建模讲稿1

定义：对现实世界的一个特定对象，为了一个特 定目的，据其内在规律，作出一些必要的简化、 假设，运用适当的数学工具，而得到的一个数学 结构。
§ 2 研究数学模型的意义
• 1. 辉煌历史
– 欧几里德几何——古老经典的数学模型 欧几里德几何 – 牛顿三大定律——数学模型的光辉典范 牛顿三大定律
• 2 现实意义（国民经济中的数学模型） 现实意义（国民经济中的数学模型） • （1）产品设计与制造 ）
考查
t → +∞
lim
1 1 − i(t ) = σ 0
,σ ,σ
> 1 ≤ 1
结果相对合理 : 日平均有效接触人数是 随 σ 的增加 , 时间的推移 , i(t) 当 σ ≤ 1时，随时间的推移， i(t)
有限的
增大 , 但不会趋于 1; → 0 , 疾病消失。 t →∞
λs (t )
个健康者成为病人；
.
λ Ns ( t ) i ( t ) . 即 病人的日增长率为 d ( Ni ( t )) di ( t ) 故 = λ Ns ( t ) i ( t ) ⇒ = λ s ( t ) i ( t ) (1) dt dt 又 显然 s ( t ) + i ( t ) = 1 , i ( 0 ) = i 0 .
假设： 不变） (1) 发病区域的总人口数为 N （不变） (2) 时刻 t 患病人数所占的比率为 X(t) (3) (4) 感染率（传播速度） 感染率（传播速度）为 h 的感染者， 发现时（初始时刻t=0） 发现时（初始时刻t=0）有占 X0 的感染者，X0 < 1 . t=0
1.初级模型 “一传十，十传百”——就是一种简化 初级模型： 初级模型
Eg1: 波音767飞机的成功设计中，应用了数学家建立的超音速 波音 飞机的成功设计中， 飞机的成功设计中 流 和激波的数学模型，设计出了防激波的飞机翼型；用有限 元法计算出了飞机的强度；自动导航和降落系统完全基于新 的数学模型等。 Eg2: CAD/CAM 计算机辅助设计 制造 软件 计算机辅助设计/制造 几何造型系统 几何成像模型；性能分析系统 评价模型； 优化系统 数学模型与优化技术结合的产物； 工程数据库 数据结构模型 等等。
3. 初始时刻 t = 0时，s ( 0) = s 0 , i ( 0) = i 0 , r (0) = 0.
建模 :
di(t) = λ s (t ) i ( t ) − µ i (t ) dt ds(t) = − λ s (t ) i (t ) dt i (0) = i 0 , s (0) = s 0
0
> 0, I 0 > 0, R0 > 0
仍未考虑：政府干预或控制手段
6. SIRHC
假设 : (1)
模型(有潜伏的控后模型 )
总人口为N , 分为五类 :
健康者占 S , 病人占I , 退出者占R ， 自由带菌者( 不可控的病毒携带者)占H , 疑似者( 未确诊被隔离控制者)占C (2) λ — 自由带菌者被控前日均 有效接触人数， q — 退出率， ε — 自由带菌者的日发病率 ， y 1 − 疑似者的日排除率, y 2 − 疑似者的日发病率, α - 被感染者中可控的比率. β - 接触病源者的发病率 . (3) 治愈不会再被感染 ; 潜伏期的病人不具传染 性.
di(t) = λ i ( t )[ 1 − i ( t )] Logistic 建模 : dt i ( 0 ) = i0 1 : i(t) = 其解为 1 1+ − 1 e −λt i 0
t → +∞
模型
显然不合实际 .Q lim i (t ) = 1 即 最终所以人将全部变成 病人. 原因 : 未考虑病人可以被治愈 而转变成健康者 .
• （2）质量控制 ）
–
TQC——全面质量管理 全面质量管理
二次世界大战后，日本作为战败国，百废待兴。美国的著名统计学 家戴明（Deming)在日本工商业广泛推广与应用其质量控制理论与 方法，使日本的工业产品以惊人的速度成为世界上最具竞争力的产 品。
• （3）预测与管理 ）
– Eg1 : 经济学家因为采用数学方法的重要成就，提出了新的经济模 型，从而多次荣获诺贝尔经济学奖。 诺贝尔经济学奖。 诺贝尔经济学奖 – Eg2：我国粮食产量的预测十分准确，连续15年的平均误差控制在 ： 1%之内；上海经济发展预测误差不超过5%。均得益于相应的预测 模型。 – Eg3: 气象预报的准确性，得益于大型计算机的数值模拟模型； – 高速电子通讯中的信息传输、压缩、安全保密也得益于相应 的数学模型。
dx ( t ) = x (t ) h 显然不合理 dt x (0 ) = x0 Q 其解 x ( t ) = x 0 e ht , ∴ lim x ( t ) = x 0 lim e ht = +∞
t → +∞ t → +∞
不合理的原因：没考虑 “治愈康复”的可能
2. SI 模型
§ 3 何谓数学建模 ？
• 建立数学模型是一个迭代过程。 建立数学模型是一个迭代过程。 抽象、 简化、 假设 建立 数学模型 并 数学、 数学、 数值地 求解 确定参数
实 际 问 题
确立 参数 和 变量
用实际问题 的 实测数据 检验 数学模型
符合实际
交付 使用 产生 效益
不 符合 实际
引例： 建立某流行病（传染病）传播模型。 引例： 建立某流行病（传染病）传播模型。
日接触率。 称为 日接触率。健康者一旦和病人有效接触 就成为病人。 就成为病人。 （3）t = 0 时刻 即初始时刻病人的比率为 i0 区域总人数为 N 。 ，
分析：t时刻 病人总人数 为 N i(t), 时刻 每个病人每天可使
那么 每天共有 Ni ( t ) λ s ( t ) = λ Ns ( t ) i ( t ) 个健康者成为病人
d ( Ni ( t )) di ( t ) = λ Ns ( t ) i ( t ) − µ i ( t ) ⇒ = λ s ( t ) i ( t ) − µ i ( t ) (1) dt dt
di(t) = λ i ( t )[ 1 − i ( t )] − µ i ( t ) 建模 : dt i ( 0 ) = i0
−1 λ 1 λ −(λ −µ )t + − ,λ ≠ µ i λ − µ e λ − µ 0 : 其解为 i(t ) = −1 1 λt − ,λ = µ io
λ 记 σ= 含义为 : 一个传染期内每个病人 有效接触的平均人数 . µ
• （4）高新技术领域 ） – Eg1: CT 装置的核心技术中包含三维重构的数学模型和拉东 变换方法的软件。 – Eg2: 虚拟现实技术——数学模型、数值模拟与多媒体技术结 合的产物。
国际上的共识
• 数学是一种关键性的、普遍的、能够实行 数学是一种关键性的、普遍的、 的技术。 的技术 • 高新技术本质上是一种数学技术。 高新技术本质上是一种数学技术。
假设 人群分为易感染者（Susceptible)和已感染者 （1）人群分为易感染者（Susceptible)和已感染者 或简称为健康者和病人。 (Infective) 或简称为健康者和病人。 记 s(t)--s(t)--- t 时刻 健康者占总人数的比例 i(t) --- t 时刻 病人占总人数的比例 （2）每个病人每天平均有效接触的人数为常数 λ ,
3. SIS 模型（ 考虑可治愈的情形） 模型（ 假设 （1）、（ ）、（ ）同SI 模型 ）、（2）、（ ）、（ ）、（3） （4）病人每天被治愈的人数占病人总数的比率为 ） 常数 µ ，称为日治愈率 日治愈率。 日治愈率 病人被治愈成为健康者，但还可以再被传染成病人。
注意 : 1
µ
的含义为
: 平均传染期
该模型无解析解。但可通过相轨线的走势分析得到更符合 实际的结论。见书 《数学模型》姜启源编 P115-117页。
5. SIRH
假设 : (1) (2) (3)
模型(有潜伏的控前模型 )
总人口为 N , 分为四类 : 健康者占 S , 病人占 I , 退出者（治愈和死亡者 ）占 R ，潜伏者占 H ( Hide )。 λ — 日均有效接触人数， q — 退出率， l — 流出人口比率 ε — 潜伏者的日发病率， p — 流入人口中带菌者的比 率。
治愈不会再被感染 ; 潜伏期的病人不具 dH(t) dt dR(t) dt dI(t) dt S0 > = − λ I (t ) S (t ) = λ I ( T ) H ( t ) − ε H ( t ) + lp − lH ( t ) = qI(t) = ε H(t) − qI(t) 0, H
§4
体味数学建模
案例1. 椅子能在不平的地面上放稳吗? 案例1. 椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题重述: 四条腿长度相等的椅子, 问题重述 四条腿长度相等的椅子,放在相对不平的地 面上,四条腿能否同时着地? 面上,四条腿能否同时着地? 假设: 1.椅子四条腿长度相等 椅子四条腿长度相等, 假设 1.椅子四条腿长度相等,椅子与地面接触处可视 为一个
数学模型的定义
本德（ 本德（E.A. Bender): 数学模型是关于部分现实世界为一定目的而做的抽 象、简化的数学结构。 简言之：用数学术语对部分现实世界的描述。 用数学术语对部分现实世界的描述。 具体讲：是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起 是为了某种目的，用字母、
来的等式或不等式，以及用图表、图像、 来的等式或不等式，以及用图表、图像、框图等描述客观事物的特 征及其内在联系的数学结构表达式 数学结构表达式。 征及其内在联系的数学结构表达式。
点,四条腿着地点的连线呈正方形; 四条腿着地点的连线呈正方形; 地面的高度是连续变化的, 2. 地面的高度是连续变化的,沿任何方向均不出现间 断. 即地面可视为数学上的连续曲面; 即地面可视为数学上的连续曲面; 相对于椅子腿的长度和腿之间的距离, 3. 相对于椅子腿的长度和腿之间的距离,地面是相对平 坦的,即在任何位置至少有三条腿同时着地; 坦的,即在任何位置至少有三条腿同时着地; 若椅子不稳,以其中心转动之,使之放稳. 4. 若椅子不稳,以其中心转动之,使之放稳.
不符合实际之处 : 未考虑" 病人被治愈后, 产生免疫力" 的情形.
4. SIR
模型
,
假设 : 1. 人群分为 健康者、病人、病愈免 疫的移出者 （ Re moved) 分别记为： s (t ), i (t ), r (t ) 2. 病人的日有效接触率为 λ ，日治愈率为 µ， 传染期每个病人日均有 效接触人数为 σ = λ 。 µ
• ∆ 模型 为某个特定目的，将原型的某一部分信息 模型：
• 形 象 模 型 简缩、提炼，而构成的原型的替代物。
直观模型——实物模型 实物模型 直观模型
物理模型——模拟装置 模拟装置 物理模型 思维模型： 思维模型
模型
抽 象 模 型
由经验积累产生
符号模型： 符号模型
用符号或图表表示结构或规律。
数学模型
数 学 建 模
主讲： 主讲：汤大林
第一讲：引言 第一讲：
• • • • • • • §1 何谓数学模型？ 何谓数学模型？ 模型是相对于原型而言的。 ∆ 原型：人们在现实世界里所关心、研究或者从事生 原型 产、管理的实际对象。通常用x x 系统、 x x 过程来称谓。 比如 ： 机械系统、电力系统、生态系统、经济系统 等等。 再如 ： 钢铁冶炼过程、卫星发射过程、导弹飞行过程、 化学反映过程、污染扩散过程、产品生产或销售过程 等。
建模 : dS(t) dt = − C ( t ) y1 − λ H (t ) S ( t ) dI(t) = ε H ( t ) − qI (t ) + y 2 C ( t ) dt dR(t) = qI(t) dt dC(t) dt = − y1C(t) − y 2 C(t) + λ H ( t ) S ( t )α dH(t) = λ H(t)S ( t )(1 − α ) − ε H(t) dt S 0 > 0, I 0 > 0, R0 > 0, H 0 > 0, C 0 > 0