华中科技大学电工电子学课件第2章

例2-3
S L V R
已知:
+ _
U u
uL uR
U = 10 V 、 R = 20 Ω 、 L = 1H 电压表量程50V, 内阻 R0 = 4 kΩ 设开关 S 在 t = 0 时打开,
试求uL (0 + ) , uR (0 + ) , u(0 + )
解：i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) =
i 和 uR 均可跃变：
) = uC ( 0 − ) = 0V
uR (0 + ) = U − uC (0 + ) = U
uR (0 + ) U = i (0 ) = R R
+
uC ( ∞ ) = U ? i (∞ ) = ? 0
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例2： 求uC(0+), iC(0+), 设K动作前电路稳定 R1 + K U _ R2
100Ω S(t=0) + 2V _ iL 2H 100Ω
U 0 = 2V
τ=
L 2 = = 10 − 2 s R 200
i L (∞ ) =
U0 2 = = 10 − 2 A = 10mA R0 200
− t
iL =
U (1 − e − t / τ ) R
i L = i L (∞ )(1 − e
τ
f (0)为换路后的初始值；时间常数: τ=RC、τ=L/R
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例2-5.
200Ω + 4V _
100Ω S(t=0) 200Ω 2H
iL
已知iL(0-)=0, t = 0 时，S闭合, 求换路后的电感电流 iL(t) 解: S左端的等效电路
t=0+
R = 200 // 200 + 100 = 200Ω
二、零状态响应 K uR t=0 R iL U L
(1) 求特解 （稳态分量） i ′ L =
U R
(2) 求通解（齐次）解 (暂态分量)
i = Ae
" L − R t L
uL
代入初始条件：
R − t U i L = + Ae L R
uL = L L
di L + Ri L = U dt L di L U + iL = R dt R
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电感相当于电流源
S U u V
L
iL
R
i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) = 0 .5 A
u (0+ ) = −iL (0+ ) ⋅ R0 = −2000 V
实际使用中，不能在线圈两端并联电压表。 一般保护措施： 在线圈两端并联放电二极管，提供磁能释放 回路，避免电感支路断开时产生高压。在开关 和继电器等器件加灭弧装置。
t=0 + U0 -
R
放电 C
uR
i uC
uC = U 0 e −
t /τ
( t ≥ 0) (t＞0) (t＞0)
0 U0 − R
0
uC
i t
uR = −U 0e
− t /τ
U 0 − t /τ i = − e R
−U
uR
一阶RC电路的放电过程
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从理论上讲 t →∞时,电路才能达到稳态. 但工程上一般认为 经过3τ − 5τ 时间, 过渡过程已结束, 电路达到新的稳态. t 0
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小结 由于换路后瞬间uC和iL不能突变, 所以, uC(0+)和 iL(0+)由uC(0-)和iL(0-)决定；其它电量均可突变,其 初始值需由 t=0+时的uC(0+)和iL(0+)来决定。 求初始值的步骤：
1. 画换路前(t=0-)电路，求uC(0-)和iL(0-) 若换路前电路稳定，则C开路，L短接 2. 按换路定则： uC(0+)= uC(0-)， iL(0+)= iL(0-) 3. 画换路后t=0+时刻的等效电路求其他初始值： 若 uC(0+)=0，电容相当于短路； 若 uC(0+)≠0，电容相当于一个恒压源； 若 iL(0+)=0，电感相当于断路； 若 iL(0+)≠0，电感相当于一个恒流源。
因为能量的存储和释放需要一个逐渐变化的过程，所以 含电容电路存在过渡过程。 电容C存储的电场能量 （ Wc
=
WC
不能突变
uC
1 2 Cu ） 2
不能突变
4
*
从电路关系分析 K R + _U uC
i
则
若
C
i =∞
du c = ∞ ⇒ dt
一般电路 不可能！
uc 发生突变，
K 闭合后，列回路电压方程：
τ =
L R
L愈大储能越多, 过渡过程时间越长.
19 I一定, R愈大耗能愈快, 过渡过程愈短
iL =
U (1 − e − t / τ ) R
− di L = Ue τ dt
( t ≥ 0)
t
U
uR iL uL
RL电路0状态响应曲线 t
uL = L
(t＞0) (t＞0)
U R
0
uL = Ue
− t /τ
uR = U (1 − e − t / τ ) ( t ≥ 0)
一阶电路0状态响应的表达式: 稳态值；时间常数: τ=RC、τ=L/R
K uR t=0 R iL U L
uL
f (t) = f (∞)(1- e -t/τ)； uC(0)=0，iL(0)=0；f (∞)为换路后的
一阶电路0输入响应的表达式： f (t) = f (0) e-t/τ；f (∞)=0，
−
u C (0 ) = u C (0 )
+
t=0-
换 路
t=0+
t
iL (0 + ) = iL (0 − )
0 暂态过程
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三、 初始值的确定
初始值：暂态过程起点 t=0+时刻 u、i 的值 换路定则的作用：求暂态过程的初始值。
u C (0 + ) = u C (0 − )
iL (0 + ) = iL (0 − )
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一、零输入响应 t=0 R + U - 0 uR C i uC
代入初始条件：
uC = U 0 e
−
t RC
(t≥0)
令τ =RC , τ 具有时间量纲 , 称 为时间常数. (欧×法=欧×库/伏 =欧×安×秒/伏=秒)
{
电路原已达稳态，t=0换路，由 换路后的电路方程： du i R+uC=0 , i =C C dt
iC
C
U=12V
uC
R1=2kΩ R2=4kΩ C=1µF
在t=0+时, 电容相当 于恒压源 t→∞时, 电容相当 于开路
R1 R2 iC(0+) + 8v -
uc ( 0 − ) = U
R2 4 = 12 × = 8V R1 + R2 2+4
+ −
根据换路定则：u c ( 0 ) = u c ( 0 ) = 8 V
♣• “稳态”与 “暂态”的概念:
K
+ _
R
+
R
_
U
uC
开关K闭合
U
uC
C 电路处于新稳态 过渡过程 : 原稳态 新稳态
2
电路处于原稳态
§2.1 换路定则及暂态过程初始值的确定
一、产生过渡过程的电路及原因?
1.外因:电路换路：电源接通或断开,支路短路或开路, 参数变化等 2.内因:储能元件的存在, L中磁场能量和C中电场能量因电磁惯性 不能发生突变, 只能连续变化.。
di L dt
iL(0−)=0
iL(0+)=0
A=− U R
iL =
iL =
R R − t − t U (1 − e L ) = i L (∞ )(1 − e L ) R
非齐次一阶常微分方程, 通解形式为： ' " iL = iL + iL 特解 通解
U (1 − e − t / τ ) ( t ≥ 0 ) R
电阻电路
+ _
K
t=0 I
I
t 无过渡过程
U
R
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化， 不存在过渡过程。
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电容电路 K
+ _U
R uC C
t
uC
U
t
电容为储能元件，可储存电场能量 ，电场能量大小为：
u 1 du udt = c ∫ udu = cu 2 W C = ∫0 uidt = ∫ c 0 0 dt 2 t
RC
uC (0 + ) = uC (0 − ) = U 0
du C + uC = 0 dt
u R = − uC = − U 0 e − t /τ
i= U uR = − 0 e − t / τ (t＞0) R R
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其解为：
u C = Ae
−
t RC
τ=RC
1)C愈大储存的能量越多, 放电的 时间越长. 2)R愈大, u(0+)一定, 则放电电流 越小, 放电时间越长. R为t=0+时从 C 两端看入的无源 U0 二端网络的入端电阻.
t=(0+) L
uR ( 0 + ) = iL ( 0 + ) × R
U = 0.5A R
uL(0+) iL(0+) uR(0+)
= 0 . 5 × 20 = 10 V u ( 0 + ) = − i L ( 0 + ) × R0