高中数学教师招聘测试试卷

舟山校区高中数学教师招聘测试卷本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高343V R π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 11221()3V h S S S S =棱锥的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A.B. ∅ B. }2{C. }5{D. }5,2{2. 复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是( )A.2a =-B.3a =C.32a a ==-或D. 34a a ==-或3. 甲,乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲,乙能通过面试的概率都为23,则面试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ是( ) A.43B.119 D.894. 右面的程序框图输出的结果为（ ）5.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥其中假命题的个数为（ ）6. 已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式可能是（ ）A ．()x x x f ln 22-=B ．()x x x f ln 2-=C ．||ln 2||)(x x x f -=D ．||ln ||)(x x x f -=7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是( )（第6题A.8aB. 9SC. 17aD. 17S8. 已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）A 2．3C ．2 D ．39.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则 A.B.()()1212,p p E E ξξ>< B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.11. 设函数21)(xx f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-12.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a的取值范围是________.13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 . 14．函数sin cos ()sin 2x xf x x e+=+的最大值与最小值之差等于 ．15. 已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数,数列{}n x 是一个公差为2的等差数列满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=,则2011x 的值16. 如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OC OD u u u r u u u rg的取值范围是 .17. 设集合A (p ,q )=2{R |0}x x px q ∈++=,当实数,p q 取遍[]1,1-的所有值时，所有集合A (p ,q )的并集为 ．三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．18. （本小题14分）已知函数2()2sin ()3cos 21[,]442f x x x x πππ=+--∈(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若不等式()2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立,求实数m 的取值范围.19．（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，0//,90AD BC ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==,3CD =．（I ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（II ）若二面角M BQ C --为30°，设PM tMC =,试确定t 的值20. （本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S (*n N ∈),11a =且1102n n n S S a -⋅+=(1)求数列{}n a 的通项公式;231111(2):*,1111n n N n S S S +∈⋅⋅>+---L 求证对任意的不等式成立.21．(本题满分15分)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限.（１）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标； （２）（３） 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.22．（本小题15分）已知函数2()ln f x ax x=+(a ∈R).(1)当12a =时，求f (x )在区间[]1,e 上的最大值和最小值；(2)如果函数12(),(),()g x f x f x ，在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，那么就称)(x g 为)x (f ),x (f 21的“活动函数”．已知函数2221211()()2(1)ln ,()222f x a x ax a x f x x ax =-++-=+.若在区间()1+∞，上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，求a 的取值范围;2013年高考模拟试卷数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

第12题答案：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上面那个不是18. （本小题14分）(1) ∵2()2sin ()21[,]442f x x x x πππ=+-∈，在的增区间()2sin(2)5322,,2245,7412f x x k x k k Z x x πππππππππ∴=-⎡⎤-+≤≤+∈∈⎢⎣⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦Q …………分且…………分(2)()2[,]42f x m x ππ-<∈Q 在上恒成立19. （本小题14分）（I ）∵12⊂12⊂(0,0,1)n =r(0,0,0)Q P B (C -(,,)M x y z(,,PM x y z =u u u ur (1,)MC x y z =---u u u u r PM tMC =u u u u r u u u ur (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩QB =u u ur (,,)111t QM t t t =-+++u u u ur )m t =ur cos302n m n m ︒⋅===r u rr u r 3t =（本小题14分）11(1)2n n n n S S S S --=-21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。

满分15分。

（I ）设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()22222222220ba k x a kmx a m ab +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由点P 在第一象限，故点P的坐标为22⎛⎫⎝；（II ）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l的距离d =，整理得22222222d b b a a k k =+++，因为22222b a k ab k+≥，所以2222222222222a b b b a abb a a k k ≤=-+++++，当且仅当2bk a=时等号成立， 所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -. 22．（本小题15分）解：（1）当12a =时，21()ln 2f x x x =+Q ， 211()x f x x x x+'∴=+=；…………2分对于[]1,x e ∈，有()0f x '>，∴()f x 在区间[1, e]上为增函数，…………3分∴2max ()()12e f x f e ==+，min 1()(1)2f x f ==. …………5分（2）①在区间（1，+∞）上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，则12()()()f x f x f x <<令221()()()()2ln 2p x f x f x a x ax x =-=--+<0，对(1,)x ∈+∞恒成立， 且1()()()h x f x f x =+=2212ln 2x ax a x -+-<0对(1,)x ∈+∞恒成立， ∵21(21)21(1)[(21)1]`()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x--+---=--+==(*) …………7分 1）若12a >，令`()0p x =，得极值点11x =，2121x a =-， 当211x x >=，即112a <<时，在（2x ，+∞)上有`()0p x >，此时)(x p 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有()p x ∈(2()p x ，+∞)，不合题意；…………9分当211x x <=，即1a ≥时，同理可知，)(x p 在区间(1，+∞)上，有)(x p ∈()1(p ，+∞)，也不合题意；…………11分2） 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1，+∞)上恒有`()0p x <， 从而)(x p 在区间(1，+∞)上是减函数； 要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足1(1)02p a =--≤12a ⇒≥-， 所以21-≤a ≤21.…………12分 又因为2()2a h x x a x =-+-=2222()x ax a x a x x-+---=<0, ()h x 在(1, +∞)上为减函数， 1()(1)202h x h a ∴<=-+≤， 14a ∴≤…………14分综合可知a 的范围是11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………15分。