2010届中考数学探索规律.doc

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中考数学复习专题2 规律探索型问题数学课件

2．解图形规律探索题的方法：第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数；函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，

中考数学热点题型――规律探索篇

中考数学热点题型――规律探索篇新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：一、从数的运算中探索规律例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿.分析观察这一组数有以下特征：1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝1 2(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三角形数的大小，即可求解.解因为1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝12(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……，所以第98个这样的三角形数是12(982+98)，第100个这样的三角形数是12(1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为12(1002+100)－12(982+98)＝12(1002－982+100－98)＝12(198×2+2)＝199.故应填199.说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.二、从式的运算中探索规律例2（杭州市）给定下面一列分式：3xy，－52xy，73xy，－94xy，…，（其中x≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号.解（1）因为－52xy÷3xy＝73xy÷(－52xy)＝－94xy÷(－73xy)＝…＝－2xy，所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－2xy.（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号，所以第7个分式应该是157x y. 说明求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一个式子的特点，及时地发现、归纳出一般规律.三、从图形特征中探索规律例3（温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表和如图2所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿.分析由数据1，1，2，3，5，8，13，…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为2＝1+1，3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，…，89＝34+55，144＝55+89，233＝89+144，…，相应的宽分别为1，1+1，1+2，2+3，3+5，…，21+34，34+55，55+89，….由此可以获解.解依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55＝89，长为55+89＝144，所以号为⑩的矩形周长是(89+144)×2＝233×2＝466.故应填上466.说明求解本题的关键一要正确理解1，1，2，3，5，8，13，…的规律，二是以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.四、从图案中探索规律例4（乐山市）认真观察图3①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：① ② 图3 11231511211321④③②①图2 11235...图1（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征1：______；特征2：______.（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.分析通过观察每一个图案的特征可以发现：它们既是轴对称图案，又是中心对称图案，并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.说明本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就.五、从阅读理解中探索规律例5（乐山市）如图5，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）（1）求点OP 6的坐标；（2）求△P 5OP 6的面积；（3）我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y )称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来.分析先从中探索出一般规律，然后再进一步求解.解（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P 6(0，26)，即P 6(0，64).（2）由已知可得，△P 0OP 1∽△P 1OP 2∽…∽△P n －1OP n ，设P 1(x 1，y 1)，则y 1＝2sin45°所以S △P 0OP 1＝12×1＝2.又因为61OP OP ＝32，所以5601P OP P OP S S △△＝2321⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1024，即S △P 5OP 6＝1024×2＝（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n . ①当n ＝8k 或n ＝8k +4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(2n ，0)；②当n ＝8k +1或n ＝8k +3或n ＝8k +5或n ＝8k +7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，此时，点P n 的绝对坐标为×2n，2×2n )，即(2n －2n －；③当n ＝8k +2或n ＝8k +6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(0，2n).图4说明本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还5综上所言，规律探索试题一般是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.求解时，只要能根据已知条件或特例中发现规律即可简捷解答.。

中考数学复习攻略专题1 规律探索与归纳推理(含答案)

重点专题突破专题一规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1；第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)；第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。

浅析中考数学题型中的规律探索问题

浅析中考数学题型中的规律探索问题拉萨市第八中学李家强纵观近年来全国各省市的中考数学题，从中可以发现一个共同的特点，那就是规律探索问题。

它已经成为中考命题中的热点试题，它的出现，对初中数学教学产生了积极的导向作用，且有利于新课程改革的进一步深化。

这类问题主要是考查学生发散性思维和所学基本知识的应用能力，同时要求学生具有一定的数学猜想能力和逻辑推理能力，能够根据题目中给出的一组有规律的数、算式或图形，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所做出的猜想进行验证；从特殊情况入手，分析特点，探索事物的内在规律，从而得出结论。

而此类问题的突破和解决往往取决于日常学习中积累的数学感悟以及对或显或隐的结构特征的认识和把握。

规律探索问题大致可分为两种类型：一种是图形规律探索问题，另一种是数字或字母规律探索问题。

两者存在一定的共性，也存在着个性；同时两者之间也可以相互转化，相互渗透，相辅相成。

图形规律探索问题往往给出几个简单的图形，通过观察、归纳、猜想等方法，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明，得出符合题设条件的规律，进而得出答案。

解决与图形有关探索问题的思维方法是：采用从特殊到一般的探索思路，即通过观察几个特殊的例子进行比较、归纳和分析综合，得到一般规律，这是解决这类问题的重要方法。

数字或字母规律探索问题与图形规律探索问题相类似，对于一般数字或字母规律探索问题较为简单，只要经过观察、分析、比较、类比、归纳等探索，就能找出规律来，从几个简单的、特殊的情况出发，逐步探索，归纳出一般规律和性质，是解答有关数字或字母规律探索问题常用的方法，下面就以上方法举出几例加以说明：例1：如图所示，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n 个图形需要根小棒（用含n 的代数式表示）。

解析：第（1）个图形的小棒数量可看成3=4×1-1，第（2）个图形的小棒数量可看成7=4×2-1，第（3）个图形的小棒数量可看成11=4×3-1，所以第n 个图形中由（4n-1）根小棒组成。

中考数学专题复习— 探索规律问题完整版后附真题剖析

解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只要我们善于观察、勤于思考，就可以发现它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已

2010中考数学试题分类汇编-规律探索.doc

(3)(2)(1)C 3B 3A 3A 2C 1B 11C B AC 2B 2B 2C 2A B C 1B 1C 1A 2C 1B 11C B A … 图4 2010年中考数学试题分类汇编——规律探索（2010哈尔滨）１．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★28（2010红河自治州）15. 如图4，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 3n 个.(2010遵义市)小明玩一种的游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表:当对应所得分数为132分时,则挪动的珠子数为 ▲ 颗. 答案：12(2010台州市)如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为(结果保留π) ▲ ．答案：83+4）π（玉溪市2010）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(第16题)l（1）AB 平行于CD ．如图a ，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．如图b ，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立？，若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. 延长BP 交CD 于点E,∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠F=360°. …………11分（桂林2010）18．如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2； P 是线段CD上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是________．3图aO图bO图c图dG第17题AB CA 1A 2A 3B 1B 2 B 3（2010年连云港）17．如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝________．(2010济宁市)18．（6分）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ . （2010宁波市）25．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是________；（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是；（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y ，求x ＋y 的值．……图③图②图①（2010年成都）24．已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y 是反比例函数ky x=图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a =（a 是非零常数），则12n A A A 的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．答案：(2)1n a n +（2010年眉山）16．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．答案：17北京12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D 。

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是。

中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学复习专题33 探索规律问题

专题33 探索规律问题☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．（2015十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A ．222B ．280C ．286D ．292【答案】D ．【解析】试题分析：设连续搭建三角形x 个，连续搭建正六边形y 个．由题意得，，解得：．故选D ．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am =（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2015=（）A ．（31，50）B ．（32，47）C ．（33，46）D ．（34，42）【答案】B ．【解析】试题分析：2015是第=1008个数，设2015在第n 组，则1+3+5+7+…+（2n ﹣1）≥1008，即，解得：n =31时，1+3+5+7+…+61=961；当n =32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，215120166x y x y +++=⎧⎨-=⎩292286x y =⎧⎨=⎩201512+(121)10082n n +-≥n ≥第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（）=47个数．故A 2015=（32，47）．故选B ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．4．（2015包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．（2015重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第☞个图形中一共有6个小圆圈，第☞个图形中一共有9个小圆圈，第☞个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第☞个图形中小圆圈的个数为（）A ．21B ．24C ．27D ．30【答案】B ．【解析】试题分析：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…，第n 个图形有3+3n =3（n +1）个圆圈，当n =7时，3×（7+1）=24，故选B ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．6．（2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：2015192312-+4397161525313635476263根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】试题分析：☞a+（a+2）=20，☞a=9，☞b=a+1，☞b=a+1=9+1=10，☞x=20b+a=20×10+9=200+9=209，故选C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．（2015重庆市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图☞中有2个黑色正方形，图☞中有5个黑色正方形，图☞中有8个黑色正方形，图☞中有11个黑色正方形，…，依次规律，图☞中黑色正方形的个数是（）A．32 B．29 C．28 D．26【答案】B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163【答案】B．【解析】试题分析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，故答案为：161．考点：1．规律型；2．综合题．9．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（）A．0 B．3 C．4 D．8【答案】B．考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．（2015宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A ．231πB ．210πC ．190πD ．171π【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得：阴影部分的面积和为： =3π+7π+11π+15π+…+39π=5（3π+39π）=210π．故选B ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．11．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，☞B 1C 1O =60°，B 1C 1☞B 2C 2☞B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D ．222222(21)(32)...(2019)πππ-+-++-201421）（201521）（201533）（201433）（考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，☞OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作☞B 2A 2B 1与☞OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作☞B 2A 3B 3与☞B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则☞B 2nA 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（）A ．（4n ﹣1B ．（2n ﹣1C ．（4n +1D．（2n +1）【答案】C ．…，☞1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，☞An 的横坐标是2n ﹣1，A 2n +1的横坐标是2（2n +1）﹣1=4n +1，☞当n 为奇数时，An ，当n 为偶数时，An 的纵坐标是，☞顶点A 2n +1☞☞B 2nA 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（4n +1．故选C ．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．13．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3…都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3…都在直线上，☞OA 1B 1，☞B 1A 1A 2，☞B 2B 1A 2，☞B 2A 2A 3，☞B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2015的坐标是（）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）【答案】A ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题． 14．（2015河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（）A ．（2014，0）B ．（2015，﹣1）C ．（2015，1）D ．（2016，0）【答案】B ．【解析】试题分析：半径为1个单位长度的半圆的周长为：，☞点P 从原点O 出发，y x=20142201422015220152201422015220152201422π121=2ππ⨯⨯沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，☞点P 1秒走个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0），…，☞2015÷4=503…3，☞A 2015的坐标是（2015，﹣1），故选B ．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．（2015张家界）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（）A ．46B ．45C ．44D ．43【答案】B ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．16．（2015邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图☞位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图☞位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．2015πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π【答案】D ．2π125323+=119733++=1917151343+++=3m【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A 的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：++2π=6π，2015÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型．17．（2015威海）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 10B 10C 10D 10E 10F 10的边长为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．90331802ππ⨯=90551802ππ⨯=9042180ππ⨯=90331802ππ⨯=32π52π9243292981282考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：；；；；…请你猜想的展开式第三项的系数是（）A ．36B ．45C ．55D ．66【答案】B ．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．222()2a b a ab b +=++33223()33a b a a b ab b +=+++4432234()464a b a a b a b ab b +=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++10()a b+19．（2015宁波）如图，将☞ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 2处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将☞ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为h 2015，到BC 的距离记为h 2015．若h 1=1，则h 2015的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律型；5．综合题．20．（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；2015212014212015211-2014212-10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．【解析】试题分析：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．考点：规律型：数字的变化类．21．（2015淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行，第b 列，则a +b = ．【答案】147．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．22．（2015雅安）若，，…，是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若=1525，，则，，…，中为2的个数是．【答案】510．【解析】1m 2m 2015m 122015...m m m +++222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=1m 2m 2015m试题分析：☞，，…，是从0，1，2这三个数中取值的一列数，☞的值只能是1或0，☞，☞，，…，中值为1的个数为：2015－1510=505，☞，☞，☞，☞=1525，☞=2545，☞=2545，，，，☞，，…，中值为2的个数为：（2545－505）÷4=510．故答案为：510．考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．23．（2015桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有个点．【答案】或（）．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．24．（2015梧州）如图是由等圆组成的一组图，第☞个图由1个圆组成，第☞个图由5个圆组成，第☞个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第☞个图由个圆组成．1m 2m 2015m 2(1)i m -222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=1m 2m 2015m 222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=2221122201520152121...211510m m m m m m -++-+++-+=222122015122015...2(...)20151510m m m m m m +++-++++=122015...m m m +++222122015...m m m +++222122015...m m m +++200=211=224=1m 2m 2015m 1321n -⨯-1221n n -+-【答案】51．【解析】试题分析：根据图形可得第n 个图形一定有n 排，最上边的一排有n 个，下边的每排比上边的一排多1个，故第☞个图形中圆的个数是：6+7+8+9+10+11=51．故答案为：51．考点：规律型：图形的变化类．25．（2015百色）观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是（用含n 的式子表示）【答案】．考点：1．规律型：图形的变化类；2．规律型；3．综合题．26．（2015北海）如图，直线与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，Pn ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，Tn ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，Sn ﹣1分别表示Rt ☞T 1OP 1，Rt ☞T 2P 1P 2，…，Rt ☞Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积，则当n =2015时，S 1+S 2+S 3+…+Sn ﹣1= ．23322n n+22y x =-+【答案】．【解析】试题分析：☞P 1，P 2，P 3，…，Pn ﹣1是x 轴上的点，且OP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=Pn ﹣2Pn ﹣1=，分别过点p 1、p 2、p 3、…、pn ﹣2、pn ﹣1作x 轴的垂线交直线于点T 1，T 2，T 3，…，Tn ﹣1，☞T 1的横坐标为：，纵坐标为：，☞S 1==，同理可得：T 2的横坐标为：，纵坐标为：，☞S 2=， T 3的横坐标为：，纵坐标为：，S 3=， …Sn ﹣1=）， ☞S 1+S 2+S 3+…+Sn ﹣1= ==，100720151n22y x =-+1n 22n -112(2)2n n ⨯-11(1)nn -2n 42n -12(1)n n -3n 62n -13(1)n n -11(1)n n n--11[1(1)]2n n n ---11(1)2n n ⨯-12n n -☞n =2015，☞S 1+S 2+S 3+…+S 2014==．故答案为：．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．（2015南宁）如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点An ，如果点An 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是．【答案】13．…；则A 7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A 9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A 11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A 13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A 6表示的数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为16+3=19，所以点An 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13．故答案为：13．考点：1．规律型：图形的变化类；2．数轴；3．综合题．28．（2015常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m 最少经过7步11201422015⨯⨯1007201510072015运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为．【答案】128、21、20、3．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．规律型．29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．12b S a =+-【答案】a ，17.5．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．30．（2015内江）填空：= ；= ；= ．（2）猜想：= （其中n 为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计算：．【答案】（1），，；（2）；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）=；()()a b a b -+22()()a b a ab b -++3223()()a b a a b ab b -+++1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++2n ≥98732222...222-+-+-+22a b -33a b -44a b -n n a b -()()a b a b -+22a b -=；=；故答案为：，，；考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．31．（2015南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知☞ABC 中，AB =BC ，☞C =36°，BA 1平分☞ABC 交AC 于A 1．（1）=AA 1•A C ；（2）探究：☞ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC =1）（3）应用：已知AC =a ，作A 1B 1☞AB 交BC 于B 1，B 1A 2平分☞A 1B 1C 交AC 于A 2，作A 2B 2☞AB交B 2，B 2A 3平分☞A 2B 2C 交AC 于A 3，作A 3B 3☞AB 交BC 于B 3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示An ﹣1An ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）☞ABC 是黄金等腰三角形；（3）．【解析】试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到☞ABC ☞☞AA 1B ，从而3223()()a b a a b ab b -+++33a b -3223()()a b a a b ab b -+++44a b -22a b -33a b -44a b-122AB 11)2n a +-有，求出即可；（2）设AC =1，则AB 2=1﹣AB ，求出AB 的值，进而得出，即可得出结论；（3）利用（2）中所求进而得出AA 1，A 1A 2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．（3）由（2）得；当AC =a ，则AA 1=AC ﹣A 1C =AC ﹣AB =a ﹣AB ==，同理可得：A 1A 2=A 1C ﹣A 1B 1=AC ﹣AA 1﹣A 1B 1===；故An ﹣1An =．1AB ACAA AB=AB ACa2a21a a A C -22]a a a a --3a 11)2n a +-考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．32．（2015六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．试题解析：☞前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，☞第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；☞前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，☞第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n 层的几何点数是2n ﹣1；故答案为：6、11、16、21、n 、2n ﹣1、3n ﹣2、4n ﹣3．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．33．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x ≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y =2x （1≤x ≤4，x 为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a =d ，b =c ，则考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．【2014年题组】1．（2014年南平中考）如图，将1a ，b ）表示第a 排第b 列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（）abcdA ．B ．C ．D ． 1【答案】B ．【解析】试题分析：每三个数一循环，1、、，（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个,30÷3=10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是,（2014，2014）在数列中是第（1+2014）×2014÷2=2029105个，2029105÷3=676368……1,（2014，2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，即（2014，2014）表示的数是1,×1=,故选B ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．算术平方根．2．（2014年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A ．（66，34）B ．（67，33）C ．（100，33）D ．（99，34）【答案】C ．考点：1．坐标确定位置；2．规律型：点的坐标．3．（2014年宜宾中考）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，……An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（）23333A ．nB ．n -1C .D ．【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n -1）=n -1．故选B ．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．（2014年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A ……的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A ．（﹣1，0）B ．（1，﹣2）C ．（1，1）D ．（﹣1，﹣1）【答案】D ．n 11()4n1()41414考点：1．探索规律题（图形的变化类型----循环问题）；2．点的坐标．5．（2014年百色中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，……由以上规律可以得出第n 个等式为．【答案】（2n +1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．【解析】试题分析：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数,第n 个等式为：（2n +1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．故答案为：（2n +1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．考点：规律型问题．6．（2014年衡阳中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长至点，使得，得到线段；又将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长至点，使得，得到线段；如此下去，得到线段、、、……．根据以上规律，请直接写出线段的长度为．【答案】．xOy 0M ()10，0OM O 451M 100M M OM ⊥1OM 1OM O 452M 211M M OM ⊥2OM 3OM 4OM 5OM 2014OM 2014考点：等腰直角三角形的性质．7．（2014年抚顺中考）如图，已知CO 1是☞ABC 的中线，过点O 1作O 1E 1☞AC 交BC 于点E 1，连接AE 1交CO 1于点O 2；过点O 2作O 2E 2☞AC 交BC 于点E 2，连接AE 2交CO 1于点O 3；过点O 3作O 3E 3☞AC 交BC 于点E 3，……，如此继续，可以依次得到点O 4，O 5，……，On 和点E 4，E 5，……，En ．则OnEn = A C ．（用含n 的代数式表示）【答案】．【解析】试题分析：☞O 1E 1☞AC ，☞☞BO 1E 1☞☞BAC ，☞，☞CO 1是☞ABC 的中线，☞,☞O 1E 1☞AC ，☞☞O 2O 1E 1☞☞ACO 2，☞，由O 2E 2☞AC ，可得：,……，可得：OnEn =A C ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．（2014年资阳中考）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正☞OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正☞P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作☞P 2CP 3，……，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P 6的坐标是11n +111BO O E BA AC=11112BO O E BA AC ==1121212O E O E AC O A ==1222113E O O E AE AC ==11n +【答案】（，）．考点：规律题．9．（2014年宜宾中考）在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标x 、y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中☞ABC 是格点三角形，对应的S =1，N =0，L =4．（1）求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 的值．（2）已知格点多边形的面积可表示为S =N +aL +b ，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N =82，L =38，求S 的值．【答案】（1）S =3，N =1，L =6；（2）100．633232考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用． 10．（2014年凉山中考）实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系前n 行的点数的和是1+2+3+……+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ，可以发现． 2×[1+2+3+……+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]=[1+2+3+……+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]+[n +（n ﹣1）+（n ﹣2）+……3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n +1，整个式子等于n （n +1），于是得到1+2+3+……+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n =n （n +1）这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是n （n +1）下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有n （n +1）整理这个方程，得：n 2+n ﹣600=0121212解方程得：n 1=24，n 2=25根据问题中未知数的意义确定n =24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n 、……，你能探究处前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能使600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．【答案】（1）600；（2）24．试题解析：（1）由题意可得：n （n +1）=600，整理得n 2+n ﹣1200=0，此方程无正整数解,☞三角点阵中前n 行的点数的和不可能是600．（2）由题意可得：2+4+6+……+2n =2（1+2+3+……+n ）=2×n （n +1）= n （n +1）,依题意，得n （n +1）=600，整理得n 2+n ﹣600=0，（n +25）（n ﹣24）=0，☞n 1=﹣25，n 2=24． ☞n 为正整数，☞n =24．☞n 的值是24．考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．☞考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过1212适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题．【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，……，按此规律第n 个数为【答案】．考点：规律型．归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．【例2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n 次运算的结果yn = （用含字母x 和n 的代数式表示）．【答案】．考点：规律型．1(1)(1)2n n n ---)21(21n x n x -+归纳3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．【例3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．【答案】n2+2．【解析】第1个图形中点的个数为3；第2个图形中点的个数为3+3；第3个图形中点的个数为3+3+5；第4个图形中点的个数为3+3+5+7；……第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+……+（2n﹣1）=n2+2．故答案为：n2+2．考点：规律型．归纳4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．【例4】如图，等腰Rt☞ABC中，☞ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将☞ABC 绕点A顺时针旋转到位置☞可得到点P1，此时AP1=；将位置☞的三角形绕点P1顺时针旋转到位置☞，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置☞的三角形绕点P2顺时针旋转到位置☞，可得到点P3，此时AP3=2+；……，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．【答案】1342+672．考点：规律型．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．【例5】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，……，An 分别过这些点做x 轴的垂线与反比例函数y =的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，……Pn 作P 2B 1☞A 1P 1，P 3B 2☞A 2P 2，P 4B 3☞A 3P 3，……，PnBn ﹣1☞An ﹣1Pn ﹣1，垂足分别为B 1，B 2，B 3，B 4，……，Bn ﹣1，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，……，Pn ﹣1Pn ，得到一组Rt ☞P 1B 1P 2，Rt ☞P 2B 2P 3，Rt ☞P 3B 3P 4，……，Rt ☞Pn ﹣1Bn ﹣1Pn ，则Rt ☞Pn ﹣1Bn ﹣1Pn 的面积为．【答案】．21x12(1)n n考点：规律型．☞1年模拟1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（）A．（-b+1，a+1）B．（-a，-b+2）C．（b-1，-a+1）D．（a，b）【答案】B．【解析】试题分析：☞点A1的坐标为（a，b），☞A2（-b+1，a+1），A3（-a，-b+2），A4（b-1，-a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，☞2015÷4=503余3，☞点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（-a，-b+2）；故选B．考点：规律型：点的坐标．2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64【答案】C ．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，且AC ☞BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ．下列结论正确的是（）☞四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ☞四边形A 3B 3C 3D 3是矩形； ☞四边形A 7B 7C 7D 7周长为； ☞四边形AnBnCnDn 面积为．A ．☞☞☞B ．☞☞☞C ．☞☞☞D ．☞☞☞☞ 【答案】A ．☞根据中位线的性质易知，A 7B 7═A 5B 5=A 3B 3=A 1B 1=AC ，B 7C 7=B 5C 5=B 3C 3=B 1C 1=BD ，☞四边形A 7B 7C 7D 7的周长是2×（a +b ）=，故☞正确；☞☞四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，且AC 丄BD ，☞S 四边形ABCD =ab ÷2；2141811612141811611618b a由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是，故☞错误；综上所述，☞☞☞正确．故选A ．考点：1．规律型；2．中点四边形．4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知直线y=-x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ．过线段AB 的中点A 1做A 1B 1☞x 轴于点B 1，过线段A 1B 的中点A 2作A 2B 2☞x 轴于点B 2，过线段A 2B 的中点A 3作A 3B 3☞x 轴于点B 3…，以此类推，则☞AnBnBn -1的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．12+n ab 12112n -12n 114n -14n。

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)．真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

例谈猜想探索规律型问题的解法

例谈猜想探索规律型问题的解法作者：沈瑞荣来源：《现代教育创新》2013年第11期近几年来，全国各地的中考数学试题中出现了一类新题型——猜想探索规律型问题，这类试题的特点是给出几个具体的特殊的数式或图形，要求寻求其中的变化规律，从而猜想出一般的结论，它的思路是从简单的局部的特殊的情况出发，经过提炼、归纳、猜想未知，寻找规律并做结论证明，这类试题更有利于开发智力，培养和提高想象力和创造力.笔者以2010年的中考题为例说明这类题的解法.一、探索一般数列规律例1：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…….通过观察，用你所发现的规律确定32000的个位数字是（）A.3B.9C.7D.1析解：观察前4个数字的个位数字分别是3、9、7、1，第5、6、7、8个数的个位数又是3、9、7、1，依此类推每四个数重复前四个数的个位数字.2000÷4=500故32000的个位数字是1，因此选择D.例2：填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是A.38B.52C.66D.74析解：规律1：数m的位置除外，其它相应位置的数都是偶数，且后面的数比对应的前面的数大2，如0、2、4、6，其它位置上的数是4、6、8、10、；2、4、6、8.规律2：一条对角线位置的数字之和等于另一对角线位置的数字之积，如4+44=6×8，则6+m=8×10，m=74 故选D.二、探索算式的运算规律例3：如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（）A.6B.3C.322006D.321003 +3×1003析解：由题设知，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，它的规律是从第三次开始按照6、3、6、3……呈现，因此第2010次输出的结果为3.故选B.三、直角坐标系中点的坐标变化规律例4：已知是正整数， P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）是反比例函数y=kx图象上的一列点，其中 x1=1，x2=2，……，xn=n，….记 A1=x1y2， A2=x2y3，…，An=xn yn+1，…若A1=a （ a是非零常数），则A1·A2·A3……An的值是（用含a和 n的代数式表示）.解：∵A1=x1y2=a ∴y2=a k=x2y2=2a，则yn+1= kxn+1 =2an+1x1y1= x2y2= x3y3=…xnyn=2a∴ A1·A2·A3……An= x1y2·x2y3·…··xn-1yn·xnyn+1=x1·（2a）n-1 yn+1= （2a）nn+1。

2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题48探索规律型问题

一、选择题 1．（2010安徽省中中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。

当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（）A ）495B ）497C ）501D ）503 【答案】A 2．（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是A ．38B ．52C ．66D ．74 【答案】D3．（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为A ．2009235⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．2010495⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．2008495⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．4018235⎪⎭⎫ ⎝⎛【答案】D 4．（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是() .0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 844A. 669B. 670C.671D. 672【答案】B5．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）1225【答案】D 6．（2010山东烟台）如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是【答案】B7．（2010 河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成第7题图一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是A ．6B ．5C ．3D ．2【答案】B 8．（2010湖北武汉）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1234,,,A A A A …表示为，则顶点55A 的坐标为（）A 、（13，13）B 、（－13，－13）C 、（14，14）D 、（－14，－14）【答案】C 9．（2010江苏淮安）观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102 【答案】C 10．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4图6-1 图6-2【答案】C11．（2010 四川绵阳）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n =（）．A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】B12．（2010 山东淄博）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（A ）6 （B ）3 （C ）200623 （D ）10033231003⨯+【答案】B 13．（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子A ．4n 枚B ．(4n -4)枚C ．(4n+4)枚D ． n 2枚(第11题)第2个“口” 第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………？03第8题【答案】A14．（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（） 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B15．（2010贵州铜仁）如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第8个正△A 8B 8C 8的面积是（）A 71()2B 81()2C 71()4D 81()4【答案】C16．（2010广东湛江）观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（）A.3B.9C.7D.1 【答案】B 17．（2010广西百色）如图，在直角坐标系中，射线OA 与x 轴正半轴重合，以O 为旋转中心，将OA 逆时针旋转:OA ⇒1OA ⇒2OA ⇒…⇒n OA …,旋转角,21︒=∠A O A ,421︒=∠OA A ︒=∠832OA A ,… 要求下一个旋转角(不超过︒360)是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于︒360时，又从︒2开始旋转，即,4,210998︒=∠︒=∠OA A OA A … 周而复始.则当n OA 与y 轴正半轴重合时，n 的最小值为（）（提示：2+22+23+24+25+26+27+28=510）A. 16B. 24C.27D. 32二、填空题1．（2010辽宁丹东市）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．【答案】n )2(2．（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n 个图案需要枚棋子．AB CD E FG第15题图…第14题图……图③图②图①请将9—14各小题的答案填写在下表的相应位置上：【答案】127，2331n n ++ 3．（2010四川眉山）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．【答案】17 4．（2010 嵊州市）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线上；“2007”在射线上。

规律探索性问题(含解析)

规律探索性问题第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ．解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。

(word完整版)中考数学规律探索专题复习

中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。

【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。

21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。

有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100．【答案】100．例4：（2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

2010届中考数学探索规律

中考数学专题复习——探索规律一、选择题1.（2008年浙江省衢州市）32，33和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( ) A 、41 B 、39 C 、31 D 、292．（2008湖南益阳）有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 A. 60n 厘米 B. 50n 厘米 C. (50n+10)厘米 D. (60n-10)厘米3.(2008江苏宿迁)用边长为1的正方形覆盖33 的正方形网格,最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．64.（2008 四川泸州）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm ，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（）A ．2158cm B ．2176cm C ．2164cm D ．2188cm5.(2008 湖南益阳)如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是( )A. 1B. 2C. 3D. 66.(2008 河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）323 5339 11341315 17 197A ．上B ．下C ．左D ．右7.(2008山东德州)将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．( )将纸片展开，得到的图形是8.(2008山东德州)只用下列图形不能镶嵌的是( ) A ．三角形B ．四边形C ．正五边形D ．正六边形9.(2008黑龙江黑河)为紧急安置100名地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，则搭建方案共有（） A ．8种 B ．9种 C ．16种 D ．17种10.(2008 山东聊城)如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个 11.(2008 台湾)有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成。

2010年部分省市中考数学探索规律练习

2010探索规律分类1.（2010日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（D ）A.15B.25C.55D.12252.（2010某某）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（ D ） A ．38B ．52C ．66D ．743.（2010某某）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…… +8n （n 是正整数）的结果为（ A ）A ．2(21)n +B ．2(21)n -C ．2(2)n +D ．2n4.(2010某某)小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面0 28 4 24 622 46 844m6条和菜要3分钟。

以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（ C ）A. 14分钟B. 13分钟 C . 12分钟 D . 11分钟5.（2010某某）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n =（B ）A ．29B ．30C ．31D ．326.（2010某某某某）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10 除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是（A ） A ．wkdrc B ．wkhtc C ．eqdjc D ．eqhjc【分析】m 对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w ； a 对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k ；t 对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d ；…，所以本题译成密文后是wkdrc ．7．(2010 达州 )在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n ），规定以下两种变换： ①(,)(,)f m n m n =-，如(2,1)(2,1)f =-； ②(,)(,)g m n m n =-- ，如(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()3,2g f -⎡⎤⎣⎦等于( A )A.（3，2）B.（3，-2）C.（-3，2）D.（-3，-2）8.(2010潍坊)如图，雷达探测器测得六个目标A B C D E F 、、、、、出现.按照规定的目标表示方法，目标C F 、的位置表示为()()61205210.C F ，°、，°按照此方法在表示目标A B D E 、、、的位置时，其中表示不正确的是（ D ）A ．()530A ，° B.()290B ，° C.()4240D ，° D.()360E ，°9.(2010鄂尔多斯)用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形．折纸过程如图所示，则α∠等于（ B ）． A ．108︒B ．90︒C ．72°D ．60°10.(2010鄂尔多斯)定义新运算：1()(0)a a b a b a a b b b⎧-⎪⊕=⎨->≠⎪⎩且≤，则函数3y x =⊕的图象大致是（ B ）．11.1.（2010某某）已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2010S =(用含a 的代数式表示)．1a2.(2010莱芜)已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．2103.（2010某某）小明玩一种的游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表:挪动珠子数(颗)23 4 5 6 …… 对应所得分数(分)26122030……4.(2010东营)观察下表，可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”序号123 …图形○○ △ ○○○○ ○○△ △ ○△ △○ ○○ ○○○○○△ △ △○△ △ △○ ○…D ．C ． B ．A ．第10题图5. （2010某某）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数是粒。