2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--统计 二(10题含答案)
2020年高考三轮冲刺卷理数答案
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2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--圆锥曲线综合题 二(10题含答案)
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--圆锥曲线综合题 二1.已知抛物线C ：x 2=2py(p ＞0)和定点M(0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N.(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．2.已知A(x 0，0)，B(0，y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动，且|AB|=1，若动点P(x ，y)满足OP →=2OA→＋3OB →.(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程；(2)直线l ：x=ty ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，E(－1，0)，试问：当t 变化时，是否存在一条直线l ，使△ABE 的面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON(O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP→=OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y=kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围.5.已知双曲线141622=-y x 的两焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→=0，求点M 到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程.6.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．8.已知抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，y 1y 2=－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．9.已知椭圆C 的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→=t OP ―→，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB|的取值范围．答案解析1.解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y=kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p=0， 则x 1＋x 2=2pk ，x 1x 2=－2p.①(1)由x 2=2py 得y′=x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2=－2p，∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p=－1，∴p=2.(2)易得直线AN ：y －y 1=x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2=x 2p (x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x 2p（x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N(pk ，－1)． |AB|=1＋k 2|x 2－x 1|=1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2=1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d=|kx N ＋1－y N |1＋k 2=|pk 2＋2|1＋k2， 则S △ABN =12·|AB|·d=p （pk 2＋2）3≥22p ，当k=0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p=4，∴p=2，故抛物线C 的方程为x 2=4y. 2.解：(1)因为OP →=2OA →＋3OB →，即(x ，y)=2(x 0，0)＋3(0，y 0)=(2x 0，3y 0)，所以x=2x 0，y=3y 0，所以x 0=12x ，y 0=33y ，又|AB|=1，所以x 20＋y 20=1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33y 2=1，即x 24＋y 23=1，所以动点P 的轨迹C 的标准方程为x 24＋y23=1.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2=－6t 3t 2＋4，y 1y 2=－93t 2＋4＜0，所以|y 1－y 2|=（y 1＋y 2）2－4y 1y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫－6t 3t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－93t 2＋4=12t 2＋13t 2＋4. 因为直线x=ty ＋1过点F(1，0)，所以S △ABE =12|EF||y 1－y 2|=12×2×12t 2＋13t 2＋4=12t 2＋13t 2＋4， 令12t 2＋13t 2＋4=23，则t 2=－23，不成立，故不存在满足题意的直线l. 3.解：(1)因为e=22，所以b 2a 2=12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2=1，解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y22=1.(2)设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →=OM →＋2ON →得x=x 1＋2x 2，y=y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22=1上，所以x 21＋2y 21=4，x 22＋2y 22=4，故x 2＋2y 2=(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22) =(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) =20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON =y 1y 2x 1x 2=－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2=0，所以x 2＋2y 2=20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y210=1.4.解：5.解：6.解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2=b 2＋c 2，所以b 2=12.故椭圆C 的方程为x 216＋y212=1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y=32x ＋t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12=0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ=(3t)2－4×3(t 2－12)=144－3t 2≥0， 解得－43≤t≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得|t|94＋1=4，从而t=±213. 由于±213∉[－43，4 3 ]，所以符合题意的直线l 不存在． 7.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上， 所以4a 2＋15a 2－4=1，解得a 2=5或a 2=165(舍去)， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→得，D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15， 所以k AB ·k OD =－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.8.解：(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2=－p 2=－4，解得p=2.当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理，得y 2－2p ky －p 2=0，则y 1y 2=－p 2，由y 1y 2=－4得p 2=4，解得p=2.综上所述，抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设D(x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，则E(－1，t)，又由y 1y 2=－4，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2，－4t .因为k EF =－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD =2t ，则直线AD ：y ＋4t =2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t 2=0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t2=0，Δ=(－2t)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－16t 2=4t 2＋64t 2＋32＞0恒成立，所以y 1＋y 0=2t ，y 1y 0=－8－16t 2.于是|AD|= 1＋t24|y 1－y 0|=1＋t 24 y 1＋y 02－4y 1y 0=4＋t 2t 2＋16t2＋8，设点B 到直线AD 的距离为d ，则d=⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t 2. 所以S △ABD =12|AD|·d =14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16， 当且仅当t 4=16，即t=±2时取等号，即△ABD 的最小值为16.当t=2时，直线AD ：x －y －3=0；当t=－2时，直线AD ：x ＋y －3=0. 9.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c=3，所以b 2=a 2－c 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2=1.(2)证明：设D(x 0,0)，M(x 0，y 0)，N(x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM =y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE =－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y=－2＋x 0y 0(x －x 0)．因为k BN =－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y=－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋x 0y 0x －x 0，y ＝－y0x 0－2x －2，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 0＋25，－45y 0，所以S △BDE =12|BD|·|y E |，S △BDN =12|BD|·|y N |，所以S △BDE S △BDN =12|BD|·|y E |12|BD|·|y N |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|=45，结论成立． 10.解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2=1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y=k(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2=0，∴Δ=8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜12.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=8k 21＋2k 2，x 1x 2=8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2=k(x 1＋x 2－4)=－4k1＋2k 2.由OA ―→＋OB ―→=t OP ―→，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2t 1＋2k 2，－4k t 1＋2k 2，代入椭圆C 的方程得t 2=16k 21＋2k 2. 由263＜t ＜2，得14＜k 2＜12，∴|AB|=1＋k 2·22·1－2k 21＋2k 2=221＋2k 22＋11＋2k2－1.令u=11＋2k 2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，∴|AB|=22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253. ∴|AB|的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253.。
2020届高考数学三轮复习冲刺模拟试题Word版含答案(2)
高考数学三轮复习冲刺模拟试题02函数01一、选择题1 ．已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x =-=+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则 （ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 12 ．己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<a<bB ．a<b<cC ．a<c<bD ．c<b<a3 ．试题）定义在R 上的函数满足，当时，，则（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．4 ．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）5 ．函数的定义域为（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．6 ．设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x（ ）A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点7 ．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 （ ）A ．2a -1B ．1-2aC ．2-a -1D ．1-2-a8 ．设)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为4=T ,对R x ∈都有)()(x f x f =-,且当]0,2[-∈x 时,121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若在区间]6,2(-内关于x 的方程)2(log )(+-x x f a =0)1(>a 恰有3个不同的实根,则a 的取值范围是 （ ）A ．(1,2)B ．),2(+∞C ．()4,1D ．()32,49 ．已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）10．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0)[l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]11．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（ ）A ．（1-4，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34） 12．定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） A ．f(π)>f(-3)>f(-2) B ．f(π)>f(-2)>f(-3)C ．f(π)<f(-3)<f(-2)D ．f(π)<f(-2)<f(-3)13．偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个14．设5log 4a =, 25(log 3)b =,4log 5c =，则（ ）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b a c <<15．设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（ ）A ．13B ．5C ．223c +2cD ．222b +2b16．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数17．给定函数①12=y x-，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为 （ ） A ．0B ．1 个C ．2个 D ．3个18．已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为19．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．020．已知函数2342013()12342013xx x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．1121．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(-∞,0)B ．[0,1)C ．(-∞,1)D ．[0,+∞)22．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1(23．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P ,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P ,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对参考答案一、选择题 1. D 2. A3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y 轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数， ∴，选D.4. 【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。
2020全国卷高考数学概率与统计冲刺练习(含答案)
类型一：规范解答过程对于会做的题，要做到不丢分，具体要求解题步骤表达准确、考虑周密、书写规范、关键步骤清晰，防止分段扣分。
类型二：探究型问题的解答(1)未给出结论的通常称为归纳型问题．解答这类问题思路：归纳—猜想—证明；(2)结论不确定的，通常称之为存在型问题．解答思路：假设—推理—定论；(3)条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型．解答思路：结论⇐条件．答案往往不唯一；(4)给定一些对象的某种关系，通过类比得到另一些对象的关系．解答思路：透彻理解条件，转换思维；(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个(或几个)为结论，通常称为重组型．解答思路：组合条件，逐一验证．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<L ，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<L ，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<L ，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-L ，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'L ，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ． 方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243． 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． 【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k kP X k k -===． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=． （2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====U ． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====U(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．。
2020高考数学三轮冲刺 专题 整理、分析、数据、估计、推断练习(含解析)
整理、分析、数据、估计、推断一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 某高校调查了200名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，则m的值约为A. B. C. D. 27（正确答案）B解：因为200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，则自习时间不超过m小时的频率为：，第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，其中前三组的频率之和，其中前四组的频率之和，则落在第四组，故选：B．根据频率分布直方图，计算出每组的频率，再求出对应的频数，求出自习时间不超过m小时的频率为，即可求出答案本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．2. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，2，（正确答案）A解：两个小组的平均成绩相同，，解得：，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，故选：A．根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．3. 如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图单位：秒，则A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为（正确答案）D解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是，众数是67，平均数是，极差为，故选：D．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．4. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8（正确答案）C解：乙组数据平均数；；甲组数据可排列成：9，12，，24，所以中位数为：，．故选：C．求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可．本题考查了中位数和平均数的计算平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．5. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为A. 1B. 2C. 3D. 4（正确答案）B解：设被污染的数字为x，则该组数据的中位数为，极差为，，解得；则被污染的数字为2．故选：B．设出被污染的数字为x，根据题意写出中位数与极差，列方程求出x的值即可．本题考查了茎叶图以及中位数和极差的应用问题，是基础题．6. 若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为A. 8B. 15C. 16D. 32（正确答案）C解：样本数据，，，的标准差为8，，即，数据，，，的方差为，则对应的标准差为，故选：C．根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7. 某校高二班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为A. 20，2B. 24，4C. 25，2D. 25，4（正确答案）C解：由频率分布直方图可知，组距为10，的频率为，由茎叶图可知的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样，都是2，故选：C．先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数求得本次考试的总人数，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样．本题考查了茎叶图和频率分布直方图，茎叶图中，茎在高位，叶在低位，频率分布直方图中要注意纵轴的单位，同时掌握频率和等于1，此题是基础题．8. 甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示，分别表示甲、乙二人的平均得分，，分别表示甲、乙二人得分的方差，那么和，和的大小关系是A. ，B. ，C. ，D. ，（正确答案）C解：由茎叶图性质得：，，，．，．故选：C．由茎叶图先求出平均数，再计算方差．本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．9. 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在分的学生人数是A. 15B. 18C. 20D. 25（正确答案）A解：根据频率分布直方图，得；第二小组的频率是，频数是40，样本容量是；成绩在分的频率是，对应的频数学生人数是．故选：A．根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，是基础题目．10. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差最高气温减最低气温的最大值出现在1月D. 最低气温低于的月份有4个（正确答案）D解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差最高气温减最低气温的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于的月份有3个，故D错误．故选：D．由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据的折线图，得最低气温低于的月份有3个．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．11. 某公司10位员工的月工资单位：元为，，，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为A. ，B. ，C. ，D. ，（正确答案）D【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．【解答】解：由题意知，则，方差．故选D．12. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是A. 130B. 140C. 133D. 137（正确答案）C解：由题意可知：分的频率为，频数为5人则分的频率为，频数为18人分的频率为，频数为30人分的频率为，频数为22人分的频率为，频数为15人分的频率为，频数为10人而优秀的人数为20人，分有10人，分有15人，取后10人分数不低于133即为优秀，故选：C．由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示，组距为10；不然很容易做错，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中a的值为______．（正确答案）解：由，解得．故答案为：．利用频率为1，建立方程，即可得出结论．本题考查了利用频率分布直方图求频率的问题，是基础题．14. 如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为______ ．（正确答案）解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，则乙的平均成绩：，当，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为故答案为：．由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大属简单题．15. 某次体检，5位同学的身高单位：米分别为，，，，则这组数据的中位数是______米．（正确答案）解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为，，，，．则位于中间的数为，即中位数为，故答案为：将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．16. 统计某校1000名学生的数学学业考试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若规定不低于80分的为优秀，则优秀学生人数为______．（正确答案）350解：由频率分布直方图得，优秀的频率，优秀的人数．故答案为：350．利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀等级的人数．本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率纵坐标组据；频数的公式：频数频率样本容量．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图：设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到．附：．（正确答案）解：记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由，则旧养殖法的箱产量低于50kg：，故的估计值，新养殖法的箱产量不低于50kg：，故的估计值为，则事件A的概率估计值为；发生的概率为；列联表：箱产量箱产量则，由，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；由题意可知：方法一：，，．新养殖法箱产量的中位数的估计值方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：，箱产量低于55kg的直方图面积为：，故新养殖法产量的中位数的估计值为：，新养殖法箱产量的中位数的估计值．由题意可知：，分布求得发生的频率，即可求得其概率；完成列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有的把握认为箱产量与养殖方法有关：根据频率分布直方图即可求得其平均数．本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．18. 绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程单次充电后能行驶的最大里程，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．求直方图中m的值；求本次调查中续驶里程在的车辆数；若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在的概率．（正确答案）解：有直方图可得：得分由题意知续驶里程在的车辆数为分由题意知，续驶里程在的车辆数为3，设为a，b，c，续驶里程在的车辆数为2，设为d，e，共有10个基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，设“其中恰有一辆车续驶里程在”为事件A，则事件A包含6个基本事件：ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，则分利用小矩形的面积和为1，求得m值；求得续驶里程在的车辆的频率，再利用频数频率样本容量求车辆数；利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距．19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．Ⅰ现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；Ⅱ若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；Ⅲ求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．（正确答案）解：Ⅰ派甲参加比较合适，理由如下：，，，，，，故甲的成绩比较稳定，Ⅱ；Ⅲ从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中，满足2个成绩均大于85分的有，，共3个，故，所求的概率是．Ⅰ分别求出，，判断即可；Ⅱ求出满足条件的概率即可；Ⅲ求出小于80分的成绩的个数，求出满足2个成绩均大于85分的个数，求出满足条件的概率即可．本题考查了茎叶图的读法，考查求平均数和方差问题，考查概率问题，是一道中档题．。
2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)
二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所求概率为，故选B．2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选A．3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C．设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，该同学通过测试的概率为．故选：A．判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得，故选C．活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：，故选：D．事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；故选：A．根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，得，因此，事件AB对应的区间长度为，结合总的区间长度为1，可得又，同理可得因此，故选：A由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意，，，，故选B．确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即．又，，由公式．故选：D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则A.B.C.D.（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，故选：D．作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．12. 下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则；．A. B. C. D.（正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；利用积分的几何意义，可知，正确；故不正确．故选：A．分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果，当取得最大值时， ______ ．（正确答案）50解：，当，由组合数知，当时取到最大值．故答案为：50．根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．（正确答案）解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：，，．．故答案为：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．（正确答案）解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．16. 若随机变量，且，则 ______ ．（正确答案）解：随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，，故答案为：．由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故．故甲至少有1次未击中目标的概率为；由题意知X的可能取值是0，1，2，3，，，，X的概率分布如下表：X 0 1 2 3P设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，则，，为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：恰好有3次摸到红球的概率；设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：，．随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：；；；；随机变量Y的分布列是：的数学期望是．由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．（正确答案）解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。
2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷二(含答案)
2020届全国高考模拟冲刺卷 二数学(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知集合{}{}1,2,2,3,4M N ==若,P M N =⋃则P 的子集个数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．322、已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ⋅=，则a = ( ) A. 1或1-B.或C.D.3、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b ＝＋＋ (b 为常数)，则1()f －＝( )A.1B.1－C.3D.3－4、下面与角233n终边相同的角是（ ） A.43π B.3πC.53π D.23π 5、已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°6、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123B ．112C ．12127D ．1217、已知R x y ∈,，且0x y ＞＞，则（ ） A ．110x y->B ． sin sin 0x y ->C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ln ln 0x y +>8、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为( )A.()4πB.()4πC.()6π1+D.()6π1++9、当方程22220x y kx y k ＋＋＋＋＝所表示的圆的面积最大时，直线1()2y k x ＝－＋的倾斜角α的值为（ ） A. 4πB.34πC.32πD. 54π10、某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A.623B.328C.253D.00711、已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A ．12B12、若函数2()e (2)x f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．[(2-，(2+ B．((2-，(2+C．((2-，0) D ．(0，(2+第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、在如图所示的程序框图中，若输入x 的值为12log 3，则输出的y 为.14、若,a b R ∈,0ab >,则4441a b ab ++的最小值为__________.15、函数()sin(23f x x π=+在区间[0,]4π的最小值为__________.16、已知等边ABC △的边长为，,M N 分别为AB AC ,的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，已知ABC △的面积2224b c a S +-=(1)求A .(2)作角B 的平分线交边AC 于点O ，记AOB △和BOC △的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.18、某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．1.求居民月收入在[3000,3500)的频率；2.根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；3.为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系．必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽取100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？19、已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，,M N 分别为棱,BE AD 的中点，1,2AB AD ==.（1）证明：直线//AM 平面NEC ； （2）求异面直线AM 与CN 的成角余弦值。
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习训练试题含答案
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)． 解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__． 解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2， 所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意． 故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)． 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__． 解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2， 所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34； 当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时， 因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值． 解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2， 即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为． 解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13， 所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16． 解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ， 所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__． 解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__． 解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12， 所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ）， 因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ， 所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2． 解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__． 解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1， 所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ， 所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ， 由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ， 所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ， 所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ， 所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)， 所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__． 解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1， 所以log a 1－ax 21－ax 1<0， 所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0， 所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象． 解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。
2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷二
2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷（二）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255 B.45 C.25 D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x .双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)，此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y ＝x 3＋ln(x 2＋1－x )的图象大致为( )答案 C解析 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＋ln ()(－x )2＋1＋x ＝－x 3＋ln ()x 2＋1＋x＝－x 3－ln ()x 2＋1＋x －1＝－x 3－ln ()x 2＋1－x ＝－f ()x ，所以f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，因为f (1)＝1＋ln ()2－1>0，所以排除A. 7．设随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P0.1a0.30.4则方差D (X )等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 a ＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E (X )＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，沿直线BD 将△ABD 折成△A ′BD ，使点A ′在平面BCD 上的射影在△BCD 内(不含边界)．设二面角A ′－BD －C 的大小为θ，直线A ′D, A ′C 与平面BCD 所成的角分别为α，β则( ) A ．α<θ<β B ．β<θ<α C ．β<α<θ D ．α<β<θ答案 D解析 如图，作A ′E ⊥BD 于E, O 是A ′在平面BCD 内的射影，连接OE ，OD ，OC ，易知∠A ′EO ＝θ，∠A ′DO ＝α，∠A ′CO ＝β，在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，由O 点必落在EF 上，由AD ＝2AB 知OE <AE <CF <CO <OD ，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1ex ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1 B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154，所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则b a 2＋c 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，55 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15C ．(－2，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c.令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x ，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋a c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2，所以2c a ＋a c∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－45，所以t 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，15.所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________.答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×si nπ33＝22，由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc的最大值为________． 答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A，则c b ＋b c ＝b 2＋c 2bc＝a 2＋2ah cos Asin Aahsin A＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt△AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5，MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin∠MNI ＝MI MN ＝16530. 20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1. (1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0， 得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得 a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1，故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1 ＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1， 于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得 b n <12n －1b 1＝12n －2，即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2，故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3，综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)， 从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值为8.22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ， 当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)， 当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a， 由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ， 只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立即可．构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－1x ，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x 单调递增，因为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得t (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1.所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3，所以b 的最小的整数值为－3.。
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--数列 二(10题含答案)
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--数列 二1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f(x)=x 2＋Bx ＋C －1(B ，C ∈R)的图象上，且a 1=C.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列b n =a n (a 2n －1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .2.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足()()111n n n b a a =-+，若数列{b n }前n 项和T n ，证明12n T <.3.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）. （1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .4.已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，a 1•a 2=3，a 2•a 3=15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设na n n ab 2)1(⋅+=，求数列{b n }的前n 项和T n ．5.设数列{a n }满足.（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列的前n 项和.6.已知数列{a n }是非常值数列，且满足a n+2=2a n+1-a n (n ∈N *)，其前n 项和为S n .，若S 5=70，a 2,a 7,a 22成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{n S 1}的前n 项和为Tn ，求证：8361≤≤n T .7.记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，. 现设是公比为3的等比数列，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)对任意正整数，若，求证：；(3)设,求证：.8.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．9.已知数列的前n项和S=3n2+8n，是等差数列，且n（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和T n.10.已知数列{a}满足:.(1)设,n(1)证明是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)记,问是否存在正整数,使得?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.答案解析1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1＋－2d=d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n.又S n =n 2＋Bn ＋C －1，两式比较得d 2=1，B=a 1－d2，C －1=0.又a 1=C ，解得d=2，C=1=a 1，B=0， ∴a n =1＋2(n －1)=2n －1.(2)∵b n =a n (a 2n －1＋1)=(2n －1)(2×2n －1－1＋1)=(2n －1)×2n，∴数列{b n }的前n 项和T n =2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n，∴2T n =22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，∴－T n =2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1=2＋2×n －1－2－1－(2n －1)×2n ＋1=(3－2n)×2n ＋1－6，故T n =(2n －3)×2n ＋1＋6. 2.解：3.解：4.解：5.解：6.解：7.⑴；⑵⑶详见解析；8.9.10.。
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--不等式选讲 二(10题含答案)
2020高考数学三轮冲刺解答题专练--不等式选讲二一、解答题1.设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2.已知函数f(x)=|2x-1|＋|2x＋a|，g(x)=x＋3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈[-,)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．3.已知f(x)=|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立，求k的取值范围．4.已知函数f(x)=|x＋a|＋|x-2|.(1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．5.已知函数f(x)=m-|x-2|，m∈R，且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且，求证：a+2b+3c≥9.6.选修45：不等式选讲(1)设a和b是实数，求证：|a－b|＋|a＋b|≥2|a|；(2)若对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．已知函数f(x)=|2x-a|+a.（1）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；（2）设函数g(x)=|2x-1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3,求实数a 的取值范围.8.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|.（1）当a=1时，解不等式：f(x)≥4-|x-1|； （2）若f(x)≤1的解集为[]()110,2,0,02a m n m n+=>>，求mn 的最小值.已知函数()21 3f x x=+，（1）若不等式f(x)≥-|x|+a恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于实数x,y,有113x y++≤，1233y-≤，求证:()23f x≤．10.选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．答案解析1.【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2.解:3.解:4.解:5.6.解：7.解：8.解：9.解:10.解：。
【精品高考数学】2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(二)+答案
2020年高考数学金榜冲刺卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ）A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,42．sin390︒的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2-D ．23．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．1686．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ）A ．0或3或-1B ．0或3C ．3或-1D ．0或-18．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A ．P A ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]1,2-C ．⎡⎤⎣⎦D ．⎡⎣10．已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．已知双曲线221y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 12．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.13．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．14．已知函数()()()()1231,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值；（2）求cos(2)6A π+的值.17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；（2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度（1）求动点Q 的轨迹方程C ；（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v，求直线l 的方程．21．（本小题14分）定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈. 则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.2020年高考数学金榜冲刺卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,4【答案】C【解析】根据题意，{|13}A x x =<<，则{|23}(2,3)A B x x ⋂=<<=. 故本题正确答案为C.2．sin390︒的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】A【解析】试题分析： 因为()()0000000sin 600sin 360240sin 240sin 18060sin 60=+==+=-=故选择C3．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性得出结论.【详解】解：Q 0.70.70.7log 1log 0.8log 0.7<<，∴0.7log 00.81<<Q 1111log 0.9log 1<∴11log 0.90<Q 0.901.1 1.1>∴0.91.11>综上，c a b >>.故选：C.5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D【解析】因为8(1)x +的展开式中2x 的系数为28C ，4(1)y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284168C C =.故选D.6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o【答案】A 【解析】由题意：ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，连接B 1G ， ∵A 1E ∥B 1G ，∴∠FGB 1为异面直线A 1E 与GF 所成的角或其补角．连接FB 1，在三角形FB 1G 中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，B 1F ==B 1G ==，FG ==B 1F 2＝B 1G 2+FG 2．∴∠FGB 1＝90°，即异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°．故选A ．7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ） A ．0或3或-1 B ．0或3 C ．3或-1 D ．0或-1【答案】D【解析】Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行 216232a a a a -∴=≠--，或121k a =-和223a k a -=-同时不存在解得：1a =-或0a =本题正确选项：D8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．P A ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为【答案】C 【解析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面AB C.所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，2AC BC PD ∴===，AB ∴==，||||||DA DB DC ∴===||||||PA PB PC ∴==== 222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，122PBA S ∆=⨯=Q 122PBC PAC S S ∆∆===Q∴三棱锥P -ABC 的侧面积为故正确的为C.故选：C.9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]1,2-C ．⎡⎤⎣⎦D ．⎡⎣【答案】A【解析】以点A 为原点，建立直角坐标系，如图所示：则()0,0A ，()10B ,，()1,1C ，()0,1D ，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()11,AP x y =u u u r ，()221,1CQ x y =--u u u r ，()111,BP x y =-u u u r ，()22,1DQ x y =-u u u r，∴()()()()12122112211111AP CQ BP DQ x x y y x x y y x x ⋅-⋅=-+-----=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则101x ≤≤，201x ≤≤，∴2111x x -≤-≤.10．已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3 【答案】A【解析】当x ≥0时，f （x ）＝4x 3﹣6x 2+1的导数为f ′（x ）＝12x 2﹣12x ，当0＜x ＜1时，f （x ）递减，x ＞1时，f （x ）递增，可得f （x ）在x ＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f （0）＝1，作出函数f （x ）的图象，g （x ）＝()()23103f x f x ⎡⎤-+⎣⎦，可令g （x ）＝0，t ＝f （x ）， 可得3t 2﹣10t +3＝0，解得t =3或13， 当t 13=，即f （x ）13=，g （x ）有三个零点； 当t ＝3，可得f （x ）＝3有一个实根，综上g （x ）共有四个零点；二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．已知双曲线221y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 【答案】14【解析】因为渐近线方程为2x y =，且双曲线焦点在x 轴上，故可得102b m a ==>，解得14m =.故答案为：14.12．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.【答案】8【解析】由(0)f ϕ=，得sin 2ϕ=， Q 2ϕπ<<π，34πϕ∴=，则3())4f x x πω=+，Q ()3104f πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 34πωπ∴+=，即4πω=，则函数的最小正周期2284T πππω===，故答案为：813．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．【答案】20192a = 2020 【解析】由题可知，2220192019120192201922019212019n nn n a f n n n ⋅⎛⎫====+ ⎪--⎝⎭⋅- 则2019201912220192019a =+=⨯- 201920192019201911 (12201942019220192019)S =++++++--⨯- 即()()()20191201822017100910102019...S a a a a a a a =+++++++2100922020=⨯+=故答案为：20192a = 202014．已知函数()()()()1231,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 【答案】23-或1 【解析】()112312m m f m +<⎧=⇒⎨-=⎩或()210log 12m m m ≥⎧⇒=⎨+=⎩或3m =， ∴22m -=-或21m -=，∴()()2223f m f -=-=-或()()211f m f -==. 故答案为：23-或1 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③. 【解析】若12,23a b ==，则1a b +>，但1,1a b <<，故①推不出； 若1a b ==，则2a b +=，故②推不出；若2,3a b =-=-，则222a b +>，故④推不出；若2,3a b =-=-，则1ab >，故⑤推不出；对于③，即2a b +>，则,a b 中至少有一个大于1，反证法：假设1a ≤且1b ≤，则2a b +≤与2a b +>矛盾，因此假设不成立，,a b 中至少有一个大于1.故答案为：③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值；（2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（1；（2.【解析】（1）Q 由1cos 4A =-，可得sin A = ∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=得sin B =；（2）Q 27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==71cos(2)cos 2cos sin 2sin 66682A A A πππ⎛∴+=-=-⨯ ⎝⎭=.17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）D 1E =1.【解析】（1）证明：∵底面和侧面是矩形，∴，又∵∴平面3分∵平面∴BC⊥D1E．6分（2）解法1：延长，交于，连结，则平面ADD1A1平面BED1底面ABCD是矩形，E是CD的中点，，∴连结，则又由（1）可知BC⊥D1E又∵D1E⊥CD，∴底面ABCD，∴D1E⊥AE∴平面BED19过E作于，连结，则是平面ADD1A1与平面BED1即平面BCC1B1与平面BED1所成锐二面角的平面角，所以又，∴又易得，，从而由，求得D 1E =1． 12分解法2：由（1）可知BC ⊥D 1E又∵D 1E ⊥CD ，∴底面ABCD 7分设为的中点，以E 为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图． 8分设，则，，，，设平面的一个法向量∵，由，得令，得9分设平面BCC 1B 1法向量为m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,a)，由{m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x 1=0,x 1+y 1+az 1=0. 令z 1=−1，得m ⃗⃗ =(0,a,−1)． 10分由平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3， 得|cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=a √2⋅√a 2+1=cos π3，解得a =1． 即线段D 1E 的长度为．18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望【答案】（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2）详见解析.【解析】（1） ,A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)， A C ，一个包裹，B 一个包裹时，需花费201535+=(元)，B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)，综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元.（2）由题意知，每日揽包裹数超过200件的概率为13X 可取10,1,2,3,4,4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()44120,1,23,3,,43k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭== 则X 的分布列为()14433E X =⨯=所以这4天中日揽收包裹数超过200件的天数期望为43.19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈． （1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （Ⅲ）31a e <-. 【解析】(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'，(1)213f '=+=.曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为. (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. （Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.max ()2g x =由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a aa-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31a e <-.20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度（1）求动点Q 的轨迹方程C ；（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）1y x =-或1y x =-+【解析】（1）根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以动点Q 的轨迹方程C 为：24y x =；（2）①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB ⋅=-≠-u u u r u u u r，不符合条件； ②当l 的斜率存在且不为0时，设l ：(1)y kx =-，则2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++=⋅=．因为向量,FA FB u u u r u u u r方向相反，所以()()()12121224||||11148FA FB FA FB x x x x x x k ⎛⎫⋅=-=-++=-+++=-+=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以21k =，即1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+．21．（本小题14分）定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈【解析】（1）*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈， 那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯。
【人教版】2020高考数学三轮冲刺 专题 收集数据练习(含解析)
收集数据一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A. 05B. 09C. 07D. 20（正确答案）C解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为08，02，14，07，重复，舍去，43．可知选出的第4个数值为07．故选：D．从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案．本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题．2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石（正确答案）B解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为A. 18B. 20C. 24D. 26（正确答案）D解：由分层抽样得，解得，故选：D．根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4. 从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是A. 22B. 23C. 32D. 33（正确答案）B解：根据系统抽样方法的特点，从100名学生中抽取10名学生，组距是，当第一组中抽到的号码是03时，第三组中抽到的号码是．故答案为：B．根据系统抽样方法的特点，先求出组距是多少，再求第三组中抽到的号码是什么．本题考查了系统抽样的应用问题，系统抽样的间隔相等，所以抽出的样本在总体中的分布是均匀的．5. 将800个个体编号为，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为的个体中应抽取的个体数为A. 10B. 9C. 8D. 7（正确答案）D解：把这800个个体编上的号码，分成20组，则组距为；所以编号为的个体中应抽取的个体数为．故选：D．根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为的个体中应抽取的个体数即可．本题考查了系统抽样的特征与应用问题，是基础题目．6. 某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为A. 120B. 40C. 30D. 20（正确答案）B解：一年级学生400人，抽取一个容量为200的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为，解得，即一年级学生人数应为40人，故选：B．根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．7. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 1365石B. 338石C. 168石D. 134石（正确答案）C解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：C．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．8. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是A. 28、27、26B. 28、26、24C. 26、27、28D. 27、26、25（正确答案）A解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则在高一年级抽取的人数是人，高二年级抽取的人数是人，高三年级抽取的人数是人，故选：A．根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．9. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为A. 3，2B. 2，3C. 2，30D. 30，2（正确答案）A【分析】本题主要考查系统抽样的问题，当然要先考虑剔除的问题，属于基础题．先剔除两个，然后因为抽取30家，所以分成30组，所以每组抽取3家，所以间隔为3．【解答】解：不是整数，必须先剔除部分个体数，，剔除2个即可，而间隔为3．故选A．10. 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为A. 9，18，3B. 10，15，5C. 10，17，3D. 9，16，5（正确答案）A解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为，中级职称人数为，初级职称人数为．故选：A．根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．11. 为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是A. 8B. 400C. 96D. 96名学生的成绩（正确答案）C解：在本题所叙述的问题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，故选C．本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念，常见的有四个，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，选出答案．样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中．12. 某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为A. 90B. 100C. 180D. 300（正确答案）C解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为______．（正确答案）300解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二年级要抽取，高级中学共有900名学生，每个个体被抽到的概率是该校高二年级学生人数为，故答案为：300．用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．14. 已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取20人，则全校应一共抽取______ 人（正确答案）80解：设全校应一共抽取n人，则用分层抽样的方法可得，．故答案为：80．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．15. 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是______．（正确答案）7500解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是．故答案为：7500．由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．16. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为______ ．（正确答案）0055解：从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，系统抽样的分段间隔为，第一部分随机抽取一个号码为0015，抽取的第二个编号为0035，抽取的第三个编号为0055．故答案为：0055．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，抽样的分段间隔为，可得抽取的第3个号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．Ⅰ分别求出a，b，x，y的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．（正确答案）解：Ⅰ第1组人数，所以，分第2组人数，所以，分第3组人数，所以，分第4组人数，所以分第5组人数，所以分Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人分Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，分其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，分故所求概率为分Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．18. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为Ⅰ请完成上面的列联表；Ⅱ从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人中，每人入选的概率不必写过程Ⅲ把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．（正确答案）解：Ⅰ根据题意，共有105人，从中随机抽取1人为优秀的概率为，则两个班优秀的人数为，即两个班的优秀生共30人，乙班优秀的人数为；又由总人数为105和两个班的优秀生共30人，可得两个班的非优秀生共人，则甲班非优秀生有人；进而可得，甲班总人数为，乙班总人数为；填入表格为ⅡⅢ设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为．所有的基本事件有、、、、，共36个；事件A包含的基本事件有：、、、、、、、，共8个，答：抽到6号或10号的概率为．本题考查等可能事件的概率、列联表的意义以及抽样方法的运用，要将表中的数据与概率的计算综合运用起来．Ⅰ根据题意，由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，进而易得到表中各项数据的值；Ⅱ根据随机抽样的性质，每个人入选的概率都相等，即，代入数据可得答案；Ⅲ用列举法列举所有的基本事件与事件A包含的基本事件，可得其情况数目，有等可能事件的概率公式，计算可得答案．19. 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：单位：分甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127．以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．（正确答案）解：甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----分这20个数据的众数为121，----------------------------------分乙班的平均水平较高；----------------------------------------分※ 精 品 ※ 试 卷 ※※ 推 荐 ※ 下 载 ※由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------分 故应从第一组中抽取的人数为：，-------分 应从第二组中抽取的人数为：，--------------------------------分 应从第三组中抽取的人数为：-----------------------------------分根据茎叶图结合众数，平均数的定义进行判断即可；根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．。
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习最后冲刺试题含答案巩固训练(1)1. 点M 的直角坐标为(－3，3)，化为极坐标是________；点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－2π3，化为直角坐标是________．2. 极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为________________，极坐标方程ρsin 2 θ－2cos θ＝0表示的曲线是________．3. 以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4为圆心且经过极点的圆的极坐标方程为______________．4. 在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ和ρsin θ＝2的位置关系是__________．5. 极点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3的距离是________．6. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．7. 在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为____________．8. 在极坐标系中，已知P 为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上的任意一点．求点P 到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．9. 在极坐标系中，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，求r 的值．10. 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．答 案1. ⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3 (－2，－23) 解析：ρ＝（－3）2＋32＝23，tan θ＝3－3＝－3，θ在第二象限，故θ＝2π3，即点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3；由x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－23，故点P 的直角坐标为(－2，－23)．2. 一条直线或一个圆 抛物线 解析：由题意可得ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，故cos θ＝0或ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x ＝0或x 2＋y 2＝4y ，即该极坐标方程表示的曲线为一条直线或一个圆；ρsin 2θ－2cos θ＝0化为直角坐标方程为y 2－2x ＝0，即该极坐标方程表示的曲线为方程是y 2＝2x 的抛物线．3. ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 解析：点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π4化为直角坐标为(2，－2)，则半径为r ＝（2）2＋（2）2＝2，所以该圆的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，化为极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.4. 相切 解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.ρsin θ＝2化为直角坐标方程y ＝2，则该圆的圆心到直线的距离d ＝1＝r ，故该直线和圆相切．5. 62 解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝3化为直角坐标方程为x ＋y －3＝0，则原点到直线的距离d ＝|0＋0－3|12＋12＝62.6.3 解析：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即圆心为(1，0)，则点(1，3)到圆心(1，0)的距离d ＝02＋（3）2＝ 3.7. 22 解析：曲线C 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点M 化为直角坐标为(23，2)，则切线长为l ＝（23）2＋02－4＝8＝22，故切线长为2 2.8. 解析：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －7＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝8，直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0化为直角坐标方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线距离d ＝|0－1－7|12＋12＝4 2.又因为P 为圆上的任意一点，故点P 到直线的距离的最小值为22，最大值为6 2.9. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0.曲线ρ＝r ，即圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝||0－3×0－21＋3＝1.因为直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r>0)相切，所以r ＝d ，即r＝1.10. 解析：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心(2，0)，半径为2的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A(4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线与圆的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6，连结OB. 因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝23，因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.随堂巩固训练(2)1. 若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为________．2. 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________________．3. 已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，则AB ＝________．4. 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝2（e t－e －t ）(t 为参数)的普通方程为______________．5. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．6. 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t2(t 为参数)，焦点为F ，直线x ＋2y －12＝0与该抛物线交于A ，B 两点，则△ABF 的面积为________．7. 直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．8. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a的取值范围是________________．9. 设P ，Q 分别为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝6－2t (t 为参数)和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)上的点，则PQ 的最小值为________．10. 已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．12. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．13. 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1) 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2) 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求点P 的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．答 案1. －32 解析：由题意可得直线的普通方程为y ＝－32x ＋72，故直线的斜率为－32.2. y ＝x －2(2≤x ≤3) 解析：θ为参数，则sin 2θ∈[0，1]，x ∈[2，3]，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ，则⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝x －2，sin 2θ＝y ，故该直线的普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 52 解析：直线l 1化为普通方程为4x ＋3y －10＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －10＝0，2x －4y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝0，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12＋（0－2）2＝52.4. x 24－y216＝1(x ≥2) 解析：由参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t ＋2e －t ①，y ＝2e t －2e －t ②，把①和②平方相减得4x 2－y 2＝16，即x 24－y216＝1.又因为x ≥2e t ·e －t ＝2，故该参数方程的普通方程为x 24－y 216＝1(x ≥2)．5. 14 解析：由题意可得直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝22，所以直线被圆截得的弦长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 6. 25 解析：由题意得抛物线的普通方程为x 2＝4y ，则焦点F(0，1)，F 到直线的距离为d ＝|0＋2－12|12＋22＝2 5.由抛物线和直线的方程消y 得x 2＋2x －24＝0，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－24，所以AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝54（x 1－x 2）2＝55，所以S △ABF ＝12×25×55＝25.7. 相交 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离为d ＝|0－0－9|32＋（－4）2＝95<2＝r ，故直线与圆的位置关系是相交．8. [2－5，2＋5] 解析：曲线C 1的普通方程为x ＋2y －2a ＝0，即为一条直线，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，即为圆．因为直线与圆有公共点，所以d ＝|0＋4－2a|12＋22≤2，解得2－5≤a ≤2＋ 5. 9. 55 解析：直线的普通方程为2x ＋y －6＝0，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，故曲线C 表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，圆心到直线的距离为d ＝|2－2－6|22＋12＝65＝655，所以PQ 的最小值为655－5＝55.10. 12 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆心到直线的距离为d ＝22，所以AB ＝2r 2－d 2＝2，故S △ABC ＝12×22×2＝12.11. 解析：设点M ()2cos θ，23sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由题知OA ＝2，OB ＝23，所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大，最大值为2 6.12. 解析：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2) 方法一：将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t()t 为参数代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，所以t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.所以线段AB 的长为AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.方法二：由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，得直线l 的普通方程为3x－y ＋4＝0.由(1)知圆的圆心的坐标为(0，0)，半径R ＝4，所以圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）2＝2，故AB ＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3.13. 解析： (1) 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，故C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2) C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. 点A 坐标为()sin 2α，－cos αsin α，故当α变化时， 点P 轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116，故点P 轨迹是以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆． 巩固训练(3)1. 直线θ＝α与直线ρcos (θ－α)＝a(a ≠0)之间的位置关系为__________．2. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．3. 已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则AB 的长为________．4. 在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．5. 在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离等于________．6. 圆C ：ρ＝－4sin θ上的动点P 到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的最短距离为________．7. 在极坐标系中，射线θ＝π4被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为________．8. 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．9. 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则AB ＝________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为________．11. 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)截得的弦长．12. 已知在平面直角坐标系xOy 内，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2) 判断直线l 和圆C 的位置关系．13. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ.(1) 以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2) 若P(x ，y)是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值．答 案1. 垂直 解析：ρcos (θ－α)＝a 化为x cos α＋y sin α＝a ，θ＝α可化为x sin α－y cos α＝0.因为cos αsin α－sin αcos α＝0，所以这两条直线垂直．2. (3，－3) 解析：将直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)代入圆x 2＋y 2＝16得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6.将t 1，t 2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－23，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝0，所以AB 的中点坐标为(3，－3)．3. 14 解析：直线l 化为直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 化为普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22，所以AB ＝24－12＝14.4. ρcos θ＝2 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为(0，2)，故过点(2，2)的圆的切线方程为x ＝2，化为极坐标方程是ρcos θ＝2.5. 4 解析：点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332，点B 化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故A ，B 两点间的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332－322＝4. 6. 22－2 解析：圆C 化为直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，直线l 化为直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故圆上的动点P 到直线l 的最短距离为d ＝|0－2－2|12＋12－2＝22－2. 7. 22 解析：射线化为直角坐标方程y ＝x(x ≥0)，圆化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，两式联立消y 得2x 2－4x ＝0，即x 2－2x ＝0，故射线与圆的交点为(0，0)，(2，2)，所以射线被圆截得的弦长为22＋22＝2 2.8. 1 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，故点到直线的距离d ＝|3－3＋2|1＋（－3）2＝1.9. 2 解析：直线化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，圆化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，两式联立消x 得4y 2＝1，所以直线与圆的交点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1，－12，故AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝2.10. (2，－4) 解析：曲线C 1化为直角坐标方程为x ＋y ＋2＝0.将曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)代入x ＋y ＋2＝0，得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(2，－4)．11. 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程． 圆ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t 即2x －y ＝3，所以圆心在直线上．所以截得的弦长为3.12. 解析：(1) 消去参数t ，得直线的直角坐标方程为y ＝2x －3； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2) 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2， 所以直线l 和圆C 相交．13. 解析：(1) ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ两边同时除以ρ2，可得1＝364ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ，即1＝364x 2＋9y2， 故直角坐标方程x 29＋y 24＝1. (2) 设点P(3cos θ，2sin θ)，则3x ＋4y ＝9cos θ＋8sin θ＝145sin (θ＋φ)， 当sin (θ＋φ)＝1时，3x ＋4y 的最大值为145.巩固训练(4)1. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2. 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和的最小值为________．3. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是__________．4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1AF＋1BF ＝________．5. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，QF →＝3FP →，则直线l 的斜率为________．6. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)焦点为F ，准线l ：x ＝－32，点M在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF ＝－3，则△AFM 的面积为________．7. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，与它的准线交于点P ，则ABAP ＝ ________．8. 过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．9. 已知P ，Q 是抛物线x 2＝1a y(a>0)上的两点，过P ，Q 两点的不同切线交于点M ，若△MPQ 是等边三角形，则△MPQ 的面积为________．10. 过抛物线y 2＝4x 的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB ＝________．11. 已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1) 求抛物线的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．12. 已知过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0的直线与抛物线C ：y 2＝4x 交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(1) 求证：y 1·y 2为定值；(2) 若△AOB 的面积为814，O 为坐标原点，求直线AB 的方程．13. 已知抛物线C 的顶点为原点，焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．答案与解析巩固训练1. x 2－y23＝1 解析：由题意得，抛物线的准线为x ＝－2，所以双曲线的一个焦点为(－2，0)，又因为e ＝ca ＝2，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，故该双曲线的方程为x 2－y23＝1.2. 5 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点F(1，0)，即点(1，0)为焦点F ，故点P 到点A(－1，1)的距离与点P 到点(1，0)的距离之和最小时，P ，A ，F 三点共线，d min ＝AF ＝（－1－1）2＋12＝ 5.3. 3 解析：由题意得F ⎝⎛⎭⎪⎫14，0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1.因为A ，B 位于x轴两侧，所以y 1y 2＝－2.故S △ABO ＋S △AFO ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝|2y 1＋y 1|＋18×|y 1|＝|2y 1＋98y 1|≥3，当且仅当2y 1＝98y 1时，取等号，此时△ABO 与△AFO 面积之和最小值3.4. 1 解析：由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x ＝－1.设过点F 的直线方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.令点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线性质可知AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故1AF ＋1BF ＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.5. ±15 解析：过点P 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为P 1，设PF ＝k ，由抛物线性质可得PF ＝PP 1＝k ，QF ＝3k ，QP ＝4k ，在Rt △PQP 1中，QP 1＝（4k ）2－k 2＝15k ，则tan ∠QPP 1＝15，故直线l 的斜率为±15.6. 93 解析：由题意得抛物线C ：y 2＝6x ，焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0.又因为k AF ＝－3，MA ⊥l ，所以∠MAF ＝60°，又由抛物线性质得AM ＝FM ，故△AFM 为等边三角形．又AF ＝2FO 12＝4FO ＝6，故S △AFM ＝12×6×6×sin 60°＝9 3.7. 23 解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 260°＝83p ，即有x 1＋x 2＝53p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消去y并整理得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，AP ＝4p ，故AB AP ＝23.8. 163 解析：由题意得抛物线的焦点F(0，1)，由直线的倾斜角为30°，故直线方程为y －1＝33x ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得14x 2－33x －1＝0，则x 1＋x 2＝433，x 1x 2＝－4，AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝43（x 1－x 2）2＝43×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋16＝163.9. 334a 2 解析：由对称性可知点M 在y 轴上，则此时PM ，QM 的斜率分别为±3，y ＝ax 2，y′＝2ax ＝±3，故PQ ＝3a ，所以S △MPQ＝12×3a ×3a ×sin 60°＝334a 2.10. 16 解析：由抛物线过焦点弦公式得AB ＝4（sin 30°）2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.11. 解析：(1) 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，且p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y.(2) 设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24， 所以直线AO 的方程是y ＝x 14x.由⎩⎨⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，所以x M ＝84－x 1，同理x N ＝84－x 2，所以MN ＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2. 设直线AB ：y ＝kx ＋1，因为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，得MN ＝82|4k 2＋116－16k －4|＝82k 2＋1|4k －3|.设4k －3＝t ，t ≠0， 所以k ＝3＋t4， ①当t>0时，MN ＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；②当t<0时， MN ＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝852，所以此时MN 的最小值为852，此时t ＝－253， k ＝－43.综上所述，MN 的最小值为85 2.12. 解析：(1) 当直线AB 垂直于x 轴时，y 2＝4×92＝18，得y 1＝32，y 2＝－32，所以y 1·y 2＝－18.当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，y 2＝4x ，得ky 2－4y －18k ＝0，由根与系数的关系可得y 1·y 2＝－18. 综上，y 1·y 2为定值．(2) 由(1)得y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－18， AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1k 2×72＋16k 2.点O 到直线AB 的距离d ＝|－9k|4k 2＋4， S △OAB ＝12×1＋1k 2×72＋16k 2×|－9k|4k 2＋4＝814.解得k ＝±43. 直线AB 的方程为y ＝±43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －92，即4x ＋3y －18＝0或4x －3y －18＝0.【注】①分直线与x 轴垂直和不垂直两种情况，当直线与x 轴垂直时直接求出y 1y 2；当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y 1y 2为定值；②利用弦长公式求出AB 的长度，再由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，代入三角形面积公式求得k 值，则直线AB 的方程可求．13. 解析：(1) 根据题意，设抛物线C 的方程x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c>0，解得c ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2) 抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y′＝12x.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中y 1＝14x 21，y 2＝14x 22)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P(x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程xx 0－2y 0－2y ＝0的两组解， 所以直线AB 的方程为xx 0－2y 0－2y ＝0.巩固训练（6）1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1) 化简：A 1O →－12AB →－12AD →＝________；(2) 用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝______________．2. 在四面体OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可表示为____________(用a ，b ，c 表示)．3. 已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A ，B ，C ，D 四点中一定共线的三点是________．4. 在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(填序号)①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0; ④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.5. 已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝____________．(用向量a ，b ，c 表示)6. 已知G 是△ABC 的重心，O 是空间内与点G 不重合的任意一点，若OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________．7. 已知在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各式：(1) AG →＋13BE →－12AC →； (2) 12(AB →＋AC →－AD →)．8. 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1) 判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2) 判断点M 是否在平面ABC 内．9. 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1) OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2) PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.答案随堂巩固训练(7)1. (1) A 1A → (2) 12AB →＋12AD →＋AA 1→ 解析：(1) A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2) OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，故OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 2. 12a ＋14b ＋14c 解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .3. A ，B ，D 解析：由已知得BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以BD →与AB →共线，且有公共点B ，故A ，B ，D 三点共线．4. ③ 解析：若有MA→＝xMB →＋yMC →，则点M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则点M 与点A 、B 、C 共面，①②④不满足x ＋y ＋z ＝1，③满足MA →＝xMB →＋yMC →，故③正确．5. 3a ＋3b －5c 解析：因为EF→＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF→，两式相加，得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．因为E 是AC 的中点，所以EA →＋EC →＝0.同理，BF →＋DF →＝0，所以EF →＝12(AB →＋CD →)＝12[(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )]＝3a ＋3b －5c .6. 3 解析：由于G 是三角形ABC 的重心，则有GA →＋GB →＋GC →＝0，即OA→－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.又由题目已知OA→＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 7. 解析：(1) AG →＋13BE →－12AC →＝AE →－12AC →＝12(AD →＋AC →)－12AC →＝12AD →＝AF →.(2) 12(AB →＋AC →－AD →)＝AH →－12AD →＝AH →＋FA →＝FH →. 8. 解析：(1) 由OA→＋OB →＋OC →＝3OM →， 得OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA→，MB →，MC →共面． (2) 由(1)知MA→，MB →，MC →共面，且共过同一点M ， 所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内． 9. 解析：(1) 如图所示．因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2) 因为PA→＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又PC→＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →， 所以PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →， 所以x ＝2，y ＝－2.巩固训练(8)1. 在△ABC 中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为____________________．2. 已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________．3. 已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则|a ＋b |＝________．4. 已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝________．5. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________________________________________________________________________.6. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．7. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥PABC 的体积为________．8. 如图，已知空间几何体ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1) 求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2) 若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM→⊥BF →，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1) 求|BN→|； (2) 求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3) 求证：A 1B ⊥C 1M.10. 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A 1P →＝λA 1B →，且PC ⊥AB.求：(1) λ的值；(2) 异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．答案与解析 随堂巩固训练(9)1. B(6，－4，5)，C(9，－6，10) 解析：由A(2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C(9，－6，10)．2. －2 解析：计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行，得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2.3. 19 解析：因为|a －b |＝7，所以|a |2＋|b |2－2a ·b ＝7.又因为|a |＝3，|b |＝2，所以a ·b ＝3，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝9＋4＋2×3＝19，则|a ＋b |＝19.4. 103 －6 解析：若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，所以x ＝103；若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，所以x ＝－6.5. －2或255 解析：cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或λ＝255.6. 459 解析：设正方体的棱长为2，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝4－4－13×3＝－19，故sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.7. 118 解析：以{BA →，BC →，BB 1→}为单位正交基底，建立空间直角坐标系(如图)，设BP →＝λBD 1→，可得P(λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|＝2λ（λ－1）＋λ22λ2＋（λ－1）2＝11＋13λ2－2λ，可求得当λ＝13时，∠APC最大，故V PABC ＝13×12×1×1×13＝118.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则BE →＝(3，0，1)，BF →＝(0，3，2)，BD 1→＝(3，3，3)， 所以BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面． 又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面．(2) 如图，设M(0，0，z)，则GM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－23，z .又BF →＝(0，3，2)．由题设得GM →·BF →＝0，得z ＝1. 所以M(0，0，1)．因为E(3，0，1)，所以ME→＝(3，0，0)． 又BB 1→＝(0，0，3)，BC →＝(0，3，0)， 所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0， 所以ME ⊥BB 1，ME ⊥BC. 因为BB 1，BC平面BCC 1B 1，BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.9. 解析：(1) 建立以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系．由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， 所以BN→＝(1，－1，1)， 所以|BN→|＝12＋（－1）2＋12＝ 3. (2) 由(1)知A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)， 则BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝0－1＋46×5＝3010. (3) 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，C 1(0，0，2)则A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 即A 1B →与C 1M →的夹角为90°， 所以A 1B ⊥C 1M.10. 解析：(1) 设正三棱柱的棱长为2，以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)，所以AB →＝(3，1，0)，CA 1→＝(0，－2，2)，A 1B →＝(3，1，－2)． 因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB→＝0， 所以(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0，即(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0， 得λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(2) 由(1)知CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AC 1→＝(0，2，2)， 所以cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22×22＝－28， 所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.随堂巩固训练(10)1. 已知a ＝(1，1，2)，b ＝(－1，－1，3)，且(k a ＋b )∥(a －b )，则k ＝________．2. 已知a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，则m ，n 的值分别为________．3. 已知A(－3，5，－2)，向量a ＝(－1，1，1)，若在yOz 平面上找一点B ，使得AB→∥a ，则点B 的坐标为________．4. 已知a ＝(2，－1，1)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(11，5，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ的值为________．5. 已知M 1(2，5，－3)，M 2(3，－2，－5)，O 为坐标原点，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2→＝4MM 2→，则向量OM →的坐标为__________．6. 若正三棱锥的三个侧面两两垂直，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________．7. 已知O 为坐标原点，OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OC →＝(1，1，2)，点M 在直线OC 上运动．当MA →·MB→取最小值时，求点M的坐标．8. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.9. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.答案与解析 随堂巩固训练(10)1. －1 解析：由题意得k a ＋b ＝(k －1，k －1，2k ＋3)，a －b ＝(2，2，－1)．又(k a ＋b )∥(a －b )，所以k －12＝k －12＝2k ＋3－1，解得k＝－1.2. －6，2 解析：因为a ∥b ，所以－24＝3m ＝－1n ，解得m ＝－6，n ＝2.3. (0，2，－5) 解析：设点B(0，y ，z)，则AB→＝(3，y －5，z ＋2)．又因为AB →∥a ，所以3－1＝y －51＝z ＋21，解得y ＝2，z ＝－5，那么点B 的坐标为(0，2，－5)．4. 1 解析：由题意可知a ，b 不共线，令c ＝m a ＋n b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝11，－m ＋4n ＝5，m －2n ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，n ＝3，λ＝1，此时a ，b ，c 共面，λ的值为1. 5. ⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92 解析：由题意得M 1M 2→＝(1，－7，－2)，M 1M 2→＝4MM 2→，所以MM 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫14，－74，－12，OM →＝OM 2→－MM 2→＝(3，－2，－5)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－74，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫114，－14，－92.6. 33 解析：以正三棱锥OABC 的顶点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为1，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，侧面OAB 的一个法向量为OC→＝(0，0，1)，底面ABC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫13，13，13，所以cos 〈OC→，n 〉＝33，故侧面与底面所成的二面角的余弦值为33.7. 解析：设OM→＝λOC →＝(λ，λ，2λ)，则 MA →·MB →＝(OA →－OM →)·(OB →－OM →)＝OA →·OB →－(OA →＋OB →)·OM →＋|OM →|2＝10－3λ－3λ－10λ＋λ2＋λ2＋4λ2＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，所以当MA →·MB →取最小值时，λ＝43， 故OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则点N ，E 的坐标分别为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)， 所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.因为点A ，M 的坐标分别为A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以NE →＝AM →且NE 和AM 不共线， 所以NE ∥AM.又NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，所以AM ∥平面BDE.(2) 因为D(2，0，0)，F(2，2，1)， 所以DF→＝(0，2，1)． 所以AM →·DF→＝0， 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以AM →⊥DF →. 同理AM→⊥BF →， 又DF ∩BF ＝F ，DF ，BF 平面BDF ， 所以AM ⊥平面BDF.9. 解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12A 1D 1→＋12D 1C 1→＝12b ＋12a .因为AC→＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 所以AC→＝2EG →，故AC →∥EG →，即EG ∥AC . 又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D →＝12b －12c ， B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →， 所以EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C .又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ，EG ，EF 平面EFG ，AC ，B 1C 平面AB 1C ，所以平面EFG ∥平面AB 1C .巩固训练(11)1. 在二面角中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，则二面角的大小为____________．2. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为________．3. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AB ＝2AC ＝2a ，则AB 与平面PBC 所成角的正弦值为________．4. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是对角线BD 1上的点，且BE ∶ED 1＝1∶3，则AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．5. 已知l ∥α，且直线l 的一个方向向量为(2，m ，1)，平面α的一个法向量为⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2，则实数m ＝________．6. 已知△ABC 是等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝12AC ，则二面角P-BC-A 的大小是________．7. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ，则二面角APBC 的余弦值为________．8. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是线段BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1A 1DC 1的余弦值．9. 如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1) 求证：MN ∥平面ABCD ； (2) 求二面角D 1ACB 1的正弦值；(3) 设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．10. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1) 求证：D 1E ⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到平面ACD 1的距离； (3) 试求AE 等于何值时，二面角D 1ECD 的大小为π4.答案与解析随堂巩固训练(11)1. 30°或150° 解析：在二面角α-l-β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，所以cos 〈n 1，n 2〉＝0－14－23×94＝－32，则二面角α-l-β的大小为30°或150°. 2. 90° 解析：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，A 1P ＝t(0≤t ≤2)，A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，P(2，t ，2)，AM→＝(－2，0，1)，OP →＝(1，t －1，2)，所以AM →·OP →＝－2＋0＋2＝0，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为90°.3. 55 解析：如图，作AD ⊥PC ，连结BD ，因为PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以PA ⊥BC.又因为AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.因为AD 平面PAC ，所以BC ⊥AD.因为AD ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，BC ，PC 平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ，所以∠ABD 为直线AB 与平面PBC 所成的角．在Rt △PAC 中，由等面积可得AD ＝2a ×a 5a ＝25a 5，在Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝55，所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.4. 31111 解析：建立以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系，令该正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，12.由正方体的性质取AB →为平面BCC 1B 1的一个法向量，AB →＝(2，0，0)，所以cos 〈AB →，AE →〉＝31111，故AE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为31111.5. －8 解析：由题意得(2，m ，1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝4＋12m ＝0，解得m ＝－8.6. 30° 解析：取PC ，AC 的中点E ，F ，连结EF ，BF ，以点F 为原点，FB 所在直线为x 轴，FC 所在直线为y 轴，FE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，令△ABC 的边长为2，则P(0，－1，1)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A(0，－1，0)，所以PB→＝(3，1，－1)，PC →＝(0，2，－1)，BC →＝(－3，1，0)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －z ＝0，2y －z ＝0，－3x ＋y ＝0，即⎩⎨⎧z ＝2y ，x ＝33y ，取y ＝1，故平面PBC 的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，2，由题可知P A →为平面ABC 的一个法向量，则P A →＝(0，0，－1)，所以cos 〈n 1，P A →〉＝－32，故二面角PBCA 的大小为30°.7. －277 解析：令AD ＝1，则AB ＝2，由∠DAB ＝60°易知DB ＝3，所以DA ⊥DB.以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，所以PA →＝(1，0，－1)，PB→＝(0，3，－1)，PC →＝(－1，3，－1)．设平面APB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝3，得平面APB 的一个法向量为n ＝(3，3，3)．设平面PBC 的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝0，－a ＋3b －c ＝0，取b ＝3，得平面PBC 的一个法向量为m ＝(0，3，3)．令二面角APBC 的平面角为θ，由题可知θ为钝角，故cos θ＝－|cos 〈n ，m 〉|＝－|n ·m |n ||m ||＝－|3＋921×12|＝－277.8. 解析：(1) 因为在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)， 所以A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝(1，2，－3)． 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1C 1→＝0，n 1·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3z 1，y 1＝0，取z 1＝1，则平面A 1C 1D 的一个法向量n 1＝(3，0，1).DB 1→＝(1，－2，3)，所以|cos 〈n 1，DB 1→〉|＝|n 1·DB 1→||n 1||DB 1→|＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) 由(1)得A 1B 1→＝(2，0，0)，DB 1→＝(1，－2，3)．设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·A 1B 1→＝0，n 2·DB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，得平面B 1A 1D 的一个法向量n 2＝(0，3，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝13065，所以二面角B 1A 1DC 1的余弦值的大小为－13065.9. 解析：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1，N(1，－2，1)，所以MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0.依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由此可得MN →·n ＝0.又因为直线MN 平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2) 由(1)得AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0.不妨设z 1＝1，可得平面ACD 1的一个法向量n 1＝(0，1，1)． 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC→＝0.又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1), 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，。
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--解三角形 二(10题含答案)
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--解三角形 二1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为a23sin A.(1)求sin Bsin C ；(2)若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC 的周长． 2.∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求CB∠∠sin sin ;(Ⅱ) 若AD =1，DC =22求BD 和AC 的长.3.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．4.在△ABC中，角的对边分别为，且满足. （1）求角的值；（2）设，当取到最大值时，求角A、角C的值．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccos A=3. (Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅱ)若，求a的值．6.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.7.在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且.求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。
8.在锐角中，角的对边分别为，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求周长的取值范围.9.在△ABC中，．（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．10.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量与平行．（1）求A；（2）若，b=2，求△ABC的面积．答案解析1.解：(1)由题设得12acsin B=a 23sin A ，即12csin B=a3sin A .由正弦定理得12sin Csin B=sin A 3sin A .故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C －sin Bsin C=－12，即cos(B ＋C)=－12.所以B ＋C=2π3，故A=π3.由题设得12bcsin A=a23sin A ，a=3，即bc=8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc=9，即(b ＋c)2－3bc=9，由bc=8，得b ＋c=33.故△ABC 的周长为3＋33. 2.解：（Ⅰ）1sin 2ABDSAB AD BAD =∠ 1sin 2ADCSAC AD CAD =∠ 因为ABDADCSS=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠（Ⅱ）因为::ABDADCSSBD DC =，所以BD =在ABD 和ADC 中，由余弦定理知2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠， 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠故222222326AB AC AD BD DC +=++= 由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC = 3.4.（1）；（2）.5.6.7.8.9.10.。
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2020高考数学三轮冲刺解答题专练--统计二1.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?2.为了了解初中学生的体能情况，从实验中学八年级学生中随机抽取若干名学生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.1米)进行整理后，分成6组，画出频率分布直方图.如下图所示是频率分布直方图的一部分，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第六小组的频数是7.(1)请将频率分布直方图补充完整；(2)该校参加这次铅球测试的学生有多少人？(3)若成绩在8.0米以上(含8.0米)的为合格，试求这次铅球测试的合格率；(4)在这次测试中，你能确定该校参加测试的学生的铅球成绩的中位数落在哪个小组内吗？3.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少；(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：（1）在同一张图上画散点图，直线ˆy(1)=24＋2.5x，ˆy(2)=602xx；（2）比较所画直线与曲线，哪一条更能表现这组数据之间的关系？（3）分别计算用直线方程与曲线方程得到在5个x点处的销售额预测值、预测值与实际预测之间的误差，最后比较两个误差绝对值之和的大小。
5. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：(1)请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系(当|r|＞0.81时，说明y 与x 之间具有线性相关关系)；(2)根据(1)的判断结果，建立y 与x 之间的回归方程，并预测当x=24时，对应的利润y ^为多少(b ^，a ^，y ^精确到0.1)． 附参考公式：回归方程中y ^=b ^x ＋a ^中b ^和a ^最小二乘估计分别为b ^=∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^=y －b ^x ，相关系数r=∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1ni－x2∑i ＝1ni－y2.参考数据：∑i ＝18x i y i =241，∑i ＝18x 2i=356，∑i ＝18i－x2≈8.25，∑i ＝18i－y2=6.6.微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众帐号，手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：若某人一天的走路步数超过8 000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．(1)利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10 000步的概率；(2)根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K 2=－2＋＋＋＋，其中n=a ＋b ＋c ＋d.7.某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费x i (万元)和销售量y i (万台)的数据如下.(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y=c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系可得回归方程y ^=1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型及该模型的R 2分别为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z=200y －x ，根据(2)的结果，当广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？参考公式：b ^=∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^=y －b ^x .参考数据：5≈2.24.8.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.9.了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2)根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．10.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。
假设两地区用户的评价结果相互独立。
根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率答案解析1.解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,因此第二小组的频率为:391517424+++++=0.08;又因为第二小组频率=样本容量第二小组频数,所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=错误！未找到引用源。
150.(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%.2.3.解：4.解：（1）所求图形如下图．（2）从图形上看，曲线ˆy (2)=602xx+比直线ˆy (1)=24＋2.5x 更能表现出这组数据之间的关系．（3）列表略：用直线ˆy (1)=24＋2.5x 近似数据时，误差绝对值的和为27.5．用曲线ˆy(2)=602xx+近似数据时，误差绝对值的和为12.5，比前者小得多． 5.解：(1)由题意得x =6，y =4.又∑i ＝18x i y i =241,∑i ＝18i－x2≈8.25，∑i ＝18i－y2=6，所以r=∑i ＝18x i y i －8xy∑i ＝18i－x2∑i ＝18i－y2≈241－8×6×48.25×6≈0.99＞0.81，所以y 与x 之间存在线性相关关系．(2)因为b ^=∑i ＝18x i y i －8xy∑i ＝18x 2i －8 x 2=241－8×6×4356－8×62≈0.7，a ^=y －b ^ x ≈4－0.7×6=－0.2， 所以回归直线方程为y ^=0.7x －0.2.当x=24时，y ^=0.7×24－0.2=16.6，所以预测当x=24时，对应的利润y ^为16.6. 6.解：(1)根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10 000步的有8人， ∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10 000步的概率P=840=0.2.(2)根据题意完成2×2列联表如下：∴K 2=－220×20×21×19≈2.5＜2.706，∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关． 7.解：(1)∵x =8，y =4.2，∑i ＝17x i y i =279.4，∑i ＝17x 2i =708，b ^=∑i ＝17x i y i －7xy∑i ＝17x 2i －7 x 2=279.4－7×8×4.2708－7×82=0.17，a ^=y －b ^ x =4.2－0.17×8=2.84. ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.17x ＋2.84.(2)R 2越大反映残差平方和越小，拟合效果越好，∵0.75＜0.88，∴选用非线性回归模型y ^=1.63＋0.99x 更好．(3)由(2)知，当x=20时，销售量的预报值y ^=1.63＋0.9920≈6.06(万台)，利润的预报值z ^=200×(1.63＋0.9920)－20≈1 191.48(万元)．8.解：(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为360500=72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为320500=64%. (2)完成的2×2列联表如下：由表中数据计算得K 2的观测值k=－2500×500×680×320≈7.35＞6.635， 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异．”9.解：（1）由题意可知(0.2+0.15+0.075+a+0.025)×2=1，解得a=0.05，所以此次测试总人数为4÷(0.05×2)=40；(2)由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.15+0.05)×2=0.5，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4；（3）设事件A ：从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组， 由已知，测试成绩在[2,4)有2人，记为a,b ；在[10,12]有4人，记为A,B,C,D ， 从这6人中随机抽取2人有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD ， 共15种情况，事件A 包括aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8种情况，所以P(A)=.10.解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。