高二数学选修2-1知识点总结(精华版)

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高二数学选修2-1知识点总结(精华版)

精心整理高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.456真真假假()1()27、若p 若p ⇔8当p 、q q 是假命题当p 、q 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形13、设2d ，则11F d M =14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b =实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率1617、设2d ，则11F d M 1819，即AB =20若点(P 若点(P 若点(P 若点(P 21图形顶点对称轴 x 轴 y 轴焦点准线方程离心率范围22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB ． ()4的向量称为单位向量．()5a -． ()623、空间向量的加法和减法：()1行四边a 、b 线C O 就是a 法的平()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵形法则．即：O 作a OA=，a b -．24与空间向量a 的乘积λ量的数方向相同；当0λ<时，a λ记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 31a b ⊥．32、已c o s ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量b ．即c o s ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 33、a ⋅a 与b 在a cos ,b a b 〈〉的乘积． 34、若e 为单位向量，则有cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a a b ⊥⇔⋅=；()()a b a b b a b a b ⎧⎪⋅=⎨与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos a b〈；()5a b a b ⋅≤．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()a λ()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量}z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标,,x y z ．40、设()2)212,a y z z --()3a λ()4a b ⋅()5若a 为非零向量，则10a b a b x x ⊥⇔⋅=⇔()6若0b ，则1212//,,a x x y y λλλ⇔==()72111a a a x y z =⋅=++．()821cos x b a bx ⋅〈=+()9(),y z A ，(2,x y B =(x AB =41、那么空间中任意一点OP 称为点42、点A 是直线向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos a b a bθ⋅=．49的方向向量为l ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin l n l nθ⋅．50、设n 是二面角l α--的法向量，则向量n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角12n n n n θ⋅=．51、点之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．52P ，过定点cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P α外一点，A 是平面α的距离为。

高二数学选修2-1知识点

高二数学选修 2－1 知识点第一章常用逻辑用语 1、命题：形式： “若 p ，则 q ” 四种命题的真假性之间的关系： 1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
第二章空间向量与立体几何 1. 空间向量及其运算
1 2 3
a a a x12 y12 z12 d , 共线向量定理： a / /b a b (b 0)
2 AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 1
离心率
1 y1 y2 k2
e＝1
p 2
② 直线斜率不存在,则 AB y1 y 2 . （3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（ k1k2 1 ）注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。 4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数2、充分条件与必要条件 p 是 q 的充要条件： p q p 是 q 的充分不必要条件： p q, q ¿ p p 是 q 的必要不充分条件： q p, p ¿ q p 是 q 的既充分不必要条件： p 靠 q, q p 3.逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： p 真假真假 q 真真假假 p∧q 真 p∨q ¬p 假真假真

高二数学选修2-1知识点总结

A．q1，q3 B．q2，q3
A．②③ B．②④
C．q1，q4 D．q2，q4
C．③④ D．①②③
[审题视点] 依据复合函数的单调性推断 p1，p2 的'真假．
解析命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，故③④正确．
解析可推断 p1 为真，p2 为假；则 q1 为真，q2 为假，q3 为假，
答案 C
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出 m 的取值范围．解由 p 得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，则 m＞2. 由 q 得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，则 1＜m＜3. 又∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p 与 q 一真一假． ①当 p 真 q 假时，m≤1 或 m≥3，m＞2，解得 m≥3； ②当 p 假 q 真时，1＜m＜3，m≤2，解得 1＜m≤2. ∴m 的取值范围为 m≥3 或 1＜m≤2. 含有规律联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的
(2)特称命题的否认是全称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
魏
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特称命题 p：x0∈M，p(x0)，它的否认 p：x∈M，p(x)．
2．(2021·北京)若 p 是真命题，q 是假命题，则( )．
2．复合命题的否认
A．p∧q 是真命题 B．p∨q 是假命题
“p∧q”、“q”形式命题的真假．
答案存在 x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
【训练 1】已知命题 p：x0∈R，使 sin x0＝25；命题 q：x∈R，
考向一含有规律联结词命题真假的推断
都有 x2＋x＋1＞0.给出以下结论

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y21ab0a2b2axa且byb1a,0、2a,010,b、20,by2x21ab0a2b2bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,01两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，第1页共5页则F1d1F2d2e．渐近线方程ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上F1d1F2d2e．18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,cp；2p2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0221、抛物线的几何性质：标准方程y22pxy22pxx22pyx22py虚轴的长2b实轴的长2ap0p0p0p0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称图形cb2e12e1aa顶点0,0x轴y轴a2xca2yc对称轴第2页共5页焦点pF,02pF,02pF0,2pF0,22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方准线方程xp2xp2yp2yp2离心率e1向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0y0的长度的倍．范围x0x022、空间向量的概念：25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：abab；结合律：aa．1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已数，使ab．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；xyC；或对空间任一定点，有或若四点，，，C共面，则xyzCxyz1．30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．31、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab． 2第3页共5页称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosa,bababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab． ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．bx,y,za40、设ax1,y1,z1，222，则1bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2． 35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．x1x2y1y2z1z2ab8．cosa,b222222abx1y1z1x2y2z236、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．738、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．x2x1y2y1z2z1222．a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向成空间的一个基底．第4页共5页42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//babR，ababab0．46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//anan0，aaa//nan．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//b51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为ndcos,n．n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面n的距离为dcos,n．nab，abab0．48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有abcoscos．ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l 与n的夹角为，ln则有sincos．ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．n1n2第5页共5页高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为椭圆．这1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．1a,0、2a,010,b、20,b10,a、20,a1b,0、2b,0短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc13、设是椭圆上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，第1页共5页则F1d1F2d2e．渐近线方程ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，则14、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上F1d1F2d2e．18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xRp；2p若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．2若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx021、抛物线的几何性质：标准方程1a,0、2a,0F1c,0、F2c,010,a、20,aF10,c、F20,cy22pxy22pxx22py虚轴的长2b实轴的长2ap0p0p0x22pyp0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称图形cb2e12e1aaa2xca2yc顶点0,0x轴y轴对称轴第2页共5页焦点pF,02xp2pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方准线方程离心率e1向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0y0的长度的范围x0x0倍．22、空间向量的概念：25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．分配律：abab；结合律：aa．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已数，使ab．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使或对空间任一定点，有或若四点，，，xyC；xyC；C共面，则xyzCxyz1．30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．aa31、对于两个非零向量和b，若a,b，则向量，b互相垂直，记作ab．2第3页共5页a,b称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab． ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．40、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2． 35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；3abcacbc．3ax1,y1,z1．4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．7x1x2y1y2z1z2abcosa,b．8222222abx1y1z1x2y2z2x,y,z，使得pxaybzc．38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．x2x1y2y1z2z1222．aa,b,c称为空间的一个基底，，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向成空间的一个基底．第4页共5页42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点． 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//b51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为ndcos,n．n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面n的距离为dcos,n．nabR，ababab0．46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//anan0，aaa//nan．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//bab，abab0．48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有abcoscos．ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l 与n的夹角为，ln则有sincos．ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．n1n2第5页共5页。

高二数学选修2-1知识点总结(完整版)

高二数学选修2-1知识点总结(完整版)算术平均数算术平均数是统计学中的一个重要概念，它是指把一组数字的和除以它们的个数，反映在一千个人中有多少人在某一条件方面的平度或中点，用数学公式表示就是：平均数= ∑（x1，x2，...Xn）/n其中，n表示给定的一组数字的个数，Xi表示具体的数字（i= 1，2，3，...n ）。

中位数中位数也叫中点数，是统计学中常用的一种量化指标，它表示一组数字中，从小到大排列顺序时，处于中间位置的那个数，或者从大到小排列时，处于中间位置的数字。

当数据由奇数个时，中位数就是处于中间位置的那个数字；而若是数据由偶数个时，中位数就是这组数据所有数字加总后除以2所得的值（例如：1，2，3，3，中位数为2）。

标准差标准差是统计学中的一个重要概念，它可以反映出一组数据的离散程度，是用来衡量一组数据的变异情况的，又称为离散度。

数学公式表达形式为：标准差= ∑（ xi-平均数）²/（n-1）其中，n表示样本数，Xi表示具体的数值，平均数表示数据的算术平均数。

众数众数=∑xi /n模数模数是数学中的一项概念，通常可以从1到最大数字取若干个数，这些数中，剩下不能用其他数表示的最大数，就叫做模数。

形式上可以用数学公式表示为：模数=M= GCD （a，b，c，…）其中，GCD表示最大公约数，a，b，c…表示一组数。

伯努利实验伯努利实验是统计学中的基本概念，它是指通过实验中多次试验，对两个或两个以上的事件的发生概率的分析，以估算出某个事件诞生的可能性，数学公式表示形式如下：P（A）= nA/nnA表示事件A成功的实验次数，n表示实验的总次数。

线性相关线性相关是统计学中常用的一种分析方式，它指的是通过查看两组数据间的关系，来判断两个或两个以上的变量之间是否存在直接关系，如果存在，就称之为线性相关。

数学表达式如下：其中，X1、X2、X3…Xn表示两组数据，n表示数据的个数。

高中数学选修2-1知识点总结

数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

高二数学选修2-1知识点总结

根底梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否认(1)全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题．(2)p或q的否认为：非p且非q；p且q的否认为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否认1．含有一个量词的命题的否认(1)全称命题的否认是特称命题全称命题p：某∈M，p(某)，它的否认p：某0∈M，p(某0)．(2)特称命题的否认是全称命题特称命题p：某0∈M，p(某0)，它的否认p：某∈M，p(某)．2．复合命题的否认(1)非(p∧q)(p)∨(q)；(2)非(p∨q)(p)∧(q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假那么假；(2)对“p∨q”命题：一真那么真；(3)对“p”命题：与“p”命题真假相反．双基自测1．(人教A版教材习题改编)命题p：某∈R，in 某≤1，那么( )．A．p：某0∈R，in 某0≥1 B．p：某∈R，in 某≥1C．p：某0∈R，in 某0>1 D．p：某∈R，in 某>1解析命题p是全称命题，全称命题的否认是特称命题．答案 C2．(2022·北京)假设p是真命题，q是假命题，那么( )．A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．p是真命题 D．q是真命题解析此题考查命题和逻辑联结词的根底知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有q是真命题．答案 D3．命题p：假设a，b∈R，那么|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)那么()．A．“p或q”为假 B．“p且q”为真C．p真q假 D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，那么复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()．A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假答案 C答案存在某0∈R，使|某0－2|＋|某0－4|≤3考向一含有逻辑联结词命题真假的判断A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．解析可判断p1为真，p2为假；那么q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案 C“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题的真假．【训练1】命题p：某0∈R，使in 某0＝25；命题q：某∈R，都有某2＋某＋1＞0.给出以下结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的选项是()．A．②③ B．②④C．③④ D．①②③解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C考向二全称命题与特称命题【例2】写出以下命题的否认，并判断其真假．(1)p：某∈R，某2－某＋41≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：某0∈R，某02＋2某0＋2≤0；(4)：至少有一个实数某0，使某03＋1＝0.[审题视点] 改变量词，否认结论，写出命题的否认；判断命题的真假．解 (1)p：某0∈R，某02－某0＋41＜0，假命题．(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r：某∈R，某2＋2某＋2＞0，真命题．(4)：某∈R，某3＋1≠0，假命题．全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论．而一般命题的否认只需直接否认结论即可．【训练2】写出以下命题的否认，并判断真假．(1)p：某∈R，某不是3某－5＝0的根；(2)q：有些合数是偶数；(3)r：某0∈R，|某0－1|＞0.解 (1)p：某0∈R，某0是3某－5＝0的根，真命题．(2)q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)r：某∈R，|某－1|≤0，假命题．考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】(2022·浙大附中月考)命题p：方程某2＋m某＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4某2＋4(m－2)某＋1＝0无实数根．假设“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的'取值范围．[审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围．解由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，那么m＞2.由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，那么1＜m＜3.又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．①当p真q假时，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；②当p假q真时，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．【训练3】 a＞0，设命题p：函数y＝a某在R上单调递增；命题q：不等式a某2－a某＋1＞0对某∈R恒成立．假设p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．解∵函数y＝a某在R上单调递增，∴p：a＞1.不等式a某2－a某＋1＞0对某∈R恒成立，∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真q假时，a≥4，a＞1，得a≥4.②当p假q真时，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．标准解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【例如】 c＞0，且c≠1，设p：函数y＝c某在R上单调递减；q：函数f(某)＝某2－2c某＋1在，＋∞1上为增函数，假设“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c 的取值范围．(1)p，q真时，分别求出相应的c的范围；(2)用补集的思想求出p，q分别对应的c的范围；(3)根据“p∧q”为假、“p∨q”为真，确定p，q的真假．[解答示范] ∵函数y＝c某在R上单调递减，∴0＜c＜1.即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.又∵f(某)＝某2－2c某＋1在，＋∞1上为增函数，∴c≤21.即q：0＜c≤21.∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；②当p假，q真时，{c|c＞1}∩21＝.综上所述，实数c的取值范围是＜c＜11.解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的根本运算．【试一试】设p：方程某2＋2m某＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程某2＋2(m－2)某－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．[尝试解答] 由某1＋某2＝－2m＞0，Δ1＝4m2－4＞0，得m＜－1.∴p：m＜－1；由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，当p真q假时，m≥3或m≤－2，m＜－1，此时m≤－2；当p假q真时，－2＜m＜3，m≥－1，此时－1≤m＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．。

(完整word版)数学选修2-1知识点总结

数学选修 2－1 知识点总结第一章：命题与逻辑构造知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句.真命题：判断为真的语句 . 假命题：判断为假的语句 . 2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件， q 称为命题的结论 .3、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互抗命题. 此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的抗命题。

若原命题为 “若 p ，则 q ”，它的抗命题为 “若q ，则 p ” .4、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，则这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题 . 若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则 q ” .5、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题。

此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若 q ，则p ”。

6、四种命题的真假性：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系： 12两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没相关系．7、若 pq ，则 p 是 q 的充足条件， q 是 p 的必需条件．若 pq ，则 p 是 q 的充要条件（充足必需条件）．8、用联络词“且”把命题p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题．p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作 p q ．用联络词“或”把命题当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时，p q 是假命题．对一个命题 p 通盘否认，获得一个新命题，记作 p ．若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题．9、短语“对全部的” 、“对随意一个”在逻辑中往常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中随意一个 x ，有 p x 成立”，记作“x， p x ”．短语“存在一个” 、“起码有一个”在逻辑中往常称为存在量词，用“ ”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“x， p x ”．10、全称命题p ： x ， p x ，它的否认 p ： x ，p x 。

高二数学选修21知识点总结材料(精华版)

适用标准文档高二数学选修2－ 1 知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论 .3、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互抗命题 . 此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的抗命题 .若原命题为“若p ，则 q ”，它的抗命题为“若 q ，则 p ”.4、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，则这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题 .若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题. 此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题 .若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则 p ”.6、四种命题的真假性：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；2两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没相关系．7、若 p q ，则 p 是 q 的充足条件， q 是 p 的必需条件．若 p q，则 p 是 q 的充要条件（充足必需条件）．8、用联络词“且”把命题p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题（一假必假）．用联络词“或”把命题 p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作 p q ．当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题（一真必真）；当 p 、q 两个命题都是假命题时，p q 是假命题．对一个命题 p 通盘否认，获得一个新命题，记作p ．若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题．9、短语“对全部的” 、“对随意一个”在逻辑中往常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中随意一个 x ，有p x成立”，记作“x， p x ”．短语“存在一个”、“起码有一个”在逻辑中往常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使p x成立”，记作“x，p x”．10、全称命题 p ：x，p x，它的否认p ：x，p x ．全称命题的否认是特称命题．11、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的地点焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21 a b 0y2x21 a b 0 a2b2a2b2范围a x a 且 b y b b x b 且 a y a1a,0、2a,010,a、20, a 极点10, b、20,b1b,0、2b,0轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点F1c,0、 F2c,0F10,c、 F20,c 焦距F1 F22c c2a2b2对称性对于 x 轴、y轴、原点对称离心率c b20e1 e12a a准线方程x a2ya2 c c13、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线的距离为 d2，则F1F2e ．d1d214、平面内与两个定点F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的地点焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21a0, b 0y2x21 a0, b 0 a2b2a2b2范围x a 或 x a ，y R y a 或 y a ， x R 极点1a,0、2 a,010, a 、20,a 轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点F1c,0、 F2 c,0F10, c 、 F20,c 焦距F1 F22c c2a2b2对称性对于 x 轴、y轴对称，对于原点中心对称c1b21离心率e 2 ea a准线方程x a2ya2 c c渐近线方程y b ax y x a b16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线的距离为F1F2e．d2，则d2d118、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．20、焦半径公式：若点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，则F x0p ；2p ；若点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，则F x02若点x0 , y0在抛物线 x2 2 py p0 上，焦点为 F ，则F y0p ；2p ．若点x0 , y0在抛物线 x2 2 py p0 上，焦点为 F ，则 F y0221、抛物线的几何性质：y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py标准方程p0p0p0p0图形极点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p, 0Fp, 0F0,pF0,p 2222准线方程xpxpypyp 2222离心率e1范围x0x0y0y0 22、空间向量的观点：1在空间，拥有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3 向量的大小称为向量的模（或长度），记作．4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．6方向同样且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法例．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量 a 、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线 C 就是a与 b的和，这类求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法例．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法例．即：在空间任取一点，作a ，b ，则 a b ．24、实数与空间向量a的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时， a 与 a 方向同样；当0 时， a 与 a 方向相反；当0 时， a 为零向量，记为 0 ． a 的长度是 a 的长度的倍．25、设，为实数，a，b是空间随意两个向量，则数乘运算知足分派律及结合律．分派律： a b a b ；联合律：a a ．26、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间随意两个向量 a ，b b0 ， a // b 的充要条件是存在实数，使 a b ．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对x，y ，使x y C ；或对空间任必定点，有xy C ；或若四点，，，C共面，则x y z C x y z 1 ．30、已知两个非零向量 a 和b，在空间任取一点，作 a ， b ，则称为向量 a ，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a, b0,．31、对于两个非零向量 a 和b ，若,，则向量，相互垂直，记作．a b2a b a b32、已知两个非零向量 a 和b ，则a b cos ab,称为 a ，的数目积，记作a b．即ba b a b cosab,．零向量与任何向量的数目积为0 ．33、a b等于 a 的长度 a 与b在 a 的方向上的投影 b cos a, b的乘积．34、若 a ，b为非零向量， e 为单位向量，则有 1 e a a e a cos a, e ；2 a b a b 0 ；3 a b a ba与 b同向， a a a 2， a a a ；a b a与 b反向4 cos a, b a b； 5 a b a b ．a b35、向量数乘积的运算律： 1 a b b a ；2a b a b a b；3 a b c a c b c ．36、若i， j ， k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一直量p ，存在有序实数组 x, y, z，使得 p xi yj zk ，称 xi ， yj， zk 为向量 p 在 i ， j ， k 上的重量．37、空间向量基本定理：若三个向量 a ，b， c 不共面，则对空间任一直量p ，存在实数组x, y, z ，使得p xa yb zc ．38、若三个向量 a ，b， c 不共面，则全部空间向量构成的会合是p p xa yb zc, x, y, z R．这个会合可看作是由向量 a ，b， c 生成的，a,b, c 称为空间的一个基底， a ，b， c 称为基向量．空间随意三个不共面的向量都能够构成空间的一个基底．39、设 e， e， e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 e1， e2， e3的公共起点为原点，分别以 e1， e2， e3的方向为 x 轴， y 轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系xyz ．则对于空间随意一个向量p ，必定能够把它平移，使它的起点与原点重合，获得向量p ．存在有序实数组 x, y, z，使得 p xe1ye2ze3．把x， y ，z称作向量p在单位正交基底e1， e2， e3下的坐标，记作 p x, y, z ．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz 中的坐标x, y, z．40、设 a x1, y1 , z1， b x2 , y2 , z2，则 1 a b x1x2 , y1y2 , z1z2．2 a b x1x2 , y1y2 , z1z2．3 a x1 , y1 , z1．4 a b x1x2y1 y2z1 z2．5 若 a 、b为非零向量，则 a b a b0x1 x2y1 y2z1z20．6 若b0 ，则a // b a b x1x2, y1y2 , z1z2．7 a a a x12y12z12．8cos a, b a b x1 x2y1 y2z1z2．a b x12y12z12x22y22z229x1, y1 , z1，x2 , y2 , z2，则d x 2 x 1222y 2 y 1z 2 z 1．41、在空间中，取必定点作为基点，那么空间中随意一点的地点能够用向量来表示．向量称为点的地点向量．42、空间中随意一条直线 l 的地点能够由 l 上一个定点以及一个定方向确立．点是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线 l 上的随意一点，有ta ，这样点和向量 a 不单能够确立直线 l 的地点，还能够详细表示出直线 l 上的随意一点．43、空间中平面的地点能够由内的两条订交直线来确立．设这两条订交直线订交于点，它们的方向向量分别为 a ，b．为平面上随意一点，存在有序实数对 x, y ，使得xa yb ，这样点与向量 a ，b就确立了平面的地点．44、直线 l 垂直，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a， b 的方向向量分别为 a ，b，则a // b a // ba b R ，a b a b a b 0 ．46、若直线a的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 a，则 a //a//a n a n 0 ， a a a // n an ．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为 a ，b，则//a//ba b ， a b a b0 ．48、设异面直线a， b 的夹角为，方向向量为 a ，b，其夹角为，则有cos cos a b．a b49、设直线 l 的方向向量为l，平面的法向量为 n ，l 与所成的角为，l与 n的夹角为，则有 sin cosl nl ．n50、设 n1， n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量 n1， n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则 cos n1n2．n1n251、点与点之间的距离能够转变为两点对应向量的模计算．52、在直线 l 上找一点，过定点且垂直于直线 l 的向量为 n ，则定点到直线l 的距离为d cos,nnn．53、点是平面外一点，是平面内的必定点， n 为平面的一个法向量，则点到平面的距离为。

高二数学选修21知识点总结计划材料精华版

适用文档高二数学选修2－ 1 知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论 .3、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互抗命题 . 此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的抗命题 .若原命题为“若p ，则 q ”，它的抗命题为“若 q ，则 p ”.4、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，则这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题 .若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题. 此中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题 .若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则 p ”.6、四种命题的真假性：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；2两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没相关系．7、若 p q ，则 p 是 q 的充足条件， q 是 p 的必需条件．若 p q，则 p 是 q 的充要条件（充足必需条件）．8、用联络词“且”把命题p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题（一假必假）．用联络词“或”把命题 p 和命题 q 联络起来，获得一个新命题，记作 p q ．当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题（一真必真）；当 p 、q 两个命题都是假命题时，p q 是假命题．对一个命题 p 通盘否认，获得一个新命题，记作p ．若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题．9、短语“对全部的” 、“对随意一个”在逻辑中往常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中随意一个 x ，有p x成立”，记作“x， p x ”．短语“存在一个”、“起码有一个”在逻辑中往常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使p x成立”，记作“x，p x”．10、全称命题 p ：x，p x，它的否认p ：x，p x ．全称命题的否认是特称命题．11、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的地点焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21 a b 0y2x21 a b 0 a2b2a2b2范围a x a 且 b y b b x b 且 a y a1a,0、2a,010,a、20, a 极点10, b、20,b1b,0、2b,0轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点F1c,0、 F2c,0F10,c、 F20,c 焦距F1 F22c c2a2b2对称性对于 x 轴、y轴、原点对称离心率c b20e1 e12a a准线方程x a2ya2 c c13、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线的距离为 d2，则F1F2e ．d1d214、平面内与两个定点F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的地点焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21a0, b 0y2x21 a0, b 0 a2b2a2b2范围x a 或 x a ，y R y a 或 y a ， x R 极点1a,0、2 a,010, a 、20,a 轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点F1c,0、 F2 c,0F10, c 、 F20,c 焦距F1 F22c c2a2b2对称性对于 x 轴、y轴对称，对于原点中心对称c1b21离心率e 2 ea a准线方程x a2ya2 c c渐近线方程y b ax y x a b16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线的距离为F1F2e．d2，则d2d118、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F称为抛物线的焦点，定直线 l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．20、焦半径公式：p ；若点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，则F x02p ；若点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，则F x02若点x0 , y0在抛物线 x2 2 py p0 上，焦点为 F ，则F y0p ；2p ．若点x0 , y0在抛物线 x2 2 py p0 上，焦点为 F ，则 F y0221、抛物线的几何性质：y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py标准方程p0p0p0p0图形极点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p, 0Fp, 0 F 0,pF 0,p 2222准线方程xpxpypyp 2222离心率 e 1范围x0x0y0y0 22、空间向量的观点：1在空间，拥有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3 向量的大小称为向量的模（或长度），记作．4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．6方向同样且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法例．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量 a 、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线 C 就是a与 b的和，这类求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法例．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法例．即：在空间任取一点，作a ，b ，则 a b ．24、实数与空间向量a的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时， a 与 a 方向同样；当0 时， a 与 a 方向相反；当0 时， a 为零向量，记为 0 ． a 的长度是 a 的长度的倍．25、设，为实数，a，b是空间随意两个向量，则数乘运算知足分派律及结合律．分派律： a b a b ；联合律：a a ．26、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间随意两个向量 a ，b b0 ， a // b 的充要条件是存在实数，使 a b ．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C ；或对空间任必定点，有x y C ；或若四点，，， C 共面，则x y z C x y z 1 ．30、已知两个非零向量 a 和b，在空间任取一点，作 a ， b ，则称为向量 a ，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a, b0,．31、对于两个非零向量 a 和b，若 a, b，则向量 a ，b相互垂直，记作a b ．232、已知两个非零向量 a 和b，则a b cos ab, 称为a，b 的数目积，记作 a b ．即a b a b cosab,．零向量与任何向量的数目积为0 ．33、a b等于 a 的长度 a 与b在 a 的方向上的投影 b cos a, b的乘积．34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1 e a a e a cos a, e ；2 a b a b 0 ；3 a b a ba与 b同向， a a a 2， a a a ；a b a与 b反向4 cos a, b a b ；5 a b a b ．a b35、向量数乘积的运算律：1a b b a ；2 a b a b a b；3 a b c a c b c ．36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一直量p ，存在有序实数组 x, y, z ，使得p xi yj zk ，称 xi ， yj， zk 为向量 p 在 i ， j ， k 上的重量．37、空间向量基本定理：若三个向量 a ，b， c 不共面，则对空间任一直量p ，存在实数组x, y, z，使得 p xa yb zc ．38、若三个向量 a ，b， c 不共面，则全部空间向量构成的会合是p p xa yb zc, x, y, z R ．这个会合可看作是由向量 a ，b， c 生成的，a,b, c称为空间的一个基底， a ，b， c 称为基向量．空间随意三个不共面的向量都能够构成空间的一个基底．39、设 e， e， e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 e1， e2， e3的公共起点为原点，分别以 e1， e2， e3的方向为 x 轴， y 轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系xyz ．则对于空间随意一个向量p ，必定能够把它平移，使它的起点与原点重合，获得向量p ．存在有序实数组 x, y, z，使得 p xe1ye2ze3．把x， y ，z称作向量p在单位正交基底e1， e2， e3下的坐标，记作 p x, y, z ．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz 中的坐标x, y, z．40、设 a x1, y1 , z1， b x2 , y2 , z2，则 1 a b x1x2 , y1y2 , z1z2．2 a b x1x2 , y1y2 , z1z2．3 a x1 , y1 , z1．4 a b x1x2y1 y2z1 z2．5 若 a 、b为非零向量，则 a b a b0x1 x2y1 y2z1z20．6 若b0 ，则a // b a b x1x2, y1y2 , z1z2．7 a a a x12y12z12．8cos a, b a b x1 x2y1 y2z1z2．a b x12y12z12x22y22z229x1, y1 , z1，x2 , y2 , z2，则d x 2 x 1222y 2 y 1z 2 z 1．41、在空间中，取必定点作为基点，那么空间中随意一点的地点能够用向量来表示．向量称为点的地点向量．42、空间中随意一条直线 l 的地点能够由 l 上一个定点以及一个定方向确立．点是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线 l 上的随意一点，有ta ，这样点和向量 a 不单能够确立直线 l 的地点，还能够详细表示出直线 l 上的随意一点．43、空间中平面的地点能够由内的两条订交直线来确立．设这两条订交直线订交于点，它们的方向向量分别为 a ，b．为平面上随意一点，存在有序实数对 x, y ，使得xa yb ，这样点与向量 a ，b就确立了平面的地点．44、直线 l 垂直，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a， b 的方向向量分别为 a ，b，则a // b a // ba b R ，a b a b a b 0 ．46、若直线a的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 a，则 a //a//a n a n 0 ， a a a // n an ．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为 a ，b，则//a//ba b ， a b a b0 ．48、设异面直线a， b 的夹角为，方向向量为 a ，b，其夹角为，则有cos cos a b．a b49、设直线 l 的方向向量为l，平面的法向量为 n ，l 与所成的角为，l与 n的夹角为，则有 sin cosl nl ．n50、设 n1， n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量 n1， n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则 cos n1n2．n1n251、点与点之间的距离能够转变为两点对应向量的模计算．52、在直线 l 上找一点，过定点且垂直于直线 l 的向量为 n ，则定点到直线l 的距离为d cos,nnn．53、点是平面外一点，是平面内的必定点， n 为平面的一个法向量，则点到平面的距离为。