3向——由2006年高考看用导数求函数图象的交点问题

合集下载

导数探讨函数图像的交点问题 2

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。

但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。

福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。

从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。

考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。

例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0∵x>0 ∴函数ϕ(x)=g(x)－f(x) = 2x－8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

2006年高考.浙江卷.理科数学试题及详细解答

(3)已知0＜a＜1，log m＜log n＜0，则
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
(4)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
(A) (B)4 (C) (D)2
（5）双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m=（）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。
解析：如图，
∴
∴ ，∴点E、F在该球面上的球面距离为
故选择B。
【名师点拔】两点球面距的计算是立体几何的一个难点，其通法的关键是求出两点的球面角，而求球面角又需用余弦定理。
（10）函数满足，则这样的函数个数共有D
(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个
【名师点拔】
（8）若多项式 D
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。
解析：令，得，
令，得
（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是B
(A) (B)4 (C) (D)2
【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。
解析：由题知可行域为，
，故选择B。
【名师点拔】
（5）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则 C
(A) (B) (C) (D)
【考点分析】本题考查双曲线的第二定义，基础题。
解析：由题离心率，由双曲线的第二定义知
解析：，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为

导数探讨函数图像的交点问题

Hale Waihona Puke 图4图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数 y=f(x) 的图象与函数 y=g(x) 的图象的交
点问题，有以下几个步骤：①构造函数
(x)= f(x) －g(x) ②求导 1 (x) ③研究函数 (x) 的
单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解
m 的取值
图1
图2
图3
引申 1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？
前面相同，只需把后面改为
( x)极小值 m+6In3-15>0 或 (x)极大值 m-7<0，
即 m>15-6In3 或 m<7时，函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图 2 和图 3）。
如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的
高考题。例 1（福建理科第 21 题）已知函数 f(x)= － x 2 +8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求 f(x) 在区间 [t,t+1] 上的最大值 h(t);
（Ⅱ）是否存在实数 m，使得 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？
极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际
上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。
试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知
识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。

2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

导数在函数图象上交点问题及图象上运用论文

导数在函数图象上的交点问题及图象上的运用【中图分类号】 g424.1 【文献标识码】b 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0064-02运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m（ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（ⅰ）略（ii）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∵x>0∴函数(x)=g(x)－f(x) =c2－8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵=2x－8+随x变化如下表：∴x极大值=(1)=1-8+m=m-7，x极小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15∵当x→0+时，(x)→，当x时，(x)∴要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须∴70或m-715-6in3 或m|m|时函数y=h(x)的图象与x轴只有一个公共点。

当x0,h(x)是增函数；当时，h’(x)0,h(x)是增函数。

（见图7）图7h(-2)=-19，h(-1)=25方程h(x)=0在区间(-2,-1),内分别有惟一实数根，而在区间(0,3)和内没有实数根，所以存在惟一的自然数m=3，使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。

导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。

本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。

1、以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间例设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y= f(x)+f′(x)和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(d)2、以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。

导数应用之新考向——由2006年高考看用导数求函数图象的交点问题

即ｍ＞１－６５１３或ｍ＜７，ｎ时函数Ｙ（与Ｙ：厂）＝ｇｚ的图象有且只有１（）个交点（分析草图见图２和
图３．）
是否存在实数ｍ，使得一－的图象与 —ｇｚ的厂）（（）
图象有且只有３个不同的交点？若存在，出的求
｜
图２
’
图３
、
的图象与轴的正半轴有且只有３个不同的交点．
引申２如果题中“ 有且只有３个不同的交点” 变为“ 有且只有２个不同的交点” 怎么解答呢？
（一一＋＝２８导）
高中数理化
＝
罗斯福任美国总统以前，在海军部供职．日，某一位朋友问废海军在大西洋的一个小岛筹建基地的秘密计划，罗斯福特
维普资讯
命题大参考
导数应用
由２Ｏ年高考看用导数求图象的交点问题Ｏ６函数
夏文凯（东省东莞市新星高级中学）广
蕲者１譬ｌ
２０年高考数学导数命题的方向基本没变，０６主
要从① 与切线有关的问题，函数的单调性和单调 ②
／
｜
图４
／、
ｌＶ
圉５
基本方法没有变化．２０年福建文科卷２题．如０６１例３已知（）ｚ是二次函数，不等式（）ｚ＜Ｏ的解集是（，）且，ｚ在区间［，］的最大值０５，（）一１）Ｅ（，）），（是增函数； ∈ 当
（，）（），）１３时，＜Ｏ（是减函数； ∈（，。当３＋。）时，（），ｚ是增函数；ｚ＝或ｚｚ＞ｏ（）当＝１＝一３时，

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题

但是，０６年高考数学导数命题在方向２０基本没变的基础上又有所创新，现在两个表方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函
数；当ｚ∈ （。。），（＞－，（是３＋。时）０）增函数；当ｚ＝１ｚ一３时，（０或）．
数转向研究两个函数；是研究内容的多元二
化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）向运用导数研究函数图象的交点和转
方程根的分布的综合问题，际上就是运用实
所以要使（＝０３不同的正实数）有个
当ｚ∈ （，），（＜０（是减函１３时），）
数的掌握水平：与切线有关的问题｛函 ① ② 数的单调性和单调区间问题；函数的极值 ③ 和最值问题；不等式证明问题；与函数 ④ ⑤
的单调性、值、值有关的参数问题．极最
维普资讯
２００６年第１１期
中学数学月刊
・９・２
由２０年高考看如何用导０６数探讨函数图象的交点问题
夏文凯（东省东莞市新星高级申学５３３）广２７６
２００６年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从以下五个方面考查了学生对导数；
根，须且只须必
ｆｚ极值一棚一７０（）大＞，
导数考查函数图象的交点个数问题

mst导数专题零点与交点问题

106专题玖破气式——零点与交点问题函数零点问题是最近几年高考常考的重点与难点，本章主要介绍函数零点概念，函数存在性定理，函数零点，函数图像交点，方程的根等内在联系，函数零点的难点部分在于取点问题，本章不做具体介绍，取点问题我们在下面的专题章节会详细介绍．第一仁零点相关定理 1.函数的零点对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数的值叫做函数()y f x =的零点. 2.方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点. 3.函数零点存在性定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<,那么在开区间(,)a b 内至少有函数()f x 的一个零点,即至少有一点0(,)x a b ∈,使得()00f x =.(1)()f x 在[,]a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 (2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”（假设()f x 连续）①若()()0f a f b ⋅<,则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个， ②若()()0f a f b ⋅>,那么()f x 在[,]a b 不一定有零点， ③若()f x 在[,]a b 有零点,则()()f a f b ⋅不一定必须异号，④若()f x 在[,]a b 上单调，则()()0()f a f b f x <⇒在(,)a b 的一定有唯一零点. 【例1】（2020•安宁模拟）函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为( ) A ．1(0)2，B ．112（，）C ．(23)，D ．(12)，【例2】（2020•武昌期中）已知0x 是()21xf x x=+-的一个零点．若101x x ∈（，），20x x +∈∞（，），则( )A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x <，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >【例3】（2013•天津）设函数2()f x x e =+-，()ln 3g x x x =+-若实数，b 满足，,则（） A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<107C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【例4】（2020•临高县期末）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3x f x e x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =,所以0是函数()f x 的一个零点当0x >时，令()30xf x e x =+-=,则3xe x =-+,分别画出函数xy e =,和3y x =-+的图像，如图所示，有一个交点，所以函数()f x 有一个零点，又根据对称性知，当0x <时函数()f x 也有一个零点.综上所述，()f x 的零点个数为3个，故选C .【例5】（2020•浙江月考）已知12a <≤，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；【解析】证明:因为()0(0)x f x e x a x =--=>,所以()10xf x e '=->恒成立,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为12a <≤,所以22(2)240f e a e =--≥->,又(0)10f a =-<,所以函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点. 第二讲曲线交点问题曲线交点问题的两种等价形式108曲线交点问题，实质是函数图像与x 轴交点，或者两函数图像交点问题等价关系1:函数()y f x =的图像与x 轴公共点个数⇔函数()y f x =零点个数⇔方程()0f x =实数根个数等价关系2:函数1()y f x =与2()y g x =的图像有交点⇔方程()()()0F x f x g x =-=实数根个数⇔方程组12()()y f x y g x =⎧⎨=⎩有实数根⇔函数()()()F x f x g x =-零点个数.【例6】（2020•南开一模）设函数3y x =与21()2x y -=的图像的交点为00()x y ，，若0(1)x n n ∈+，，n N ∈，则0x 所在的区间是．则正实数m 的取值范围是（） A ．01]+⋃∞（，）B ．01][3+⋃∞（，，）C ．0+⋃∞（）D ．0[3+⋃∞（，）1⎛⎫1⎛⎫109【例8】（2020•香坊月考）已知函数2()f x x m =+与函数11()ln 3([2])2g x x x x =--∈，的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是．【例9】（2012•大纲版）已知函数3y x x c =-+的图像与轴恰有两个公共点，则（） A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1【解析】求导函数可得3(1)(1),y x x '=+-令0,y '>可得1x >或1;x <-令0,y '<可得11x -<<;所以函数在(,1),(1,)-∞-+∞上单调增，(-1,1)上单调减，所以函数在1x =-处取得极大值，在1x=处取得极小值.因为函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，所以极大值等于0或极小值等于0.所以130c -+=或130c -++=,所以2c =-或2,故选A.【例10】（2013•湖南）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】二次函数2()45g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为2x =，g(2)1,(2)2ln 2ln 41f ===>.所以(2)(2)g f <,从图像上可知交点个数为2个.【例11】（2020•临渭区期末）若曲线x y xe -=与直线y a =恰有两个交点，则实数a 的取值范围为( )A ．1()e-∞，B ．1(0)e ，C ．(0)+∞，D ．1[0]e，1x -1x -1x-110【例12】（2011•福建）已知，b 为常数，且0a ≠，函数，（ 2.71828e =⋯是自然对数的底数）．（1）求实数b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =时，是否同时存在实数m 和()M m M <，使得对每一个[]t m M ∈，，直线y t =与曲线()y f x =，1[]x e e∈，都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．1.零点个数问题的两种等价形式（同上一章内容）等价关系①:函数()y f x =零点个数⇔方程()0f x =实数根个数⇔函数()y f x =的图像与x 轴交点个数等价关系②:函数()()()F x f x g x =-零点个数⇔方程()()()0F x f x g x =-=实数根个数⇔方程组12()()y f x y g x =⎧⎨=⎩有实数根⇔函数1()y f x =与2()y g x =的图像有交点. 2.零点问题处理方法:111概括起来就是（一个原理、两种方法、三种转换) 一个原理——零点存在性定理.两种方法——解出来或画出来（直接法或图像法);三种转化——于转化为()0f x =型，()f x c =型或者()()f x g x =型.(1)()0f x =型.求导，对参数分类讨论进而讨论函数的单调性，确定函数图像的特征，找参数的限制条件;判断函数图像与x 轴交点个数情况；（适用于解答题）(2)()f x c =型.将函数变形，把参数置于一边，对新构造的确定函数求导，讨论函数单调性，确定图像的特征，最后平移直线y c =,找到参数的限制条件;（适用于选填题）(3)()()f x g x =型。

高中导数题解题技巧

导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为A.ln(1y =B.ln(1y =C. ln(1y =-D. ln(1y =-[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥，即：1ln(1x e x ==，所以1()ln(1f x -=. 故选A.例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +25=0相切的直线的方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12时，f x ()的极小值为-1，求出函数f x ()的解析式.思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-=-f x ()，得ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx3232300+++=-+-∴===+，，，即() 由f x ax c '()=+32，依题意，f a c '()12340=+=，f a c()121821=+=-，解之，得a c ==-43，.故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。

2006年数学三真题答案解析

Δy
dy
O
x0
x0+Δx
x
结合图形分析，就可以明显得出结论： 0 dy y .
方法 2：用两次拉格朗日中值定理
y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x (前两项用拉氏定理)
f ( )x f (x0 )x
(再用一次拉氏定理)
f ()( x0)x , 其中 x0 x0 x, x0
换元令 x h2 ，由题设可得
lim
h0
f (h2) h2
lim x0
f (x) 1 x
.
于是 lim f (x) lim f (x) x 10 0
x0
x x0
因为函数 f (x) 在点 x 0 处连续，故 f (0) lim f (x) 0 ，进而有 x0
1 lim x0
f (x) lim
2( 1 ) 1 1
2( 1 ) 1，即 1
2
1
1 2
，所以 1
2
，故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求 g(x) 时，可以将 y 视为常数
1 y sin x
(I)
g(x)
lim
f (x, y)
y
lim [
y
y 1 xy
y ],
arctan x
由于 x 0 ，所以
dz dx
x x0
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
x
y
dy dx
x x0
fx(x0, y0)
f y( x0 ,
y0
)
x
y
( (
x0 x0
, ,

高考物理巧用物理图像的交点处理疑难问题新课标人教版

word1 / 4高考物理巧用物理图像的交点处理疑难问题〔江苏省徐州市第一中学，江苏 221002〕物理学中的图像一般指用作图的方法反映各物理量之间的关系，用于概念的定义、规律的描述。

它可直观地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系，形象地描述物理规律。

在进展抽象思维的同时，利用图像的视觉感知，有助于对物理知识的理解和记忆，准确把握物理量之间的定性和定量关系，深刻理解问题的物理意义。

物理图像的交点有着其特殊的物理意义和作用，它既是坐标数值，又是两种不同物理过程的交集，它明确了不同物理过程的共性所在。

如能合理巧妙的运用交点所隐含的物理意义和内容，往往能独辟蹊径、事半功倍。

下面就图像中交点的妙用做一些比拟重要且常见的例举：1 t s -图像交点在运动学中的应用特点：t s -图像的交点表示两个物体在同一时刻处在同一位置即二者相遇，根据交点的个数可知两个物体相遇的次数，同时利用交点可简化一些相关的相遇问题。

例１甲、乙两物体沿直线同时由Ａ向Ｂ运动，甲以3m/s 的速度做匀速运动，乙先做初速为零，加速度为3m/s 2的匀加速运动，运动一段时间后，又改做加速度大小为2m/s 2的匀减速直线运动，当乙的速度为零时，甲、乙两物体恰好同时到达Ｂ点，如此到达Ｂ点前，甲、乙相遇几次〔不包括出发点〕？解析：此问定量计算比拟麻烦，但如能定性画出两物运动的t s -图，如此可由图像的交点数轻易得出相遇的次数。

如图1所示直线表示甲的运动图线，曲线表示乙的运动图像，它们只有一个交点〔不包括出发点和终点〕，故在到达B 点前，它们只相遇一次。

例２在地面上以初速度02v 竖直上抛一物体A 后，又在同一地点以初速度0v 竖直上抛另一物体Ｂ，假设使两物体能在空中相遇，如此两物体抛出的时间间隔t ∆必须满足什么条件？解析：此题用运动学知识列方程求解比拟繁琐，但如果转换思路，依据220gt t v s -=定性作出t s -图像，如此可使解题过程简化。

如何用导数探讨函数图像的交点问题

用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵)('x ϕ=2x －8+随x 变化如下表：∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1图2 引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）),0()3)(1(268262>--=+-=x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→ϕ)(x ϕϕϕ图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。

利用导数探究函数图像的交点问题

利用导数探究函数图像的交点问题在解决函数图像的交点问题时，导数起到了关键的作用。

导数能够帮助我们确定函数的变化趋势以及判断图像是否与坐标轴相交。

本文将通过一些具体的例子，来说明如何利用导数来探究函数图像的交点问题。

首先，我们来考虑一个简单的例子：求解函数y=x^2-1与x轴的交点。

我们首先将函数y=x^2-1代入x轴方程y=0，得到方程x^2-1=0。

然后我们可以通过求解这个方程来找到函数与x轴的交点。

为了更方便地解决这个问题，我们可以先求出函数的导数,即y'=2x。

然后，我们观察到导数的符号与函数的增减性息息相关。

根据导数的定义，当x>0时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

当x<0时，导数y'<0，表示函数在该区间上是递减的。

当x=0时，导数y'=0，表示函数在该点取得极值。

综上所述，函数在x<0递减，在x>0递增，并在x=0处取得极值。

而函数y=x^2-1在x<0时，函数值始终小于0，因此不存在交点。

而在x>0时，函数值始终大于0，同样不存在交点。

所以，函数y=x^2-1不与x轴相交。

接下来，我们考虑一个稍复杂一些的例子：求解函数y=x^3-2x与y=x图像的交点。

同样地，我们先求出函数的导数，即y'=3x^2-2、然后我们观察导数的符号。

当x<-√(2/3)时，导数y'<0，表示函数在该区间上是递减的。

当-√(2/3)<x<√(2/3)时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

当x>√(2/3)时，导数y'>0，表示函数在该区间上是递增的。

接下来，我们观察函数在极值点处的行为。

我们可以通过对导数y'=3x^2-2=0求解来找到极值点的横坐标。

解这个方程可以得到两个解：x=-√(2/3)和x=√(2/3)。

我们可以将这两个值代入原函数求解对应的纵坐标。

高中数学《用导数探求函数图象的交点》教学设计

《用导数探求函数图象的交点》教学设计
本节课内容是二轮复习中导数的应用的一个比较重要的题型。

本节课通过 2006 年高考试题提出问题，再通过导数求解，其中蕴含了丰富的数思想方法，是培养学生探究能力、创新能力、思维能力的极好素材。

[教学目标]
1、知识目标：巩固导数的应用，能运用导数探求函数的交点及根的分布。

2、能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。

[重点]：运用导数探求函数的交点
[难点]：数形结合的思想在解题中的应用
高中毕业生二月调研测试理科数学试卷
试卷讲评说明。

利用导数研究方程的根

利用导数研究方程的根方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.1、(09江西)设函数f(x)=−+6x−a⑴对于任意的实数x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值.⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.解析: ⑴略⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2)因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0 所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)=− a ;当x=2时f(x)取得极小值f(2)=2−ay=f(x)草图如下:1要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值f(2)>0或f(x)取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 .变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围y=f(x)草图如下:要使f(x)=0f(1)=0或f(x)取得极小值f(2)=0 解得a=2或a=变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值范围y=f(x)草图如下要使f(x)=0有且仅有且只需极大值−解得2极小值−从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:⑴、构造函数y= f(x)。

⑵、求导(x)。

⑶、研究函数f(x)的单调性和极值。

⑷、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。

⑸、解不等式或方程,得解。

二、函数y= f(x)图像与直线y=b的交点问题2、(2008江西)已知函数f(x)=+− +(a>0)⑴、求函数y= f(x)的单独区间⑵、若y= f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围。

函数图像的交点问题

函数图像的交点问题1、指数函数y=a x与对数函数y=log b x的图像有几个交点？其中，a≠b。

2、最好能提供两底数a与b的关系坐标图。

其中，a为横坐标、b为纵坐标。

________探究：y=a x与y=log b x（定义域：x＞0）1、(a-1)(b-1)＜0的情况：设y=a x-log b x（值域：(-∞ ,+∞)）y′=a x lna-1/(xlnc)≠ 0，即函数图像只有一个交点。

2、(a、b)＞1的情况：（1）设y=a x与y=log c x相切(外切)，y=a x=log c x=lnx/lncy′=a x lna=1/(xlnc)（2）由此得出a与c的关系方程(切点方程)：① xlnxlna=1② c=x a^(-x)③ lnxlny=1（3）因为x=c y=log a y=lny/lna，即x与y、a与c可以同时互换，所以a—c曲线关于a=c对称，是类似双曲线的一支，顶点(e1/e,e1/e)，渐近线a=1、c=1。

（4）切点方程的对称形式：（参数方程）lna=(1/λ)e-λlnc=λe-1/λλ=lnx=1/lny（λ＞0）（5）函数图像交点数：① b＞c：函数图像相离，无交点；② b=c：函数图像相切(外切)，一个交点(外切点)；③ 1＜b＜c：函数图像相交，两个交点。

3、0＜(a、b)＜1的情况：（1）用观察法来看，函数图像貌似只有一个交点。

其实不然，但至少有一个交点是肯定的。

（2）当e-e＜a＜1或e-e＜b＜1时，切点方程无解，即函数图像无切点。

（3）切点方程是类似水滴线(λ＜0)，前钝点(0,0)，后尖点(e-e,e-e)。

（4）函数图像交点数：①前钝点：函数无定义。

②后尖点：函数图像一个交点(交切点)。

③水滴线上：函数图像两个交点(1内切点+1交点)。

④水滴线内：函数图像三个交点。

⑤水滴线外：函数图像一个交点。

4、综合以上三种情况，再推广到a=1或c=1的情况：函数图像一个交点。

指数函数对数函数图像交点问题

指数函数、对数函数图像交点问题反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。

在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射,它的反函数y =f -1（x ）是集合C 到集合A 的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。

我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。

正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x 对称；若原函数与直线y=x 有交点，则反函数图像也必与y=x 相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子（1）12-=x y 函数与它的反函数2121+=x y 图像只有一个交点)1,1(，且在y=x 上。

（2）函数3x y =与它的反函数31x y =的图像有三个交点)1,1()0,0()1,1(、、--，且都在y=x 上。

（3）函数xy 1=的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数图像有无数个交点，其中有两个)1,1()1,1(、--在y=x 上。

引入此例是为了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在y=x 上则一定对称地、成对出现在y=x 两侧，因为太特殊，解释起来有点牵强，所以我们引进了第4个例子（是用一种引导的方式给出的）。

（4）若点)2,1(既在函数b ax y +=图像上，也在其反函数图像上，求a ，b 的值。

经过计算7,3=-=b a ，也就是说点)1,2()2,1(、既在函数73x y +-=图像上，也在其反函数图像上，验证了我们上述的观点。

在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后，为了给学生一个直观的认识，我打算利用几何画板为学生演示一下，结果发现，在电脑屏幕上不能清晰地显示图像的交点（如左下图）；把方程中的7改成8之后，清晰地显示出了交点（图右下图）至此，从数和直观的角度，学生对原函数与反函数图像的交点问题有了一个初步的认识。

教你如何做出高考数学导数大题1：证明三个交点的横坐标成等差数列

教你如何做出高考数学导数大题1：证明横坐标成等差数列已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值.(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.第(1)问的解题思路很明确：先分别求出函数f(x)和函数g(x)的最小值，再令两个最小值相等，解方程即可求出a的值。

解：(1)先求f(x)的最小值：f(x)的定义域为(－∞,＋∞)f′(x)=e x−a （提示：这是一个增函数）①a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增，则f(x)没有最值；不合题意，舍去。

②a＞0时令f′(x)=e x−a＝0，解得x＝lna在(－∞, lna)上f′(x)＜0，则f(x)单调递减在(lna, ＋∞)上f′(x)＞0，则f(x)单调递增则f(x)的最小值为f(lna)＝a－alna说明1：为什么要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论。

因为令导函数f′(x)=0，得到方程e x =a ，指数函数e x 是恒大于0的，所以当a ≤0时，方程无解，当a ＞0时，方程有一个解x=lna ，由此可知当a ≤0时和a ＞0时函数f(x)的单调性不同，所以要分这两种情况进行讨论。

说明2：f ′(x)的符号是如何判断出来的。

当x ＝lna 时，f ′(x)是等于0的，又f ′(x)明显是一个增函数，所以当x ＜lna 时，f ′(x)＜0；当x ＞lna 时，f ′(x)＞0说明3：f(x)的最小值为什么是f(lna)。

因为在开区间(－∞,＋∞)上，f(x)只有一个极值f(lna)，并且是个极小值，所以这个极小值f(lna)就是f(x)的最小值。

再求g(x)的最小值：g(x)的定义域为(0, ＋∞)g ′(x)=a −1x （提示：这是一个增函数）令g ′(x)=a −1x ＝0，解得x ＝1a 在(0, 1a )上g ′(x)＜0，则g(x)单调递减在(1a , ＋∞)上g ′(x)＞0，则g(x)单调递增则g(x)的最小值为g(1a )＝1＋lna接下来令两个最小值相等，建立一个关于a 的方程，通过解方程求出a 的值。