怎样求解递推数列的通项公式

怎样求解递推数列的通项公式

洞口二中——严立芳

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得

23

2a 2a n

n 1

n 1n +

=

++，则2

32a 2a n n 1n 1n

=-++， 故数列}2a {

n n 是以1222a 11==为首，以2

3

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

23)

1n (12a n

n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2

1

n 23(a -=。 评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为

2

3

2a 2a n

n

1n 1

n =

-++，说明数列}2

a {n

n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23

)1n (12a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列}a {n 满足1a 1

n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+

则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---

1

)1n (2

n )1n (21

)1n (]12)2n ()1n [(21

)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-=

所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。 例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由132a a n n 1n +⋅+=+ 得132a a n n 1n +⋅=-+

则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---

3

)1n ()333

3

(23)132()132()132()132(1

22

n 1

n 122n 1n +-+++++=++⋅++⋅+++⋅++⋅=----

所以1n 32n 3

1332a n n

n -+=++--⋅

= 评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +⋅+=+转化为132a a n n 1n +⋅=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。 例4 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：132a 3a n n 1n +⋅+=+两边除以1n 3+，

得1n n

n 1

n 1n 31323a 3a +++++

=

，则1n n n 1n 1n 3

1

323a 3a ++++=-， 故

3a )3a 3a ()3a 3a ()3a a a ()a a 3a (

3a 1

1

1223n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n

n n

n +-++-+-+-

=---------- 33

)3132()3132()3132()3132(22n 1n n +++++++++=-- 1)3

1

31313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=

-- 因此n

1

n n n n 321213n 2131)

31(313)1n (23

a ⋅-+=+--⋅+-=-，则213213n 32a n n

n -⋅+⋅⋅= 评注：本题解题的关键是把递推关系式132a 3a n n 1n +⋅+=+转化为

1n n

n 1

n 1n 3

1

323a 3a ++++=

-

，

进而求出)3

a 3a ()3

a 3a ()3

a 3a (

3

n 3n 2

n 2n 2

n 2n 1

n 1n 1

n 1n n

n -----------

+-

+-

+…+3a )3a 3a (111

2

2+-

，即得数列}3

a {n

n

的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。 三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：因为3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，所以0a n ≠，则

n n

1

n 5)1n (2a a +=+， 则11

22

32

n 1n 1

n n n a a a a a a a a a a ⋅⋅

⋅

⋅⋅

=

---

3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n (2[]5)11n (2[122n 1n ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+-⋅+-=-- 35]23)1n (n [212)2n ()1n (1n ⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=+++-+--

所以数列}a {n 的通项公式为!n 52

3a 2

)1n (n 1

n n ⋅⋅⋅=--

评注：本题解题的关键是把递推关系n n 1n a 5)1n (2a ⋅+=+转化为

n n

1

n 5)1n (2a a +=+，进而求出

11

2232n 1

n 1n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅--- ，即得数列}a {n 的通项公式。 例6 （2004年全国15题）已知数列}a {n 满足)1n (a 3a 2a a 1a 321n 1-++++== ， )2n (a )1n (1n ≥-+-，则}a {n 的通项⎪⎩⎪

⎨⎧≥==2n 2

!n 1

n 1a n ，，

解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=-

①

所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+

②

所以②式－①式得n n 1n na a a =-+则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+则

)2n (1n a a n

1

n ≥+=+