．
∵OF平分∠BOC
∴∠BOC=2∠BOF=30°．
故答案为30°．
点评：本题主要考查角的比较与运算，还涉及到角平分线等知识点，不是很难．
26．附加题：
已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C 在一条直线上．将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是60°；如图2，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是75°．
（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
（3）当三角板OCD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线OM平分∠AOC、射线ON平分∠BOD（∠AOC≤180°，∠BOD≤180°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时∠MON的度数是多少）．
考点：角的计算。

分析：利用三角板角的特征和角平分线的定义解答：
（1）由图可得角之间的关系：∠BOD=90°﹣∠COD，∠AOC=90°﹣∠COD，据此解答；
（2）由图可得角之间的关系：∠MON=（∠AOB﹣∠COD）+∠COD；
（3）可分以下情况考虑：①当0°＜α＜180°时；②α=180°时，两种情况：点M在OB上和点M在BO上；③180°＜α＜240°时；④240°＜α＜360°时．
解答：解：（1）∠BOD=90°﹣∠COD=90°﹣30°=60°，
∠AOC=90°﹣∠COD=90°﹣×30°=75°．
（2）不变，60°．
根据图中所示∠MON=（∠AOB﹣∠COD）+∠COD=（90°﹣30°）+30°=60度．
（3）①当0°＜α＜180°时，
∠MON=（90°+∠BOC）+（30°+∠BOC）﹣∠BOC=60°
②α=180°时，即∠AOC为平角，
（1）点M在OB上，
∴∠MOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°，
又∵ON平分∠BOD，
∴∠MON=120×=60度．
（2）点M在BO上，
∠MON=180°﹣60°=120度．
故∠MON=60°或120°
③180°＜α＜240°时，
2（30°+∠MOD）+90°+∠CON+（∠CON+30°）=360°，
解得：∠MOD+∠CON=90°，则
∠NON=90°+30°=120°
④240°＜α＜360°时，
∠MON=（30°﹣∠AOD）+（90°﹣∠AOD）+∠AOD=60度．
点评：此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
27．若∠AOB=∠COD=∠AOD，已知∠COB=80°，求∠AOB、∠AOD的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：根据已知条件可得，∠COB=∠AOD，再由∠COB=80°，从求得∠AOD的度数．进而得出∠AOB的度数．解答：解：∵∠AOB=∠COD=∠AOD，∴∠COB=∠AOD，
∵∠COB=80°，∴∠AOD=120°，
∴∠AOB=∠AOD=120°÷6=20°．
故答案为20°、120°．
点评：本题考查了角的有关计算，是基础知识比较简单．
28．如图，（1）已知∠AOB是直角，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）你从（1），（2）的结果中能发现什么规律．
考点：角的计算。

专题：探究型。

分析：（1）根据题意，易得∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC进而结合∠MON=∠MOC﹣∠NOC的关系，易得答案；
（2）由（1）的结论，易得当∠AOB=α时，总有∠MON=∠AOB的关系，即的答案；
（3）分析（1）（2）的结论，易得答案．
解答：解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=∠AOC﹣∠BOC=∠AOB
∵∠AOB=90°，∴∠MON=45°．
（2）当∠AOB=α时，其他条件不变，
总有∠MON=∠AOB=．
（3）由（1）（2）的结果，可得出结论：∠MON的大小总等于∠AOB的一半．
点评：本题考查角平分线的定义与运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用互余、互补等关系解题．29．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON的度数，试证明你的结论．
考点：角的计算；角平分线的定义。

专题：证明题。

分析：根据OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，又知∠AOC+∠BOC=180°，进而求出∠MON的度数．解答：猜想：90°．
证明：∵OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB，
∵∠MON=∠MOC+∠CON，
∴∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°．
点评：本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
30．如图，已知∠AOC=50°，∠BOD=60°，OD⊥OA，求∠1、∠2和∠3的度数．
考点：角的计算；垂线。

分析：分别利用直角和已知角的度数求得它们的余角：∠3和∠1，再进一步求得∠2即可．
解答：解：∵OD⊥OA，
∴∠AOD=90°；
∵∠AOC=50°，∠BOD=60°，
∴∠1=∠AOD﹣∠BOD=90°﹣60°=30°，
∠2=∠BOC﹣∠1=50°﹣30°=20°，
∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=90°﹣30°﹣20°=40°．
点评：本题考查角的运算，根据已知条件能够正确求出一个角的余角．
31．如图，（1）已知∠AOB是直角，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）你从（1），（2）的结果中能发现什么规律．
考点：角的计算。

专题：探究型。

分析：（1）根据题意，易得∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC进而结合∠MON=∠MOC﹣∠NOC的关系，易得答案；
（2）由（1）的结论，易得当∠AOB=α时，总有∠MON=∠AOB的关系，即的答案；
（3）分析（1）（2）的结论，易得答案．
解答：解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=∠AOC﹣∠BOC=∠AOB
∵∠AOB=90°，∴∠MON=45°．
（2）当∠AOB=α时，其他条件不变，
总有∠MON=∠AOB=．
（3）由（1）（2）的结果，可得出结论：∠MON的大小总等于∠AOB的一半．
点评：本题考查角平分线的定义与运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用互余、互补等关系解题．32．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON的度数，试证明你的结论．
考点：角的计算；角平分线的定义。

专题：证明题。

分析：根据OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，又知∠AOC+∠BOC=180°，进而求出∠MON的度数．
解答：猜想：90°．
证明：∵OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB，
∵∠MON=∠MOC+∠CON，
∴∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°．
点评：本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
33．已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数．
考点：角的计算。

专题：分类讨论。

分析：分两种情况进行讨论：①射线OC在∠AOB的外部；②射线OC在∠AOB的内部；从而算出∠AOC的度数．
解答：解：①射线OC在∠AOB的外部，如图1，∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+20°=100°；
②射线OC在∠AOB的内部，如图2，∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=80°﹣20°=60°．
点评：本题考查了角的计算，分类讨论思想是数学中很重要的数学思想．
34．如图，射线AD、BE构成∠1、∠2量出∠1、∠2以及∠BAC、∠ACB、∠ABC的度数，并计算∠ACB+∠A，∠A+∠ABC的值，你能得到什么结论呢？
考点：角的计算。

分析：用量角器量两处各角的大小，并得出结论．
解答：解：结论：∠1=∠ACB+∠A，∠2=∠A+∠ABC．
点评：本题主要考查角的比较与运算，基础题，比较简单．
35．如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC分2：5两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：由角平分线的定义，则∠CBD=∠DBA，根据BE分∠ABC分2：5两部分这一关系列出方程求解．
解答：解：设∠ABE=2x°，
得2x+21=5x﹣21，
解得x=14，
∴∠ABC=14°×7=98°．
∴∠ABC的度数是98°．
故答案为98°．
点评：解题的关键要正确设出∠ABE=2x°，根据BE分∠ABC分2：5两部分，∠ABE：∠CBE=2：5，列出方程．
36．如图，D为直线AB上一点，CO⊥AB，∠DOE=90°，反向延长射线OE得直线EF，写出图中与∠AOF相等的一个角，并说明理由．
考点：角的计算；余角和补角；对顶角、邻补角；垂线。

专题：证明题。

分析：从图上不难看出∠BOE与∠AOF是对顶角相等，还有∠BOE、∠COD都与∠COE互为余角，所以
∠AOF=∠BOE=∠COD，依据题意只要写出一种并证明就可以了．
解答：解：①由图得：∵∠AOF与∠BOE是对顶角，
∴∠AOF=∠BOE；
②∵OC⊥AB，DO⊥BF，
∴∠COB=∠DOE=90°，
∴∠BOE+∠COE=∠COD+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COD，
由①得∠COD=∠AOF．
点评：由对顶角相等可以写出一个与已知角相等的角，由同角的余角相等也可以找出一个角，写出任意一个加以证明即可．
37．如图，∠AOE=80°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE．∠AOB=15°．
（1）求∠COD度数；
（2）若OA表示时钟时针，OD表示分针，且OA指在3点过一点，求此时的时刻是多少？
考点：角的计算；钟面角；角平分线的定义。

专题：计算题。

分析：（1）由OB平分∠AOC，可得∠AOC=30°，进而得到∠COE，又知OD平分∠COE，故能求得∠COD，（2）设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，时针0A转过了0.5x°，根据角之间的关系求出x．
解答：解：（1）∵∠AOB=15°，OB平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOB=30°，
∵∠AOE=80°，
∴∠COE=∠AOE﹣∠AOC=50°，
∵OD平分∠COE，
∴∠COD=∠COE=25°；
（2）设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，时针0A转过了0.5x°，
3点时，时针与分针成90°，而∠AOD=55°，
故90﹣6x+0.5x=55，
解得：x=．
答：∠COD=25°，此时的时刻为3点分．
点评：本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
38．如图，AB⊥CD，垂足为O．
（1）比较∠AOD，∠EOB，∠AOE的大小，并用“＜”号连接．
（2）若∠EOC=28°，求∠EOB和∠EOD的度数．
考点：角的计算；角的大小比较。

分析：（1）根据图形可判断各角的大小．
（2）∠EOB=∠EOC+90°=118°，∠AOE=90°﹣∠EOC=62°．
解答：解：∠AOD=90°，∠EOB=90°+∠EOC，∠AOE=90°﹣∠EOC
∴∠AOE＜∠AOD＜∠EOB
（2）∠EOB=∠EOC+90°=118°
∠AOE=90°﹣∠EOC=62°
点评：考查角的关系，通过已知角求得未知角．
39．如图，OE、OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线，且OE⊥OF．求证：A、O、B三点在同一直线上．
考点：角的计算；角平分线的定义；垂线。

专题：证明题。

分析：要证A、O、B三点在同一直线上，只需证明∠AOB=180°，由于OE、OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线，所以∠AOE=∠COE，∠BOF=∠COF，又因为OE⊥OF，所以∠COE+∠COF=90°，所以∠AOE+∠BOF=90°，即
∠AOB=180°．
解答：证明：∵OE、OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线，
∴∠AOE=∠COE，∠BOF=∠COF，
又∵OE⊥OF，
∴∠COE+∠COF=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠AOB=∠COE+∠COF+∠AOE+∠BOF=90°+90°=180°，
∴A、O、B三点在同一直线上．
点评：本题通过角的运算，证得平角，从而证明三点共线．
40．如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠AOD=51°17′，求∠BOE的度数．
考点：角的计算；角平分线的定义。

专题：计算题。

分析：（1）由∠AOC+∠COB=180°，又知OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，故知∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB），
（2）由∠AOD+∠BOE=90°和∠AOD=51°17′，故能得到∠BOE的度数．
解答：解：（1）∵∠AOC+∠COB=180°，已知OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，∴∠DOC=∠AOC，∠COE=∠COB，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=90°．
（2）∵∠AOD+∠BOE=90°，∠AOD=51°17′，
∴∠BOE=90°﹣∠AOD=38°43′．
故答案为90°、38°43′．
点评：本题主要考查角的比较与运算，还考查了余角的知识点，比较简单．
41．已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=40°，求：∠AOD的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：利用角的和差关系先求出∠AOC=50°，再求出∠AOD的度数．
解答：解：因为∠AOB=90°，∠BOC=40°，
所以∠AOC=50°，
即∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+50°=140°．
故答案为：140°．
点评：本题主要考查了角的运算中的和差关系．
42．将两块直角三角尺的直角∠AOB和∠COD的顶点O重合为如下图的位置，
（1）若∠AOD=110°，求∠BOC的大小；
（2）图中有没有与∠AOD互补的角？若有，请指出，并说明理由；若没有，请说明理由．
考点：角的计算；余角和补角。

分析：（1）由于∠BOC与∠AOC互余，所以要求∠BOC的大小，只需求∠AOC的大小即可．易知∠AOC=∠AOD ﹣∠COD；
（2）根据互补的定义，只要找出与∠AOD的和为180°的角即是与∠AOD互补的角，由（1）的结果可猜测
∠AOD+∠BOC=180°，此结论容易证明．
解答：解：（1）∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣90°=20°，
∠BOC=∠AOB﹣∠AOC（2分）=90°﹣20°=70°；
（2）与∠AOD互补的角为∠BOC．
这是因为：∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+90°，
即∠AOD+∠BOC=∠AOB+90°=90°+90°=180°，
因此，与∠AOD互补的角为∠BOC．
点评：（1）利用角的和差运算，可将求角的问题逐步转化．
（2）在图中找一个角的补角时，只看角的度数之间的关系，不能看角的位置之间的关系．
43．如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB=100°，OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE，∠EOF=140°，求∠COD的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：设∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，由OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE，可得x+y=140°，图中六个角之和
为360°，可得x+y+100°=360°，联立方程组解得x．
解答：解：设∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，
∵OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE=∠BOC，
∵∠EOF=140°，∠AOB=100°
∴x+y=140°①，
∵六个角之和为360°，
∴x+y+100°=360°②，
联立①②解得：x=40°，
∴∠COD的度数为40°．
点评：本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
44．已知如图，∠1与∠2有一个公共顶点O，∠AOB=∠COD=90°，且∠1：∠2=4：5，求∠1和∠2的度数．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：根据圆周角等于360°先求出∠1与∠2的度数之和等于180°，再根据∠1：∠2=4：5即可求出两角的度数．
解答：解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°，
∵∠1：∠2=4：5，
∴∠1=180°×=80°，∠2=180°×=100°，
故∠1和∠2的度数分别为80°和100°．
点评：根据圆周角等于360°求出∠1和∠2两角的度数的和等于180°是解本题的关键．
45．如图，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD．
考点：角的计算。

专题：计算题。

分析：根据∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，利用角的和差关系先求出∠AOB的度数，再求∠AOD．解答：解：∵∠AOC=75°，∠BOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=75°﹣30°=45°，
又∵∠BOD=75°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°．
故答案为120°．
点评：此题主要考查了角相互间的和差关系，比较简单．
46．如图，AB和CD相交于点O，∠DOE=90°，若∠BOE=∠AOC．
（1）指出与∠BOD相等的角，并说明理由；
（2）求∠BOD，∠AOD的度数．
考点：角的计算；对顶角、邻补角。

专题：计算题。

分析：（1）利用对顶角找相等的角；
（2）因为∠BOE=∠AOC，根据∠AOC=∠BOD和∠DOE=90°列出等式求解即可．
解答：解：（1）∠AOC，对顶角相等；
（2）∵∠BOD=∠AOC，
又∵∠BOE=∠AOC，
∴∠BOE=∠BOD，
∵∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=∠BOD+∠BOD=90°，
解得∠BOD=60°；
∴∠AOD=180°﹣∠BOD
=180°﹣60°
=120°．
点评：本题考查对顶角相等的性质和根据角的关系列方程求解，准确识图并弄清各角之间的关系是解题的关键．
47．如图所示，已知∠AOF=85°，∠BOC：∠EOC=2：3，计算∠AOC的大小．
考点：角的计算；对顶角、邻补角。

专题：计算题。

分析：由对顶角可得∠BOE=85°，∠BOC：∠EOC=2：3，分别求出∠BOC和∠EOC的度数，即可求出∠AOC的度数．
解答：解：∵∠BOC：∠EOC=2：3，
∴设∠BOC=2x°，∠EOC=3x°
∵∠BOC=∠AOF=85°（对顶角相等）
∴2x+3x=85，
x=17，
∴∠BOC=2x°=34°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣34°=146°．
点评：解题的关键是利用对顶角的知识求出∠BOE的度数，利用∠BOC：∠EOC=2：3，分别求出∠BOC和∠EOC 的度数．
48．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，设∠AOC=30°，求∠EOF．解：∵∠AOC+∠BOC=∠BOC+∠BOD
∴∠BOD=∠AOC=30度
∵∠BOC=∠AOD=150度
∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠BOF=∠BOD．
∴∠EOC+∠BOF+∠BOC=（∠AOC+∠BOD）+∠BOC
=∠AOC+∠BOC=180°，即∠EOF=180度．
考点：角的计算；角平分线的定义。

分析：运用等角的补角相等求得相关角的度数，再根据角平分线的概念表示角之间的关系，最后运用角之间的等量代换进行计算．
解答：解：∠AOC，30，∠AOD，150，∠BOD，∠AOC，∠BOD．。