三阶幻方问题的代数解法_郑长波
三阶幻方的解法与数学原理
三阶幻方的解法与数学原理A magic square is a square grid filled with numbers in such a way that the sum of the numbers in each row, column, and diagonal is the same. The most well-known magic squares are the 3x3 squares, also known as the 3rd order magic squares.幻方是一个填满了数字的正方形网格，以使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3幻方，也称为三阶幻方。
The 3x3 magic square has been a topic of fascination for mathematicians, artists, and philosophers for centuries. It has a long history dating back to ancient China, where it was associated with the Lo Shu square and the concept of cosmic order and harmony.几个世纪以来，三阶幻方一直是数学家、艺术家和哲学家的研究课题。
它有着悠久的历史，追溯至古代中国，与洛书方关联，并与宇宙秩序和和谐的概念有着密切联系。
The study of 3x3 magic squares involves a combination of mathematical principles, logical reasoning, and a bit of creativity. Itrequires careful manipulation of numbers to ensure that the sum in every direction is the same, which can be both challenging and rewarding.三阶幻方的研究涉及到数学原理、逻辑推理以及一些创造力的结合。
三阶幻方问题的代数解法
九子斜排， 上下对易， 左右相反， 四维挺出。 图 1 为三阶幻方的一种形式， 或称为幻方的
［1 － 7 ］ ， 一个解， 后人对幻方的研究也一直没有停止 ［8 － 15 ］ ， 对幻方的解法一直在改进 那么三阶幻方是
பைடு நூலகம்
否存在其他解？ 下面采用线性代数办法解决这个 问题。
1
三阶幻方的解
b， c， d， e， f， g， h， i｝ = ｛ 1， 2， 3， 4， 5， 记 M = ｛ a， 6， 7， 8， 9｝ ， 设三阶幻方的一种形式为图 5 ， 易知 a， b， c， d， e， f， g， h， i 诸元满足下列方程组： a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15 a + d + g = 15 b + e + h = 15 c + f + i = 15 a + e + i = 15 c + e + g = 15 对其增广矩阵 B 实施初等变换， 得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 1 1 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 1 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 1 1 15 B= → 1 0 0 1 0 0 1 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 15 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 0 0 1 0 1 0 1 0 0 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 －1 －1 0 1 1 0 0 1 －1 －2 0 2 1 0 0 100 －5 －10 5 = B' （ 1） 20 15 0 0
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方问题的代数解法
郑长波;李晓毅
【期刊名称】《沈阳航空航天大学学报》
【年(卷),期】2012(029)002
【摘要】介绍了中国古代数学家甄鸾和杨辉关于三阶幻方的一个构造方法.用线性代数的方法构造三阶幻方约束方程组时,当自由未知量分别取1,2,3,…,9时,对应的方程组共有56组整数解,为了找出幻方的全部解,需要确定自由未知量取值的限制条件,由此对方程组中的自由未知量的取值进行了分类探讨,进而求出三阶幻方的全部解.利用线性代数的方法去探求三阶幻方的解法种数显然不是最简捷的,但却有完备的理论做保证.此外,提供了一个如何利用线性代数知识来解决实际问题的实例,并简介了三阶幻方所具有的奇妙的特性.
【总页数】4页(P89-92)
【作者】郑长波;李晓毅
【作者单位】大连海洋大学,辽宁大连116300;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034
【正文语种】中文
【中图分类】O157
【相关文献】
1.大禹治水与r三阶幻方 [J], 蒋居标
2.构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法 [J], 詹森;王辉丰
3.求解三阶幻方问题的双参数方法 [J], 杨之
4.三阶幻方问题的代数解法 [J], 郑长波;李晓毅
5.行和、列和均为素数的三阶幻方问题探究 [J], 樊惟媛
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三阶幻方
在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
在4×4（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4×4方格内填上十六个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
解三阶幻方，以1…9数字为例Array
先将图形变化成下图，再将1…9数字如图填入
通过上下左右的对调，完成幻方。
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方是有趣的数学难题，也可以用代数的方法来解题。
代数解法更加简便，有助于省
去计算细节，同时也会使解题过程更加有趣。
首先，我们可以先创建一个空三阶方阵，这样，我们可以将其看做一个接受未知数的数学
模型。
接下来，我们可以用等式和未知数来填充这个空矩阵。
这里，三四个未知数即为这
个空方阵中所有元素的值，这里可以使用九个等式来定义他们，比如行和列之和为n的等式。
然后，我们可以用解方程的方法来求解三阶矩阵的所有解。
我们可以使用三元一次方程组，也就是九个等式，和我们提前定义的未知数的关系。
通过求解方程组，即可解出所有的解，如此也就简化了三阶迷宫问题的解法。
最后，我们可以利用代数手段轻松解决三元幻方问题。
这种方法减少了大量无谓的计算，
可以使解决三阶迷宫问题变得更加轻松。
加上高中学过的数学知识，就可以很轻易地解决
这样一个有趣的数学难题了。
幻方做题技巧
幻方做题技巧幻方啊，就像一个神秘的数字魔法阵。
咱要解开它的奥秘，可得有点小窍门。
先说说三阶幻方吧。
这就好比是幻方里的小老弟，简单又有趣。
你得知道幻和这个概念，啥是幻和呢？就像是这个幻方里的一个小目标。
对于三阶幻方来说，它的幻和特别好算，你把这九个数里最大的数加上最小的数，然后乘以个1.5就成了。
比如说1到9这九个数，最大的是9，最小的是1，那幻和就是(9 + 1)×1.5 = 15。
知道了幻和，就像手里有了一把小钥匙。
咱再看这九个数怎么往幻方里填。
中间数那可是个关键的主儿，就像一个小班长，在三阶幻方里，这中间数就得填5。
为啥呢？因为它在这堆数里位置特殊呗。
你把5填在中间，就像在这个魔法阵的中心定了个桩。
然后呢，你就可以试着把和为10的数对往幻方里填，像1和9，2和8，3和7，4和6，就像给小朋友找小伙伴，一对一对的。
不过这填的时候也得有点小技巧，不能瞎填。
你可以先在角上找个位置给1，为啥是角上呢？角上的数啊，它要跟更多的数相加凑幻和呢。
你把1填在角上，那跟1凑幻和15的数就有9和5了，这样就比较容易确定其他数的位置。
再讲讲五阶幻方。
这五阶幻方可比三阶的复杂点了，就像从小学的数学题跳到了初中的难度。
这时候幻和的计算也有点不一样了。
你得把这25个数里最小的数加上最大的数，然后乘以个2.5。
这时候填数也有个小办法。
你可以先把1填在最上面一行中间的位置，就像在舞台的正中央先放了个小演员。
然后呢，你就按照斜着往上走的规则填数。
要是走到幻方的外面了，你就像这个数字坐了时光机一样，从幻方的对面钻出来接着填。
要是斜着走的位置已经被占了，那这个数字就乖乖地填在这个被占数字的下面，就像排排坐吃果果一样。
还有一种幻方是偶数阶幻方。
偶数阶幻方就像两个好朋友手拉手。
比如说四阶幻方，你可以把这个幻方分成四个小方阵。
先把1到16这16个数按顺序填进去，然后呢，你就像个调皮的小精灵，把对角线上的数进行交换。
把左上角小方阵和右下角小方阵里的对角线的数交换，右上角小方阵和左下角小方阵里的对角线的数也交换。
构造三阶幻方的方法
构造三阶幻方的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊构造三阶幻方的方法。
首先，构造三阶幻方有特定的步骤哦。
先把数字 1 放在第一行中间位置，然后按照斜上方依次填入数字，若遇到边界，就把下一个数字填到相对的那一侧。
就好像走迷宫一样，可有意思啦！但要注意哦，填到已有数字的位置时，就要填到它下面啦。
这步骤简单吧？嘿嘿，是不是觉得挺有趣的。
然后说说这过程中的安全性和稳定性。
就像建房子，每一块砖都要放对位置，才能稳稳当当。
构造三阶幻方也是这样，只要按照规则来，就不会出错，安安稳稳地就把幻方给造出来啦，多靠谱呀！
三阶幻方的应用场景那可多啦！比如在数学游戏中，它能带来很多乐趣，让我们玩得不亦乐乎。
它的优势也很明显呀，能锻炼我们的思维能力，就像给大脑做了一场健身操！
我给大家举个实际案例吧。
在一次数学竞赛中，有个题目就是关于三阶幻方的，那些掌握了构造方法的同学，那可真是如鱼得水呀，轻松就解决了问题，看到他们得意的样子，就知道效果有多好啦！
所以呀，构造三阶幻方真的是个超棒的数学技巧，它既能带来乐趣，又能提升我们的能力，为啥不赶紧学起来呢？。
罗伯法三阶幻方的解法
罗伯法三阶幻方的解法罗伯法三阶幻方又被称为古希腊三阶幻方、魔方三阶、6面魔方，是一种具有迷宫结构的拼图游戏，也是一种数学游戏。
2014年，在上海的世界罗伯法幻方大赛上，由李志杰率领的中国队获得第一名，中国队在罗伯法三阶幻方的解法上做出了重大贡献。
经过几十年的发展，罗伯法三阶幻方的解法已经被大量研究，学者们建立了多种不同的解法。
罗伯法三阶幻方的解法基本上分为两种：一种是机械解法，它是基于特定的机械设计，需要利用某种机械原理来实现；另一种则是数学解法，它是基于罗伯法数学原理的，可以通过归纳推理的方法来解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。
机械解法是通过特定的机械设计来解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。
机械解法是通过分析幻方的拼图结构，利用特定的机械设计，将其有序地拼在一起。
最常见的机械解法是“魔方法”，它是由美国的发明家佩德罗卡洛斯罗伯提出的。
这种解法的优点在于对各个拼图部分的步骤有严格的规律性，可以加快解法的步骤，减少记忆量，从而使用户能够更快地完成拼图任务。
另一种是数学解法，它是基于罗伯法数学原理的，可以解决罗伯法三阶幻方的拼图问题。
数学解法可以通过推断，归纳，抽象，求解等数学概念来对幻方进行解题。
我们可以列出幻方的每一步，依次推导，将拼图的步骤一一归纳，然后抽象出其中的规律，最终达到目的。
无论是机械解法还是数学解法，都是解决罗伯法三阶幻方拼图问题的有效方法。
虽然机械解法比数学解法更快捷，但是多数情况下，由于拼图的复杂性，很难找出机械解法的结论。
而数学解法更加准确，具有普遍性，可以应用于任何复杂的拼图。
从上述分析可以看出，在解决罗伯法三阶幻方拼图问题时，机械解法和数学解法都具有很强的有效性。
机械解法可以更快速地拼出拼图，但是多数情况下，复杂的拼图任务都是无法用机械解法来解决的，而数学解法则更加准确，真正做到全部拼图的完成。
因此，为了更好地解决罗伯法三阶幻方的拼图问题，更好地发挥机械解法和数学解法的优势，研究者们需要更深入地研究罗伯法三阶幻方，进一步探索其机械解法和数学解法的联系，发展出更多新的解法，以期达到更高的解题效率。
三阶幻方例题和解法
三阶幻方例题和解法
三阶幻方是一个3x3的方阵，其中填充了1到9的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
下面是一个三阶幻方的例题及解法：
例题：
2 7 6。
9 5 1。
4 3 8。
解法：
1. 首先，我们可以计算每一行、每一列和对角线的和。
根据幻方的定义，它们应该相等。
行和，2 + 7 + 6 = 15。
列和，2 + 9 + 4 = 15。
对角线和，2 + 5 + 8 = 15。
2. 接下来，我们可以观察幻方中已经填充的数字，找出缺失的数字。
缺失的数字为 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9。
3. 由于幻方中的数字范围是1到9，我们可以尝试填充缺失的数字，使得每一行、每一列和对角线的和都等于15。
填充1到9的数字，确保每个数字只出现一次。
一种可能的解法如下：
2 7 6。
9 5 1。
4 3 8。
这个解法满足每一行、每一列和对角线的和都等于15。
需要注意的是，这只是一个例题的解法，幻方有多个解。
通过不同的排列和旋转，可以得到其他满足条件的幻方。
三阶幻方的解题方法
三阶幻方的解题方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方的解题方法，这可有意思啦！三阶幻方呢，就像是一个神秘的小魔法阵。
你看啊，它就像是一个九宫格，要把一些数字巧妙地放进去，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这可不是随便乱放就能行的哦！咱先来说说怎么开始。
就好像你要搭积木，得先找到那个最关键的基石。
在三阶幻方里，中间那个格子就特别重要。
一般来说，先把中间的数字确定好，就像是给这个魔法阵找到了中心一样。
然后呢，你可以试着从一些比较特殊的数字入手。
比如说，最小的数字或者最大的数字，把它们放在合适的位置。
这就好比你挑衣服，先选一件最喜欢的，其他的再慢慢搭配嘛。
接着呀，你得不断地尝试和调整。
这可不是一蹴而就的事儿，就跟你走路一样，可能会走几步弯路，但最后总能找到正确的方向。
有时候你觉得这个数字放这儿挺好，可再一看，哎呀，不行，得换个地方。
别着急，慢慢来，就像解开一个小谜题。
你想想看，这三阶幻方不就像是一个小小的智力挑战游戏吗？每次尝试都是一次冒险，每次调整都是一次探索。
当你终于找到了那个完美的组合，哇，那种成就感，简直比吃了蜜还甜！比如说，你看这个三阶幻方，一开始可能乱七八糟的，数字们就像调皮的小孩子到处乱跑。
但你耐心地哄着它们，让它们一个个找到自己的位置，最后整整齐齐的，多棒呀！而且哦，解三阶幻方还能锻炼你的大脑呢！让你的思维变得更敏捷，就像给大脑做了一次健身操。
这多好呀，既能玩得开心，又能变得更聪明。
所以啊，大家别害怕三阶幻方，大胆地去尝试吧！别觉得它很难，只要你用心，肯定能搞定它。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但当你站在山顶俯瞰风景的时候，一切都值得啦！三阶幻方就是这样一个有趣又有挑战的东西，等着你们去征服它呢！。
四年级三阶幻方题目
四年级三阶幻方题目一、三阶幻方基础概念。
1. 定义。
- 三阶幻方是一个3×3的矩阵，其每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这个相等的和称为幻和。
2. 幻和的计算方法。
- 对于三阶幻方，由于1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，而三阶幻方三行（或三列）的数字之和相等，所以幻和为45÷3 = 15。
二、题目及解析。
题目1。
- 在一个三阶幻方中，已知左上角的数字是1，右上角的数字是3，求中间格的数字。
- 解析：- 设中间格数字为x。
根据三阶幻方幻和为15，先看第一行1 + a+3 = 15，可得a = 11。
再看对角线1+x + 7 = 15（因为1 - 5 - 9是一条对角线，幻和为15，所以右下角是9，那么与1和9构成对角线的中间数x = 5），解得x = 5。
题目2。
- 三阶幻方中，最上面一行中间的数字是2，最下面一行中间的数字是6，求这个幻方的幻和。
- 解析：- 设左上角数字为a，右上角数字为b。
因为幻方每行每列及对角线和相等。
第一行a+2 + b =幻和，第三行c + 6+d =幻和。
又因为中间列2 + 5+6 = 13（中间数是5，因为1 - 5 - 9是中间列常见组合满足幻和15，这里先假设幻和为15来分析数字关系）。
由于幻和相等，所以幻和为15。
再验证，设a = 4，b = 9，c = 7，d = 2，满足条件。
题目3。
- 已知三阶幻方的幻和是15，且左上角数字为2，求左下角数字。
- 解析：- 设左下角数字为x。
因为幻和为15，第一列2 + y+z = 15。
对角线2 + 5+8 = 15（中间数5，根据幻和计算中间数为15÷3 = 5）。
第三列x+w + 8 = 15。
又因为第二行y+5 + w = 15。
由幻和15可知，第一行2+7+6 = 15，所以第三列x = 4时，4+3+8 = 15。
题目4。
- 三阶幻方中，中间数是5，左上角数字是3，求右上角数字。
小学奥数专题巧解三阶幻方A
用3～11这九个数补全 图2中的幻方，并求幻和。
5
2 056
图1
图3
04
在图3的空格中填入不大
于15且互不相同的自然
数使每一横行、竖行和
对角线上的三个数之和
都等于30。
9
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上 1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的 3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。
一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续 的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任 一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和 叫做幻和，n叫做阶. .
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填 上九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等， 这样的3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
这九
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
01
把3、7、11、15、19、 23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构 造反三阶幻方。
三阶幻方的9条规律规律
三阶幻方的9条规律引言幻方是一种古老的数学游戏，是一种$n\t i me sn$（nx n）矩阵，其中每个数字都是独一无二的，并且所有行、列、对角线上的数字之和都相等。
三阶幻方是其中的一种特殊形式，指的是$3\t im es3$（3x3）的矩阵。
本文将介绍三阶幻方的九条规律，帮助读者更好地理解和解决这种数学谜题。
1.规律一：幻方矩阵中的数字范围在三阶幻方中，每个格子中的数字范围是1到9，且每个数字只能在幻方的矩阵中出现一次。
2.规律二：幻方矩阵的行、列、对角线之和相等在三阶幻方中，每行、每列、以及两条对角线（正对角线和反对角线）上的数字之和都相等，该和被称为幻方的常数。
这是幻方的核心特征。
3.规律三：中心格的数字在三阶幻方中，中心格的数字是常数的一半加一。
例如，如果幻方的常数是15，那么中心格的数字就是$(15+1)/2=8$。
4.规律四：对角线上的数字之和对于任意一个三阶幻方，其两条对角线上的数字之和必然等于常数的一半。
这是因为两条对角线上的数字都是幻方中的唯一数字。
5.规律五：对称性三阶幻方具有镜像对称性。
即，将幻方矩阵沿着中心竖直线进行翻转，得到的幻方矩阵仍然是一个有效的幻方。
6.规律六：角落和边上的数字在三阶幻方中，角落和边上的数字之和等于所有数字之和的三分之一。
这是因为幻方中的每个数字都在三行三列中出现了三次，而角落和边上的数字没有重复。
7.规律七：幻方的变体在三阶幻方中，存在多种变体。
人们可以通过改变三阶幻方中的数字排列顺序，得到多个不同的解。
这些变体仍然满足幻方的所有规律。
8.规律八：幻方的解法解决三阶幻方的常见方法是通过试错法。
从幻方中的一个已知数字开始，逐步填充其他格子，遵循幻方的规则，直至填满所有的格子。
9.规律九：幻方的意义三阶幻方不仅仅是数学谜题，它还具有一定的文化和历史意义。
在古代，幻方被视为一种神秘的数学游戏。
人们相信幻方可以带来好运和祈福，因此它广泛应用于建筑、雕塑和绘画等艺术形式中。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三年级三阶幻方教案
三年级三阶幻方教案一、引言幻方是一种特殊的正方形矩阵，其中每一行、每一列和对角线的元素之和相等。
在数学教育中，通过幻方的学习和探索，可以培养学生的逻辑思维、数学运算能力、空间认知能力等。
本文档将介绍三年级学生学习三阶幻方的教学方法和相关练习。
二、教学目标1.了解幻方的定义和特点；2.能够构造和解答三阶幻方；3.培养学生的逻辑思维和数学运算能力。
三、教学内容1.幻方的概念和特点–定义：幻方是一个由数字组成的正方形矩阵，其中每一行、每一列和对角线的元素之和相等。
–特点：幻方中的数字范围从1到n²，n为幻方的阶数，每个数字只能使用一次。
2.三阶幻方的构造方法–基本构造法：从1开始，依次填入幻方的每个位置。
| 2 | 7 | 6 ||---|---|---|| 9 | 5 | 1 || 4 | 3 | 8 |–数学公式法：根据规律填入幻方的每个位置。
| 8 | 1 | 6 ||---|---|---|| 3 | 5 | 7 || 4 | 9 | 2 |3.三阶幻方的解答方法–列消元法：根据幻方的特点，将三阶幻方的第一列转化为123（n²的每个数字只能使用一次）。
–辅助数法：根据幻方的特点，通过填入辅助数字来解答幻方。
例如，将幻方的第一行填入1,2,3，然后推导出其他位置的数字。
四、教学步骤1.引入幻方的概念和特点，让学生了解幻方的定义和规律。
2.展示三阶幻方的不同构造方法，引导学生思考幻方的构造规律。
3.分组活动：让学生用基本构造法和数学公式法进行幻方的构造，并分享自己的思路和结果。
4.学生自主解答三阶幻方的解答方法，通过列消元法和辅助数法进行解答。
5.分组对练：学生进行三阶幻方的解答比赛，以提高学生的逻辑思维和解题速度。
6.结束活动：复习幻方的构造和解答方法，并对学生的表现进行评价和总结。
五、教学评价方法1.老师观察学生的课堂表现，包括学生对幻方概念的理解、构造方法的掌握和解答能力的运用。
三阶幻方的特征
三阶幻方的特征嘿，朋友们！今天咱来唠唠三阶幻方的那些事儿。
你看啊，这三阶幻方就像是一个神秘又有趣的小世界。
咱先说说它的特征哈。
想象一下，三阶幻方就好像是一个特别有秩序的小团体。
每个数字都有它自己的位置，不能乱来。
就好比咱一群人去参加活动，都得按安排好的座位坐，不能瞎坐。
有一次我和几个朋友一起研究三阶幻方呢。
我就说：“你们看，这每行、每列还有对角线上的数字加起来都得是一个固定的值，多神奇啊！”朋友A 就挠挠头说：“哎呀，还真是，这也太有意思了。
”朋友B 接着说：“可不是嘛，就像我们玩游戏有规则一样，这个三阶幻方也有它自己的规则呢。
”然后我们就开始试着自己填三阶幻方。
我一边填一边念叨：“哎呀，这个数字得放这儿，那个数字得放那儿。
”朋友A 就笑我：“你这跟个老学究似的。
”我白了他一眼说：“哼，我这是认真！”在填的过程中，我们发现要让这些数字乖乖听话还真不容易。
有时候一个数字放错了，全盘都得重新来。
就像我们走路一样，一步错了，可能就得绕好大一个弯才能回到正轨。
三阶幻方里的数字啊，它们之间好像有一种奇妙的联系。
每行每列都相互关联着，一个动了，其他的也得跟着变。
这就跟咱人与人之间的关系似的，一个人有点啥事儿，周围的人可能都得受影响。
经过一番折腾，我们终于填出了一个完美的三阶幻方。
那感觉，就像攻克了一个大难题，特别有成就感。
总之呢，三阶幻方就是这么个有趣又有点神秘的东西。
它有自己独特的规则和特征，让我们在探索的过程中充满了乐趣和惊喜。
朋友们，你们也快来试试吧，感受一下这个神奇小世界的魅力！。
三阶幻方原理
三阶幻方原理幻方，是一种特殊的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
三阶幻方，即由3个行、3个列和两个对角线组成的方阵。
在这篇文章中，我将探讨三阶幻方的原理及其特点。
三阶幻方是最简单的幻方类型，也是最早被人们研究的。
它由3个行、3个列和两个对角线组成，共有9个格子。
每个格子都填充一个不同的数字，从1到9，使得每行、每列和两个对角线上的数字之和都相等。
在构建三阶幻方时，有一些基本原则需要遵循。
首先，中间格子必须填充数字5，这是因为5是9个数字的中间值，同时也是每行、每列和对角线之和的目标值。
其次，角落格子的数字应该是连续的，即1和9、3和7应该成对出现。
最后，边缘格子的数字应该是交替的，即2、4、6和8。
在满足这些基本原则的前提下，我们可以通过不同的排列方式构建不同的三阶幻方。
根据排列的不同，三阶幻方可以分为多种类型。
其中，最基本的类型是顺时针和逆时针旋转的幻方，它们的构建方式相似，只是数字的排列顺序不同。
顺时针旋转的幻方的构建方式如下：1 9 72 5 63 4 8逆时针旋转的幻方的构建方式如下：3 7 92 5 61 8 4除了旋转幻方外，还有其他类型的三阶幻方。
例如，水平翻转幻方的构建方式如下：7 9 16 5 28 4 3垂直翻转幻方的构建方式如下：3 4 82 5 61 9 7对角线翻转幻方的构建方式如下：9 7 14 5 63 2 8除了这些基本的幻方类型外，还可以通过改变数字的排列顺序或者使用其他数学方法来构建新的幻方。
例如，可以使用数学公式或者算法来生成幻方。
然而，在本文中，我们不会涉及这些复杂的构建方法。
三阶幻方的原理并不难理解，但是构建一个满足条件的幻方并不容易。
事实上，三阶幻方的总数只有8种，其中4种是旋转幻方，另外4种是翻转幻方。
这是因为，对于一个满足条件的幻方，通过旋转或翻转可以得到其他的幻方。
因此，三阶幻方的种类是有限的。
三阶幻方在数学和游戏中都有广泛的应用。
3阶幻方问题
如下面左图，将1至9九个数依次排好，然后将上下两个数和左右两个数分别交换，重新排列后填入右图的方格内，使每一横行、竖列和两条对角线上各数的和都相等．
算一算，这个和是15
15
分析：
方法一：
1、求出中心数
2、求出幻和即9个数的和÷＝
3、找出对应数
利用幻和（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15，
点评：三阶幻方的本填法：九子排列 ，上下対易（1、9互换），左右更替（3、7互换），四维突出（把调整后的数字写成行列即可）．
所以中心数为15÷3=5；
又因为1+9=2+8=3+7=4+6=10，
5
把这些和相等的两个数在表格内适当调整即可完成．
二、方法二
九子排列，上下対易（1、9互换），左右更替（3、7互换），四维突出（把调整后的数字写成行列即可）．
解：所有的情况如下：
八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其它七个图形．
三阶幻方问题的代数解法_郑长波
90 法如下：
沈阳航空航天大学学报 1 。杨辉的构造方法可归结为：
第 29 卷
2， ……9 排列成图 2 所示。 第一步： 将 1 ， 第二步： 将图 2 中每一条对角线顶点的两个 — — ＞ 9， 7 ＜— — — ＞ 3， 数对调， 即 1 ＜— 得图 3 所 示。 4 两数沿斜上方和将 8 、 第三步： 将图 3 中 2 、 6 两数沿斜下方移动至图 4 ， 则图 4 实际上就是图
第2 期 矛盾。
郑长波， 等： 三阶幻方问题的代数解法 i = 2 。得幻方解如图 6 所示。 9， 当 h = 7 时，
91
于是可知 a 取奇数是错误的， 即 4 个顶角位 置只能取偶数， 证毕。 4， 6， 8 由定理可知， 自由未知量 i 只能取 2 ， 其中之一。由于四个偶数都处在四角位置， 因而 d， f， h 只能取奇数， 于 处在四条边中间位置的 b， 3， 7， 94 个数之一。 是另一自由未知量 h 只能取 1 ， i 的取值情况来探求幻方 以下根据自由未知量 h， 的解。 （ 1 ） 当 i = 2 时， 3， 3 易知 h 不能取 1 、 若取 1 、 9 将导致矛盾， 故 h 只能取 7 、 若 h = 9， 则由方程组（ 2 ） 可得 a = 8， b = 1， c = 6， d = 3， e = 5， f = 7， g = 4， h=
九子斜排， 上下对易， 左右相反， 四维挺出。 图 1 为三阶幻方的一种形式， 或称为幻方的
［1 － 7 ］ ， 一个解， 后人对幻方的研究也一直没有停止 ［8 － 15 ］ ， 对幻方的解法一直在改进 那么三阶幻方是
否存在其他解？ 下面采用线性代数办法解决这个 问题。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
代数问题应该用代数解法
代数问题应该用代数解法
顾积珠
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2006(000)001
【摘要】一些代数问题，如恒等式或小等式的证明，应当有代数的解法，代数问题的代数解法往往是普遍的、基本的解法，是学生首先应当掌握的，但现在有些教师、有些书籍却喜欢介绍一些特殊的、所谓技巧性很高的三角或几何解法，这些解法当然不是不可以讲，但不应“喧宾夺主”，用特殊取代一般，用技巧取代基本方法，更不能造成学生心理上的阴影，误以为想不出那种技巧的解法是自己笨，其实那种技巧的解法也是一些人挖空心思才想出来的（有人自称是“呕心沥血”的解法），并不具有一般件，远不及基本解法重要。
【总页数】2页(P36-37)
【作者】顾积珠
【作者单位】江苏省海安中学,226600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.线性规划问题的一个实用纯代数解法 [J], 林震
2.三阶幻方问题的代数解法 [J], 郑长波;李晓毅
3.熟视无睹的朴素解法岂容忽视——读《代数问题应该用代数解法》有感 [J], 孙
建斌
4.一维电谐振子能量本征问题的代数解法研究 [J], 乔流飞;赵晓东;裴魏魏;张海丰
5.透视三点问题的一种快速且稳定的代数解法 [J], 耿庆华;刘伟铭
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， 戴九覆一， 五居其中 ” 见图 1 所示。 在图 1 中所 有行、 列及对角线上的三数之和都是 15 。 近年来， 在安徽考古发掘出土了被认为是世 — —太乙九宫占盘， 界最早的三阶幻方实物— 据考 证， 距今已有 2180 多年。我国古代数学家对幻方 问题具有深入的研究。宋代数学家杨辉在其所著 《续方摘奇算法》 中， 给出了三阶幻方的构造方 的
第2 期 矛盾。
郑长波， 等： 三阶幻方问题的代数解法 i = 2 。得幻方解如图 6 所示。 9， 当 h = 7 时，
91
于是可知 a 取奇数是错误的， 即 4 个顶角位 置只能取偶数， 证毕。 4， 6， 8 由定理可知， 自由未知量 i 只能取 2 ， 其中之一。由于四个偶数都处在四角位置， 因而 d， f， h 只能取奇数， 于 处在四条边中间位置的 b， 3， 7， 94 个数之一。 是另一自由未知量 h 只能取 1 ， i 的取值情况来探求幻方 以下根据自由未知量 h， 的解。 （ 1 ） 当 i = 2 时， 3， 3 易知 h 不能取 1 、 若取 1 、 9 将导致矛盾， 故 h 只能取 7 、 若 h = 9， 则由方程组（ 2 ） 可得 a = 8， b = 1， c = 6， d = 3， e = 5， f = 7， g = 4， h=
Algebra approach to solve third － order magic square question
ZHENG Changbo 1 ，LI xiaoyi2
（ 1． Dalian Fisheries University ， Dalian Liaoning 116300 ； 2． School of M athematics and System Science， Shenyang Normal University ，Shenyang 110034 ）
九子斜排， 上下对易， 左右相反， 四维挺出。 图 1 为三阶幻方的一种形式， 或称为幻方的
［1 － 7 ］ ， 一个解， 后人对幻方的研究也一直没有停止 ［8 － 15 ］ ， 对幻方的解法一直在改进 那么三阶幻方是
否存在其他解？ 下面采用线性代数办法解决这个 问题。
1
三阶幻方的解
b， c， d， e， f， g， h， i｝ = ｛ 1， 2， 3， 4， 5， 记 M = ｛ a， 6， 7， 8， 9｝ ， 设三阶幻方的一种形式为图 5 ， 易知 a， b， c， d， e， f， g， h， i 诸元满足下列方程组： a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15 a + d + g = 15 b + e + h = 15 c + f + i = 15 a + e + i = 15 c + e + g = 15 对其增广矩阵 B 实施初等变换， 得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 1 1 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 1 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 1 1 15 B= → 1 0 0 1 0 0 1 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 15 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 0 0 1 0 1 0 1 0 0 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 －1 －1 0 1 1 0 0 1 －1 －2 0 2 1 0 0 100 －5 －10 5 = B' （ 1） 20 15 0 0
（ 3 ） 当 i = 6 时， 此时 h 不能取 3 或 9 （ 否则产 生矛盾） 故 h 的值只能取 1 或 7 。 若 h = 1， 则 a = 4， b = 9， c = 2， d = 3， e = 5， f = 7， g = 8， h= 1， i = 6 。得幻方解如图 10 所示。 当 h = 7 时， a = 4， b = 3， c = 8， d = 9， e = 5， f = 1， g = 2， h= 7， i = 6． 得幻方解如图 11 所示。
收稿日期： 2011 － 06 － 24 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 项目编号： 10471096 ） ； 辽宁省高等学校科学研究项目（ 项目编号： 20060842 ） E － mail： lixy@ synu． edu． cn。 作者简介： 郑长波（ 1954 － ） ， 男， 辽宁大连人， 教授， 主要研究方向： 应用数学，
a = 8， b = 3， c = 4， d = 1， e = 5， f = 9， g = 6， h= 7， i = 2 。得幻方解如图 7 所示。 （ 2 ） 当 i = 4 时， 此时 h 只能取 3 或 9 （ h 若取 1 或 7 将产生矛盾） 。 若 h = 3， 则 a = 6， b = 7， c = 2， d = 1， e = 5， f = 9， g = 8， h= 3， i = 4 。得幻方解如图 8 。 当 h = 9 时， a = 6， b = 1， c = 8， d = 7， e = 5， f = 3， g = 2， h= i = 4 。得幻方解如图 9 。 9，
第29 卷 第2 期 2 012 年4 月
沈阳航空航天大学学报 Journal of Shenyang Aerospace University
V o l. 29 No. 2 Apr . 2 0 1 2
文章编号： 2095 － 1248 （ 2012 ） 02 － 0089 － 04
三阶幻方问题的代数解法
Abstract： This paper introduces a constructor of third － order magic square put forw ard by the tw o ancient Chinese mathematicians Yang Hui and Zhen Luan． 56 groups of integer solutions correspond the equations in total，w hen the third － order magic square constraint equations are constructed in a linear algebra w ay and the freedom unknow ns are taken by 1 ， 2， 3， …， 9 respectively． To find all solutions in the magic square， restrictions of the freedom unknow n values are to be ascertained． Thus，the values of the freedom unknow n in the equations are discussed in classifications to calculate all the solutions of third － order magic square． The method of exploring the solutions of third － order magic square by using linear algebra methods is obviously not the simplest， how ever， it can be guaranteed by a complete theory． In addition， the article provides an example of how to use linear algebra to solve practical problems and briefly introduces the w onderful properties of the third － order magic square． ． Key words： magic square； constraint equations； integer solutions 世界上公认幻方为中国人所发明， 早期称九 宫算， 也叫三行纵横图或洛书。 文献记载最早见 《数术记遗 》 ， 于汉朝徐岳所著 说的是在三行三列 九个格子的排列图中， 填入 1 —9 这 9 个数 （ 每格 一个数） ， 使其位于各行列及对角线上的三个数 之和相等。北周的甄鸾在该书的注释中给出的解 “九宫者， 即二、 四为肩， 六、 八为足， 左三右七， 为
则 B' 对应的方程组即为（ 1 ） 的同解方程组： a = － i + 10 b = － h + 10 c = h + i － 5 d = h + 2 i － 10 （ 2） e = 5 f = － h － 2 i + 20 g = － h － i + 15 h = h i = i i 中为自由未知量。当自由未知量分别 其 h， 1 ， 2 ， 3 ， ……， 9 时， 取 对应的方程组 （ 2 ） 共有 56 组整数解， 但这些解大部分都不是幻方的解。 为 需要确定自由未知量 h 和 i 了找出幻方的全部解， 取值的限制条件， 为此给出如下定理。 定理： 设图 5 是三阶幻方的一个解， 则幻方 4 c， g， i 只能取偶数。 个角位置 a， 证明： 若有一角为奇数， 不失一般性， 设a为 奇数， 则 a 所在对角线的另一对角位置 i 也是奇 由于中心位置 e = 5 ， 则该对角线 3 数。如若不然， 数之和为偶数， 此与 3 数之和为奇数相矛盾， 故当 a 取奇数时， 其所在对角线另一对角 i 只能取奇 数； 此时余下的两个奇数中若有一个位于另一条 由同样道理可知， 该对角线的 对角线上的某一角， 另一角只能取剩下的一个奇数。这样 4 个奇数都 处于四角位置。 但这是行不通的， 因为此时 4 条 边上的 3 数之和都将是偶数， 故此余下的 2 个奇 数不能处在另一条对角线的两顶点位置 ； 这样余下的 2 奇数只能位于 4 条边上的非顶 角位置。但容易发现， 在 4 条边中， 无论哪条边中 间位置放置奇数， 都将使该条边 3 数之和是偶数，