2016中考数学复习针对性训练
2016中考数学复习策略与答题策略
2016中考数学复习策略与答题策略中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，中考是一次选拔性考试，其竞争较为激烈。
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了中考数学复习策略。
复习策略总结梳理，提炼方法。
复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。
对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。
如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。
总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。
梳理了题型就可以进一步探索解题规律。
同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。
做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。
反思错题，提升能力。
在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：将已复习过的内容进行会诊，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。
正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。
应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的原因，也就找到了解题的最佳途径。
事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会越快地提高数学能力。
浙江016年中考数学总复习全程考点训练2整式(含解析
全程考点训练2 整式一、选择题1．下列计算正确的是(B ) A ．a ＋2a 2＝3a 3B ．(a 3)2＝a 6C ．a 3·a 2＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4【解析】 a 与2a 2不是同类项，不能合并；(a 3)2＝a 3×2＝a 6；a 3·a 2＝a3＋2＝a 5；a 8÷a 2＝a8－2＝a 6.2．化简5(2x －3)＋4(3－2x )的结果为(A ) A ．2x －3 B ．2x ＋9 C ．8x －3 D ．18x －3【解析】 5(2x －3)＋4(3－2x )＝5(2x －3)－4(2x －3)＝2x －3 . 3．若3×9m ×27m ＝311，则m 的值为(A ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 3×9m ×27m ＝3×32m ×33m ＝35m ＋1＝311，∴5m ＋1＝11，∴m ＝2.4．已知x 2－2＝y ，则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是(B ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4【解析】 ∵x 2－2＝y ，即x 2－y ＝2，∴原式＝x 2－3xy ＋3xy －y －2＝x 2－y －2＝2－2＝0.5．某企业今年3月的产值为a 万元，4月比3月减少了10%，5月比4月增加了15%，则5月的产值是(B )A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a (1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%＋15%)万元D ．a (1－10%＋15%)万元6．当x ＝1时，代数式12ax 3－3bx ＋4的值是7，则当x ＝－1时，这个代数式的值是(C )A ．7B ．3C ．1D ．－7【解析】 当x ＝1时，12ax 3－3bx ＋4＝12a －3b ＋4＝7，∴12a －3b ＝3.∴当x ＝－1时，12ax 3－3bx ＋4＝－12a ＋3b ＋4＝－3＋4＝1.故选C.7．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．有下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的为(A )A ．①② B．①③ C ．②③ D．①②③【解析】 根据完全对称式的定义知①②正确；对于③，若交换a ，b ，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a 变为b 2a ＋a 2c ＋c 2b ，与原式不相等．二、填空题 8．计算：(1)m ＋n －(m －n )＝2n ； (2)3x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－19x 2＝－13x 5；(3)－(－2a 2)4＝－16a 8； (4)9x 3÷(－3x 2)＝－3x ．9．已知a ＋b ＝2，ab ＝－1，则3a ＋ab ＋3b ＝5，a 2＋b 2＝6． 【解析】 3a ＋ab ＋3b ＝3(a ＋b )＋ab ＝3×2－1＝5.a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝22＋2＝6.10．若－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y ，则a ＋b ＝3_．【解析】 由－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y ，可知－4x a y ，x 2y b ，－3x 2y 是同类项，则a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.11．如图，各圆的三个数之间都有相同的规律．根据此规律，第n 个圆中，m ＝9n 2－1(用含n 的代数式表示)．(第11题)【解析】 ∵8＝9－1＝(1＋2)2－1，35＝36－1＝(2＋4)2－1，80＝81－1＝(3＋6)2－1，…，∴第n 个圆中，m ＝(n ＋2n)2－1＝9n 2－1.12．定义新运算“⊕”：当a≥b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a<b 时，a ⊕b ＝ab －a.若(2x －1)⊕(x＋2)＝0，则x ＝－1或12．【解析】 ①当2x －1≥x ＋2，即x ≥3时， (2x －1)(x ＋2)＋(x ＋2)＝0， (x ＋2)(2x －1＋1)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，均不符合题意，都舍去； ②当2x －1<x ＋2，即x <3时， (2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0， (2x －1)(x ＋2－1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝12，均符合题意．13．如图，图①是一块边长为1，周长为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12)后，得到图③，图④……记第n (n ≥3)块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．(第13题)【解析】 由图可得： 第1次剪去后，周长P 2＝3－12，第2次剪去后，周长P 3＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14， 第3次剪去后，周长P 4＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－18， ……第(n －1)次剪去后，周长P n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－18－12n －1， ∴P n －P n －1＝12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.三、解答题 14．计算：(1)(a ＋3)(a －1)－a(a －2)．【解析】 原式＝a 2－a ＋3a －3－a 2＋2a ＝4a －3. (2)[(2x －y)(2x ＋y)＋y(y －6x)]÷(2x)．【解析】 原式＝(4x 2－y 2＋y 2－6xy)÷(2x)＝(4x 2－6xy)÷(2x)＝2x －3y. 15．先化简，再求值：(1)(x －3)2＋2x(3＋x)－7，其中x 满足2x －1＝3.【解析】 (x －3)2＋2x(3＋x)－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2. 由2x －1＝3，得x ＝2，∴当x ＝2时，原式＝3x 2＋2＝14.(2)(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.【解析】 原式＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab. ∴当a ＝3，b ＝－13时，原式＝2ab ＝－2.16．已知实数a ，b 满足(a ＋b)2＝7，(a －b)2＝5，求a 2＋b 2＋ab 的值． 【解析】 a 2＋2ab ＋b 2＝7①，a 2－2ab ＋b 2＝5②， ①＋②，得a 2＋b 2＝6；①－②，得ab ＝12，则a 2＋b 2＋ab ＝6＋12＝132.17．有足够多的矩形和正方形的卡片，如图①所示．(第17题)(1)如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，如图②所示，可拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)．请画出这个矩形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个矩形的代数意义．(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a ＋3b)(2a ＋b)＝2a 2＋7ab ＋3b 2，那么需用2号卡片______张，3号卡片______张．【解析】(1)如解图，(第17题解)a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)．(2)3，7.18．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中，第三行的三个数1，2，1恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数等．(第18题)(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式．(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.【解析】(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.19．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对调，证明所得的数与原来的两位数之差是9的倍数．【解析】设原两位数的十位数字是a，个位数字是b，那么这个两位数就等于10a＋b.将十位数字与个位数字对调，所得的新数的十位数字是b，个位数字是a，新数就等于10b＋a.所得的新数与原来的两位数之差为：(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a＝9(b－a)．因为b－a是一个整数，所以9(b－a)是9的倍数，所以所得的新数与原来的两位数之差是9的倍数．。
【8份】2016中考数学(贵州专版)复习题型专项集训及答案
【8份】2016中考数学（贵州专版）复习题型专项集训及答案纵向复习 贵州8大题型专项目录题型专项(一) 计算求值题 .................................................................................................... 1 题型专项(二) 方程(组)、不等式(组)的解法与应用 ........................................................... 5 题型专项(三) 一次函数与反比例函数的综合 .................................................................. 10 题型专项(四) 二次函数知识的综合运用 .......................................................................... 15 题型专项(五) 解直角三角形的应用 .................................................................................. 23 题型专项(六) 特殊四边形的性质与判定 .......................................................................... 30 题型专项(七) 圆的有关证明与计算 .................................................................................. 38 题型专项(八)统计与概率的应用 (48)题型专项(一) 计算求值题本专项主要考查实数的运算、整式的运算与分式的化简求值．纵观近年本省9个地州考试试卷，这类题出现频繁，一般难度不大，实数的运算常结合特殊角的三角函数值进行考查，整式、分式的化简求值题型新而灵活，多以解答题形式呈现．类型1 实数的运算(2015·毕节)计算：(－2 015)0＋|1－2|－2cos 45°＋8＋(－13)－2.【思路点拨】 先分别计算(－2 015)0＝1，|1－2|＝2－1，cos 45°＝22，8＝22，(－13)－2＝9，然后代入算式计算即可．【解答】 原式＝1＋2－1－2×22＋22＋9 ＝2－2＋22＋9 ＝22＋9.本题考查实数的混合运算．在计算过程中先需要熟悉每个知识点，如：零指数幂、绝对值的计算、特殊锐角三角函数值等；其次根据计算出的各值，按照实数运算的顺序计算出最终结果．1．(2015·台州)计算：6÷(－3)＋|－1|－2 0150.2．(2015·遵义)计算：(3－π)0－12－|－3|＋4sin 60°.类型2 整式的运算(2015·贵阳)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x 2(1－x)＋x 3，其中x ＝2. 【思路点拨】 先运用平方差公式、单项式乘以多项式、合并同类项等知识进行化简，然后将给定值代入，按照实数运算法则进行计算．【解答】 原式＝x 2－1＋x 2－x 3＋x 3＝2x 2－1.当x ＝2时，原式2×22－1＝7.本题考查了整式的混合运算——化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．单项式或多项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式、多项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．1．(2015·南宁)先化简，再求值：(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12.2．(2015·常州)先化简，再求值：(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2.3．(2015·北京)已知2a 2＋3a －6＝0.求代数式3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)的值．类型3 分式的化简求值(2015·遵义)先化简，再求值：3a －3a ÷a 2－2a ＋1a 2－aa －1，其中a ＝2. 【思路点拨】 先根据分式混合运算将分式进行化简，再将a ＝2代入进行求值． 【解答】 原式＝3（a －1）a ·a 2（a －1）2－aa －1 ＝3a a －1－aa －1 ＝2a a －1. 当a ＝2时，原式＝2×22－1＝4.此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．分式的化简求值，有时需要选取合适的x 的值代入，那么要保证化简前的分式与化简后得到的分式有意义；同时计算程序要简洁、分明．1．(2015·铜仁)先化简(2x ＋2＋x ＋5x 2＋4x ＋4)·x ＋2x 2＋3x，然后选取一个你喜欢的数代入求值．2．(2015·毕节)先化简，再求值：(x 2＋1x 2－x －2x －1)÷x ＋1x －1，其中x ＝－3.3．(2015·安顺)先化简，再求值：x ＋22x 2－4x ÷(x －2＋8xx －2)，其中x ＝2－1.4．(2015·黔东南)先化简，后求值：m －33m 2－6m ÷(m ＋2－5m －2)，其中m 是方程x 2＋2x －3＝0的根．参考答案类型11.原式＝－2＋1－1＝－2. 2．原式＝1－23－3＋4×32＝－2－23＋2 3 ＝－2.类型21.原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x. 当x ＝12时，原式＝2×12＝1.2．原式＝(x ＋1)2－x(2－x)＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝2x 2＋1＝2×22＋1＝9.3．原式＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1.当2a 2＋3a －6＝0，即2a 2＋3a ＝6时，原式＝6＋1＝7. 类型31. 原式＝[2（x ＋2）（x ＋2）2＋x ＋5（x ＋2）2]·x ＋2x （x ＋3）＝2（x ＋2）＋（x ＋5）（x ＋2）2·x ＋2x （x ＋3） ＝3（x ＋3）（x ＋2）2·x ＋2x （x ＋3） ＝3x （x ＋2）.∵x 取0，－2，－3使分式无意义，∴x 只能取除0，－2，－3之外的值进行代入求值计算． ∴当x ＝1时，原式＝3x （x ＋2）＝1.2．原式＝[x 2＋1x （x －1）－2x x （x －1）]÷x ＋1x －1＝（x －1）2x （x －1）·xx ＋1－1 ＝x －1x ＋1－1 ＝－2x ＋1.将x ＝－3代入，得－2x ＋1＝－2－3＋1＝1.3．原式＝x ＋22x （x －2）÷x 2－4x ＋4＋8xx －2＝x ＋22x （x －2）·x －2（x ＋2）2 ＝12x （x ＋2）.当x ＝2－1时，原式＝12（2－1）（2－1＋2）＝12（2－1）（2＋1） ＝12. 4．原式＝m －33m （m －2）÷[（m ＋2）（m －2）m －2－5m －2]＝m －33m （m －2）÷（m ＋3）（m －3）m －2 ＝m －33m （m －2）·m －2（m ＋3）（m －3） ＝13m （m ＋3）＝13m 2＋9m.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－3，∵要分式有意义，则m 不能取－3，3，2，0， ∴当m ＝1时，原式＝112.题型专项(二) 方程(组)、不等式(组)的解法与应用纵观贵州9地州近年中考试卷命题情况分析，一次方程(组)、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式(组)的解法已成高频考点，重在考查解法的技能；近年来方程与不等式不但作为解决其他数学题的工具，而且已频频单独凸显在试卷解答题中，注重考查构建方程或不等式模型解决现实生活中的问题．类型1 解方程(组)(2015·黔西南)解方程：2x x －1＋11－x＝3. 【解答】 去分母，得2x －1＝3(x －1)． 去括号，得2x －1＝3x －3. 移项、合并，得－x ＝－2. 系数化为1，得x ＝2.检验：把x ＝2代入x －1，得2－1＝1≠0， ∴x ＝2是原分式方程的解．解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，转化的具体方法是去分母，由于在分式方程转化为整式方程过程中，容易产生增根(使分母为零的未知数的值)，所以解分式方程必须验根，这是一个容易被忽视的过程. 解方程(组)注重的是解题过程，解答这类问题必须注意步骤分明，简洁.1．(2015·南京)解方程：2x －3＝3x .2．(2013·遵义)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋y －3＝0.3．解方程：x 2－6x ＋8＝0.类型2 解不等式(组)(2015·黔东南)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）>3x ，3x －12≥－2，并将它的解集在数轴上表示出来．【思路点拨】 先分别计算不等式2(x ＋2)>3x 及3x －12≥－2的解集，再确定它们的公共部分，最后将不等式组的解集表示在数轴上．【解答】 解不等式2(x ＋2)>3x ，得x ＜4.解不等式3x －12≥－2，得x≥－1.∴不等式组的解集为－1≤x＜4. 将解集表示在数轴上，如图所示：解不等式组思路概括为“分开解，解中判”. 求解集过程可以借助口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(＞，≥向右画；＜，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集. 在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．1．(2015·上海)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧4x>2x －6，x －13≤x ＋19，并把解集在数轴上表示出来．2．(2015·呼和浩特)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－3m ＋2，x ＋2y ＝4的解满足x ＋y＞－32，求出满足条件的m 的所有正整数值．类型3 方程(组)、不等式的应用(2015·铜仁)2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区，现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1 000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷；(2)如果这批帐篷有1 490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆．【思路点拨】 (1)根据等量关系“甲货车比乙货车每辆多装20件”可设乙货车每辆装x 件帐篷，根据等量关系“甲货车装1 000件和乙货车装800件辆数相等”列分式方程求解；(2)通过建立一元一次方程或二元一次方程组求甲、乙两种汽车的数量．【解答】 (1)设乙货车每辆装x 件帐篷，则甲货车每辆装(x ＋20)件，根据题意，得1 000x ＋20＝800x.解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意，x ＋20＝100. 答：甲、乙两种货车每辆分别装100件、80件．(2)设乙汽车有y 辆，则甲汽车有(16－y)辆，根据题意，得 100(16－y)＋80(y －1)＋50＝1 490. 解得y ＝4，16－y ＝12.答：甲、乙两种汽车分别是12辆、4辆．解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，构建方程模型求解. 列方程(组)、不等式解应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位，对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数；列：根据题意寻找等量(不等)关系列方程(不等式)；解：解方程(不等式)；验：检验方程(组)、不等式的解是否符合题意；答：写出答案(包括单位)．1．(2015·山西)某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：请解答下列问题：(1)第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg ，用去了1 520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？(2)第二天，该经营户用1 520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1 050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg?2．(2015·连云港)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．类型4 方程(组)、不等式与函数的综合应用(2015·黔西南)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨(含12吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元.2月份用水20吨，交水费32元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；(2)设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式； (3)小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？ 【思路点拨】 (1) 建立二元一次方程组求两种价格；(2)若每月用水量为x 吨，从x ≤12和x>12两个方面来考虑应交水为y 与x 之间函数关系；(3)根据用水量这一变量值，结合(2)问选择函数表达式求函数变量x 的值．【解答】 (1)设每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别为a 元，b 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋12b ＝42，12a ＋8b ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价1元， 市场调节价2.5元. (2)当x≤12时，y ＝x.当x>12时，y ＝12＋2.5(x －12)，即y ＝2.5x －18.(3)当x ＝26时，y ＝2.5×26－18＝65－18＝47(元). 答：小黄家三月份应交水费47元.本题考查运用一次方程、一次函数及简单一元一次不等式综合解决实际问题. 解决这类问题，可以按照一般步骤：结合实际审题，构建方程或函数模型，求解方程或函数模型，检验结果写答案．按照解题的一般步骤可以顺利分析问题、解决问题．(2014·黔东南)黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x(x ＞0)件甲种玩具需要花费y 元，请你求出y 与x 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．参考答案类型11.方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3(x －3)．解得x ＝9. 检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. ∴原方程的解为x ＝9.2．解法一：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，①2x ＋y －3＝0，②由①得x ＝2y ＋4.③将③代入②，得2(2y ＋4)＋y －3＝0.解得y ＝－1.将y ＝－1代入③，得x ＝2×(－1)＋4＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.解法二：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，①2x ＋y －3＝0.②①×2－②，得－5y ＝ 5，即y ＝－1.将y ＝－1代入①，得 x －2×(－1)＝4，即x ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.3．配方，得x 2－6x ＋9＝1，即(x －3)2＝1，∴x －3＝1或x －3＝－1. ∴x 1＝4，x 2＝2. 类型21.解不等式4x ＞2x －6，得x ＞－3. 解不等式x －13≤x ＋19，得x≤2.∴不等式组的解集为：－3＜x≤2. 在数轴上表示如图：2.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－3m ＋2，①x ＋2y ＝4，②①＋②得3(x ＋y)＝－3m ＋6，即x ＋y ＝－m ＋2.代入不等式，得－m ＋2＞－32.解得m ＜72.则满足条件的m 的正整数值为1，2，3.类型31.(1)设批发西红柿x kg, 西兰花y kg. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，3.6x ＋8y ＝1 520.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100.200×(5.4－3.6)＋100×(14－8)＝960(元)． 答：两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元钱．(2)设批发西红柿a kg, 由题意得(5.4－3.6)a ＋(14－8)×1 520－3.6a 8≥1 050.解得a≤100.答：该经营户最多能批发西红柿100 kg.2．(1)设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为(x －80)元， 根据题意得6 000x ＝4 800x －80.解得x ＝400.经检验，x ＝400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元．(2)设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得400(1－y)2＝324，解得y 1＝0.1，y 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次降价10%. 类型41.(1)设每件甲种玩具的进价是x 元，每件乙种玩具的进价是y 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝231，2x ＋3y ＝141.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝27. 答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元．(2)当0＜x≤20时，y ＝30x ；当x ＞20时，y ＝20×30＋(x －20)×30×0.7＝21x ＋180. (3)设购进玩具z 件(x ＞20)，则乙种玩具消费27z 元；当27z ＝21z ＋180，则z ＝30. 所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；当27z ＞21z ＋180，则z ＞30. 所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；当27z ＜21z ＋180，则z ＜30. 所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．题型专项(三) 一次函数与反比例函数的综合本专项主要考查一次函数与反比例函数的图象与字母系数的关系，图象交点、图象及其性质等的综合，在中考试题中常以解答题的形式呈现，选填题呈现较少.类型1 函数图象与字母系数的关系(2015·黔东南)若ab<0，则正比例函数y ＝ax 与反比例函数y ＝bx在同一坐标系的大致图象可能是(B)【思路点拨】 本题考查正比例函数与反比例函数的图象与性质，由正比例函数y ＝ax 过原点可知选项C 错误；∵a b ＜0，∴a 与b 异号，∴当a ＞0时b ＜0，当a ＜0时b ＞0；选项A 中a 与b 均大于0，故错误；选项B 中a ＜0，b ＞0，正确；选项D 中a 、b 均小于0，故错误．根据条件ab ＜0，可以得到a>0，b<0或a<0，b>0两种情况进行分类讨论，同时借助数形结合思想进行分析，解此类图象问题要善于以其中一个图象为参照，分析另一图象与该图象之间是否存在矛盾．1．(2013·毕节)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k 、b 的取值范围是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＞0C ．k ＜0，b ＜0D ．k ＞0，b ＜02．(2015·兰州)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象大致是( )3．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数y ＝－ax 与y ＝ax ＋1(a≠0)的图象可能是( )4．(2013·潍坊)设点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx 图象上的两个点，当x 1<x 2<0时，y 1<y 2，则一次函数y ＝－2x ＋k 的图象不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限类型2 一次函数与反比例函数的综合运用(2015·贵阳)如图，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx的图象相交于A(2，1)，B 两点．(1)求出反比例函数与一次函数的表达式；(2)请直接写出B 点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x 的取值范围．【思路点拨】 (1)直接运用待定系数法可求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求x －1＝2x 的解可得到一次函数与反比例函数的交点坐标，再结合图象分析，反比例函数图象在一次函数图象上方时，求出x 的取值范围．【解答】 (1)将点A(2，1)代入一次函数y ＝x ＋m ，解得 m ＝－1.所以一次函数的解析式为y ＝x －1.将点A(2，1)代入反比例函数y ＝k x ，解得 k ＝2.所以反比例函数的解析式为2x.(2)点B 的坐标为(－1，－2)．由题意并结合图象知：当x<－1时，反比例函数的值大于一次函数的值； 当－1<x<0时，一次函数的值大于反比例函数的值； 当0<x<2时，反比例函数的值大于一次函数的值； 当x>2时，一次函数的值大于反比例函数的值，综上所述：当x<－1或0<x<2，反比例函数的值大于一次函数的值．(1)待定系数法的一般步骤：①写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；②把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式．(2)比较两函数值的大小时，通常可运用数形结合的思想方法来解答．1．(2015·铜仁)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝k 1x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y ＝k 2x 在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若S △OBC ＝1，tan∠BOC ＝13，则k 2的值是( )A ．－3B ．1C ．2D ．32．(2015·黔南)如图，函数y ＝－x 的图象是二、四象限的角平分线，将y ＝－x 的图象以点O 为中心旋转90°与函数y ＝1x 图象交于点A ，再将y ＝－x 的图象向右平移至点A ，与x 轴交于点B ，则点B 的坐标为________．3．(2014·六盘水)如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b(k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x (k 2≠0)的图象交于A 、B 两点，观察图象，当y 1>y 2时，x 的取值范围是 ．4．(2015·安顺)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(2，3)、B(－3，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出OP 的长．5．(2015·黔东南)如图，已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限相交于点A(1，－k ＋4)．(1)试确定这两个函数的表达式；(2)求出这两个函数的另一个交点B 的坐标，并求出△AOB 的面积．6．(2013·黔南)如图，一次函数y ＝kx ＋2的图形与反比例函数y ＝mx 的图象交于点P ，点P 在第一象限，PA ⊥x 轴于点A ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △COD ＝1，CO OA ＝12. (1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的解析式；(3)根据图象直接写出当x>0时，一次函数值大于反比例函数的值的x 的取值范围．参考答案类型1 1.C 2.A 3.B 4.A类型2 1.D 2.(2，0) 3.x>2或－1<x<0 4．(1)∵反比例函数y ＝mx 的图象经过点A(2，3)，∴m ＝6.∴反比例函数的解析式是y ＝6x.∵点B(－3，n)在反比例函数y ＝6x的图象上，∴n ＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A(2，3)、B(－3，－2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴ 一次函数的解析式是y ＝x ＋1. (2)OP 的长为 3或1.5．(1)∵点A(1，－k ＋4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴－k ＋4＝k ，解得k ＝2.∴反比例函数解析式为y ＝2x ，点A 的坐标为(1，2)．将点A(1，2)代入一次函数y ＝x ＋b ，得b ＝1. ∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝－1.∴点B 的坐标为(－2，－1)．对于直线y ＝x ＋1，令y ＝0得x ＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，0)．∴S △ABO ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·|y A |＋12OC ·|y B |＝12×1×2＋12×1×1＝32.6．(1)在y ＝kx ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，∴点D 的坐标为(0，2)． (2)∵PA∥OD，∴Rt △PAC ∽Rt △DOC. ∵CO OA ＝12， ∴OD PA ＝CO CA ＝13，PA ＝6.又S △COD ＝1，可得12OC ·OD ＝1， ∴OC ＝1. ∴OA＝2， ∴P(2，6)．把P(2，6)分别代入y ＝kx ＋2与y ＝mx ，可得一次函数解析式为：y ＝2x ＋2，反比例函数解析式为：y ＝12x(x>0)．(3)由图象知x>0时，一次函数值大于反比例函数的值的x 的取值范围为x>2.题型专项(四) 二次函数知识的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现．类型1 二次函数的图象与字母系数的关系(2015·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＝0；②a＋b ＋c>0；③a>b；④4ac－b 2<0.其中正确的结论有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】二次函数图象与a 、b 、c 之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a ＋b ＋c 代数式，考虑当x ＝1时求y 值；(2)含a －b ＋c 代数式，考虑当x ＝－1时求y 值；(3)含4a ＋2b ＋c 代数式，考虑当x ＝2时求y 值；(4)含4a －2b ＋c 代数式，考虑当x ＝－2时求y值；(5) 含b 2－4ac 代数式，考虑由图象与x 轴交点个数来判断．1．(2015·毕节)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．a ＜0B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜02．(2015·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝12，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc＜0；②a＋b ＝0；③4a＋2b ＋c ＜0；④若(0，y 1)，(1，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＝y 2.上述说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②3．(2014·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a ＋c ；③4a＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0.其中正确结论的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．(2013·遵义)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2014·达州)下图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.① b 2＞4ac ；②4a－2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④6．(2014·安顺)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a －b ＝0；②a＋b ＋c>0；③c＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用(2013·贵阳)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示．(1)顶点P 的坐标是______；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式； (3)在(2)的条件下，若有一直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标和点A 关于x 轴的对称点的坐标，求出y ＝mx ＋n 的解析式，再与y ＝－x 2－2x ＋3组成方程组，求出交点坐标．【解答】 (1) ∵a＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝－12－4－4＝4. ∴顶点坐标为P(－1，4)．(2) ∵直线y ＝ax ＋b 经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－a ＋b ，11＝a×0＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝11.∴直线y ＝ax ＋b 表达式为y ＝7x ＋11.(3)∵直线y ＝7x ＋11与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, 11)，∴与x 轴成轴对称的直线y ＝mx ＋n 与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, －11)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－117m ＋n ，－11＝m×0＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－7，n ＝－11.∴直线y ＝mx ＋n 表达式为y ＝－7x －11.∵直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－7x －11，y ＝－x 2－2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7，y 1＝－60. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3.∴直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2, 3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2014·遵义)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2015·安徽)如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )3．(2015·泰州)已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线．(1)求m 、n 的值；(2)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ∶PB ＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值(2015·毕节)某商场A 、B 两种商品，若买2件A 商品和1件B 商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B 商品，共需135元，(1)设A 、B 两种商品每件售价分别为a 元、b 元，求a ，b 的值；(2)B 商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B 商品100件；若按销售单价每上涨1元，B 商品每天的销售量就减少5件，①求每天B 商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？ ②求销售单价为多少元时，B 商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】 (1)由2件A 商品和1件B 商品需要80元，3件A 商品和2件B 商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y 关于x 的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润．【解答】 (1)根据题意，列方程得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝80，3a ＋2b ＝135，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝30. 答：a 、b 的值分别为25，30. (2)①∵销售单价为x 元，∴销售量为100－5(x －30)件，根据题意得y ＝(x －20)[100－5(x －30)]＝－5x 2＋350x －5 000，即y 关于x 的函数关系式为y ＝－5x 2＋350x －5 000(30≤x≤50)．②由抛物线对称轴为x＝－3502×（－5）＝35，可知当售价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润为y＝－5×352＋350×35－5 000＝1 125(元).答：当B商品定价为35元时，B商品每天的利润最大，最大利润为1 125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y与x 之间的二次函数关系式是解题关键．1．(2015·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流速度密度x的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．2．(2015·贵阳模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1 200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2015·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．(1)求y 关于x 的函数关系式．(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．(3)若经销商希望该服装一年的销售获利不低于2.2万元，请你根据图象帮助确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④ 类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m2＝－1，解得m ＝2.∵二次函数过点P(－3，1)， ∴1＝9－6＋n ， 解得n ＝－2.(2)二次函数解析式为y ＝x 2＋2x －2.过P 作PC⊥x 轴于点C ，过B 作BD⊥x 轴于点D ，PC ∥BD ，∴△APC ∽△ABD. 又∵PA∶PB＝1∶5， ∴PC BD ＝PA AB ＝PA PA ＋PB ＝16. ∵PC ＝1， ∴BD ＝6. ∴y B ＝6.∵B 在二次函数上，设B 点横坐标为x ， ∴x 2＋2x －2＝6，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)．∴B 点坐标为(2，6)，将B 、P 点代入一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4. ∴一次函数的表达式是y ＝x ＋4.类型3 1.(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x≤220时，v ＝－25x ＋88.当x ＝100时，v ＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60.解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120范围内．(3)设车流量为y 与x 之间的关系式为y ＝vx ，当20≤x≤220时，y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，y 最大＝4 840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y 取得最大值是4 840辆/小时． 2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)． (2)设每件童装降价x 元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20.∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x ＝20.答：童装店应该降价20元. (3)设每件童装降价x 元，可获利y 元，根据题意，得y ＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800＝－2(x －15)2＋1 250. ∴当x ＝15时，y 最大＝1 250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1 250元．3．(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧500＝300k ＋b ，400＝400k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝800.∴y ＝－x ＋800.。
2016中考数学复习指导(备考)
2016中考数学复习指导（备考）
中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，中考是一次选拔性考试，其竞争较为激烈。
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了2016中考数学复习指导。
①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，dr。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB 与⊙O相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b^2-4ac0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;
当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;
这篇2016中考数学复习指导的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
精心整理，仅供学习参考。
2016年中考数学必做36道压轴题合订本(含变式训练)
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形并说明理由．
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【变式二】（2013北京海淀区九上期末卷）如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝ ，求点M的坐标．
【变式一】（2010湖北黄冈，25，15分）已知抛物线 顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线 作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
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（1）求字母a，b，c的值；
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变式：（2012北京，23,7分）已知二次函数 在 和 时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数 的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移 个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线 向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为 ，△ABN的面积为 ，且 ，求点P的坐标．
解答问题：
陕西省2016中考数学复习：针对性训练系列试卷(含答案)
选择填空一(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．－5的倒数是( D ) A ．5 B .15 C ．－5 D ．－152．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是( B )3．计算－3a 2×a 3的结果为( A )A ．－3a 5B ．3a 6C ．－3a 6D ．3a 54．如图，直线a ∥b ，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是( C ) A ．75° B ．55° C ．40° D ．35°5．若抛物线y ＝(x －m)2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( B ) A ．m ＞1 B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．－1＜m ＜06．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( B ) A .3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，47．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4≥0，12x －24≤1的所有整数解的积为( A )A ．0B ．1C .34D ．128．抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4是由抛物线y ＝－12x 2怎样平移得到的( A )A ．先向右平移1个单位，再向上平移92个单位B ．先向左平移1个单位，再向上平移92个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移92个单位D ．先向左平移1个单位，再向下平移92个单位9.如图，P 是矩形ABCD 的边AB 上的一个动点，AB ＝4，AD ＝3，AC 与BD 交于点O ，P 与A ，B 两点不重合，且PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F, 则PE ＋PF 的为( B )A ．5B .125C ．6D ．3.6,第9题图) ,第10题图)10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，现有下列五个结论： ①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④a ＋b ＞m(am ＋b)(m ≠1)． 其中正确的结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．比较3.14__＜__π的大小．(要求填写“＞”，“＝”，“＜”)12．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD 且∠BEC ＝27°， 则∠BAC 的度数为__54°__.,第12题图) ,第14题图)13．地球半径约为6400000 m ，这个数字用科学记数法表示为__6.4×106__m .14．如图，直线y ＝6x ，与双曲线y ＝kx 在第一象限交于A 点，若△OAB 的面积为8，则反比例函数的关系式为__y ＝16x__．15．如图，AM 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(点P 与点A 不重合)，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，连接PA ，设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y)的最大值是__2__.点拨：作⊙O 的直径AC 交⊙O 于点C ，连接PC ，∵AC 为⊙O 的直径，PB ⊥AM, ∴∠APC ＝∠ABP ＝90°，又∵AM 是⊙O 的切线， ∴CA ⊥AM ，PB ⊥AM, ∴AC ∥PB, ∴∠CAP ＝∠APB, ∴△APC ∽△PBA, ∴APPB＝AC PA ，∴x y ＝8x ， ∴y ＝18x 2，∴x －y ＝x －18x 2＝－18x 2＋x ＝－18(x －4)2＋2, ∴当x ＝4时，(x －y)的最大值是2选择填空二(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1.49的算术平方根是( C ) A ．7 B ．±7C .7D ．－72．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的俯视图是( B )3．(2015·铜仁)下列计算正确的是( D ) A ．a 2＋a 2＝2a 4 B ．2a 2×a 3＝2a 6 C ．3a －2a ＝1 D ．(a 2)3＝a 6 4．(2015·六盘水)如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列条件中，不能证明△ABC ≌△DCB 的是( D )A ．∠A ＝∠DB ．AB ＝DCC ．∠ACB ＝∠DBCD ．AC ＝BD,第4题图) ,第6题图)5．设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而增大，则m ＝( A )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( C )A . 3B ．2C ．3D .3＋27．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－1，2x ＋1＜3的解集是( B )A ．1＜x ＜2B ．－1＜x ＜1C ．－2＜x ＜1D ．－2＜x ＜－18．把直线y ＝－3x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(m ，n)，且3m ＋n ＝10，则直线AB 的解析式是( D )A ．y ＝－3x －5B ．y ＝－3x －10C ．y ＝－3x ＋5D ．y ＝－3x ＋10 9．(2014·陕西副题)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.若过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，则BE 的长为( D )A ．2B ．3C .95D .165,第9题图) ,第10题图)10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＞0；③8a ＋c ＞0；④9a ＋3b ＋c ＜0.其中，正确结论的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题11．(2015·荆州)计算：9－2－1＋38－|－2|＋(－13)0＝__312__．12．如图，在▱ABCD 中，E ，F 为对角线AC 上两点，且BE ∥DF ，请从图中找出一对全等三角形：__△ADF ≌△CBE__.,第12题图) ,第14题图)13．某正n 边形的一个内角为108°，则n ＝__5__．14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为__130__°. 15．(2014·陕西副题)已知点A 是第二象限内一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△ABO 的面积为3 3.若反比例函数的图象经过点A ，则这个反比例函数的表达式为__y ＝－x ．选择填空三(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．－12016的倒数是( A )A ．－2016B ．2016C .12016D ．－120162．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( C )3．下列计算正确的是( A ) A ．3a －2a ＝a B ．2a ·3a ＝6a C ．a 2·a 3＝a 6 D ．(3a)2＝6a 24．如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为( B )A ．26°B ．36°C ．46°D . 56°5．在反比例函数y ＝1－3mx图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是( B )A ．m ＞13B ．m ＜13C ．m ≥13D ．m ≤136．若一组数据8，9，10，x ，6的众数是8，则这组数据的中位数是( B )A ．6B ．8C ．8.5D ．97．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞7，3x ＞6的解集是( B )A ．x ＜4B ．x ＞4C ．x ＞－4D ．x ＜－48．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( C )A ．6 cmB ．9 cmC ．12 cmD ．18 cm9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( C )A ．2 5B ．3 5C ．5D ．6 10．将抛物线y ＝2x 2－12x ＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( D ) A ．y ＝－2x 2－12x ＋16 B ．y ＝－2x 2－12x －16 C ．y ＝－2x 2－12x －19 D ．y ＝－2x 2＋12x －20二、填空题11．比较sin 30°__＜__tan 45°的大小．(填“＞”“＝”或“＜”) 12．如果正n 边形的一个内角是135°，则这个正n 边形边数是__8__． 13．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x__＜2__时，y 随x 的增大而减小．14．已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝__75°__．15．(2014·陕西副题)已知⊙O 的半径为5，P 是⊙O 内的一点，且OP ＝3.若过点P 任作一直线交⊙O 于A ，B 两点，则△AOB 周长的最小值为__18__．选择填空四(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．－2016的相反数是( A ) A ．2016 B ．0 C ．－1 D ．12．由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是( B )A ．左视图与俯视图相同B ．左视图与主视图相同C ．主视图与俯视图相同D ．三种视图都相同3．下列方程中一定是一元二次方程的是( D ) A ．ax 2－bx ＋c ＝0 B ．5x 2－2x ＋1＝mx 2 C ．x ＋3＝0 D ．(a 2＋1)x 2－2x －3＝04．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )A ．6B ．5C ．4D ．3,第4题图) ,第6题图)5．已知点P(－2，3)关于x 轴对称的点的坐标P 1(a ，b)，则a ＋b ＝( D ) A ．－1 B ．1 C ．5 D ．－56．在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EC ＝2∶3，DE ＝4，则BC 等于( A ) A ．10 B ．8 C ．9 D ．67．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( A )A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤88．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图，则反比例函数y ＝ax 与正比例函数y＝(b ＋c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( B )9．(2015·潍坊)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，C 到直线AF 的距离是( C )25,第9题图) ,第10题图)10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②4a ＋2b ＋c<0；③a －b ＋c>0；④(a ＋c)2<b 2，其中正确的结论是( C ) A ．①② B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 二、填空题11．比较cos 30°__＝__sin 60°的大小．(填“＞”“＝”或“＜”) 12．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是__七__边形．13．已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为52π，则这条弧所对的圆心角是__50°__．14．若正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2，y 1＞y 2时，则m 的取值范围是__m ＜0__．15．如图，已知AD ∥BC ，∠D ＝90°，点E 是AB 的中点， CE ＝6.5 cm ，AD ＋BC ＋CD ＝17, 则四边形ABCD 的面积是多少__30_cm 2__．点拨：连接DE 并延长交CB 的延长线于点F, 则△AED ≌△BEF ，∴S △AED ＝S △BEF, 又由△AED ≌△BEF 可知，AD ＝BF ，ED ＝EF, ∴E 是DF 的中点，∴CE 是Rt △DCF 的中位线， 而CE ＝6.5 cm ，∴DF ＝13 cm, 又∵AD ＋BC ＋CD ＝17，∴FB ＋BC ＋CD ＝17, ∴FC ＋CD ＝17，由勾股定理得，FC 2＋DC 2＝DF 2，∴(FC ＋DC)2－2FC ·DC ＝DF 2, ∴172－2FC·DC ＝132，解得FC·DC ＝60，∴12FC·DC ＝30，∴S △DCF ＝30, 而S △DCF ＝S 四边形ABCD ，即四边形ABCD 的面积是30 cm 2选择填空五(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．(－13)－1的相反数是( A )32．如图，直线l 1和直线l 2被直线l 所截，已知l 1∥l 2，∠1＝70°，则∠2＝( C ) A ．110° B ．90° C ．70° D ．50°,第2题图) ,第4题图)3．下列运算中，正确的是( C ) A ．3a ＋2b ＝5ab B ．2a 3＋3a 2＝5a 5 C ．3a 2b －3ba 2＝0 D ．5a 2－4a 2＝14．如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是( C )A ．5或6或7B ．6或7C ．6或7或8D ．7或8或95．关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( B )A ．－1B ．0C ．1D ．26．在正数范围内定义运算“﹡”，其规则为a ﹡b ＝1a ＋1b ，根据这个规则，方程x ﹡(x＋1)＝32的解是( B )A ．x ＝23B ．x ＝1C ．x 1＝－23或x 2＝1D ．x 1＝23，或x 2＝－17．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ＞4，2x －b ＜5的解集为0＜x ＜2，那么a ＋b 的值为( D )A ．0B ．2C ．－1D ．18．(2012·陕西副题)如果M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是一次函数y ＝3x －8图象上的两点，且x 1＋x 2＝－3，那么y 1＋y 2＝( A )A ．－25B ．－17C ．－9D ．19．如图，点M ，N 分别在矩形ABCD 边AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿MN 翻折后点C 恰好与点A 重合．若此时BN CN ＝13，则△AMD′的面积与△AMN 的面积的比为( A ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶6 D ．1∶9,第9题图) ,第10题图)10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示， 给出下列结论：①b 2－4ac>0；②2a ＋b<0；③4a －2b ＋c ＝0；④|a|∶|b|∶|c|＝1∶2∶3，其中正确的结论是( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题11．比较－2016__＜__－12016的大小．(填“＞”“＝”或“＜”)12．如图，圆心角∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵的度数是__20__度．,第12题图) ,第15题图)13．开口向下的抛物线y ＝(m 2－2)x 2＋2mx ＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m 的值为__m ＝－1__.14．在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC 边上的高AD ＝12，则△ABC 的面积为__84或24__．15．(2015·成都)如图，半径为1的半圆O 上有两个动点A ，B ，若AB ＝1，则四边形ABCD 的面积的最大值是4． 点拨：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，分别过点A ，H ，B 作AE ⊥CD ，HF ⊥CD ，BG ⊥CD 于点E ，F ，G ，∵AB ＝1，⊙O 的半径＝1，∴OH ＝32，∵垂线段最短，∴HF ＜OH ，∴HF ＝12(AE ＋BG)，∴S四边形ABCD＝S △AOD ＋S △AOB ＋S △BOC ＝12×1×AE ＋12×1×32＋12×1×BG ＝12AE ＋34＋12BG ＝12(AE ＋BG)＋34＝HF ＋34≤OH ＋34＝32＋34＝334，故答案为：334选择填空六(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．－5的倒数是( C ) A .55 B . 5 C ．－55D ．－ 5 2．下列左视图正确的是( B )3．下列计算正确的是( D ) A ．ab ·ab ＝2ab B ．(2a)3＝2a 3C ．3a －a ＝3(a ≥0)D .a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)4．如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC ＝50°，则∠ACD ＝( C ) A ．120° B ．130° C ．140° D ．150°,第4题图) ,第5题图)5．如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( D )A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－46．如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是( A ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，－3x ＜9的解集是( A )A ．－3＜x ≤2B ．－2≤x ＜3C ．0＜x ＜1D ．2≤x ＜38．将一次函数y ＝－2x ＋4的图象平移得到图象的函数关系式为y ＝－2x ，则移动方法为( D )A ．向左平移4个单位B ．向右平移4个单位C ．向上平移4个单位D ．向下平移4个单位9．(2015·玉林)如图，已知∠1＝∠2，AC ＝AD ，增加下列条件之一：①AB ＝AE ；②BC ＝ED ；③∠C ＝∠D ；④∠B ＝∠E.其中能使△ABC ≌△AED 的条件有( B ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．若∠α＝43°，则∠α的余角的大小是__47__度．12．程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为__3__． 13．(2015·石家庄)如图，BC 是一条河的直线河岸，点A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于B ，站在河岸C 的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB ＝__11.9__m ．(用计算器计算，结果精确到0.1米),第13题图),第14题图)14．在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC.若AB ＝22，∠BCD ＝30°，则⊙O 的半径为315．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，点E 是BC 上的一个动点，ED ⊥BC 交AB 于D ，DF ⊥AC 交AC 于F ，连接EF ，则EF 的最小值是__6013__．点拨：过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ，依题意可知， 四边形CFDE 是矩形，而矩形的对角线相等， ∴要使EF 的值最小，则CD 的值最小， 而CD 的值最小值是CM ，而∠C ＝90°， ∴S △ABC ＝12×5×12＝12×13×CM ，解得CM ＝6013， 即EF 的最小值是6013混合运算、解分式方程、作图七(针对陕西中考第16、17、18题)1．计算：(2016)0＋|－tan 45°|－(12)－1＋8.解：原式＝2 22．计算：8－(2015－π)0－4cos 45°＋(－3)2. 解：原式＝83．先化简，再求值：2a(a ＋2b)－(a ＋2b)2，其中a ＝－1，b ＝ 3. 解：－114.解分式方程：2x 2－4＋xx －2＝1.解：x ＝－35．解方程：1－x x －2＝x2x －4－1.解：x ＝－26．(2015·大连)解方程：x －3x －2＝3xx －3.解：x ＝±327．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c ，直线l 及l 外一点A.求作：Rt △ABC ，使直角边为AC ，AC ⊥l ，垂足为C ，斜边AB ＝c. 解：如图， △ABC 为所求．8．(2015·南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．解：(1)如图，画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1 (2)如图，画出△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到的△A 2BC 2, 线段BC 旋转过程中所扫过的面积 S ＝90π×（13）2360＝13π4混合运算、解分式方程、作图八(针对陕西中考第16、17、18题) 1.计算：|－3|＋23－2sin 30°. 解：原式＝102．(2015·菏泽)计算：(－1)2015＋sin 30°－(π－3.14)0＋(12)－1.解：原式＝123．先化简，再求值：(1－1x ＋2)÷x 2＋2x ＋1x ＋2，其中x ＝3－1.解：原式＝334．解分式方程：2－x x －3＋13－x ＝1.解：x ＝25．解分式方程：32x ＋2＝1－1x ＋1.解：x ＝326.(2015·徐州)解方程：2x ＋4－1x ＋1＝1.解：无解7.作图：画一个三角形与△ABC 全等，要求用尺规作图，保留作图痕迹．解：略8．(2015·南京)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)解：满足条件的所有图形如图所示：混合运算、解分式方程、作图九(针对陕西中考第16、17、18题)1．计算：|2－1|＋4sin 30°－(12)－1－(3)2＋9.解：2－12．解分式方程：3x －1－x ＋3x 2－1＝0.解：x ＝03．解分式方程：x －3x －2＋1＝32－x .解：x ＝14．(2015·苏州)解分式方程：2x 2x －1＝1－2x ＋1. 解：x ＝155.先化简，再求值：x x 2－1÷(1＋1x －1)，其中x ＝2－1.解：226．若x ＋1x ＝3，求x 2x 4＋x 2＋1的值．解：187．用尺规作角的平分线，写出已知，求作，保留作图痕迹． 解：已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线．作法：①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N.②分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C.③画射线OC ，射线OC 即为所求8．(2015·兰州)如图，在△ABC 中，先作∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，再以AC 边上的一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解：作出角平分线AD, 作AD 的中垂线交AC 于点O, 作出⊙O ，∴⊙O 为所求作的圆混合运算、解分式方程、作图十(针对陕西中考第16、17、18题)1．计算：18－|－32|－(13)－2＋(2015－π)0.解：原式＝－82．计算：(－12)－2－12－(3－1)0＋4sin 60°.解：原式＝33．(2015·莱芜)先化简，再求值：(1－3x ＋1)÷x 2－4x ＋4x 2－1，其中x ＝3.解：原式＝x －1x －2，当x ＝3时，原式＝24．(2015·黄石)先化简，再求值：x 2－4x ＋4x ÷(2x －1)，其中x ＝2－ 2.解：原式＝－x ＋2，当x ＝2－2时，原式＝－2＋2＋2＝ 25．(2015·甘孜州)解分式方程：2－x x －3＋13－x ＝1.解：x ＝26．(2015·深圳)解方程：x 2x －3＋53x －2＝4. 解：x 1＝1，x 2＝1377．已知∠1和∠2如下图所示，用尺规作图画出∠AOB ＝∠1＋∠2，保留作图痕迹．解：作图略8．用尺规作图，要保留作图痕迹．(1)找圆心将残圆补完整； (2)四等分弧AB.解：(1)如图所示 (2)如图所示统计与概率十一(针对陕西中考第19、23题)1．某体育用品商店，要为希望小学捐赠甲﹑乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A ，B ，C 三种型号，乙品牌有D ，E 两种型号，现要从甲﹑乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．请你解答下列问题．(1)有几种选购方案；(2)如果在所有选购方案中，每一种方案被选中的可能性相同，那么A 型器材被选中的概率是多少？解：(1)列表如下：，(E ，B )，(E ，C ) (2)∵共有6种等可能的结果，符合条件的结果有2种，∴P(选中A 型器材)＝26＝132．(2015·丹东)如图，小华和小丽两人玩游戏，她们准备了A ，B 两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘．游戏规则：小华转动A 盘，小丽转动B 盘．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6，则小华获胜．指针所指区域内的数字之和大于6，则小丽获胜．(1)用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率；(2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．解：∵共有12种等可能的结果，小华获胜的有6种情况、小丽获胜的有3种情况，∴P(小华获胜)＝612＝12，P(小丽获胜)＝312＝14(2)这个游戏规则对双方不公平，∵P(小华获胜)＞P(小丽获胜)，∴游戏规则对双方不公平3．(2015·白银)中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度，对该校部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为A 类(非常喜欢)，B 类(较喜欢)，C 类(一般)，D 类(不喜欢)．已知A 类和B 类所占人数的比是4∶7，请结合两幅统计图，回答下列问题：(1)写出本次抽样调查的样本容量； (2)请补全两幅统计图； (3)若该校有2000名学生．请你估计不喜欢观看“中国汉字听写大会”节目的学生人数． 解：(1)20÷20%＝100，∴本次抽样调查的样本容量为100 (2)B 类人数为20×74＝35(人)，D 类的人数为：100－20－35－100×19%＝26(人)，D 类所占的百分比为：26÷100×100%＝26%，B 类所占的百分比为：35÷100×100%＝35%，如图所示：(3)2000×26%＝520(人)．故若该校有2000名学生．估计不喜欢观看“中国汉字听写大会”节目的学生人数为520人统计与概率十二(针对陕西中考第19、23题)1．(2015·咸阳模拟)如图，桌面上放置了红，黄，蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子(杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上)的游戏．(1)随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；(2)随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率．解：(1)13 (2)所有等可能出现的结果共有9种，其中恰好有一个杯口朝上的有6种，∴P(恰好有一个杯口朝上)＝232．(2015·南昌)某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：(1)回收的问卷数为__120__份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为__30°__； (2)把条形统计图补充完整；(3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？ 解：(1)回收的问卷数为：30÷25%＝120(份)，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为：10120×360°＝30°.故答案为：120，30° (2)“稍加询问”的问卷数为：120－(30＋10)＝80(份)，补图略 (3)根据题意得：1500×30＋80120＝1375(人)，则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人3．(2015·日照)为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A 实心球，B 立定跳远，C 跑步，D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：(1)请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；(2)随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．解：(1)根据题意得：15÷10%＝150(名)，本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是：150－15－45－30＝60(人)，所占百分比是：60150×100%＝40%，补图略 (2)共有20种情况，同性别学生的情况是8种，则刚好抽到同性别学生的概率是820＝25全等、相似十三(针对陕西中考第20、24题)1．如图，四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，连接AG ，CE.(1)求证：AG ＝CE ； (2)求证：AG ⊥CE.解：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE ，∴∠ABG ＝∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )，∴AG ＝CE (2)证明：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE ，∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°，∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°，∴∠CNM ＝90°，∴AG ⊥CE2．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连接AE ，DE ，DC.(1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．解：(1)在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS )(2)∵△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB ＝∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝30°＋45°＝75°，则∠BDC ＝75°3．(2015·南京)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CDBD .(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小．解：(1)∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵AD CD ＝CDBD ，∴△ACD ∽△CBD (2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°4．如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH 的周长．解：(1)∵四边形EFGH 是矩形，∴EF ∥GH ，∴∠AHG ＝∠B, 又∵∠HAG ＝∠BAC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴AM AD ＝HG BC (2)设HE ＝MD ＝x cm ，∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x) cm ，∵HG ＝2HE, ∴HG ＝2x cm ，∵AM AD ＝HGBC ，∴30－x 30＝2x 40，解得x ＝12，则2x ＝24，∴这个矩形EFGH 的周长＝2×(12＋24)＝72(cm )，答：这个矩形的周长为72 cm全等、相似十四(针对陕西中考第20、24题)1．(2015·汉中模拟)已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD 是斜边BC 上的高，点E 为AB 边上一点，连接ED ，过点D 作DF ⊥DE 交AC 于点F.求证：△BDE ≌△ADF.证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠B ＝∠DAC ＝45°，BD ＝AD ，又∵DE ⊥DF ，∴∠BDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF(ASA )2．如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点O.(1)求证：△ABC ≌△DCB ；(2)△OBC 是何种三角形？证明你的结论．解：(1)在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，BC 为公共边，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL ) (2)△OBC 是等腰三角形，∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰三角形3．(2015·湖州)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ＝14DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G.(1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．解：(1)证明：∵ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝DC ＝BC ，∠A ＝∠D ＝90°，∵AE ＝ED ，∴AE AB ＝12，∵DF ＝14DC ，∴DF DE ＝12，∴AE AB ＝DFDE ，∴△ABE ∽△DEF (2)∵ABCD 为正方形，∴ED ∥BG ，∴ED CG ＝DF CF ，又∵DF ＝14DC ，正方形的边长为4，∴ED ＝2，CG ＝6，∴BG ＝BC ＋CG ＝104．如图，在△ABC 中， BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，DG ⊥BC 于G 交BA 的延长线于H ，GD 交CE 于F ，求证：GD 2＝GF·GH.解：∵DG ⊥BC 于G ，CE ⊥AB 于E, ∴∠FGC ＝∠FEH ＝90°，而∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴△CGF ∽△HGB, ∴CG GH ＝GFGB ，∴CG ·GB ＝GF ·GH ①， 又∵BD ⊥AC 于D ，DG⊥BC 于G, ∴∠BDC ＝∠BGD ＝90°， ∴∠BDG ＋∠GDC ＝∠BDG ＋∠DBG ＝90°，∠GDC ＝∠DBG ，△DGB ∽△CGD, ∴DG CG ＝GBDG ，DG 2＝CG·GB ②，由①②可知：GD 2＝GF·GH相似的应用十五(针对陕西中考第21题)1．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20米．当她与镜子的距离CE ＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．解：根据反射定律知：∠FEB ＝∠FED ，∴∠BEA ＝∠DEC ，∠BAE ＝∠DCE ＝90°，∴△BAE ∽△DCE ，∴AB DC ＝AE EC ，∵CE ＝2.5米，DC ＝1.6米，∴AB 1.6＝202.5，∴AB ＝12.8，∴大楼AB 的高为12.8米2．(2015·邵阳)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFAC ，∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5 m ，DC ＝20 m ，∴0.520＝0.25AC ，解得：AC ＝10，故AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m )，答：旗杆的高度为11.5 m3．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°； 乙：我站在此处看塔顶仰角为30°； 甲：我们的身高都是1.6 m ； 乙：我们相距36 m .请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．(精确到1米) 解：如图，CD ＝EF ＝BH ＝1.6 m ，CE ＝DF ＝36 m ，∠ADH ＝30°，∠AFH ＝60°，在Rt △AHF 中，∵tan ∠AFH ＝AH FH ，∴FH ＝AH tan 60°，在Rt △ADH 中，∵tan ∠ADH ＝AH DH ，∴DH ＝AHtan 30°，而DH －FH ＝DF ，∴AH tan 30°－AH tan 60°＝36，即AH 33－AH3＝36，∴AH ＝183，∴AB ＝AH＋BH ＝183＋1.6≈33(m )．答：纪念塔的高度约为33 m4．(2015·镇江)某兴趣小组开展课外活动．如图，A ，B 两地相距12米，小明从点A 出发沿AB 方向匀速前进，2秒后到达点D ，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD ，继续按原速行走2秒到达点F ，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H ，此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C ，E ，G 在一条直线上)．(1)请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM(不写画法)；(2)求小明原来的速度． 解：(1)如图(2)设小明原来的速度为x m /s ，则CE ＝2x m ，AM ＝AF －MF ＝(4x －1.2) m ，EG ＝2×1.5x ＝3x m ，BM ＝AB －AM ＝12－(4x －1.2)＝13.2－4x ，∵点C ，E ，G 在一条直线上，CG ∥AB ，∴△OCE ∽△OAM ，△OEG ∽△OMB ，∴CE AM ＝OE OM ，EG BM ＝OE OM ，∴CE AM ＝EGBM ，即2x 4x －1.2＝3x13.2－4x，解得x ＝1.5，经检验x ＝1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5 m /s .答：小明原来的速度为1.5 m /s相似的应用十六(针对陕西中考第21题)1．如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，人的眼睛E 、标杆顶点C 和旗杆顶点A 在同一直线，求旗杆AB 的高度．解：如图，∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ，∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EGEH ，即CD －EF AH＝FD FD ＋BD ，∴3－1.6AH ＝22＋15，∴AH ＝11.9，∴AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m )2．如图，两棵树的高度分别为AB ＝6 m ，CD ＝8 m ，两树的根部间的距离AC ＝4 m ，小强正在距树AB 的20 m 的点P 处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6 m ，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD 的树顶D?解：设FG ＝x 米．那么FH ＝x ＋GH ＝x ＋AC ＝x ＋4(米)，∵AB ＝6 m ，CD ＝8 m ，小强的眼睛与地面的距离为1.6 m ，∴BG ＝4.4 m ，DH ＝6.4 m ，∵BA ⊥PC ，CD ⊥PC ，∴AB ∥CD ，∴FG ∶FH ＝BG ∶DH ，即FG·DH ＝FH·BG ，∴x ×6.4＝(x ＋4)×4.4，解得x ＝8.8(米)，20－8.8＝11.2米，因此前进11.2米时就恰好不能看到树CD 的树顶D3．(2015·太原)在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．(1)如图1，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD 为3.5米，落在地面上的影长BD 为6米，求树AB 的高度；(2)如图2，小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF 为8米，坡面上的影长FG 为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为．(本小题直接写出答案，结果保留根号)解：(1)延长AC ，BD 交于点E ，根据物高与影长成正比得：CD DE ＝12，即3.5DE ＝12，解得：DE ＝7米，则BE ＝7＋6＝13米，同理AB BE ＝12，即AB 13＝12，解得：AB ＝6.5米，答：树AB的高度为6.5米(2)延长AG 交EF 延长线于D 点，则∠GFD ＝30°，作GM ⊥ED 于M ，在Rt △GFM 中，∠GFM ＝30°，GF ＝4 m ，∴GM ＝2(米)，MF ＝4cos 30°＝23(米)，在Rt △GMD 中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，GM ＝2(米)，GM ∶DM ＝1∶2，∴DM ＝4(米)，∴ED ＝EF ＋FM ＋MD ＝12＋23(米)，在Rt △AED 中，AE ＝12ED ＝12(12＋23)＝(3＋6)米，故答案为：(3＋6)米4．(2015·巴中)如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF ＝1.5 m ，量得CE ＝2 m ，EC 1＝6 m ，C 1E 1＝3 m .(1)△FDM ∽△__FBG__，△F 1D 1N ∽△__F 1BG__；(2)求电线杆AB 的高度．解：(2)根据题意，△F 1D 1N ∽△F 1BG ，∴D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∵△FDM ∽△FBG ，∴DM BG ＝FMFG ，∵D 1N ＝DM ，∴F 1N F 1G ＝FM FG ，即3GM ＋11＝2GM ＋2，∴GM ＝16 m ．∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∴1.5BG ＝327，∴BG ＝13.5 m ，∴AB ＝BG ＋GA ＝15(m )，答：电线杆AB 的高度为15 m一次函数的应用十七(针对陕西中考第22题)1．(2015·榆林模拟)甲、乙二人分别从相距21千米的A ，B 两地同时出发相向而行．如图，l 1，l 2分别表示甲、乙两人距A 地的距离y(千米)与时间t(小时)之间的关系．(1)求l 2的函数表达式；(2)甲行AB 段比乙行BA 段少用多少小时？解：(1)l 2的函数表达式为y ＝－6t ＋21 (2)甲行AB 段比乙行BA 段少用2.1小时2．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同．以每月用车路程x(km )计算，甲汽车租赁公司的月租费是y 1元，乙汽车租赁公司的月租费是y 2元．如果y 1，y 2与x 之间的关系如图所示．(1)求y 1，y 2与x 之间的函数关系；(2)每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少？解：(1)设y 2＝kx ，把(2000，2000)代入可得2000＝2000k ，解得k ＝1，所以y 2＝x ，设y 1＝k ′x ＋1000，把(2000，2000)代入可得2000＝2000k ′＋1000，解得k ′＝12，所以y 1＝12x ＋1000 (2)由图象可得，每月用车路程大于2000 km 时，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少3．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获利润分别为30元和35元，乙店铺获利润分别为26元和36元．某日，王老板进A 款式服装36件，B 款式服装24件，并将这批服装分配给两个店铺各30件．(1)怎样将这60件服装分配给两个店铺，能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？(2)怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下，王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？解：(1)设A 款式服装分配到甲店铺为x 件，则分配到乙店铺为(36－x)件；B 款式分配到甲店铺为(30－x)件，分配到乙店铺为(x －6)件．根据题意得：30x ＋35×(30－x)＝26×(36－x)＋36(x －6)，解得x ＝22，所以36－x ＝14(件)，30－x ＝8(件)，x －6＝16(件)，故A 款式服装分配到甲店铺为22件，则分配到乙店铺为14件；B 款式服装分配到甲店铺为8件，分配到乙店铺为16件，能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同 (2)设总利润为w 元，根据题意得：30x ＋35×(30－x)≥950，解得x ≤20，∴6≤x ≤20.w ＝30x ＋35×(30－x)＋26×(36－x)＋36(x －6)＝5x ＋1770，∵k ＝5＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝20时，w 有最大值1870，∴A 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件，B 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件时，最大的总利润是1870元。
【新人教版中考数学复习针对性训练系列全套 22份】复习针对性训练：选择填空四第1-15题)
选择填空四(针对陕西中考第1－15题)一、选择题1．－2016的相反数是( A )A ．2016B ．0C ．－1D ．12．由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是( B )A ．左视图与俯视图相同B ．左视图与主视图相同C ．主视图与俯视图相同D ．三种视图都相同3．下列方程中一定是一元二次方程的是( D )A ．ax 2－bx ＋c ＝0B ．5x 2－2x ＋1＝mx 2C ．x ＋3＝0D ．(a 2＋1)x 2－2x －3＝04．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )A ．6B ．5C ．4D ．3,第4题图) ,第6题图)5．已知点P(－2，3)关于x 轴对称的点的坐标P 1(a ，b)，则a ＋b ＝( D )A ．－1B ．1C ．5D ．－56．在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EC ＝2∶3，DE ＝4，则BC 等于( A )A ．10B ．8C ．9D ．67．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( A ) A ．7＜a ≤8 B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤88．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图，则反比例函数y ＝a x与正比例函数y ＝(b ＋c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( B )9．(2015·潍坊)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，C 到直线AF 的距离是( C ) A .32 2 B . 5 C .355 D ．2,第9题图) ,第10题图)10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②4a ＋2b ＋c<0；③a －b ＋c>0；④(a ＋c)2<b 2，其中正确的结论是( C )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④二、填空题11．比较cos 30°__＝__sin 60°的大小．(填“＞”“＝”或“＜”)12．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是__七__边形．13．已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为52π，则这条弧所对的圆心角是__50°__． 14．若正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2，y 1＞y 2时，则m 的取值范围是__m ＜0__．15．如图，已知AD ∥BC ，∠D ＝90°，点E 是AB 的中点， CE ＝6.5 cm ，AD ＋BC ＋CD ＝17, 则四边形ABCD 的面积是多少__30_cm 2__．点拨：连接DE 并延长交CB 的延长线于点F, 则△AED ≌△BEF ，∴S △AED ＝S △BEF, 又由△AED ≌△BEF 可知，AD ＝BF ，ED ＝EF, ∴E 是DF 的中点，∴CE 是Rt △DCF 的中位线， 而CE ＝6.5 cm ，∴DF ＝13 cm, 又∵AD ＋BC ＋CD ＝17，∴FB ＋BC ＋CD ＝17, ∴FC ＋CD ＝17，由勾股定理得，FC 2＋DC 2＝DF 2，∴(FC ＋DC)2－2FC ·DC ＝DF 2, ∴172－2FC·DC ＝132，解得FC·DC ＝60，∴12FC·DC ＝30，∴S △DCF ＝30, 而S △DCF ＝S 四边形ABCD ，即四边形ABCD 的面积是30 cm 2如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。
【初中数学】2016年中考数学专题复习学案(共7份) 通用5
中考数学专题复习学案六——求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），[来~源%:中^国教育*&出版网]∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，[来#%源:^~中教网&]∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
浙江省2016年中考数学总复习 全程考点训练3 因式分解(含解析)
全程考点训练3 因式分解一、选择题1．下列多项式中，能因式分解的是(D)A．x2－y B．x2＋1C．x2＋y＋y2 D．x2－4x＋4【解析】x2－4x＋4＝(x－2)2.2．分解因式x2y－y3结果正确的是(D)A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．3．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，其中分解不够彻底的是(A)A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2C．x2y－xy2＝xy(x－y)D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)【解析】x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．4．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是(D)A．－5 B．7C．－1 D．7或－1【解析】完全平方式为(x±4)2，故2(m－3)＝±8，m＝7或－1.5．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，则加上的单项式不可能是(D)A．4x B．－4xC．4x4 D．－4x46．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值是(C)A．－15 B．－2C．－6 D．6【解析】a－b＝3，b＋c＝－5两式相加，得a＋c＝－2.ac－bc＋a2－ab＝c(a－b)＋a(a－b)＝(a＋c)(a－b)＝－2×3＝－6.7．由m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，可得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式．下列运用立方和公式进行的变形中，不正确的是(C )A ．(x ＋4y )(x 2－4xy ＋16y 2)＝x 3＋64y 3B ．(2x ＋y )(4x 2－2xy ＋y 2)＝8x 3＋y 3C ．(a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝a 3＋1D ．x 3＋27＝(x ＋3)(x 2－3x ＋9)【解析】 (a ＋1)(a 2＋a ＋1)≠a 3＋1，应为(a ＋1)(a 2－a ＋1)＝a 3＋1.8．已知248－1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个整数是(D )A ．61，63B ．61，65C ．61，67D ．63，65【解析】 248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)，26＋1＝65，26－1＝63.二、填空题9．分解因式：(1)x 2y 4－x 4y 2＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )；(2)2x 2＋4x ＋2＝2(x ＋1)2．【解析】 (1)提取公因式x 2y 2，再用平方差公式，得原式＝x 2y 2(y 2－x 2)＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )．(2)提取公因式2，再用完全平方公式，得原式＝2(x 2＋2x ＋1)＝2(x ＋1)2.10．在实数范围内分解因式：x 2－2x －4【解析】 原式＝(x 2－2x ＋1)－5＝(x －1)2－(5)2＝(x －1＋5)(x －1－5)．11．已知a (a －2)－(a 2－2b )＝－4，则a 2＋b 22－ab 的值为__2__． 【解析】 ∵a (a －2)－(a 2－2b )＝a 2－2a －a 2＋2b ＝－2a ＋2b ，∴－2a ＋2b ＝－4，∴a －b ＝2. 则a 2＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 2＝（a －b ）22＝2. 12．如图，各块图形的面积和为a 2＋3ab ＋2b 2，分解因式的结果为(a ＋2b )(a ＋b )．(第12题)【解析】根据图示可看出大矩形是由2个边长为b的正方形，1个边长为a的小正方形和3个长为b、宽为a的小矩形组成，所以用大矩形的面积的两种求法作为相等关系，即可得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．13．在日常生活中，取款、网上支付等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆．原理是：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个由6个数字组成的密码．对于多项式4x3－xy2，若取x＝10，y＝10，则用上述方法产生的密码是：103010或101030或301010_(写出一个即可)．【解析】4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)．三、解答题14．分解因式：(1)m(a－b)＋n(b－a)．【解析】原式＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)．(2)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9.【解析】原式＝(a＋2b＋3)2.(3)(x2＋x＋1)2－x2.【解析】原式＝(x2＋x＋1－x)(x2＋x＋1＋x)＝(x2＋1)(x＋1)2.(4)(a2＋4b2)2－16a2b2.【解析】原式＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)＝(a＋2b)2(a－2b)2.15．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【解析】方法一：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；方法二：(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；方法三：(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；方法四：(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．16．有7张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小矩形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？(第16题)【解析】 左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为CG ＝a. ∵AD ＝BC ，AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋a ，BC ＝BP ＋PC ＝4b ＋PC ，∴AE ＋a ＝4b ＋PC ，∴AE ＝PC ＋4b －a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC ＋4b －a)－a·PC＝(3b －a)PC ＋12b 2－3ab.∵S 保持不变，∴3b －a ＝0，即a ＝3b.17．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足关系式a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断△ABC 的形状．(3)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m ＞n ，m ，n 都是正整数)，则△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．【解析】 (1)∵a 2c 2－b 2c 2＝c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)－c 2(a 2－b 2)＝0，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0可配方成12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]＝0，故a ＝b ＝c. ∴△ABC 为等边三角形．(3)是．理由：∵a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4＝(m 2＋n 2)2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2(n 为大于0的自然数)．(1)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由)．【解析】(1)∵a n＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，n为大于0的自然数，∴8n 一定是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．(2)a2＝16，a8＝64，a18＝144，a32＝256.当n满足n＝2k2(k为正整数)时，a n为完全平方数．。
2016年中考数学考前集训50题和答案详解
天津南开区2016年中考数学考前集训50题1.下列命题中,真命题是（）A.菱形的对角线互相平分且相等B.矩形的对角线互相垂直平分C.对角线相等且垂直的四边形是正方形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.估计32 的值（）11A.在2到3之间B.在3到4之间C.在4到5之间D.在5到6之间3.如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A. B. C. D.4.如图,已知在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为（）秒时.△ABP和△DCE全等．A.1B.1或3C.1或7D.3或75.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C,连结BC.若∠P=360,则∠BC0等于( )A.27°B.30°C.36°D.54第5题图第6题图第7题图6.如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=580,则∠BCD等于（）A.116°B.32°C.58°D.64°7.如图,已知□ABCD中,AE⊥BC于点E，以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA/E/，连接DA/．若∠ADC=600,∠ADA/=500,则∠DA/E/的大小为（）A.130°B.150°C.160°D.170°8.如图，已知A（，y 1），B （2,y 2）为反比例函数y=图象上的两点,动点P （x,0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A.（，0） B.（1，0） C.（，0） D.（，0）9.如图,过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y=-x+6于A 、B 两点,若反比例函数y=（x>0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.2≤k ≤9B.2≤k ≤8C.2≤k ≤5D.5≤k ≤8 10.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx ＋b 与y=bx 2＋kx 的图象可能是( )11.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠C=900,AC=6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA=,则AD 长是（ ）A. B.2C.1D.212.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发,沿折线AC →CB 运动,到点B 停止.过点P 作PD ⊥AB 于点D,PD 的长y(cm)与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当点P 运动5秒时,PD 的长是（ ） A.1.2cmB.1.5cmC.1.8cmD.2cmCABD13.在一条笔直的公路旁依次有A 、B 、C 三个村庄，甲、乙两人同时分别从A 、B 两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C 村，最终到达C 村．甲、乙两人到C 村的距离y 1，y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是：A.A 、C 两村间的距离为120 kmB.点P 的坐标为（1，60）C.点P 的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C 村60 kmD.乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10 km14.如图,∠ABC=800,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,21BO 为半径作⊙O.要使射线BA 与⊙O 相切,应将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转（ ）A.40°或80°B.50°或100°C.50°或110°D.60°或120°15.如图,在正方形ABCD 外侧作直线DE,点C 关于直线DE 的对称点为M,连接CM,AM,其中AM 交直线DE 于点N.若450<∠CDE<900,当MN=3,AN=4时,正方形ABCD 的边长为( )A ．7B ．5C ．5 2D ．52216.如图,抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于C,抛物线顶点为D,下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为6．其中真命题的序号是（）A.①B.②C.③D.④17.如图,∠1=700,直线a平移后得到直线b，则∠2-∠3= ．18.已知在Rt△ABC中,∠C=900,点P、Q分别在边AB、AC上,AC=4,BC=AQ=3,如果△APQ与△ABC相似,那么AP的长等于．19.已知m是整数,且一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限,则m= ．20.如图,已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P,则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．21.如图,菱形纸片ABCD,∠A=600，P为AB中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度.22.如图,在矩形ABCD中,AD=9cm,AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,则重叠部分(△BEF)的面积为 cm2.23.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露在盒外,其截面如图.已知EF=CD=80cm,则截面圆的半径为 cm.24.某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是米．25.如图,在平行四边形ADBO中,圆O经过点A、D、B，如果圆O的半径OA=4,那么弦AB= ．26.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）27.已知a，b满足+|b﹣|=0．则分式（）÷= ．28.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．29.已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D 点的坐标，那么D点的坐标是．30.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是．31.如图，直线l：y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．32.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是．33.如图,Rt△ABC,∠ACB=900,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC 沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B/处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B/F的长为．34.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为．35.在矩形ABCD中，AD=15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为点G，如图，如果AD=3GD，那么DE= ．36.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．37.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）38.如图,利用热气球探测器测量大楼AB的高度.从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为370,大楼底部A的俯角为600,此时热气球P离地面的高度为120 m.试求大楼AB的高度（精确到0.1 m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）39.如图,AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C在OP上,且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．40.如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点M,交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.（1）求证:∠BCP=∠BAN;（2）求证： =．41.某校八年级学生小明、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小明：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．[利润=（销售价﹣进价）×销售量]（1）请你根据以上对话信息，求出y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？42.如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东200方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东500方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,求C处与灯塔A 的距离．43.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点且∠BOD=600,过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．44.如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是300,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是480,若坡角∠FAE=300,求大树的高度（结果保留整数,参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）45.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求证:PA是⊙O的切线；(2)求证：AC2=CO﹒CP;(3)若3PD,求⊙O的直径.46.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：（1）求y（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？47.我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？48.如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C.直线y=h(h为常数,且0＜h＜6)与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接BE. 求h为何值时,△BDE的面积最大；（3）已知定点M(-2,0)，请问是否存在这样的直线y=h，使△OFM是等腰三角形？若存在，求出h 的值和点G的坐标；若不存在，说明理由.49.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．50.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4,0）、点B（0,﹣8），直线AC与y轴交于点C（0,﹣4）．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合）,过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E．（l）求抛物线所对应的函数表达式．（2）若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标．（3）求点E横坐标的最大值．答案详解1.【解答】解：A 、菱形的对角线互相平分且垂直，所以A 选项错误； B 、矩形的对角线互相平分且相等，所以B 选项错误；C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C 选项错误；D 、对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以D 选项正确．故选D ． 2.【解答】解：∵7441126<=<，故3＜431123<-<＜4；故选B ．3.【解答】解:a ＞0,b ＞0时,抛物线开口向上,对称轴x=﹣＜0,在y 轴左边，与y 轴正半轴相交，a ＜0,b ＜0时,抛物线开口向下,对称轴x=﹣＜0,在y 轴左边，与y 轴正半轴坐标轴相交,D 符合.故选D ．4.【解答】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ， 由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ， 由题意得：AP=16﹣2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．故选C ． 5.A6.【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选B ．7.【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°， ∵∠ADA ′=50°，∴∠A ′DC=10°，∴∠DA ′B=130°，∵AE ⊥BC 于点E ，∴∠BAE=30°，∵△BAE 顺时针旋转，得到△BA ′E ′，∴∠BA ′E ′=∠BAE=30°，∴∠DA ′E ′=∠DA ′B+∠BA ′E ′=160°．故选：C ．8.【解答】解：∵把A （，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=得：y 1=2，y 2=，∴A （，2），B （2，），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+，当y=0时，x=，即P （，0），故选：D ．9.【解答】解：∵点C （1，2），BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴当x=1时，y=﹣1+6=5， 当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，∴点A 、B 的坐标分别为A （4，2），B （1，5）， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k=1×2=2最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，∵1≤x≤4，∴当x=3时，k值最大，此时交点坐标为（3，3），因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选：A．10.C11.【解答】解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA==，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6．∴AE+BE=5AE+AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．故选B．12.略。
九年级数学中考针对性训练专题汇编
九年级数学针对性训练专题汇编针对性训练专题一一、根式的化简1）.2的值为( )A．±5 B．5 C．-5 D．25的值为( )3A.－4B.±4C.4D.164、）.A.2B.-2C.±2D.-45、( ).(A)-16 (B)4 (C)16 (D)±166的值为( )A.－5B.±5C.57( )A．-3 B．3或-3 C．3 D．98）A.2B.±2C.-2D.49、）A 3B 3± C D±10、根式－2)7(-的值是( )A.7B.7或-7C.-7D.49二、概率1、下列事件是随机事件的是( )A．两个奇数之和为偶数B．某个中学生的体重超过５００千克C．武汉市在六月份下了一场大雪D．三条线段围成一个三角形2、下列说法中正确的是( )A.不确定事件发生的概率是不确定的B.事件发生的概率不可能等于0C.事件发生的概率不可以等于事件不发生的概率D.投一枚均匀的骰子,偶数面朝上的概率是1/23、指出下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是(1)通常加热到100℃时，水沸腾；(2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；(3)掷一次骰子，向上的一面是6点；(4)度量三角形的内角和，结果是360º；(5)经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；(6)某射击运动员射击一次，命中靶心．4、判断题(正确填A，错误填B)1．掷一枚硬币，不可能连续出现10次正面朝上．( )2．必然事件是一定发生的事件．( )3．若ab>0，必有“a>0，b>0．( )4．必然事件发生的可能性大于随机事件发生的可能性．( )5、下列事件中，是必然事件是( )A．一个星期可以有9天B．小红在中考中，数学获得满分120分C．今天是星期一，明天是星期二D．明天武汉市一定下雨6、下列事件中，是必然事件是( )A．打开电视机，正在在播广告B．度量四边形的内角和，结果是３６０ºC．明天学校放假D．买彩票一定中奖7、下列事件中，是不可能事件的是( )A．明天是睛天B．袋子中有有两个红球，一个白球，从袋子中任意摸出一是蓝球C．花是红的D．种子会发芽8、下列事件是随机事件的是( )A．两个奇数之积为奇数B．某个学生的身高超过５米C．武汉市在09年有12000万人D．任意三条线段能工围成一个直角三角形9、下列事件是随机事件的是( )A．在标准大气压下，把水加热到１００℃时，水会沸腾B．走出校门，看到的第一辆车的牌照末位数是８C．小麦亩产１０００千克D．在３只装有红球的袋中任意摸出一个球是红球10、如果一个事件不发生的可能性达９９%，那么它( )A．不可能发生B．很可能发生C．不太能发生D．必然发生11、如果一个事件发生的可能性达９９%，那么它( )A．不可能发生B．很可能发生C ．不太能发生D ．必然发生12、下列事件中，随机事件有①东西湖今天下雨；②对顶角相等；③明天停电；④一个星期有８天 A ．１个 B ．2个 C ．１个3 D ．4个13、如图，有四张背面相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，则所摸出的图形是中心对称图形的概率是（ ）A 、12 B 、13C 、23D 、1414、小明和小亮口袋里面各放有五张不同的2008年奥运会福娃纪念卡，小明、小亮从口袋里各自摸出一张恰好是福娃贝贝的概率是( ) A 、125B 、25C 、15D 、11015、设有12 只型号相同的杯子，其中—等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取1只，是二等品的概率等于( )A ．13B ．112C ．14D ．116、 如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形， 指针停在6号扇形的可能性就会加大。
【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案
【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案目录专题提升(一)数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二)代数式的化简与求值 (4)专题提升(三)列方程(组)解应用题 (8)专题提升(四)一次函数图象与性质的综合应用 (11)专题提升(五)反比例函数图象与性质的综合应用 (19)专题提升(六)二次函数图象与性质的综合应用 (26)专题提升(七)统计与概率的综合运用 (35)专题提升(八)以特殊三角形为背景的计算与证明 (45)专题提升(九)以特殊四边形为背景的计算与证明 (50)专题提升(十)与圆有关的计算与证明 (60)专题提升(十一)巧用图形变换进行计算与证明 (65)专题提升(十二)以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (70)专题提升(一)数形结合与实数的运算1．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是(D)(第1题图)A. 2.5B. 2 2C. 3D. 5 2．计算8³12＋(2)0的结果为(C ) A. 2＋ 2 B. 2＋1 C. 3 D. 53．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(C )(第3题图)A. m >0B. n <0C. mn <0D. m －n >04．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b ，根据这个规则，计算2☆3的值是(A )A. 56B. 15C. 5D. 65．如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示数－3的点最接近的是(B )(第5题图)A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D6．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则|a |＞|b |(填“＞”“＜”或“＝”)．(第6题图)7．计算：|3－23|＋(π－2016)0＋⎝⎛⎭⎫12－18．已知a －1＋|a ＋b ＋1|＝0，则a b ＝__1__．9．按下面程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是__12__．10．定义运算a ⊗b ＝a (1－b )，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0.其中正确结论的序号是__①③__(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)． 11．设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…，S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2.设S ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则S ＝n 2＋2nn ＋1(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．12．下面两个多位数1248624……，6248624……都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘2，若积为一位数，将其写在第2位上；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是495．13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4……则第2015次输出的结果是__4__．(第13题图)解：由已知可得：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4……所以规律为从第2次开始每三次一个循环，(2015－1)÷3＝671……1，所以第2015次输出的结果是4.14．计算：(π－5)0＋38＋(－1)2015－3tan60°. 解：原式＝1＋2－1－3³3＝－1.15．计算：(3－2)0＋⎝⎛⎭⎫13－1＋4cos 30°－|3－27|.解：原式＝1＋3＋4³32－23＝4. 16．我们曾经研究过n ³n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12＋22＋32＋…＋n 2.但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0³1＋1³2＋2³3＋…＋(n —1)³n ＝13n (n ＋1)(n －1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12＋22＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＝1＋0³1＋2＋1³2＝(1＋2)＋(0³1＋1³2) 12＋22＋32＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3 ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3 ＝(1＋2＋3)＋(0³1＋1³2＋2³3)12＋22＋32＋42＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3＋________________ ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3＋________________________________________________________________________＝(1＋2＋3＋4)＋(__________________________) ……(2)归纳结论：12＋22＋32＋…＋n 2＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3＋…＋(1＋n －1)³n ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3＋…＋n ＋(n －1)³n＝(________________)＋(______________) ＝__________________＋________________＝16³__________________ (3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是______________．解：(1)依次填：(1＋3)³4；4＋3³4；0³1＋1³2＋2³3＋3³4.(2)依次填：1＋2＋3＋…＋n ；0³1＋1³2＋2³3＋＋…＋(n －1)³n ；12n (n ＋1)；13n (n＋1)(n—1)；n(n＋1)(2n＋1)．(3)338350.17．如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|.(第17题图)回答下列问题：(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是__3__，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__4__．(2)在数轴上表示x和－5的两点之间的距离是|x＋5|．(3)若x表示一个有理数，则|x－1|＋|x＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．解：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|＝3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1－(－3)|＝4.(2)根据绝对值的定义知：数轴上表示x和－5的两点之间的距离是|x－(－5)|＝|x＋5|或|－5－x|＝|x＋5|.(3)根据绝对值的定义知：|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知：当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.18．我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1(即方程x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2²i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n＋1＝i4n²i＝(i4)n²i＝i，同理可得i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.求i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2015＋i2016的值．解：由题意得，i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i ＝i，i6＝i5·i＝－1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0.∵2016÷4＝504，即2016是4的整数倍．∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2015＋i2016＝0.专题提升(二)代数式的化简与求值1．下列计算正确的是(C)A. －3x2y²5x2y＝2x2yB. －2x2y3²2x3y＝－2x5y4C. 35x3y2÷(5x2y)＝7xyD. (－2x－y)(2x＋y)＝4x2－y22．下列各式的变形中，正确的是(A)A. (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B. 1x －x ＝1－x xC. x 2－4x ＋3＝(x －2)2＋1D. x ÷(x 2＋x )＝1x＋13．已知1a －1b ＝13，则2aba －b 的值是(D )A. 16B. －16 C. 6 D. －64．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为(A )(第4题图)A. 7B. －7C. 2a －15D. 无法确定5．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为(C ) A. 9 B. ±3 C. 3 D. 56．化简⎝⎛⎭⎫2x x ＋2－x x －2÷xx 2－4的结果为x －6．7．已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2016＋y 2016＝__2__．8．若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b 2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝__12__，b＝__12__；计算：m ＝11³3＋13³5＋15³7＋…＋119³21＝__1021__．解：∵1（2n －1）（2n ＋1）＝12（2n －1）－12（2n ＋1）＝a 2n －1＋b 2n ＋1，∴a ＝12，b ＝12.∴m ＝11³3＋13³5＋15³7＋…＋119³21＝⎝⎛⎭⎫12－16＋⎝⎛⎭⎫16－110＋…＋⎝⎛⎭⎫138－142＝12－142＝1021. 9．已知|6－3m |＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n __－2__．10．观察下列等式：第一个等式：a 1＝31³2³22＝11³2－12³22； 第二个等式：a 2＝42³3³23＝12³22－13³23；第三个等式：a 3＝53³4³24＝13³23－14³24； 第四个等式：a 4＝64³5³25＝14³24－15³25. 按上述规律，回答以下问题：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式： a n ＝n ＋2n （n ＋1）·2n 1＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1； (2)计算：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20.解：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式： a n ＝n ＋2n （n ＋1）·2n ＋1＝1n ³2n －1（n ＋1）·2（n ＋1）.(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝11³2－12³22＋12³22－13³23＋13³23－14³24＋…＋120³220－121³221＝12－121³221. 11．先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋b (a ＋2b )－b 2，其中a ＝1，b ＝－2. 解：原式＝a 2－b 2＋ab ＋2b 2－b 2＝a 2＋ab .当a ＝1，b ＝－2时，原式＝12＋1³(－2)＝1－2＝－1.12．先化简，再求值：m 2－2m ＋1m 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1－m －1m ＋1，其中m ＝ 3. 解：原式＝m 2－2m ＋1m 2－1÷（m －1）（m ＋1）－（m －1）m ＋1＝（m －1）2（m －1）（m ＋1）·m ＋1m 2－1－m ＋1 ＝m －1m ＋1·m ＋1m 2－m ＝m －1m 2－m ＝m －1m （m －1）＝1m. 当m ＝3时，原式＝1m ＝13＝33.13．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1x －1－1x ＋1÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.解：原式＝x ＋1－x ＋1（x －1）（x ＋1）÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）·（x ＋1）（x －1）x ＋2＝2x ＋2. ∵2x －6＝0，∴x ＝3. 当x ＝3时，原式＝2x ＋2＝25.14．已知A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1.(1)化简A .(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0且x 为整数时，求A 的值．解：(1)A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－x x －1＝（x ＋1）2（x ＋1）（x －1）－x x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1.(2)解x －1≥0，得x ≥1；解x －3<0，得x <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0的解为1≤x <3. ∵x 为整数，∴x ＝1，2. 当x ＝1时，分式无意义． 当x ＝2时，A ＝12－1＝1.15．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a ÷b 2a 2－ab ，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ·a （a －b ）b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a －b －a a －b ·a （a －b ）b 2＝ba －b·a （a －b ）b 2＝ab. ∵a ＋1＋|b －3|＝0， ∴a ＋1＝0，b －3＝0， 解得a ＝－1，b ＝ 3.当a ＝－1，b ＝3时，原式＝－13＝－33.16．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b 元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n 个学生．奖金分配方案如下：首先将n 个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n 个学生的综合评分均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1位学生得奖金bn 元，然后再将余额除以n 发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n 个学生．(1)假设第k 个学生得到的奖金为a k 元(1≤k ≤n )，试用k ，n 和b 表示a k .(2)比较a k 和a k ＋1的大小(k ＝1，2，…，n －1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．解：(1)a k ＝b n⎝⎛⎭⎫1－1n k －1.(2)∵a k ＝b n ⎝⎛⎭⎫1－1n k －1，a k ＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫1－1n k，∴a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－1n a k ＜a k ， 说明排名越靠前获得的奖学金越多．专题提升(三) 列方程(组)解应用题一、一元一次方程的应用1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是(A ) A. 100元 B. 90元 C. 810元 D. 819元2．某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问：一月份每辆电动车的售价是多少元？解：设一月份每辆电动车的售价是x 元，根据题意，得 100x ＋12200＝(x －80)³100³(1＋10%)， 解得x ＝2100.答：一月份每辆电动车的售价是2100元．3．现有甲、乙两种金属的合金10 kg ，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份，甲种金属占3份，如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份，甲种金属占7份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？解：设原来这块合金中甲种金属的百分比是x ，则甲种金属有10x (kg)，乙种金属有(10－10x )kg ，根据题意，得(10－10x )÷310－10＝2³[(10－10x )÷25－10]，解得x ＝40%.则(10－10³40%)÷25－10＝5(kg)．答：第一次加入的甲种金属是5 kg ，原来这块合金中甲种金属的百分比是40%. 二、二元一次方程(组)的应用4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋3d ，4d .例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为(B )A. 7，6，1，4B. 6，4，1，7C. 4，6，1，7D. 1，6，4，7 5某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人，由题意，得①⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1118，8（x ＋y ）＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，y ＝53. ②⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1118，10（x ＋y ）＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝151，y ＝－69.4.(不合题意舍去) 答：七年级(1)班有49人、七年级(2)班有53人． (2)七年级(1)班节省的费用为(12－8)³49＝196(元)， 七年级(2)班节省的费用为(10－8)³53＝106(元)．6．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程(组)解决的问题，并写出这个问题的解答过程．解：本题的答案不唯一．问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？解：设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝22，2x ＋6y ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.5.则x ＋y ＝4＋2.5＝6.5(吨)．答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨． 三、一元二次方程的应用7．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是(B )A. (1＋x )2＝1110B. (1＋x )2＝109C. 1＋2x ＝1110D. 1＋2x ＝1098．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?(第8题图)解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x (m)，则平行于墙的一边的长为(25－2x ＋1)m ，由题意，得x (25－2x ＋1)＝80，化简，得x 2－13x ＋40＝0，解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16＞12(舍去)； 当x ＝8时，26－2x ＝10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10 m 、宽为8 m.9．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元． 解：(1)设增长率为x ，根据题意，得 2500(1＋x )2＝3025，解得x ＝0.1＝10%或x ＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%. (2)3025³(1＋10%)＝3327.5(万元)．答：根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元． 四、分式方程的应用10．现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满，然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3∶5，则桶的容积为40升．11．扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，则原计划每天栽树多少棵？解：设原计划每天种树x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)棵．由题意，得1200x －1200（1＋20%）x＝2，解得x ＝100.经检验，x ＝100是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树100棵．12．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600 m 道路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10 h 完成任务．(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路_________________m.(2)问：原计划每小时抢修道路多少米？解：(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路3600³13＝1200(m)，故答案为1200.(2)设原计划每小时抢修道路x (m)， 根据题意，得1200x ＋3600－1200[（1＋50%）x ]＝10，解得x ＝280.经检验，x ＝280是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每小时抢修道路280 m.专题提升(四) 一次函数图象与性质的综合应用1．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝bx ＋a 的图象可能是(C )2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1 cm ，BC ＝2 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿折线AC →CB →BA 运动，最终回到点A ，设点P 的运动时间为x (s)，线段AP 的长度为y (cm)，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是(A ),(第2题图))(第14题图)3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应为点为直线y ＝34x 上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为 (C )A. 94B. 3C. 4D. 54．汽车以60 km/h 的速度在公路上匀速行驶，1 h 后进入高速路，继续以100 km/h 的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s (km)与行驶的时间t (h)的函数关系的大致图象是(C )5．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是(C )A. 1＜m ＜7B. 3＜m ＜4C. m ＞1D. m ＜46．如图，已知一条直线经过点A (0，2)，B (1，0)，将这条直线向左平移，使其与x 轴、y 轴分别交与点C ，D .若DB ＝DC ，则直线CD 的函数表达式为y ＝－2x －2．,(第6题图))7．已知直线y ＝－（n ＋1）n ＋2x ＋1n ＋2(n 为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2012＝__5032014__． 解：令x ＝0，则y ＝1n ＋2； 令y ＝0，则－n ＋1n ＋2x ＋1n ＋2＝0，解得x ＝1n ＋1.∴S n ＝12·1n ＋1·1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2012＝12³⎝⎛12－13＋13－14＋14－15＋…＋12013－⎭⎫12014＝12³⎝⎛⎭⎫12－12014＝5032014. 8．已知直线y ＝kx ＋b ，若k ＋b ＝5，kb ＝6，那么该直线不经过第__四__象限．9．如图，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(3，4)，点P 为x 轴上的一点．若点B 关于直线AP 的对称点B ′恰好落在x 轴上，则点P 的坐标为__(43，0)__．(第9题图)10．已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．(第10(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)．(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm ，求此时体温计的读数．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35＝4.2k ＋b ，40＝8.2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝54，b ＝29.75.∴y ＝54x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝54x ＋29.75.(2)当x ＝6.2时，y ＝³6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5 ℃.(第11题图)11．如图，一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，点A 坐标为(m ，2)，点B 坐标为(－4，n )，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连结OD ，BD .(1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求四边形OCBD 的面积．解：(1)如解图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E .(第11题图解)∵点A (m ，2)，tan ∠AOE ＝13，∴tan ∠AOE ＝AE OE ＝2m ＝13，∴m ＝6，∴点A (6，2)．∵y ＝kx 的图象过点A (6，2)，∴2＝k6，∴k ＝12，∴反比例函数的表达式为 y ＝12x .∵点B (－4，n )在 y ＝12x 的图象上，∴n ＝12－4＝－3，∴点B (－4，－3)．∵一次函数y ＝ax ＋b 过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝2，－4k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－1. ∴一次函数的表达式为y ＝12x －1.(2)对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，∴点C (0，－1)． 当y ＝－1时，－1＝12x ，∴x ＝－12，∴点D (－12，－1)， ∴S 四边形OCDB ＝S △ODC ＋S △BDC＝12³|－12|³|－1|＋12³|－12|³|(－3)－(－1)| ＝6＋12 ＝18.12．甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h ，并且甲车途中休息了0.5 h ，如图是甲、乙两车行驶的距离y (km)与时间x (h)的函数图象．(第12题图)(1)求出图中m ，a 的值．(2)求出甲车行驶路程y (km)与时间x (h)的函数表达式，并写出相应的x 的取值范围． (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km? 解：(1)由题意，得 m ＝1.5－0.5＝1.120÷(3.5－0.5)＝40， ∴a ＝40³1＝40. ∴a ＝40，m ＝1. (2)∵260÷40＝6.5，6.5＋0.5＝7，∴0≤x ≤7.当0≤x ≤1时，设y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 1x ，由题意，得 40＝k 1， ∴y ＝40x ；当1＜x ≤1.5时， y ＝40；当1.5＜x ≤7时，设y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 2x ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40＝1.5k 2＋b ，120＝3.5k 2＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝40，b ＝－20.∴y ＝40x －20.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x （0≤x ≤1），40（1<x ≤1.5），40x －20（1.5<x ≤7）.(3)设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝k 3x ＋b 3，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 3，120＝3.5k 3＋b 3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝80，b 3＝－160.∴y ＝80x －160.当40x －20－50＝80x －160时， 解得x ＝94.当40x －20＋50＝80x －160时， 解得x ＝194.94－2＝14，194－2＝114. 答：乙车行驶14 h 或114h ，两车恰好相距50 km.13．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v (千米/小时)是车流密度x (辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度．(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数(即：车流量＝车流速度³车流密度)．求大桥上车流量y 的最大值．解：(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x ≤220时，v ＝－25x ＋88，当x ＝100时，v ＝－25³100＋88＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎨⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60，解得70＜x ＜120.∴应控制大桥上的车流密度在70～120辆/千米范围内． (3)设车流量y 与x 之间的关系式为y ＝v x ， 当0≤x ≤20时， y ＝80x .∵k ＝80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴x ＝20时，y 最大＝1600； 当20≤x ≤220时y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4840，∴当x ＝110时，y 最大＝4840. ∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y 取得最大值，是每小时4840辆． 14．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x 元，按上述标准报销的金额为y 元． (1)直接写出x ≤50000时，y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围． (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，则他住院医疗费用是多少元？ 解：(1)由题意得：①当x ≤8000时，y ＝0；②当8000＜x ≤30000时，y ＝(x －8000)³50%＝0.5x －4000；③当30000＜x ≤50000时，y ＝(30000－8000)³50%＋(x －30000)³60%＝0.6x －7000. (2)当花费30000元时，报销钱数为y ＝0.5³30000－4000＝11000， ∵20000＞11000，∴他的住院医疗费用超过30000元，当花费是50000元时，报销钱数为y ＝11000＋20000³0.6＝23000(元)， 故住院医疗费用小于50000元．故把y ＝20000代入y ＝0.6x －7000中，得 20000＝0.6x －7000， 解得x ＝45000.答：他住院医疗费用是45000元．15．某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同．(1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格．(2)如果购买两种树苗共用5600元，那么甲、乙两种树苗各买了多少株？(3)调查统计得，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%.要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？解：(1)设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为x 元，y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，100x ＝160y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8.答：甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为5元，8元．(2)设购买甲种树苗a 株，则购买乙种树苗(1000－a )株，由题意，得 5a ＋8(1000－a )＝5600，解得a ＝800，∴乙种树苗购买株数为1000－800＝200株．答：购买甲种树苗800株，购买乙种树苗200株．(3)设购买甲种树苗b 株，则购买乙种树苗(1000－b )株，设购买的总费用为W 元，由题意，得90%b ＋95%(1000－b )≥1000³92%， 解得b ≤600.易得W ＝5b ＋8(1000－b )＝－3b ＋8000， ∵k ＝－3＜0，∴W 随b 的增大而减小，∴当b ＝600时，W 最低＝6200元．答：购买甲种树苗600株，购买乙种树苗400株时，费用最低，最低费用是6200元． 16．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放．某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y 1(张)与售票时间x (小时)的变化趋势如图①，每个无人售票窗口售出的车票数y 2(张)与售票时间x (h)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图②.若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．(1)求图②中所确定抛物线的表达式．(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？(第16题图)解：(1)设y 2＝ax 2，当x ＝2时，y 1＝y 2＝40，把点(2，40)的坐标代入y 2＝ax 2，得 4a ＝40， 解得a ＝10， ∴y 2＝10x 2.(2)设y 1＝kx ＋b (1≤x ≤3)，把点(1，0)，(2，40)的坐标分别代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，2k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝40，b ＝－40. ∴y 1＝40x －40.∴当x ＝3时，y 1＝80，y 2＝90.设需要开放m 个普通售票窗口，由题意，得 80m ＋90³5≥900，∴m ≥558.∵m 取整数， ∴m ≥6.答：至少需要开放6个普通售票窗口．专题提升(五) 反比例函数图象与性质的综合应用(第1题图)1．反比例函数y ＝mx 的图象如图所示，有以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A (－1，h )，B (2，k )在图象上，则h ＜k ；④若点P (x ，y )在图象上，则点P ′(－x ，－y )也在图象上． 其中正确的是(C ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④2．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是(B ) A. y ＝－x ＋1 B. y ＝x 2－1 C. y ＝1xD. y ＝－x 2＋13．已知圆柱的侧面积是20π cm 2，若圆柱底面半径为r (cm)，高为h (cm)，则h 关于r 的函数图象大致是(A )(第4题图)4．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为(A )A. －4B. 4C. －2D. 2(第5题图)5．如图，在反比例函数y ＝－6x (x <0)的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为__6__．6．反比例函数y ＝2a －1x 的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是__a >12__．(第7题图)7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F .若点D 的坐标为(6，8)，则点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，83．(第8题图)8．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过点(－1，－22)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP .(1)k(2)在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C(第9题图)9．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于A (1，4)，B (3，m )两点．(1)求一次函数的表达式． (2)求△AOB 的面积．解：(1)把点A (1，4)代入y ＝k 2x 得，k 2＝4.∴反比例函数的表达式为y ＝4x .把点B (3，m )代入y ＝4x 得，m ＝43∴点B 的坐标为(3，43)．把点A (1，4)，B (3，43)的坐标代入y ＝k 1x ＋b 得，⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b ＝4，3k 1＋b ＝43，解得⎩⎨⎧k 1＝－43，b ＝163. ∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋163.(2)∵直线y ＝－43x ＋163与x 轴的交点坐标为(4，0)，∴S △AOB ＝12³4³4－12³4³43＝163.10．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km/h 时，视野为80度．如果视野f (度)是车速v (km/h)的反比例函数，求f ，v 之间的关系式，并计算当车速为100 km/h 时视野的度数．解：设f ，v 之间的关系式为f ＝kv (k ≠0)． ∵v ＝50时，f ＝80，∴80＝k 50. 解得k ＝4000. ∴f ＝4000v .当v ＝100时，f ＝4000100＝40(度)．答：f ＝4000v ，当车速为100 km/h 时视野为40度．11．某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万m 3.(1)写出运输公司完成任务所需的时间y (天)与平均每天的工作量x (万m 3)之间的函数表达式，并给出自变量x 的取值范围．(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000 m 3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?解：(1)由题意，得y ＝360x .把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3；把y ＝180代入y ＝360x ，得x ＝2.∴自变量x 的取值范围是2≤x ≤3. ∴y ＝360x(2≤x ≤3)．(2)设原计划平均每天运送土石方x (万m 3)，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万m 3， 由题意，得360x －360x ＋0.5＝24化简，得x 2＋0.5x －7.5＝0.解得x 1＝2.5，x 2＝－3，经检验，x 1＝2.5，x 2＝－3均为原方程的根，但x 2＝－3不符合实际意义，故舍去． 又∵2≤x ≤3，∴x 1＝2.5满足条件，即原计划平均每天运送土石方2.5万m 3，实际平均每天运送土石方3万m 3.(第12题图)12．工匠制作某种金属工具需要进行材料煅烧和锻造两道工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min 时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y (℃)与时间x (min)成一次函数关系；锻造时，温度y (℃)与时间x (min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y 关于x 的函数表达式，并且写出自变量x 的取值范围． (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？解：(1)停止加热时，设y ＝kx(k ≠0)，由题意，得600＝k8，解得k ＝4800，∴y ＝4800x.当y ＝800时，4800x＝800，解得x ＝6，∴点B 的坐标为(6，800)．材料加热时，设y ＝ax ＋32(a ≠0)， 由题意，得800＝6a ＋32， 解得a ＝128.∴材料加热时，y 关于x 的函数表达式为y ＝128x ＋32(0≤x ≤6)． 停止加热进行操作时，y 关于x 的函数表达式为y ＝4800x (6＜x ≤20)．(2)把y ＝480代入y ＝4800x ，得x ＝10，10－6＝4(min)．答：锻造的操作时间为4 min.(第13题图)13．如图，已知点A ，P 在反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象上，点B ，Q 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1，AB ⊥x 轴(点A 在点B 下方)，且S △OAB ＝4.若P ，Q 两点关于y 轴对称，设点P 的坐标为(m ，n )．(1)求点A 的坐标和k 的值．(2)求n m ＋mn的值．解：(1)∵点B 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1， ∴当y ＝－1时，x －3＝－1，解得x ＝2， ∴点B (2，－1)．设点A 的坐标为(2，t )，则t ＜－1，AB ＝－1－t . ∵S △OAB ＝4， ∴12(－1－t )³2＝4， 解得t ＝－5，∴点A 的坐标为(2，－5)．∵点A 在反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象上，∴－5＝k2，解得k ＝－10.(2)∵P ，Q 两点关于y 轴对称，点P 的坐标为(m ，n )， ∴点Q (－m ，n )， ∵点P 在反比例函数y ＝－10x的图象上，点Q 在直线y ＝x －3上， ∴n ＝－10m ，n ＝－m －3，∴mn ＝－10，m ＋n ＝－3，∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝（－3）2－2³（－10）－10＝－2910.(第14题图)14．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (时)变化的函数图象，其中BC 段是反比例函数y ＝kx 图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值．(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10 h.(2)∵点B (12，18)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴18＝k12，∴解得k ＝216.(3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5，∴当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃.15．已知双曲线y ＝1x (x ＞0)，直线l 1：y －2＝k (x －2)(k ＜0)过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，直线l 2：y ＝－x ＋ 2.(1)若k ＝－1，求△OAB 的面积S .(2)若AB ＝522，求k 的值．(第15题图)(3)设N (0，22)，P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM ＋PN 最小值，并求PM ＋PN 取得最小值时点P 的坐标．(参考公式：在平面直角坐标系中，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A ，B 两点间的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.解：(1)当k ＝－1时，l 1：y ＝－x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋22，y ＝1x ，化简，得x 2－22x ＋1＝0，解得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.设直线l 1与y 轴交于点C ，则C (0，22)． S △OAB ＝S △BOC －S △AOC ＝12³22(x 2－x 1)＝2 2.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －2），y ＝1x，整理，得kx 2＋2(1－k )x －1＝0(k ＜0)，∵Δ＝[2(1－k )]2－4³k ³(－1)＝2(1＋k 2)＞0， ∴x 1，x 2 是方程的两个根，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1）k ①，x 1·x 2＝－1k ，∴AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 22＝（x 1－x 2）2⎝⎛⎭⎫1＋1x 12·x 22 ＝[（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2]⎝⎛⎭⎫1＋1x 12·x 22将①代入，得AB ＝2（k 2＋1）2k 4＝2（k 2＋1）k 2(k ＜0)， ∴2（k 2＋1）k 2＝522，解得k ＝63(舍去)，或 k ＝－63.(第15题图解)(3)易得点F (2，2)，如解图： 设点P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ， 则点M ⎝⎛⎭⎫－1x ＋2，1x ， 则PM ＝x ＋1x － 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －22＝x 2＋1x2－22⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋4. ∵PF ＝（x －2）2＋⎝⎛⎭⎫1x －22＝x 2＋1x2－22⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋4， ∴PM ＝PF .∴PM ＋PN ＝PF ＋PN ≥NF ＝2，当点P 在NF 上时等号成立，此时NF 对应的函数表达式为y ＝－x ＋22， 由(1)知此时点P (2－1，2＋1)，∴当点P 的坐标是(2－1，2＋1)时，PM ＋PN 的值最小，最小值是2.专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用(第1题图)1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；②4a ＋2b ＋c ＜0；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0. 其中正确的个数有(B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(第2题图)2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC .则下列结论：①abc <0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－ca .其中正确结论的个数是(B )A. 4B. 3C. 2D. 13．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A. 1B. 2C. 3D. 4(第4题图)4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是(B )A. y 1 ≤y 2B. y 1 ＜y 2C. y 1 ≥y 2D. y 1 ＞y 25．已知A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为(A )A. y 1>y 2>y 3B. y 1>y 3>y 2C. y 3>y 2>y 1D. y 3>y 1>y 26．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是(A )。
2016中考数学备考复习(1)
答卷情况及对教学的启示
23．直线 l 与⊙O 相切于点 D，过圆心 O 作 EF∥l 交⊙O 于
E、F 两点，点 A 是⊙O 上一点，连接 AE，AF，并分别延
长交直线 l 于 B、C 两点；
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O 的半径 R=5，BD=12，求 tan∠ACB 的值．
在图形变换的复习中，不仅重视各自图形变换本 身的性质，更要关注它们在解决相关图形问题时的 应用，发展几何直观和空间观念.
在推理证明的复习中，不仅重视演绎推理能力的 培养，更要重视合情推理能力的发展.
中考数学备考复习的策略与方法
（3）加强数学知识与现实生活的联系 在中考数学复习中，要充分利用已有
的生活经验和熟知的生活实例，通过比 较、分析、猜想、归纳、综合等思维训 练，使之完成各知识之间的正迁移；通 过抽象、概括、数学建模来增强应用意 识，提高分析问题和解决问题的能力.
2016年中考数学备考复习研讨
2015年中考数学试题评析与启示 2016年中考数学命题趋势 中考数学备考复习的策略与方法
2015年中考数学试题评析与启示
2015年中考数学试题评析 答卷情况及对教学的启示
答卷情况及对教学的启示
17．化简： m n 2mn m n m n m2 n2
错解：原式= m(m n) n(m n) 2mn =…
4. 中考数学复习的基本方法
（1）由厚到薄 — 构建知识网络
华罗庚先生说：读书要从薄到厚， 又从厚到薄.复习重在从厚到薄. 中 考复习要把三年螺旋上升的知识分 成块，整理成知识网络，而采用树 图、表格、口诀、习题组等方法是 有效的.
中考数学备考复习的策略与方法
（2）由浅入深 — 提升思维坡度
【9份】2016中考数学(广西专版)复习题型专项集训
题型专项
二次函数中的多结论选填题是二次函数中综合性比较强的题目，解决此类题目不仅要掌握二次函数的图象与性质、抛物线位置与字母系数的关系、二次函数与方程、不等式的关系等知识，还要学会代入特殊值的方法并结合二次函数的图象去验证一些不等式的正误；几何中的多结论选填题则结合了三角形、四边形、圆的有关性质和判定，是几何中综合性很强的题目，掌握三角形、四边形、圆的有关性质并能熟练的运用才能解决此类问题．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【思路点拨】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以＝＝，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④而CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误；⑤根据△AEF∽△CBF得到＝＝，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，S四边形CDEF＝S△ACD－S△AEF＝S矩形ABCD－S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选B.
其中正确的有()
A．①②③B．①③④
C．②④D．①③
3．(2015·岳阳)如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D.过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE.对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是()
A．①②B．①③C．②④ D．③④
3．(2013·贺州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a－b＝0；④8a＋c＜0；⑤9a＋3b＋c＜0，其中结论正确的是________(填正确015·贵港)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有()
【初中数学】2016年中考数学专题复习学案(共7份) 通用
中考数学专题复习学案一——规律与猜想【专题思路剖析】学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力．规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力,对学生的数学思维能力有着非常高的要求.这类题目一般作为"小压轴题"出现在选择、填空题。
【典型例题赏析】类型1：数式规律此类型题主要分以下两种: (1) 数字规律型：数字规律问题需要观察并分析题目中所给数字之间的关系，并由此总结出它们所遵循的规律; (2) 数式规律型：通过观察、分析所给等式，总结出具有规律性的结论，以列代数式的方式给出具有一般规律性的关系式，特别是等式中含有字母时，字母往往具有反映等式序号的作用.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解.例题1：（2015•湖南张家界，第8题3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）A． 46 B． 45 C． 44 D． 43考点：规律型：数字的变化类．分析：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．解答：解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3有m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，∵2n+1=2015，n=1007，∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，∵=966，=1015，∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=45．故选B．点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．【变式练习】（2015•广东茂名15，3分）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．考点：有理数的乘方．分析：根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．解答：解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为．点评：本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．类型2：图形规律解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m ＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．几何图形的规律探索题，可总结解题方法为：首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律. 如果图形的变化具有周期性，要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.例题2：（2015•重庆A11，4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）①②③A. 21B. 24C. 27D. 30考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7 求解即可．解答：解：观察图形得：第 1 个图形有3+3×1=6 个圆圈，第2 个图形有3+3×2=9 个圆圈，第3 个图形有3+3×3=12 个圆圈，…第n 个图形有3+3n=3（n+1 ）个圆圈，当n=7 时，3×（7+1 ）=24 ，故选B．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度不大．【变式练习】（2014•湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B 上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．（12）n•75°B．（12）n﹣1•65°C．（12）n﹣1•75°D．（12）n•85°考点：等腰三角形的性质．专题：规律型．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数．解答：解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得，∠EA3A2=（12）2×75°，∠FA4A3=（12）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（12）n﹣1×75°．故选：C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．类型3：坐标规律本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是是仔细观察图形，结合题中已知条件找出图形或点的变化特征，探究其中蕴含的某种规律、猜想，归纳得到一般性结论．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．例题3：（2015•宁德第10题 4分）..如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2015的坐标．解答：解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B2015的坐标是（22014，22014）．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．【变式练习】（2015•丹东，第16题3分）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△A n A n+1B n均为等边三角形，点A1、A2、A3…A n+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…B n在直线OD上依次排列，那么点B n的坐标为．考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．专题：规律型．分析：根据等边三角形的性质和∠B1OA2=30°，可求得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OA n=2n﹣1，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△A n B n A n+1的边长，进一步可求得点B n的坐标．解答：解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，∵∠B1OA2=30°，∴∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OA n=2n﹣1，∵∠B n OA n+1=30°，∠B n A n A n+1=60°，∴∠B n OA n+1=∠OB n A n=30°∴B n A n=OA n=2n﹣1，即△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，则可求得其高为×2n﹣1=×2n﹣2，∴点B n的横坐标为×2n﹣1+2n﹣1=×2n﹣1=3×2n﹣2，∴点B n的坐标为（3×2n﹣2，×2n﹣2）．故答案为（3×2n﹣2，×2n﹣2）．点评：本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA1的关系是解题的关键．【拓展演练】1.（2015•湖北十堰，第9题3分）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A．222 B．280 C．286 D．2922.（2015•甘南州第10题 4分）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．3.（2015•福建第15题 4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有个“•”．4.（2015•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是5.（2015•湖南郴州，第16题3分）请观察下列等式的规律：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），=（﹣），…则+++…+=．6.（2015•北海,第18题3分）如图，直线y=﹣2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+S n﹣1= ．7.（2015•葫芦岛）（第18题，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为．8.（2015•甘肃庆阳，第12题，3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）C．（4n+1，）D．（2n+1，）【拓展演练】参考答案1.（2015•湖北十堰，第9题3分）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A．222 B．280 C．286 D．292考点：规律型：图形的变化类．分析：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多6个，列方程组求解解答：解：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个．由题意得，，解得：．故选D．点评：本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解．2.（2015•甘南州第10题 4分）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 1 ．考点：三角形中位线定理．.专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．3.（2015•福建第15题 4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有111 个“•”．考点：规律型：图形的变化类．.分析：观察图形可知前4个图形中分别有：3，7，13，21个“•”，所以可得规律为：第n个图形中共有[n（n+1）+1]个“•”．再将n=10代入计算即可．解答：解：由图形可知：n=1时，“•”的个数为：1×2+1=3，n=2时，“•”的个数为：2×3+1=7，n=3时，“•”的个数为：3×4+1=13，n=4时，“•”的个数为：4×5+1=21，所以n=n时，“•”的个数为：n（n+1）+1，n=10时，“•”的个数为：10×11+1=111．故答案为111．点评：本题主要考查了规律型：图形的变化类，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律，难度适中．4.（2015•东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．考点：规律型：数字的变化类．分析：由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．解答：解：∵分子为1，2，3，4，5，…，∴第10个数的分子为10，∵分母为3，5，7，9，11，…，∴第10个数的分母为：1+2×10=21，∴第10个数为：，故答案为：．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．5.（2015•湖南郴州，第16题3分）请观察下列等式的规律：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），=（﹣），…则+++…+= ．考点：规律型：数字的变化类．分析：观察算式可知=（﹣）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．解答：解：+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=×=．故答案为：．点评：考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=（﹣）（n 为非0自然数）．6.（2015•北海,第18题3分）如图，直线y=﹣2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+S n﹣1= ．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据图象上点的坐标性质得出点T1，T2，T3，…，T n﹣1各点纵坐标，进而利用三角形的面积得出S1、S2、S3、…、S n﹣1，进而得出答案．解答：解：∵P1，P2，P3，…，P n﹣1是x轴上的点，且OP1=P1P2=P2P3=…=P n﹣2P n﹣1=，分别过点p1、p2、p3、…、p n﹣2、p n﹣1作x轴的垂线交直线y=﹣2x+2于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，∴T1的横坐标为：，纵坐标为：2﹣，∴S1=×（2﹣）=（1﹣）同理可得：T2的横坐标为：，纵坐标为：2﹣，∴S2=（1﹣），T3的横坐标为：，纵坐标为：2﹣，S3=（1﹣）…S n﹣1=（1﹣）∴S1+S2+S3+…+S n﹣1= [n﹣1﹣（n﹣1）]=×（n﹣1）=，∵n=2015，∴S1+S2+S3+…+S2014=××2014=．故答案为：．点评：此题考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出T点纵坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．7.（2015•葫芦岛）（第18题，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为．考点：相似多边形的性质．专题：规律型．分析：根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC===，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，∵矩形ABCD的面积=2×1=2，∴矩形AB1C1C的面积=，依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4∴矩形AB2C2C1的面积=∴矩形AB3C3C2的面积=，按此规律第n个矩形的面积为：故答案为：．点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．8.（2015•甘肃庆阳，第12题，3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）C．（4n+1，）D．（2n+1，）考点：坐标与图形变化-旋转．专题：规律型．分析：首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出A n的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．解答：解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，∴点A2的坐标是（3，﹣），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，∴点A3的坐标是（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，∴点A4的坐标是（7，﹣），…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴A n的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，∵当n为奇数时，A n的纵坐标是，当n为偶数时，A n的纵坐标是﹣，∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．故选：C．点评：此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A n的横坐标、纵坐标各是多少．。
【初中数学】2016年中考数学专题复习学案(共7份) 通用1
中考数学专题复习学案七——几何图形综合题【专题思路剖析】几何图形的综合题,着重考查学生对几何知识的理解与掌握、状及其数量关系成为数学研究重要内容.中考数学几何重要数学思想和解决实际问题的能力,是"图形与几何"知识内容的重要代表,所考查的内容及方法都是初中几何学习的核心内容及重要方法,是课程学习效果及评价重要体现.几何图形综合题是各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．【典型例题赏析】题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．例题1：（2015•福建第15题 12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．考点：四边形综合题．.分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠G ME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．解答：（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF=BE+DF．点评：本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．【变式练习】（2015•内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？考点：几何变换综合题．分析：（1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．解答：解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．点评：本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键．类型2 动态探究题动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．例题1：（2015•聊城，第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x 轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OM N中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．【变式练习】（2015•山东德州,第23题10分）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．考点：相似形综合题；切线的性质．.专题：探究型．分析：（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．解答：解：（1）如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．点评：本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．类型3 类比探究题本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．例题1：（2015•辽宁铁岭）（第25题）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．考点：几何变换综合题．.分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；（3）分两种情况分别讨论即可求得．解答：（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；（2）2AD2=BD2+CD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，∵∠EAD=90°AE=AD，∴ED=AD，在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，∴2AD2=BD2+CD2．（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，∴BE=CD1，BE⊥BC，∵BD=CD，∴BD1=BE，∴tan∠BD1E==，∴∠BD1E=30°，∵∠EAD1=EBD1=90°，∴四边形A、D1、B、E四点共圆，∴∠EAB=∠BD1E=30°，∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．同理可证：∠CFD2=30°，∵∠FAD2=FCD2=90°，∴四边形A、F、D2、C四点共圆，∴∠CAD2=∠CFD2=30°，∴∠BAD2=90°+30°=120°，综上，∠BAD的度数为60°或120°．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是本题的关键．【变式练习】（2015•江苏盐城，第26题10分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．考点：四边形综合题．分析：（1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，R t△PME≌R t△PNF，问题即可得证；（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题．解答：解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，∵PE=PF，∴FG=EG=EF=，∠FPG=，在△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=2∠FPG=120°；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，DC=BC，在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴PM=PN，在R t△PME于R t△PNF中，，∴R t△PME≌R t△PNF，∴FN=EM，在R t△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AP•cos30°=3，同理AN=3，∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，设AC与EF交于点O，∵PE=PF，∴OF=EF=2，∵∠FPA=60°，∴OP=2，∵∠BAD=60°，∴∠FAO=30°，∴AO=6，∴AP=AO+PO=8，同理AP′=AO﹣OP=4，∴AP的最大值是8，最小值是4．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键题型2 与圆有关的几何综合题类型1 操作探究题一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题；一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等；常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值等；常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；例题1：（2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；（2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO．（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t， t2﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可．解答：解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），∴点D的纵坐标是4，又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴4=，解得x=5，故点D的坐标是（5，4）．如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，在RT△DAE中，DA=5，DE=4，∴AE==3，∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，∴A（2，0），B（8，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=12，∴抛物线的解析式为y=12x2﹣x+4．（2）如图2，连接AC，在RT△AOC中，OA=2，CO=4，∴tan∠ACO==12，在RT△BOC中，OB=8，CO=4，∴tan∠CBO==12，∴∠ACO=∠CBO．（3）∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，12t2﹣t+4），①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣12x+4上，∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，解得t1=4+2，t2=4﹣2，∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣x+4上，∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣x+4上，∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．【变式练习】（2015•河北,第26题14分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．考点：圆的综合题．分析：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP ﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，求出OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣在R t△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=KO′=﹣，在R t△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．解答：解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，∴∠DOQ=∠ABO=45°，∴α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，∵OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，∴PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ==，在R t△RKE中，RE=RK•sin60°=，∴S△PRK=•RE=，∴S阴影=+；拓展：如图5，∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴，即，∴BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣，在R t△KGO′中，∠O′=30°，∴KG=KO′=﹣，∴在R t△OGK中，sinα===，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60，综上所述sinα的值为：或或．点评：本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．类型2 动态研究题题动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题．解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．例题1：（2015•曲靖24题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P 为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）根据题意可知A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，﹣2），从而可确定出点P的纵坐标为1或﹣1；（3）设点P的坐标为（m，），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆相切．解答：解：（1）∵点A为OB的中点，∴点A的坐标为（0，﹣1）．∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（﹣2，0），D（2，0），将点A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线得解析式为y=．（2）如下图：过点P1作P1F⊥OE．∵OE=2，∴点E的坐标为（0，2）．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴点P1的纵坐标为1．同理点P2的纵坐标为1．将y=1代入抛物线的解析式得：x1=，x2=2．∴点P1（﹣2，1），P2（﹣2，1）．如下图：当点E与点B重合时，点P3与点A重合，∴点P3的坐标为（0，﹣1）．综上所述点P的坐标为（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．（3）设点P的坐标为（m，），∴圆的半径OP==，点P到直线l的距离=﹣（﹣2）=+1．∴d=r．∴直线l与圆P相切．点评：本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键．【变式练习】（2015•温州第24题14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．考点：圆的综合题．.分析：（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH=AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM=AM=x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；当时（如图3），7﹣4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），同理得AP；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B 作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ=，利用（1）（2）中结论得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP．解答：解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，∴AB=4x，∴BQ=5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB=OQ，∴=2x，∴CD=2x，∴FD==3x；（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，作OM⊥AQ于点M（如图1），∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=x∴OD=MC=，∴OE=BQ=，∴ED=2x+4，S矩形DEGF=DF•DE=3x（2x+4）=90，解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，∴AP=3x=9；（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，I．点P在A点的右侧时（如图1），∴2x+4=3x，解得：x=4，∴AP=3x=12；II．点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），∵ED=4﹣7x，DF=3x，∴4﹣7x=3x，解得：x=，∴AP=；当≤x＜时（如图3），∵ED=7﹣4x，DF=3x，∴7﹣4x=3x，解得：x=1（舍去），当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），DE=7x﹣4，DF=3x，∴7x﹣4=3x，解得：x=1，∴AP=3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°，∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x，∴IQ=x，∴NQ==2，∴x=2，∴AP=6；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=，∴AI=16x，∴QI=19x，∴NQ==2，∴x=，∴AP=，综上所述：AP的长为6或．点评：本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．【拓展演练】1.（2015•贵州省贵阳,第25题9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）2. （2015，广西玉林，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．3.（2015•丹东，第25题12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN 中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．4．（2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第24 题10分）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD 交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．5.（2015•黄石第24题，9分）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l 于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．7.（2015•天津,第21题10分）（2015•天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC 是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB 的大小．8.（2015•辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．【拓展演练】参考答案1.（2015•贵州省贵阳,第25题9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）考点：几何变换综合题．专题：综合题．分析：（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN 中，利用勾股定理计算出M′R=5，易得四边形MEQG的最小周长值是7+5．解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP==5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，。
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二次函数的综合题二十一
1．如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A ，C 分别是一次函数y ＝－34
x ＋3的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数y ＝18
x 2＋bx ＋c 的图象上，且该二次函数的图象上存在一点D ，使四边形ABCD 构成平行四边形．
(1)求二次函数的解析式；
(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒一个单位的速度运动，请问当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积最小是多少？
(1)∵y ＝－34
x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)，当y ＝0时，x ＝4，∴C(4，0)，B(－4，0), ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴D(8，3), 把B(－4，0), D(8，3)两
点代入y ＝18x 2＋bx ＋c 中， 解得b ＝－14，c ＝－3，即二次函数的解析式为 y ＝18x 2－14
x －3 (2)如图，∵OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，∵S 四边形PDCQ ＋S △APQ ＝S △ACD, 且S △ACD ＝12
×8×3＝12，∴S △APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小， 设运动时间为t ，则AP ＝t ，CQ ＝t ，AQ ＝5－t ，过点Q 作QH ⊥AD 于点H, 则△AQH ∽△CAO ，∴QH AO ＝AQ CA ，∴QH 3＝5－t 5，解得，QH ＝35(5－t), ∴S △APQ ＝12AP ×QH ＝12t ×35(5－t)＝－310(t －52)2＋158
，∴当t ＝52时，S △APQ 的最大值是158，∴S 四边形PDCQ ＝12－158＝818，∴当点P 运动52
个单位时，四边形PDCQ 的面积最小，且四边形PDCQ 的面积最小值是818
2．(2010·陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－
1)三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q ，P ，A ，B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．
(1)设该抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y ＝13x 2－23x －1 (2)①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ ＝AB ＝4即可．又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4，这时符合条件的点P 有两
个，分别记为P 1，P 2，而当x ＝4时，y ＝53；当x ＝－4时，y ＝7，此时P 1(4，53
)，P 2(－4，7) ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，Q 点横坐标为0，且线段AB 中点的横坐标为1，∴由中点坐标公式，得点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个，记为P 3，而且当x ＝2时y ＝－1，此时P 3(2，－1)，综上，满
足条件的P 为P 1(4，53
)，P 2(－4，7)，P 3(2，－1)。