07级本科《微积分》(第三章)

上海立信会计学院2007～2008学年第一学期
07级本科《微积分》（第三章）统测试卷
（考试时间90分钟，闭卷） 共 4 页
一、
单项选择题（每题2分，共20分）
1．设周期函数)(x f 在),(∞+-∞内可导，周期为4，又12)
1()1(lim
-=--→x
x f f x ，则)(x f y =在点))
5(,5(f 处的切线的斜率为 A .
2
1 B .0 C .1－ D .2－
2．设函数)(x f 在点0=x 处连续，且1)(lim
22
=→h
h f h ，则
A .0)0(=f 且)0('
-f 存在 B .1)0(=f 且)0('
-f 存在 C .0)0(=f 且)0('
＋f 存在 D .1)0(=f 且)0('
＋f 存在 3．设⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>-=0
)(0cos 1)(2x x g x x x
x x f 其中)(x g '是有界函数，则)(x f 在0=x 处
A .极限不存在
B .极限存在，但不连续
C .连续，但不可导
D .可导 4．设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数|)(|x f 在点a x =处不可导的充分条件是 A .0)(=a f 且0)(='a f B .0)(=a f 且0)(≠'a f C .0)(>a f 且0)(>'a f D .0)(<a f 且0)(<'a f
5．设32)3()2)(1()(---=x x x x f ，则导数)(x f '不存在的点个数是 A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 6．设函数n
n
n x x f 31lim
)(+=∞
→，则)(x f 在),(∞-∞内
A .处处可导
B .恰有一个不可导点
C .恰有两个不可导点
D .至少有三个不可导点 7．设可微函数)(x f y =，如果2
1)('0=
x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是
A .x ∆的等价无穷小
B .x ∆的同阶但不等价的无穷小
C .x ∆的低阶无穷小
D .x ∆的高阶无穷小
8．若)()(x f x f --=，在),0(+∞内0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内 A .0)(<'x f ，0)(<''x f B .0)(<'x f ，0)(>''x f C .0)(>'x f ，0)(<''x f D .0)(>'x f ，0)(>''x f
9．设函数⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠=0
001sin ||)(2
x x x
x x f ，则)(x f 在0=x 处
A .极限不存在
B .极限存在但不连续
C .连续但不可导
D .可导
10．设)](,)(max[)(21x f x f x F =，20<<x ，其中x x f =)(1，2
2)(x x f =，则
A .⎪⎩
⎪⎨
⎧<<<
<='22
1221
01
)(x x x x F B .⎩⎨
⎧<<≤<='2
12101
)(x x x x F
C .⎩⎨
⎧<≤<<='212101
)(x x x x F D .⎩⎨
⎧<<<<='2
12101
)(x x
x x F
二、填空题（每题2分，共20分）
1．设)(x f y =，且36)
2()(lim
000
=+-→h
h x f x f h ，则==0|x x dy
2．设x 为不等于零的实数，t
x x t f cos )(=，则=')(x f
3．设x
x x f 1)(+
=，则=''=1
)
(x x f
4．设)(x f 具有二阶导数，且2
)]([)(x f x f ='，则='')(x f
5．已知⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=2323x x f y ，2
arcsin )(x x f ='，则
==0x dx dy 6．设)
()(ln x f e
x f y =，其中f 可微，则=dy
7．)99()4)(3)(2)(1(-----=x x x x x x y ，则=)
100(y
8．设x
x x f +-=
11)(，则=)()
(x f
n
9．设),(00y x 是抛物线c bx ax y ++=2
上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 10．设曲线n
x x f =)(在点)1,1(处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞
→)(lim n n f ξ
三、计算题（每题5分，共40分）
1．设x
e
x
x
x y 3cos 3++=，求y '
2．221)1ln(x x x x y +-++=，求y '' 3．设x
x x y +=
1arctan ，求dy
4．设⎩⎨⎧+==2
ln 3sin 2t e y t x ，求2
2
dx y d 5．由1)ln(22=++y
x e
y x 确定y 是x 的函数)(x y ，求)(x y '
6．设)(x ϕ在a 点连续，)()(x a x x f ϕ-=，求)(a f -'与)(a f +'。

问在什么条件下)(a f '存在？ 7．设⎩⎨
⎧>+≤+=0
)
1ln(0)(x x x b ax x f ，确定a ，b 的值使)(x f 在0=x 处可导。

8．已知A x f =')(0，求x
x x f x x f x )
()(lim
000
βα+--→（其中α、β为常数）
四、应用题（每题7分，共14分）
1．已知曲线x a y =（0>a ）与曲线x y ln
=在),(00y x 处公共切点，试求：
（1）常数a 的值及切点),(00y x ；（2）过此切点的切线方程。

2．设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本每件20元，价格函数1000
60x p -
=（x 为销售量）。

假
定产品可以全部售出。

试求：
（1）总成本函数和边际成本函数；（2）收益函数和边际收益函数； （3）利润函数和边际利润函数；（4）销售量对价格的弹性；（5）收益对价格的弹性。

五、证明题（本题6分）
设)(x f 在),(∞+-∞上有定义且在0=x 处连续，又对任意21,x x 均有)()()(2121x f x f x x f +=+。

（1）证明)(x f 在),(∞+-∞上连续；（2）又设a f =')0(（常数），证明x a x f =)(。