第 15 课时 直线与平面垂直的判定

`第 15 课时 直线与平面垂直的判定基础知识知识点1、直线与平面垂直的定义：定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）知识点2、直线与平面垂直的判定：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形语言→符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α →辨析（讨论正确性）：A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.知识点3、 线面角1．一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．特别地：（1）如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；（2）一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°．即线面所成角的范围为[0°，90°]．3．最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角．学法指导1、 线线平行中线面垂直的证明例1、已知：a ∥b,a ⊥α求证：b ⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //2、 面面平行中线面垂直的证明例2、求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．已知：βα//，α⊥l ． 求证：β⊥l ．分析：要证β⊥l ，只要证明l 垂直于β内的任意一条直线或某两条相交直线．证明：设A l =α ，在平面β内任取一条直线b ．因为点A 不在β内，所lαβA baγmb aα以点A 与直线b 可确定平面γ．设a =αγ ．}b l a l a l b a b a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⇒⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫==ααγβγαβα//// 由于直线b 是平面β的任意一条直线，所以β⊥l ．3、 射影问题例3、 如图，已知∠BAC 在平面α内，P α∉，∠P AB =∠P AC ．求证：点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上．证明：作PO ⊥α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为O ，E ，F ，连结OE ，OF ，OA ．AF AE PAF Rt PAE Rt PA PA PAF PAE AC PF AB PE =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⊥⊥,．}⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥⇒⊂⊥AB PE AB PO AB AB PO αα平面PEO OE AB ⊥⇒．同理，AC ⊥OF 在Rt △AOE 和Rt △AOF中，AE = AF ，OA = OA ，所以Rt △AOE ≌Rt △AOF ．于是∠EAO =∠F AO ，即点P 在α上的射影O 在∠BAC 的平分线上．4、线面角的求法例4、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，线段EF ∥平面ABCD ，点E ，F 在平面ABCD的正投影分别为A ，B ，且EF 到平面ABCD 的距离为36．求（1）EA 与FD 所成的角；（2）FD 与平面ABCD 所成的角．解：（1）连结BD ，由已知，有EA ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，∴EA ∥FB ． ∴∠BFD 就是EA 与FD 所成的角或其补角．由题意，得36=FB ，2=BD ，FB ⊥BD ，∴FB DF 2362==，∴在Rt △FBD 中，∠BFD = 60，∴EA 与FD 所成的角为 60．（2）由（1）知，∠BDF 就是FD 与平面ABCD 所成的角，∵∠BDF = 30，∴FD 与平面ABCD 所成的角为 30．5、综合问题例5、如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA = AB ，M ，N 分别为SB ，SD 的中点．（1）求SB ，SC 与底面ABCD 所成角的正切值；（2）若SA = a ，求直线AD 到平面SBC 的距离；（3）求证：SC ⊥平面AMN ． 解：（1）因为SA ⊥平面ABCD ，∴∠SBA 就是SB 与平面ABCD 所成的角．∵SA = AB ，∴∠SBA = 45°．∴tan ∠SBA = 1．连AC ，由SA ⊥平面ABCD ，∴∠SCA 就是SC 与平面ABCD 所成的角．∵SA AC 2=， ∴22tan =∠SCA ．A PB C E F O α AS BCDMNA B CDEF（2）SBC AM B BC SB SB AM AM BC SAB AM SAB BC A SA AB AB BC ABCD BC ABCD SA BC SA 面面面面面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⊥ ． ∴AM 就是AD 到面SBC 的距离．∵a AM 22=，∴直线AD 到平面SBC 的距离为a 22．（3）∵AM ⊥面SBC ，SC ⊂面SBC ，∴AM ⊥SC ．同理可证：AN ⊥面SDC ，∴AN ⊥SC ．又∵AM ∩AN = A ，∴SC ⊥平面AMN ．三、基础训练1、 如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ D ）A 、l ⊂αB 、l ⊥αC 、l ∥αD 、l ⊂α或l ∥α2、若两直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则b 与α的位置关系是 （ D ）A 、相交B 、b ∥αC 、b ⊂αD 、b ∥α，或b ⊂α3、已知a ，b ，c 是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a ⊥平面α的是（ D ）A 、a ⊥c,a ⊥b ，其中b ⊂α,c ⊂αB 、a ⊥b,b ∥αC 、α⊥β，a ∥βD 、a ∥b,b ⊥α4、如图2.3.1-2，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有[ A ]A 、AH ⊥△EFH 所在平面B 、AD ⊥△EFH 所在平面C 、HF ⊥△AEF 所在平面D 、HD ⊥△AEF 所在平面 （B 、D 两个选项不怎么好）5、过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个. 无数，一，一，无数6． 已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 与β相交于B ，若23||3AB d =，则直线a 与α所成的角＝___________． 60°，构建直角三角形。

7、从点O 出发的不共面的3条射线OA 、OB 、OC 中，如果∠AOB ＝∠AOC ，则OA在平面BOC 上的射影落在∠BOC 的________．平分线上8、如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，a α⊂，a BC ⊥．求证：a AB ⊥．证明：∵AC α⊥，a α⊂，∴a A C ⊥．又a B C ⊥，AC BC C = ，∴a ⊥平面ABC ．又AB ⊂平面ABC ，∴a AB ⊥．9、有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m ===== ∴2222226810AB BC AC +=+==2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠=即,AB BC AB BD ⊥⊥ 又∵,,B C D 不共线∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；四、创新思维1、探索性问题如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2， D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．（1）证明：如图，∵ ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱， ∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝1，且∠A 1C 1B 1 ＝90°． 又 D 是A 1B 1 的中点，∴ C 1D ⊥A 1B 1 ．∵ AA 1 ⊥平面A 1B 1C 1 ，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴ AA 1 ⊥C 1D ，∴ C 1D ⊥平面AA 1B 1B ．（2）解：作DE ⊥AB 1 交AB 1 于E ，延长DE 交BB 1 于F ，连结C 1F ，则AB 1 ⊥平面C 1DF ，点F 为BB 1的中点即为所求．事实上，∵ C 1D ⊥平面AA 1BB ，AB 1 ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ C 1D ⊥AB 1 ．又AB 1 ⊥DF ，DF C 1D ＝D ，ABC aαCB DA α∴AB1⊥平面C1DF．〔规律总结〕第一问，线面垂直的证明是用面面垂直的性质定理；第二问线面垂直的证明线线垂直的到线面垂直，首先只有AB1垂直于一条直线C1D，要AB1垂直于另一条过D点的直线，必须做DF 垂直于AB1，这样得到点F为BB1的中点。

探索性问题也要讲究步骤，讲究推理的依据；当然也可以先猜想，后证明。

第 16 课时 平面与平面垂直的判定基础知识知识点1、 二面角的定义：①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）②二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.知识点2、 平面与平面垂直的判定：①．平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面垂直．平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示为：若α⊥l ，βαβ⊥⇒⊂l ． （线面垂直→面面垂直）知识点3、确定二面角的平面角的方法．（1）定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线（特殊两字的作用，在于平面角的大小易于求出）；（2）垂线法：由其中一个半平面内异于棱上的一点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，再由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为C ，连结AC ，则∠ACB 为二面角的平面角；（3）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．学法指导1、 点面距离问题例1、已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d ，则A 、B 的中点到平面α的距离为________． 〔思维方法〕：（1）d 或2d 。