D1_8连续性间断点

高 等 数 学
当 a b 取 值 在x 1处 续 、 何 时 ＝ 连 .
解：
∵ f (1) =1
+
− f (1 ) = lim bx2 = b − x→ 1
f ( ) = li + (a − x) = a −1 1 m
x→ 1
b =1= a −1
当 a＝, b＝时 f (x） x =1处 续 2 1 在 连
高
1
x =1为其可去间断点 .
O
x
等 数 学
x −1, x < 0 (5) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
12
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高
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二、 函数的间断点
Mathematic is the Queen of Science Mathematic is the Queen of Science Mathematic is the Queen of Science Mathematic is the Queen of Science
高 等
数, (2) 和差代替规则 若α ~α′, β ~ β′且β 与 不 价 和差代替规则: α 等 学 α −β α′ − β′ = lim . 则 − β ~α′ − β′, 且lim α
γ γ
因式代替规则: 因式代替规则: 若α ~ β , 且ϕ(x) 极 存 或 限 在 有
(3)
界, 则
limαϕ(x) = lim βϕ(x) 1 1 理学院数学系 郭彦 ⋅sin 1 limarcsin x⋅sin = limx =0 x→ 0 x x→0 x
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 连续函数 在闭区间 例如, 例如 在 上连续 .
高 等 数 学
( 有理整函数 )
又如, 又如 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q(x0) ≠ 0, lim lim = x) = ) ∀ 0 ∈(−∞, + ∞),都有 P(x)R(P(x0R(x0continue x
在点
在点
左连续 间断的类型
右连续
结束
高
等
数
学
为
间断点的类型.
时
答案: 答案 x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
思考与练习
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～
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2
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第八节 函数的连续性与间断点 高
第一章
等
数
学
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
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函数
x→x0
在点
lim f (x) = f (x0)
∆x→ 0
lim f (x0 + ∆x) = f (x0)
高 等
∆y
lim ∆y = 0 ∆y
y y = f (x)
数 学
f (x0−) = f (x0) = f (x0+ )
左连续 右连续
O x0
∆x
x x
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 x − x0 = ∆x <δ 时, 有 f (x) − f (x0) = ∆y <ε
高 等 数 学
∵ lim f (x) = ∞ , ∴ x = 0为无穷间断点;
x→ 0
x →+∞, ∴ f (x) →0 当x →1 时 , 1−x x + →−∞, ∴ f (x) →1 当x →1 时 , 1−x
−
故 x =1 为跳跃间断点.
续 在x ≠ 0, 1处, f (x)连 .
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例1. 证明函数 在 内连续 .
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第一类间断点: 第一类间断点 及 若 若 均存在 , 称
高
x0为可去间断点 . 可去间断点
等 数 学
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 及 中至少一个不存在 ,
第二类间断点: 第二类间断点
若其中有一个为 ∞,称 x0 为无穷间断点 . 无穷间断点 若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点 . 振荡间断点
x =1为可去间断点 .
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y
11
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x , x ≠1 (4) y = f (x) = 1 2 , x =1
显然 lim f (x) =1≠ f (1 )
x→ 1
y
1
1 2
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(3)
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在
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C[ a, b].
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等1 y = sin 数 x x 学
高
y = tan x
x
O
y
π
2
x
O
y
O 1
π x = 为其无穷间断点 . 2
x = 0 为其振荡间断点 .
例如: 例如:
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高
等
数
学
的某邻域内有定义 , 且
在点 x0 连续必须具备下列条件:
则称函数 f (x)在x0 连 . 续
存在 ;
一、 函数连续性的定义
有定义 , 即
定义: 定义 设函数
可见 , 函数
在点
(2) 极限
(1)
存在 ;
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x→x0 x→x0
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对自变量的增量
有函数的增量 连续有下列等价命题:
∆x→ 0
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P65 4 ; 5
作业
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第九节 目录
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备用题 确定函数 f (x) =
解: 间断点 x = 0, x =1
1 1−e
x 1−x
间断点的类型.
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高
等
数
学
2 1−cos x～ 1 x 2
重要结论
sin x ～ x ; tan x ～ x
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证: ∀ ∈(−∞, + ∞) x
∆y = sin(x + ∆x) −sin x
∆y = 2 sin 2 cos(x +
= ∆x
∆x
∆x
2
高)Biblioteka 等0∆x →0
数 学
即 这说明 同样可证: 函数 在 在
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内连续 . 内连续 .
例2：问函数
bx2 f (x) = 1 a − x
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x + x2enx 例：讨论函数 f ( x) = lim 的连续性。 nx n→ 1+ e ∞ lim nx 解：∵ x < 0 时 n→∞ e = 0
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连续函数.
2. 设
3. P65 题 3 , *8 1. 讨论函数 提示: 提示
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高
等
数
学
P65 题*8 提 示:
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无穷小比较
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(1) 和差取大规则 若 β = o(α) , 则 ± β ~α 和差取大规则: α x 1 sin x = = lim 例如, lim 3 3 x→ 3x 0 0 x→ x +3x
等
数
学
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在 第一类间断点 第二类间断点
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连续的等价形式
内容小结
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这样的点
间断点分类: 间断点分类:
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0 ≤ x <1 x =1 1< x ≤ 2
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设
在点
的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一, 函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 (2) 函数 (3) 函数 在 在 在
x→x0
高 等
不存在; ;
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且
数 学
存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
称为间断点 . 间断点
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