242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案(人教A版必修4)

合集下载

人教A版数学必修四2.4.2平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修4

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）高中数学 2.4.2平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修4【学习目标】1、平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标表示形式求数量积、向量模及两向量夹角．2、会用两向量的坐标判断它们的垂直关系．【重点难点】1、平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标表示形式求数量积、向量模及两向量夹角．2、会用两向量的坐标判断它们的垂直关系．【学习内容】问题情境导学一、向量模的坐标表示【想一想】(1)①已知1(A ，)3，3(B ，)1，你能求出OB OA ⋅吗？ ②求出的结果与A 、B 坐标有何关系？(2)若x a (= ，)y ，你能用数量积的坐标表示表示出a 吗？【填一填】(1)若x a (= ，)y ，则=a _______________；(2)如果向量a 起点与终点坐标分别为1(x ，)1y ，2(x ，)2y ，那么=a_______________．二、向量垂直的坐标表示【想一想】已知=a 1(x ，)1y ，=b 2(x ，)2y ，若b a ⊥，你能得出a ，b 坐标关系吗？【填一填】设=a 1(x ，)1y ，=b 2(x ，)2y ，则b a ⊥⇔____________．三、向量夹角的坐标表示【想一想】设a 、b 是非零向量，=a 1(x ，)1y ，=b 2(x ，)2y ，θ为a 与b 的夹角，你能利用向量数量积的定义及坐标表示出θcos 吗？【填一填】ba b a ⋅=θcos =___________．【思考】a //b 与b a ⊥的坐标表示有何区别？课堂互动探究【类型一】平面向量的坐标运算例１、已知向量1(=a ，)3，2(=b ，)5，2(=c ，)1．求：①b a⋅；②)2()(b a b a-⋅+；③c b a ⋅⋅)(．变式训练１－１：已知非零向量a 与b同向，1(=b ，)2，又10=⋅b a ，则a的坐标为___________．【类型二】向量的垂直问题例2、已知向量3(-=a ，)1，1(=b ，)2-，若)()2(b a b a λ+⊥+-．试求实数λ的值．变式训练2-1：已知O 是坐标原点，A 、B 是坐标平面上两点，且向量OA =1(-，)2，3(=OB ，)m ．若AOB ∆是直角三角形，则=m ___________．【类型三】两向量的夹角问题例3、已知向量1(=a ，)2，1(=b ，)λ，分别确定实数λ的取值范围，使得①a 与b 的夹角为直角；②a 与b 的夹角为钝角．变式训练3－１：已知向量4(=a ，)3-，2(=b ，)1，若b t a +与b 的夹角为︒45，求实数t 的值课堂归纳总结【课堂小结与反思】(1)学会了向量数量积的坐标表示；(2)学会了向量的模、夹角及垂直条件的坐标形式；(3)会利用数量积或垂直可求参数的值，体会了利用方程思想和待定系数法解决问题的思想方法．【课后作业与练习】基础达标(1)已知向量0(=a ，)1，2(=b ，)1-．则b a ⋅等于(A)1 (B)1- (C)2 (D)2-(2)已知向量2(=a ，)1，1(-=b ，)k ，0)2(=-⋅b a a 则k 等于(A)12- (B)6- (C)6 (D)12(3)已知)12(，A ，），23(B ，)41(，-C ，则ABC ∆是 (A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)任意三角形(4)a ，b 为平面向量，已知）3,4(a ，)18,3(2=+b a 则a 与b 夹角θ的余弦值等于 (A)658 (B)658- (C)6516 (D)6516-(5)设向量)0,1(=a ，)21,21(=b ，则下列结论中正确的是 (A)b a = (B)22=⋅b a(C)b a // (D)b a -与b 垂直(6)若)3,4(-=a ，1=b ，且5=⋅ba ，则b 的坐标为______________．(7)已知向量)0,4(=AB ，)2,2(=AC ，则AC 与BC 的夹角的大小为_______．能力提升(8)已知向量1(=a ，)2-，2(=b ，)λ，且a 与b 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______________．(9)已知向量3(-=a ，)2，2(=b ，)1求b t a +)(R t ∈的最小值及相应的t 值(10)已知)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，且a 与b 满足b k a b a k -=+3，其中0>k ．①用k 表示b a⋅；②求b a ⋅的最小值，并求此时a 与b夹角θ的大小．。

人教A版《必修4》“2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角”导学案

高一数学《必修4》导学案2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： __________a b ⋅=r r ，其中||cos a θr 叫做_________________.2．两个向量的数量积的重要性质：（1）________a b ⊥⇔r r ；（2）__________a a a ⋅==r r r 或||；（3）cos __________θ=3．探究：已知两个非零向量11()a x ,y =r ，22()b x ,y =r ，试用a r 和b r 的坐标表示a b ⋅r r .提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i r ，y 轴方向上的单位向量为j r ，则向量,a b r r 用,i j r r 可以表示为a =r ，b =r ；其中i i =r r g ，j j =r r g ，i j =r r g故：a b ⋅r r =（二）新课学习（阅读课本P106～107后，完成下列内容）1、平面两向量数量积的坐标表示：若两个非零向量11()a x ,y =r 、22()b x ,y =r ，则_________a b ⋅=r r即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设()a x,y =r ，则2_____________||_________a a ===r r ，故.（2）如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB =u u u rA 、B 间的距离||___________________AB =u u u r （平面内两点间的距离公式）3、向量垂直的判定：设11()a x ,y =r 、22()b x ,y =r ，则a ⊥⇔_________________a b ⋅=⇔r r .4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量11()a x ,y =r ，22()b x ,y =r ，a r 与b r 之间的夹角为θ，则cos θ=_____________________.【预习自测】1、已知(34)a ,=-r ，(5,2)b =r ，则_________a b ⋅=r r ，||_______a =r ，||_______b =r .2、已知(32)a ,=r ，(2,3)b =r ，a r 与b r 之间的夹角为θ，则cos θ=______.3、若(22)BA ,=-u u u r ，C (11)B ,=u u u r ，则ABC ∠=_________.【典例分析】例1、(3,4),(6,8),a b =-=-r r 已知求 ()()a b a b +⋅-r r r r 及a b -r r ｜｜的值. 例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式：若(34),12)_______.a ,b a b x,3x b =⊥=r r r r r ，且的起点坐标为(，，终点坐标为(),则例3、（1）(1(2a b ,a b ==-r r r r 已知，，求与的夹角. （2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+r r r r r 设，，又，d a mb =+u r r r ，且45c d ︒r u r 与的夹角为，求实数m 的值.【总结提升】1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.【课后作业】 1、(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--r r r 已知，则（1）______,______b a b =⋅=r r r ；我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

高中数学 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案新人教A版必修4

2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案【学习目标】学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用【学法指导】预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

了解向量的模、夹角等公式。

【知识链接】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：能表示单位向量的模吗？(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示）三、提出疑惑【学习过程】（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？若A(x 1,x 2), B(x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模两点A 、B 间的距离呢？例1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b -- 则探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b 都是非零向量，a=(x 1,y 1),b(x 2,y 2),如何判定a ⊥b 或计算a 与b 的夹角<a,b>呢？1、向量夹角的坐标表示2、a ⊥b<=> <=>x 1x 2+y 1y 2=03、a ∥b <=>X 1y 2-x 2y 1=056365例2 在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==- ，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？【学习反思】【基础达标】1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?【拓展提升】1.已知(4,3),(5,6)a b =-= 则23a 4a b=-⋅ （）A.23B.57C.63D.832.已知()()a 3,4,b=5,12- 则a b 与夹角的余弦为（）A. B.C. D.3.()a=2,3,b=(2,4),- 则()()a+b a-b =⋅ __________。

人教A版必修4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Q 情景引入ing jing yin ru“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．X 新知导学in zhi dao xue1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos a，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示模|a |2＝__x 21＋y 21__或|a |＝__x 21＋y 21__设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝__(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2__ 夹角cos θ＝a·b|a||b|＝__x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22__(a ，b 为非零向量)[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．Y 预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( √ ) (2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1y 1＋x 2y 2.( × ) (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ⊥b ，则x 1y 1＋x 2y 2＝0.( × ) (4)若a ·b ＝|a ||b |，则a ，b 共线．( √ ) (5)若a ·b >0，则a ，b 的夹角为锐角．( × ) 2．已知a ＝(－1,3)，则|a |＝( C ) A ．2 B ．2 C ．10D ．103．若向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a·b ＝( D ) A ．0 B ．2 C ．－4D ．－54．已知a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则a 与b 的夹角为__3π4__.[解析] cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝2×(－1)＋(－1)×322＋(－1)2＋(－1)2＋32＝－22，∴a ，b ＝3π4.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨数量积的坐标表示典例1已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.『规律总结』进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2[解析]a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.命题方向2⇨利用坐标运算解决模与夹角的问题典例2已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，(1)求|b|与|c|；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[思路分析](1)根据模长公式求解；(2)根据两向量的夹角公式求解．[解析](1)∵b＝(9,12)，∴|b|＝92＋122＝15，同理|c|＝42＋(－3)2＝5.(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.『规律总结』解决向量夹角问题的方法：先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.〔跟踪练习2〕设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)． (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20.由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1.X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用平行、垂直求参数借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0或a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．典例3 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[思路分析] 找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k 即可． [解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0， ∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132.综上所述：k ＝－23或113或3±132.『规律总结』解决本题的关键是要判断△ABC 中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A 、B 、C 的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m ，－3－m )，若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] 由已知，得AB →＝(3,1)， AC →＝(2－m,1－m )．∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽视向量共线致误典例4 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 [错解] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0，即a ·b ＝1－2λ>0，得λ<12，故选D ．[错因分析] 由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cos θ＞0成立，但夹角不是锐角．[正解] A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a ·b >0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A ． [误区警示] 对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.〔跟踪练习4〕设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围． [解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论正确的是( C )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b [解析] 由题意|a |＝12＋02＝1，|b |＝(12)2＋(12)2＝22. a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，∴a －b 与b 垂直．2．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C ) A ．{2,3} B ．{－1,6} C ．{2}D ．{6}[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x －5)＋3x ＝0，解之得x ＝2，则由x 的值构成的集合是{2}． 3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( A ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0. ∴A ＝π2.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3. 5．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )b .[解析] (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。

人教版高中数学必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【导学案】

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。

——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________. 预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=A.5B.4C.3D.22．已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练1．向量，且与方向相同，则的范围是A. B. C. D.2．已知向量a=(2，l)，a·b=10，，则|b|=A. B. C.5 D.25交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题已知向量，.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)当时，求向量与的夹角的余弦值；(Ⅲ)当时，求.变式训练3．已知中，、、,为边上的高，则点的坐标为_______. 4．已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用4．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是线段DC上一点，且满足，若N 为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55．如图,已知二次函数y=a x2+b x+c(a,b,c∈R,a≠0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若AC ⊥BC,则a的值为.变式训练5．已知三个点，，．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值．6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)( 0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值为4时,求·.学习小结1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等. 3．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二平面向量的夹角和垂直问题5．数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测1．已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A. B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 .4．已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O 为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，，求及的坐标.(3)求.5．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．x1x2＋y1y22．x1x2＋y1y2＝03．(1) (2) (3)【预习评价】1．A2．5 23．4．120°♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b ＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2．由向量的数量积公式的坐标表示，得a2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，又向量模的坐标公式｜a｜＝,得｜a｜2＝x2＋y2，所以a2＝｜a｜2.3．(1)提示:由向量的数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜c osθ，得，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cosθ＝.(2)根据向量夹角的坐标公式，当θ＝90°时，cos90°＝＝0，x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b x1x2＋y1y2＝0.【交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算】1．A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.2．2【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,a·b=|a||b|cos 60°=1,又|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1．C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案．∵与同向，∴可设，则有，又∵，∴，∴的范围是，故应选C.2．C【解析】()222250a b a b a b a b +=∴+=++⋅=，得5b =，故选C.【交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题】(Ⅰ)∵，∴，即.(Ⅱ)∵，，∴，又，.∴向量与向量的夹角的余弦值为.(Ⅲ)依题意 .∵，∴.即，∴.∴.∴.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3．(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D 点坐标为，则向量，因为点D 在BC 上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，，把①②联立解得：.所以点D 的坐标为(1，1). 4．【解析】因为向量a =(4,2),b =(1,1),所以向量a -b =(3,1),a +b =(5,3),所以|a -b |=,|a +b |=,(a -b )·(a +b )=15+3=18,所以cos<a -b ,a +b >=.【交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用】4．A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令(,),N x y 则M C .2AM AN x ∴⋅=+，令2Z x =+,当它过点C 时，max Z =2513⨯=.选A5．-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故·=++4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5．(1)证明：由题意，，，∴ .∴，∴.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，∴，即C(0，5)；∴，得：，，.设与夹角为，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角.(1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．6．(1)=(n-8,t),∵⊥a,∴8-n+2t=0.又||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin θ-8,t),∵向量与a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ-)2+,∵k>4,∴1>>0,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1．A【解析】∵ab= (-5,6)·(6,5)=(-5)×6+6×5=0,∴a ⊥b.2．B【解析】因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.【解析】本题考查平面向量的数量积。

人教A版高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案

湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案新人教A 版必修4【学习目标】 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法，通过向量的坐标求出向量的数量积．2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．3．运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．【学习重点】两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．【学习难点】对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．【自主学习】1、课前回顾① A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2)．＝_________ ＝_________ ② 用平面向量的数量积如何表示向量的模、夹角？两向量平行或垂直时满足什么？2、思考：前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积？设两个非零向量为＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)．为x 轴上的单位向量，为y 轴上的单位向量，则＝_________，＝_________则 ·= ___________________________= ___________________________又 ∵ ·＝______ ·＝______·＝·＝______∴ · ＝________ 这就是说：__________________________________________．【合作探究】 1. 向量模的坐标表示若＝(x ，y) ，则a 2 ＝_________ ＝ ___________，即a ＝_________ 2. 平面上两点间的距离公式：向量的起点和终点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则 = ___________________________ 3. 两向量垂直的充要条件的坐标表示若＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2) 则 a ⊥b ⇔ _______________________即_______________________________________________________4. 两向量的夹角公式设＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)，＝θ．则 cos θ= __________________ = _________________________ 练习：①已知＝(－3，4)，＝(5，2)．求a 、b 、·。

高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107）复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于。

问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

高中数学人教A版必修四2.4.2教学设计《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》

《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角。

（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。

（3）能力素养：几何直观、数学抽象。

2．内容解析：前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积。

教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的数量积的坐标表示，模及夹角。

二、为何讲1．教学目标：（1）掌握向量数量积的坐标表示，经历向量数量积坐标表示的推导过程，培养学生代数运算的能力；（2）掌握向量数量积的应用，理解向量数量积与向量的模和夹角的关系，体会数形结合的思想方法。

2．目标解析：（1）要让学生经历向量数量积的坐标表示的推导过程，感受代数运算的过程。

（2）让学生从数形两方面理解向量数量积这个概念的本质，帮助学生从两个要素全面考虑，防止顾此失彼。

3. 教学重点：向量数量积坐标表示的推导过程及应用。

三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）学习过程中，学生对向量数量积的坐标表示的推导，一时难以适应；（2）向量数量积的应用。

2．教学支持条件：科大讯飞问答系统。

（二）教学过程设计【问题1】已知两个非零向量()11,x y =a ，()22,x y =b ，怎样用a 与b 的坐标表示⋅a b 呢？【设计意图】思考向量的数量积的坐标表示，为引出数量积的坐标运算作铺垫。

【预设师生活动】（1）老师： ()11,x y =a 和()22,x y =b 作为坐标表示，他们能否用基底表示出来？（2）学生：我们选取的基底是()1,0=i 和()0,1=j ，所以()1111,x y x y ==+a i j ，()2222,x y x y ==+b i j .（3）老师：那么11x y =+a i j 与22x y =+b i j 的数量积等于多少？（4）学生： ()()22112212122112x y x y x x x y x y y y ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+a b i j i j i i j i j j ，而 221,0==⋅=⋅=i j i j j i ，所以1212x x y y ⋅=+a b .（5）老师：能不能用一句话总结数量积的坐标表示？（6）学生：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2》教案(新人教A版必修4)

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 4 页课题向量数量积的坐标运算和度量公式教学目标1、知识与技能掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．（3）掌握平面内两点间的距离公式2、过程与方法通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．3、情感、态度、价值观通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．教学重点1、向量数量积的坐标运算和度量公式2、向量垂直的坐标表示的充要条件．教学难点平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。

教学方法设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础练习2：已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.练习3：设i ，j 为正交单位向量，则①i ·i =_______ ②j ·j =________ ③ i ·j =________学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质。

高中数学必修4人教A242平面向量数量积的坐标表示模夹角(教学案)word资料7页

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2教案(新人教A版必修4)

教学资源建议
教材、教参、多媒体、尺规
课题
向量数量积的坐标运算和度量公式
教学目标
1、知识与技能
掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用
（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．
（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．
（3）掌握平面内两点间的距离公式
（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角.
（2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如与总是垂直的。
2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。
师生共同完成
使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布置作业
练习A 1（3）（4）,2,3
练习B 1
学生独立完成
巩固新知
已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。
教师引导，师生共同完成。
应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量
教师讲解，学生归纳方法
课堂练习
练习A 1（1），（2）
学生独立完成，教师指导
巩固新知
归纳小结
1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，
求证：△ABC是直角三角形
（1）教师引导，师生共同完成。
(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？
（提示可计算、、，然后用勾股定理验证）
运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力

人教版高中数学高一《平面向量数量积的坐标表示模夹角》学案(新人教A版必修4)

§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示模夹角第一课时【学习目标、细解考纲】掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于。

如：设a ☎✆♌☎✆求a b 。

平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a =♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉或a ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉（平面内两点间的距离公式） 向量垂直的判定设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a b ±⇔♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉如：已知✌（，） ☎✆ ☎✆求证ABC 是直角三角形。

两向量夹角的余弦（ ≤θ≤π）cos θ＝♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉＝♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉ ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉如：已知✌☎✆☎✆☎✆且,a BC b CA == 则a 与b 的夹角为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

5636543(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--5【小试身手、轻松过关】已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（）✌    已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（）✌ 65   ()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。

高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 3．练习：（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° （2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示a •b ？. 1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a •b 2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222y x a +=或22y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3．向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则a ⊥b ⇔02121=+y y x x4．两向量夹角的余弦已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，与之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设= (5，-7)，= (-6，-4)，求•，、间的夹角θ的余弦及│-4│。

高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b|3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o)分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= .四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x += 2、平面内两点间的距离公式221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 五、课后作业：《习案》作业二十四。