数列综合问题1

数学培优教程

数列综合问题选讲

一、知识要点：

1、数列是离散型函数)(n f a n =，可用函数的方法来解答数列问题；

2、数列可由一个“递推事件”产生，注意准确找出其中的递推关系；

3、与数列有关的不等式问题，可作如下试探：利用函数性质（单调性、最值等）；先求和（和易求时）后放缩、先放缩再求和（使和易求），放缩的尺度和方法与目标强烈相关；

4、作差是最基本最有效的比较大小的方法，你可以用分析法来证明和表达；

5、一个结论或一个猜想可以用数学归纳法来证明。 二、例题选讲：

例1、已知在数列}{n a 中，11=a ，d qa a n n +=-+1212(d ∈R,q ∈R 且q ≠0,∈n N *

). （1）若数列}{12-n a 是等比数列，求q 与d 满足的条件；

（2）当0d =，2q =时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n 次运动的位移是n a ，第n 次运动后，质点到达点(,)n n n P x y ,求数列{}n x n 4⋅的前n 项和n S . 例2、已知函数f （x ）=x 2

－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（∈n N +

），

其中u 为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1；

（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 22

n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；

（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.

例3、已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==

证明:(ⅰ)101n n a a +<<<; (ⅱ)3116

n n a a +<

. 例4、在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数62=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令n

n n n n a a

a a

b 11+++=

，证明32221+<++

1、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

{+n na n

的前n 项和的公式是

2、在数列{}n a 中，13a =，且对任意大于1的正整数n ，点1(,)n n a a -在直线30x y --=上，则

n a =__________________

3、已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2

(32)320k

k

x k x k -++⋅= 的两个根，

且21k a -≤2k a

(k ＝1，2，3，…)．

(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)；

(Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．

4、已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设

11a =，

1()

'()n n n n f a a a f a +=-

（n=1,2,……）

（1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有α>n a ； （3）记ln

n n n a b a a

β

-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。 5、设点n A (n x ，0)，1

(,2

)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2

＋a n x ＋b n (n ∈N*)，其中a n ＝－2－4n －1

12n -，n x 由以下

方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2

＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距

离，…，点11

(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2

＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．

(Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．

参考答案：

例1、解:（1） 11=a ，2121n n a qa d +-=+，q ≠0，

① 当0d =时，2121n n a qa +-=，显然21{}n a -是等比数列； ② 当0d ≠时，()d d q q d qa a d q d qa a ++=+=+=+=3513,.

数列21{}n a -是等比数列，

∴5123a a a =，即()()d d q q d q ++=+2

，化简得1=+d q .

此时有q qa a n n -+=-+11212，得()111212-=--+n n a q a ，

由 11=a ，q ≠0, 得112=-n a （∈n N *

)，则数列21{}n a -是等比数列. 综上，q 与d 满足的条件为0(0)d q =≠或1q d +=（0,0≠≠d q ）. （2）当0d =，2q =时，

∵21212n n a a +-=，

∴1121122n n n a a ---=⋅=， 依题意得：41312x a a =-=-，2381222x =-+-，…，